资源简介

2.3.2　两点间的距离公式
1.已知M（2，1），N（－1，5），则｜MN｜＝（　　）
A.5 B.
C. D.4
2.已知直线l1：x＋2y－5＝0，直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离为（　　）
A.1 B.2
C. D.
3.到点A（1，3），B（－5，1）的距离相等的动点P满足的方程是（　　）
A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0
C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0
4.直线l1：3ax－y－2＝0和直线l2：（2a－1）x＋5ay－1＝0分别过定点A和B，则｜AB｜＝（　　）
A. B.
C. D.
5.（多选）直线x＋y－1＝0上与点P（－2，3）的距离等于的点的坐标可能是（　　）
A.（－4，5） B.（－3，4）
C.（－1，2） D.（0，1）
6.（多选）（2024·嘉兴质检）对于，下列说法正确的是（　　）
A.可看作点（x，0）与点（1，2）的距离
B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离
C.可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离
D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离
7.已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7，则x＝　　　　.
8.已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为　　　　.
9.（2024·佛山月考）若动点P的坐标为（x，1－x），x∈R，则动点P到原点的最小值是　　　　.
10.已知A（－2，0），B（0，4），线段AB的垂直平分线为直线l.
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若点C在直线l上，且｜AC｜＝，求点C坐标.
11.光线从点A（－3，5）射到x轴上，经反射后经过点B（2，10），则光线从A到B经过的路程为（　　）
A.5　　B.2　　C.5　　D.10
12.若在直线y＝－2上有一点P，它到点A（－3，1）和B（5，－1）的距离之和最小，则｜PA｜＋｜PB｜的最小值为（　　）
A.2 B.5 C.4 D.10
13.（2024·杭州月考）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A（2，0）.若直线l上存在点M满足｜MA｜＝2｜MO｜（O为坐标原点），则实数a的取值范围是　　　　.
14.在△ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），且｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜.求证：△ABC为等腰三角形.
15.（2024·金华月考）某同学在研究函数f（x）＝＋｜x－1｜的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f（x）＝＋，求得f（x）的最小值为　　　　.
16.如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC，∠ADC＝90°，｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜.腰DC在x轴上，O是线段DC的中点，｜BO｜＝4，且∠BOC＝60°.求：
（1）A，B，C，D各点的坐标；
（2）梯形ABCD的面积.
2.3.2　两点间的距离公式
1.A　｜MN｜＝＝5，故选A.
2.C　解方程组得即A（1，2），而O为坐标原点，则｜AO｜＝＝，所以点A到原点的距离为.
3.B　设P（x，y），则＝，即3x＋y＋4＝0.
4.A　直线l1：y＝3ax－2过定点A（0，－2），直线l2：a（2x＋5y）－（x＋1）＝0过定点B（－1，），所以｜AB｜＝＝.
5.BC　设所求点的坐标为（x0，y0），有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或
6.BCD　＝＝＝，可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故B、C、D正确.
7.9或－5　解析：由｜MN｜＝7，得｜MN｜＝＝7，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5.
8.　解析：设点A（a，2a－1），点B（b，2b－1），因为｜a－b｜＝，所以｜AB｜＝＝｜a－b｜＝.
9.　解析：由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝＝，∴最小值为＝.
10.解：（1）因为A（－2，0），B（0，4），所以线段AB的中点坐标为（－1，2），kAB＝＝2.
又线段AB的垂直平分线为直线l，所以kl＝－＝－，
所以直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋2y－3＝0.
（2）设点C的坐标为（a，b）.由题意有解得或
所以点C的坐标为（1，1）或（－3，3）.
11.C　点A（－3，5）关于x轴的对称点为A'（－3，－5），则光线从A到B经过的路程为A'B的长度，｜A'B｜＝＝5.故选C.
12.C　点A（－3，1）关于直线y＝－2的对称点为A'（－3，－5）.若直线y＝－2上有一点P，它到点A（－3，1）和点B（5，－1）的距离之和最小，则P为直线A'B与直线y＝－2的交点，∴（｜PA｜＋｜PB｜）min＝｜A'B｜＝＝4.故选C.
13.［，］
解析：设M（x，－x－a）.由｜MA｜＝2｜MO｜，得（x－2）2＋（－x－a）2＝4x2＋4（－x－a）2，整理得6x2＋（6a＋4）x＋3a2－4＝0.由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得≤a≤，故实数a的取值范围为［，］.
14.证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
设A（0，h），B（b，0），C（c，0），D（d，0）.
因为｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜，
则由两点间距离公式得b2＋h2＝d2＋h2＋（d－b）·（c－d），
整理得－（d－b）（b＋d）＝（d－b）（c－d）.
因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0，
所以－b－d＝c－d，即－b＝c.
所以｜OB｜＝｜OC｜，于是｜AB｜＝｜AC｜，即△ABC为等腰三角形.
15.　解析：由变形所得函数知：f（x）表示x轴上的动点（x，0）到两定点（0，1），（1，0）的距离之和，∴当且仅当（x，0）与（1，0）重合时，f（x）有最小值为.
16.解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，
因为AD∥BC，∠ADC＝90°，
所以∠BCD＝90°，
又因为｜BO｜＝4，且∠BOC＝60°，
所以｜OC｜＝2，｜BC｜＝2，
所以点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（2，2）.
又因为O为线段DC的中点，
所以｜DO｜＝2，
所以点D的坐标为（－2，0），
设点A的纵坐标为y，所以点A的坐标为（－2，y）.
所以｜AE｜＝｜DC｜＝4，｜EC｜＝｜AD｜＝y，｜BE｜＝｜BC｜－｜EC｜＝2－y.
因为｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜＝y＋2，且∠BEA＝90°，
所以｜AB｜2＝｜AE｜2＋｜BE｜2，即（y＋2）2＝42＋（2－y）2，解得y＝，所以点A的坐标为（－2，）.
（2）S梯形ABCD＝×（＋2）×4＝.
2 / 22.3.2　两点间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式 逻辑推理
2.会用坐标法证明简单的平面几何问题 数学运算、直观想象
　　在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上的某处建一个公交站点，以方便居住在这两个小区的住户出行.
【问题】　（1）如何确定这两个小区的距离？
（2）如何选址能使公交站点到两个小区的距离之和最小？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两点间的距离公式
条件 点P1（x1，y1），P2（x2，y2）
结论 ｜P1P2｜＝　　　　　
特例 点P（x，y）到原点O（0，0）的距离｜OP｜＝　　　
提醒　（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关；（2）当直线P1P2平行于x轴时，｜P1P2｜＝｜x2－x1｜；当直线P1P2平行于y轴时，｜P1P2｜＝｜y2－y1｜.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）点P1（0，a），点P2（b，0）之间的距离为a－b.（　　）
（2）当A（x1，y1），B（x2，y2）两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用.（　　）
2.已知A（3，7），B（2，5），则A，B两点间的距离为（　　）
A.5 B.
C.3 D.
3.（2024·许昌质检）已知A（1，2），B（a，6），且｜AB｜＝5，则a＝　　　　.
题型一 两点间的距离公式
【例1】　（1）已知A（－1，0），B（5，6），C（3，4）三点，则＝（　　）
A.　　　　　　　　B.
C.3 D.2
（2）在已知直线2x－y＝0上存在一点P，使它到点M（5，8）的距离为5，则直线PM的方程为　　　　.
通性通法
求两点间距离的方法
　　首先根据题目条件确定点的坐标，再代入到两点间的距离公式求值，代入时注意点的坐标的对应位置要准确.
【跟踪训练】
1.（2024·烟台月考）直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则｜PQ｜＝（　　）
A.4 B.4
C.2 D.2
2.已知点A（－3，4），B（2，），在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值.
题型二 两点间距离公式的应用
【例2】　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－3，1），B（3，－3），C（1，7），试判断△ABC的形状.
通性通法
判断三角形的形状的解题策略
（1）先采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向；
（2）根据两点间的距离公式分别求出三边的长，确定是等腰、等边、还是直角三角形.
【跟踪训练】
　（2024·福州月考）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，－1），B（－1，3），C（3，0）.
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积.
题型三 坐标法的应用
【例3】　在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）.
通性通法
用坐标法（解析法）解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
【跟踪训练】
　（2024·常州月考）已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：｜AC｜＝｜BD｜.
1.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足｜BO｜＝｜BA｜，那么b＝（　　）
A.3　 　　B.4　 　　C.5　 　　D.6
2.过点A（4，a）和B（5，b）的直线和直线y＝x＋m平行，则｜AB｜＝　　　　.
3.已知△ABC的三个顶点分别是A（－1，0），B（1，0），C（，），试判断△ABC的形状.
2.3.2　两点间的距离公式
【基础知识·重落实】
知识点
　
自我诊断
1.（1）×　 （2）×
2.B　由平面内两点间的距离公式可知｜AB｜＝＝.
3.－2或4　解析：由｜AB｜＝＝5，解得a＝4或－2.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）D　（2）4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0　解析：（1）｜AC｜＝＝4，｜CB｜＝＝2，所以＝＝2，故选D.
（2）∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P点坐标为（a，2a），∴＝5，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝，∴点P的坐标为（2，4）或（，）.∴直线PM的方程为＝或＝，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0.
跟踪训练
1.B　由题意得P（1，1），Q（5，5），∴｜PQ｜＝＝4.
2.解：设点P的坐标为（x，0），则有
｜PA｜＝＝，
｜PB｜＝＝.
由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为.
｜PA｜＝＝.
【例2】　解：法一　∵｜AB｜＝＝2，
｜AC｜＝
＝2，
又｜BC｜＝＝2，
∴｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，且｜AB｜＝｜AC｜，
∴△ABC是等腰直角三角形.
法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又｜AC｜＝＝2，
｜AB｜＝＝2，
∴｜AC｜＝｜AB｜，∴△ABC是等腰直角三角形.
跟踪训练
　解：（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证.
因为｜AB｜＝
＝2，
｜AC｜＝＝，
｜BC｜＝＝5.
所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
（2）由（1）得｜AB｜＝2，｜AC｜＝.
又因为A＝90°，所以S△ABC＝｜AB｜｜AC｜＝×2×＝5.
【例3】　证明：设BC所在边为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设A（b，c），C（a，0），则B（－a，0），
因为｜AB｜2＝（a＋b）2＋c2，｜AC｜2＝（a－b）2＋c2，｜AD｜2＝b2＋c2，｜DC｜2＝a2，所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（a2＋b2＋c2），
｜AD｜2＋｜DC｜2＝b2＋c2＋a2，
所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）.
跟踪训练
　证明：建立如图所示的平面直角坐标系，
设A（0，0），B（a，0），C（b，c），则点D的坐标是（a－b，c），所以｜AC｜＝＝，
｜BD｜＝＝.
故｜AC｜＝｜BD｜.
随堂检测
1.C　由｜BO｜＝｜BA｜及两点间距离公式可得＝，即b2＝42＋（2－b）2，解得b＝5.
2.　解析：由题意知kAB＝＝b－a＝1，所以｜AB｜＝＝.
3.解：因为｜AB｜＝｜1－（－1）｜＝2，｜BC｜＝＝1，｜AC｜＝＝，所以｜AC｜2＋｜BC｜2＝｜AB｜2，故△ABC是直角三角形.
2 / 2(共53张PPT)
2.3.2　
两点间的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式 逻辑推理
2.会用坐标法证明简单的平面几何问题 数学运算、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上的某
处建一个公交站点，以方便居住在这两个小区的住户出行.
【问题】　（1）如何确定这两个小区的距离？
（2）如何选址能使公交站点到两个小区的距离之和最小？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　两点间的距离公式
条件 点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）
结论 ｜ P1 P2｜＝
特例 点 P （ x ， y ）到原点 O （0，0）的距离｜ OP ｜
＝
提醒　（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关；（2）当直线
P1 P2平行于 x 轴时，｜ P1 P2｜＝｜ x2－ x1｜；当直线 P1 P2平行于 y 轴
时，｜ P1 P2｜＝｜ y2－ y1｜.
　
　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）点 P1（0， a ），点 P2（ b ，0）之间的距离为 a － b .
（　×　）
（2）当 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）两点的连线与坐标轴平行或垂
直时，两点间的距离公式不适用. （　×　）
×
×
2. 已知 A （3，7）， B （2，5），则 A ， B 两点间的距离为（　　）
A. 5 C. 3
解析： 　由平面内两点间的距离公式可知｜ AB ｜＝
＝ .
3. （2024·许昌质检）已知 A （1，2）， B （ a ，6），且｜ AB ｜＝5，
则 a ＝ .
解析：由｜ AB ｜＝ ＝5，解得 a ＝4
或－2.
－2或4　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
【例1】　（1）已知 A （－1，0）， B （5，6）， C （3，4）三点，
则 ＝（　D　）
解析：｜ AC ｜＝ ＝4 ，｜ CB ｜＝
＝2 ＝ ＝2，故选D.
D
题型一 两点间的距离公式
（2）在已知直线2 x － y ＝0上存在一点 P ，使它到点 M （5，8）的距
离为5，则直线 PM 的方程为
.
解析：∵点 P 在直线2 x － y ＝0上，∴可设 P 点坐标为（ a ，2
a ），∴ ＝5，即5 a2－42 a ＋64＝
0，解得 a ＝2或 a ＝ ，∴点 P 的坐标为（2，4）或（
）.∴直线 PM 的方程为 ＝ ＝ ，即4 x －3 y ＋
4＝0或24 x －7 y －64＝0.
4 x －3 y ＋4＝0或24 x －7 y －64＝
0　
通性通法
求两点间距离的方法
　　首先根据题目条件确定点的坐标，再代入到两点间的距离公式求
值，代入时注意点的坐标的对应位置要准确.
【跟踪训练】
1. （2024·烟台月考）直线 y ＝ x 上的两点 P ， Q 的横坐标分别是1，
5，则｜ PQ ｜＝（　　）
A. 4
C. 2
解析： 　由题意得 P （1，1）， Q （5，5），∴｜ PQ ｜＝
＝4 .
2. 已知点 A （－3，4）， B （2， ），在 x 轴上找一点 P ，使｜
PA ｜＝｜ PB ｜，并求｜ PA ｜的值.
解：设点 P 的坐标为（ x ，0），则有
｜ PA ｜＝ ＝ ，
｜ PB ｜＝ ＝ .
由｜ PA ｜＝｜ PB ｜，得 x2＋6 x ＋25＝ x2－4 x ＋7，解得 x ＝－ .
故所求点 P 的坐标为 .
｜ PA ｜＝ ＝ .
题型二 两点间距离公式的应用
【例2】　已知△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A （－3，1）， B （3，
－3）， C （1，7），试判断△ ABC 的形状.
解：法一　∵｜ AB ｜＝
＝2 ，
｜ AC ｜＝ ＝2 ，
又｜ BC ｜＝ ＝2 ，
∴｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝｜ BC ｜2，且｜ AB ｜＝｜
AC ｜，
∴△ ABC 是等腰直角三角形.
法二　∵ kAC ＝ ＝ ， kAB ＝ ＝－ ，
则 kAC · kAB ＝－1，∴ AC ⊥ AB .
又｜ AC ｜＝ ＝2 ，
｜ AB ｜＝ ＝2 ，
∴｜ AC ｜＝｜ AB ｜，∴△ ABC 是等腰直角三角形.
通性通法
判断三角形的形状的解题策略
（1）先采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明
的方向；
（2）根据两点间的距离公式分别求出三边的长，确定是等腰、等
边、还是直角三角形.
【跟踪训练】
　（2024·福州月考）已知△ ABC 的三个顶点坐标分别是 A （1，－
1）， B （－1，3）， C （3，0）.
（1）判断△ ABC 的形状；
解： 如图所示，△ ABC 为直角三角形，
下面进行验证.
因为｜ AB ｜＝
＝2 ，
｜ AC ｜＝ ＝ ，
｜ BC ｜＝ ＝5.
所以｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝｜ BC ｜2，即△
ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形.
（2）求△ ABC 的面积.
解： 由（1）得｜ AB ｜＝2 ，｜ AC ｜＝ .
又因为 A ＝90°，所以 S△ ABC ＝ ｜ AB ｜｜ AC ｜＝ ×2 ×
＝5.
题型三 坐标法的应用
【例3】　在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，求证：｜ AB ｜2＋｜
AC ｜2＝2（｜ AD ｜2＋｜ DC ｜2）.
证明：设 BC 所在边为 x 轴，以 D 为原点，建立平面
直角坐标系，如图所示，设 A （ b ， c ）， C （ a ，
0），则 B （－ a ，0），
因为｜ AB ｜2＝（ a ＋ b ）2＋ c2，｜ AC ｜2＝（ a －
b ）2＋ c2，｜ AD ｜2＝ b2＋ c2，｜ DC ｜2＝ a2，所
以｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝2（ a2＋ b2＋ c2），
｜ AD ｜2＋｜ DC ｜2＝ b2＋ c2＋ a2，
所以｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝2（｜ AD ｜2＋｜ DC ｜2）.
通性通法
用坐标法（解析法）解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.
【跟踪训练】
　（2024·常州月考）已知在等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ，对角线
为 AC 和 BD . 求证：｜ AC ｜＝｜ BD ｜.
证明：建立如图所示的平面直角坐标系，
设 A （0，0）， B （ a ，0）， C （ b ， c ），则点 D
的坐标是（ a － b ， c ），所以｜ AC ｜＝
＝ ，
｜ BD ｜＝ ＝ .
故｜ AC ｜＝｜ BD ｜.
1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （4，2）和 B （0， b ）满足｜
BO ｜＝｜ BA ｜，那么 b ＝（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 　由｜ BO ｜＝｜ BA ｜及两点间距离公式可得
＝ ，即 b2＝42
＋（2－ b ）2，解得 b ＝5.

解析：由题意知 kAB ＝ ＝ b － a ＝1，所以｜ AB ｜＝
＝ .
　
3. 已知△ ABC 的三个顶点分别是 A （－1，0）， B （1，0）， C （ ，
），试判断△ ABC 的形状.
解：因为｜ AB ｜＝｜1－（－1）｜＝2，｜ BC ｜＝
＝1，｜ AC ｜＝
＝ ，所以｜ AC ｜2＋｜ BC ｜2
＝｜ AB ｜2，故△ ABC 是直角三角形.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 M （2，1）， N （－1，5），则｜ MN ｜＝（　　）
A. 5
D. 4
解析： 　｜ MN ｜＝ ＝5，故选A.
1
2
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4
5
6
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8
9
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14
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16
2. 已知直线 l1： x ＋2 y －5＝0，直线 l2：3 x － y －1＝0的交点为 A ， O
为坐标原点，则点 A 到原点的距离为（　　）
A. 1 B. 2
解析： 　解方程组即 A （1，2），
而 O 为坐标原点，则｜ AO ｜＝ ＝ ，所以点 A 到原点的
距离为 .
1
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16
3. 到点 A （1，3）， B （－5，1）的距离相等的动点 P 满足的方程是
（　　）
A. 3 x － y －8＝0 B. 3 x ＋ y ＋4＝0
C. 3 x － y ＋6＝0 D. 3 x ＋ y ＋2＝0
解析： 　设 P （ x ， y ），则 ＝
，即3 x ＋ y ＋4＝0.
1
2
3
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5
6
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8
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16
4. 直线 l1：3 ax － y －2＝0和直线 l2：（2 a －1） x ＋5 ay －1＝0分别过
定点 A 和 B ，则｜ AB ｜＝（　　）
解析： 　直线 l1： y ＝3 ax －2过定点 A （0，－2），直线 l2： a （2
x ＋5 y ）－（ x ＋1）＝0过定点 B （－1， ），所以｜ AB ｜＝
＝ .
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5. （多选）直线 x ＋ y －1＝0上与点 P （－2，3）的距离等于 的点
的坐标可能是（　　）
A. （－4，5） B. （－3，4）
C. （－1，2） D. （0，1）
解析： 　设所求点的坐标为（ x0， y0），有 x0＋ y0－1＝0，且
＝
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6. （多选）（2024·嘉兴质检）对于 ，下列说法正确的
是（　　）
A. 可看作点（ x ，0）与点（1，2）的距离
B. 可看作点（ x ，0）与点（－1，－2）的距离
C. 可看作点（ x ，0）与点（－1，2）的距离
D. 可看作点（ x ，－1）与点（－1，1）的距离
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解析： 　 ＝ ＝
＝ ，可看作点
（ x ，0）与点（－1，－2）的距离，可看作点（ x ，0）与点（－
1，2）的距离，可看作点（ x ，－1）与点（－1，1）的距离，故
B、C、D正确.
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7. 已知点 M （ x ，－4）与点 N （2，3）间的距离为7 ，则 x ＝
.
解析：由｜ MN ｜＝7 ，得｜ MN ｜＝
＝7 ，即 x2－4 x －45＝0，解得 x1＝9或 x2＝－5.故所求 x 的值为9
或－5.
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或－5　
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8. 已知 A ， B 两点都在直线 y ＝2 x －1上，且 A ， B 两点的横坐标之差
的绝对值为 ，则 A ， B 两点间的距离为 　 　.
解析：设点 A （ a ，2 a －1），点 B （ b ，2 b －1），因为｜ a － b ｜
＝ ，所以｜ AB ｜＝ ＝
｜ a － b ｜＝ .
　
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解析：由两点间的距离公式得 P 到原点的距离为
＝ ＝ ，∴最小值为 ＝ .
　
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10. 已知 A （－2，0）， B （0，4），线段 AB 的垂直平分线为直线 l .
（1）求直线 l 的一般式方程；
解： 因为 A （－2，0）， B （0，4），所以线段 AB 的
中点坐标为（－1，2）， kAB ＝ ＝2.
又线段 AB 的垂直平分线为直线 l ，所以 kl ＝－ ＝－ ，
所以直线 l 的方程为 y －2＝－ （ x ＋1），即 x ＋2 y －3＝0.
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（2）若点 C 在直线 l 上，且｜ AC ｜＝ ，求点 C 坐标.
解： 设点 C 的坐标为（ a ， b ）.由题意有
所以点 C 的坐标为（1，1）或（－3，3）.
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11. 光线从点 A （－3，5）射到 x 轴上，经反射后经过点 B （2，
10），则光线从 A 到 B 经过的路程为（　　）
解析： 　点 A （－3，5）关于 x 轴的对称点为 A '（－3，－5），
则光线从 A 到 B 经过的路程为 A ' B 的长度，｜ A ' B ｜＝
＝5 .故选C.
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12. 若在直线 y ＝－2上有一点 P ，它到点 A （－3，1）和 B （5，－1）
的距离之和最小，则｜ PA ｜＋｜ PB ｜的最小值为（　　）
解析： 　点 A （－3，1）关于直线 y ＝－2的对称点为 A '（－3，
－5）.若直线 y ＝－2上有一点 P ，它到点 A （－3，1）和点 B
（5，－1）的距离之和最小，则 P 为直线 A ' B 与直线 y ＝－2的交
点，∴（｜ PA ｜＋｜ PB ｜）min＝｜ A ' B ｜＝
＝4 .故选C.
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［ ，
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解析：设 M （ x ，－ x － a ）.由｜ MA ｜＝2｜ MO ｜，得（ x －2）
2＋（－ x － a ）2＝4 x2＋4（－ x － a ）2，整理得6 x2＋（6 a ＋4） x
＋3 a2－4＝0.由Δ≥0得9 a2－12 a －28≤0，解得 ≤ a ≤
，故实数 a 的取值范围为［ ］.
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14. 在△ ABC 中， D 是 BC 边上的任意一点（ D 与 B ， C 不重合），
且｜ AB ｜2＝｜ AD ｜2＋｜ BD ｜｜ DC ｜.求证：△ ABC 为等腰三
角形.
证明：作 AO ⊥ BC ，垂足为 O ，以 BC 所在的直
线为 x 轴， OA 所在的直线为 y 轴，建立如图所示
的平面直角坐标系.
设 A （0， h ）， B （ b ，0）， C （ c ，0）， D
（ d ，0）.
因为｜ AB ｜2＝｜ AD ｜2＋｜ BD ｜｜ DC ｜，则由两点间距离公式得 b2＋ h2＝ d2＋ h2＋（ d － b ）·（ c － d ），整理得－（ d － b ）（ b ＋ d ）＝（ d － b ）（ c － d ）.
因为点 D 与点 B ， C 不重合，所以 d － b ≠0，
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所以－ b － d ＝ c － d ，即－ b ＝ c .
所以｜ OB ｜＝｜ OC ｜，于是｜ AB ｜＝｜
AC ｜，即△ ABC 为等腰三角形.
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15. （2024·金华月考）某同学在研究函数 f （ x ）＝ ＋｜ x －
1｜的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为 f
（ x ）＝ ＋ ，
求得 f （ x ）的最小值为 .
解析：由变形所得函数知： f （ x ）表示 x 轴上的动点（ x ，0）到两定点（0，1），（1，0）的距离之和，∴当且仅当（ x ，0）与（1，0）重合时， f （ x ）有最小值为 .
　
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16. 如图，梯形 ABCD 在平面直角坐标系中， AD ∥ BC ，∠ ADC ＝
90°，｜ AB ｜＝｜ DA ｜＋｜ CB ｜.腰 DC 在 x 轴上， O 是线段 DC
的中点，｜ BO ｜＝4，且∠ BOC ＝60°.求：
（1） A ， B ， C ， D 各点的坐标；
解： 如图所示，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ，
因为 AD ∥ BC ，∠ ADC ＝90°，
所以∠ BCD ＝90°，
又因为｜ BO ｜＝4，且∠ BOC ＝60°，
所以｜ OC ｜＝2，｜ BC ｜＝2 ，
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所以点 C 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为
（2，2 ）.
又因为 O 为线段 DC 的中点，
所以｜ DO ｜＝2，所以点 D 的坐标为（－2，0），
设点 A 的纵坐标为 y ，所以点 A 的坐标为（－2， y ）.
所以｜ AE ｜＝｜ DC ｜＝4，｜ EC ｜＝｜
AD ｜＝ y ，｜ BE ｜＝｜ BC ｜－｜ EC ｜＝2 － y .
因为｜ AB ｜＝｜ DA ｜＋｜ CB ｜＝ y ＋2 ，
且∠ BEA ＝90°，
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所以｜ AB ｜2＝｜ AE ｜2＋｜ BE ｜2，即（ y ＋2 ）2＝
42＋（2 － y ）2，解得 y ＝ ，所以点 A 的坐标为
（－2， ）.
（2）梯形 ABCD 的面积.
解： S梯形 ABCD ＝ ×（ ＋2 ）×4＝ .
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