资源简介

2.3.3　点到直线的距离公式
1.点P（1，－1）到直线x＝－2的距离是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.若第二象限内的点M（m，1）到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m＝（　　）
A.0 B.－4
C.－4或0 D.0或4
3.（2024·周口质检）若点P（2，1）到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的方程为（　　）
A.x＝0
B.3x＋4y＝0
C.x＝0或3x＋4y＝0
D.x＝0或3x－4y＝0
4.已知点M（1，2），点P（x，y）在直线2x＋y－1＝0上，则｜MP｜的最小值是（　　）
A. B.
C. D.3
5.（多选）已知直线l经过点（3，4），且点A（－2，2），B（4，－2）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（　　）
A.2x＋3y－18＝0 B.2x－y－2＝0
C.x＋2y＋2＝0 D.2x－3y＋6＝0
6.（多选）（2024·焦作月考）已知在△ABC中，A（3，2），B（－1，5），点C在直线3x－y＋3＝0上.若△ABC的面积为10，则点C的坐标可以为（　　）
A.（－1，0） B.（，8）
C.（1，6） D.（－，－2）
7.点P（0，－1）到直线＋＝1的距离为　　　　.
8.（2024·南阳月考）过点P（1，2）且与原点距离最大的直线方程为　　　　.
9.已知点（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到直线y＝x＋1的距离为　　　　.
10.已知△ABC三边所在直线的方程分别为lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0（m∈R，m≠30）.
（1）判断△ABC的形状；
（2）当BC边上的高为1时，求实数m的值.
11.直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点（5，1）到直线l的距离为，则直线l的方程是（　　）
A.3x＋y＋4＝0　　　 B.3x－y＋4＝0
C.3x－y－4＝0 D.x－3y－4＝0
12.已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为（　　）
A.　　 B.　　
C.　　 D.
13.（多选）（2024·中山质检）已知平面上一点M（5，0），若直线上存在点P使得｜PM｜＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（　　）
A.y＝x＋1 B.y＝2
C.y＝x D.y＝2x＋1
14.已知直线m：（a－1）x＋（2a＋3）y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
（1）当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
（2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系.
15.（2024·宁德月考）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是　　　　.
16.已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（m，），C（4，2），1＜m＜4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？
2.3.3　点到直线的距离公式
1.C　因为直线x＝－2平行于y轴，所以所求距离d＝｜－2－1｜＝3.
2.B　由＝，得m＝－4或m＝0，又∵m＜0，∴m＝－4.
3.C　由＝2，化简得4ab－3b2＝0，所以b＝0或4a＝3b，所以直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
4.B　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为｜MP｜的最小值，所以｜MP｜的最小值为＝.
5.AB　当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x－3），即kx－y＋4－3k＝0，由点A（－2，2），B（4，－2）到直线l的距离相等，得＝，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.故选A、B.
6.AB　设C（m，n），由｜AB｜＝5，△ABC的面积为10，得点C到边AB所在直线的距离为4.又线段AB所在直线的方程为y－5＝－（x＋1），即3x＋4y－17＝0.所以解得或故点C坐标为（－1，0）或（，8）.
7.5　解析：＋＝1化为一般式为12x＋5y－60＝0，所以点P到直线＋＝1的距离为＝5.
8.x＋2y－5＝0　解析：由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，∴所求直线方程为y－2＝－（x－1），即x＋2y－5＝0.
9.2　解析：∵点（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），∴解得即P（4，1），直线y＝x＋1的一般式方程为x－y＋1＝0.∴所求距离为d＝＝2.
10.解：（1）直线AB的斜率为kAB＝.直线AC的斜率为kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以直线AB与AC互相垂直，因此△ABC为直角三角形.
（2）由得即A点坐标为（2，6）.
由点到直线的距离公式，得点A到BC边的距离即BC边上的高为＝＝1，
即｜30－m｜＝5，解得m＝25或m＝35.
11.C　易解得直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点坐标为（2，2），设直线l的方程为y－2＝k（x－2），即kx－y－2k＋2＝0，因为点（5，1）到直线l的距离为，则d＝＝＝，解得k＝3，∴直线l的方程为y－2＝3（x－2），即3x－y－4＝0，故选C.
12.D　表示直线2x＋y＋5＝0上的动点到点（0，－3）的距离，过点（0，－3）向直线2x＋y＋5＝0作垂线，由垂线段最短知的最小值为点（0，－3）到直线2x＋y＋5＝0的距离，即＝，故选D.
13.BC　点M（5，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝3＞4，故A不符合题意；点M（5，0）到直线y＝2的距离d＝2＜4，故B符合题意；点M（5，0）到直线y＝x的距离d＝＝4，故C符合题意；点M（5，0）到直线y＝2x＋1的距离d＝＝＞4，故D不符合题意.故选B、C.
14.解：（1）联立解得
即m与n的交点为（－21，－9）.
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1，
将（－21，－9）代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
（2）设原点O到直线m的距离为d，
则d＝＝，
解得a＝－或a＝－，
当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n；
当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n.
15.4　解析：设P（x，x＋），x＞0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x＝，即x＝时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.
16.解：｜AC｜＝＝，直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0.
∵点B（m，）到直线AC的距离d＝，
∴△ABC的面积S＝｜AC｜·d＝｜m－3＋2｜＝（－）2－.
∵1＜m＜4，∴1＜＜2，
∴0＜≤，0＜S≤.
∴当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大.
1 / 22.3.3　点到直线的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程 逻辑推理、数学运算
2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用 数学运算、直观想象
在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
【问题】　怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　点到直线的距离
1.定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是　　　　.
2.图示：
3.公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的距离d＝　　　　　　.
【想一想】
　点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？
　　
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当点P（x0，y0）在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式就不适用了.（　　）
（2）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为.（　　）
（3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.（　　）
2.点（1，－1）到直线x－y＋1＝0的距离d＝（　　）
A. B.
C. D.
3.点P（3，－2）到直线x＝4的距离为　　　　.
题型一 点到直线的距离公式
【例1】　（2024·梅州质检）已知点P（3，－2），则：
（1）点P到直线y＝x＋的距离为　　　；
（2）点P到直线y＝6的距离为　　　　.
通性通法
点到直线距离的求法
（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可；
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜.
【跟踪训练】
1.原点到直线y＝－x＋的距离为（　　）
A.1　　　　　　　　　 B.
C.2 D.3
2.（2024·苏州月考）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为　　　　.
题型二 点到直线距离公式的应用
角度1　直线方程的确定
【例2】　已知直线l过原点O，且点A（1，0），B（3，2）到直线l的距离相等，则直线l的方程为（　　）
A.x－y＝0
B.x－2y＝0
C.x＋y＝0或x＋2y＝0
D.x－y＝0或x－2y＝0
通性通法
　　解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数，求解时需注意分类讨论，同时利用数形结合的思想.
角度2　点到直线距离的最值问题
【例3】　（1）已知点P（－2，3），若点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则｜PQ｜的最小值为（　　）
A.2　　　B. C.　　　D.
（2）当点P（3，2）到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，实数m＝　　　　.
通性通法
　　解答此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.
【跟踪训练】
1.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（－1，3），B（－3，0），C（1，2），则△ABC的面积S＝　　　　.
2.（2024·韶关月考）动点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则｜OP｜最小时点P的坐标为　　　　.
1.点P（1，－1）到直线l：3y＝2的距离是（　　）
A.3　　　 B.　　　
C.1　　　 D.
2.已知点（a，1）到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为（　　）
A.1 B.－1
C. D.±
3.（2024·河源月考）求过点P（1，2）且与点A（2，3），B（4，－5）的距离相等的直线l的方程.
2.3.3　点到直线的距离公式
【基础知识·重落实】
知识点
1.垂足　3.
想一想
　提示：仍然适用，但一般不用公式求解，而常用数形结合求点到直线的距离.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.A　由点到直线的距离公式可得d＝＝.
3.1　解析：因为直线x＝4平行于y轴，所以所求距离d＝｜4－3｜＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）　（2）8　解析：（1）把方程y＝x＋化为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得点P（3，－2）到直线y＝x＋的距离d＝＝.
（2）法一　把方程y＝6化为0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得所求距离d＝＝8.
法二　因为直线y＝6平行于x轴，所以所求距离d＝｜6－（－2）｜＝8.
跟踪训练
1.B　直线y＝－x＋，即x＋2y－5＝0，故原点到直线y＝－x＋的距离为＝.
2.（8，0）或（－12，0）　解析：设点P的坐标为（x，0），则＝6，解得x＝8或x＝－12.∴点P的坐标为（8，0）或（－12，0）.
【例2】　D　由题知直线l的斜率存在.∵直线l过原点O，∴可设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，∵A（1，0），B（3，2）两点到直线l的距离相等，∴＝，解得k＝1或k＝，故直线l的方程为x－y＝0或x－2y＝0.故选D.
【例3】　（1）B　（2）－1　解析：（1）由点P（－2，3），点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则｜PQ｜的最小值为点P到直线l的距离，∴｜PQ｜的最小值为d＝＝.故选B.
（2）直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m（x－2）.由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q（2，1）且斜率为m，结合图象（图略）可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1.
跟踪训练
1.4　解析：由两点间的距离公式得｜BC｜＝＝2，BC所在直线的方程为＝，即x－2y＋3＝0.点A到直线BC的距离d＝＝，所以△ABC的面积S＝｜BC｜·d＝×2×＝4.
2.（2，2）　解析：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，∴OP所在的直线方程为y＝x.由解得∴点P的坐标为（2，2）.
随堂检测
1.B　点P（1，－1）到直线l的距离d＝＝，故选B.
2.D　由题意知＝1，即｜a｜＝，∴a＝±.
3.解：显然所求直线的斜率存在，
设直线方程为y＝kx＋b，
根据条件得，
化简得或
所以或
所以所求直线l的方程为：y＝－4x＋6或y＝－x＋.
2 / 3(共55张PPT)
2.3.3　
点到直线的距离公式
新课程标准解读 核心素养
1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的
运算过程 逻辑推理、
数学运算
2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用 数学运算、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来，易
知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线 l ，仓
库看作点 P .
【问题】　怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　点到直线的距离
1. 定义：点 P 到直线 l 的距离，就是从点 P 到直线 l 的垂线段 PQ 的长
度，其中 Q 是 .
2. 图示：
垂足　

【想一想】
　点到直线的距离公式对于 A ＝0或 B ＝0时的直线是否仍然适用？
提示：仍然适用，但一般不用公式求解，而常用数形结合求点到直
线的距离.
　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当点 P （ x0， y0）在直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0上时，点到直线
的距离公式就不适用了. （　×　）
（2）点 P （ x0， y0）到直线 y ＝ kx ＋ b 的距离为 .
（　×　）
（3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.
（　√　）
×
×
√
2. 点（1，－1）到直线 x － y ＋1＝0的距离 d ＝（　　）
解析： 　由点到直线的距离公式可得 d ＝ ＝ .
3. 点 P （3，－2）到直线 x ＝4的距离为 .
解析：因为直线 x ＝4平行于 y 轴，所以所求距离 d ＝｜4－3｜＝1.
1　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 点到直线的距离公式
【例1】　（2024·梅州质检）已知点 P （3，－2），则：
（1）点 P 到直线 y ＝ x ＋ 的距离为 　 　；
解析： 把方程 y ＝ x ＋ 化为3 x －4 y ＋1＝0，由点到直线
的距离公式得点 P （3，－2）到直线 y ＝ x ＋ 的距离 d ＝
＝ .
　
（2）点 P 到直线 y ＝6的距离为 .
解析： 法一　把方程 y ＝6化为0· x ＋ y －6＝0，由点到直
线的距离公式得所求距离 d ＝ ＝8.
8　
法二　因为直线 y ＝6平行于 x 轴，所以所求距离 d ＝｜6－（－2）｜＝8.
通性通法
点到直线距离的求法
（1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接
应用点到直线的距离公式求解即可；
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线 x ＝ a 或 y ＝ b ，求点到它
们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d
＝｜ x0－ a ｜或 d ＝｜ y0－ b ｜.
【跟踪训练】
1. 原点到直线 y ＝－ x ＋ 的距离为（　　）
A. 1
C. 2 D. 3
解析： 　直线 y ＝－ x ＋ ，即 x ＋2 y －5＝0，故原点到直线 y ＝
－ x ＋ ＝ .
2. （2024·苏州月考）点 P 在 x 轴上，且到直线3 x －4 y ＋6＝0的距离为
6，则点 P 的坐标为 .
解析：设点 P 的坐标为（ x ，0），则 ＝6，解得 x ＝8
或 x ＝－12.∴点 P 的坐标为（8，0）或（－12，0）.
（8，0）或（－12，0）　
题型二 点到直线距离公式的应用
角度1　直线方程的确定
【例2】　已知直线 l 过原点 O ，且点 A （1，0）， B （3，2）到直线 l
的距离相等，则直线 l 的方程为（　　）
A. x － y ＝0
B. x －2 y ＝0
C. x ＋ y ＝0或 x ＋2 y ＝0
D. x － y ＝0或 x －2 y ＝0
解析： 　由题知直线 l 的斜率存在.∵直线 l 过原点 O ，∴可设直线 l
的方程为 y ＝ kx ，即 kx － y ＝0，∵ A （1，0）， B （3，2）两点到直
线 l 的距离相等，∴ ＝ ，解得 k ＝1或 k ＝ ，故直线 l
的方程为 x － y ＝0或 x －2 y ＝0.故选D.
通性通法
　　解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然
后由题意列方程求参数，求解时需注意分类讨论，同时利用数形结合
的思想.
角度2　点到直线距离的最值问题
【例3】　（1）已知点 P （－2，3），若点 Q 是直线 l ：3 x ＋4 y ＋3＝
0上的动点，则｜ PQ ｜的最小值为（　B　）
A. 2
解析： 由点 P （－2，3），点 Q 是直线 l ：3 x ＋4 y ＋3＝0上的动点，
则｜ PQ ｜的最小值为点 P 到直线 l 的距离，∴｜ PQ ｜的最小值为 d
＝ ＝ .故选B.
B
（2）当点 P （3，2）到直线 mx － y ＋1－2 m ＝0的距离最大时，实数
m ＝ .
解析：直线 mx － y ＋1－2 m ＝0可化为 y －1＝ m （ x －2）.由直
线点斜式方程可知直线恒过定点 Q （2，1）且斜率为 m ，结合
图象（图略）可知当 PQ 与直线 mx － y ＋1－2 m ＝0垂直时，点
到直线距离最大，此时 m · ＝－1，解得 m ＝－1.
－1　
通性通法
　　解答此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化
为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.
【跟踪训练】
1. 已知△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A （－1，3）， B （－3，0），
C （1，2），则△ ABC 的面积 S ＝ .
解析：由两点间的距离公式得｜ BC ｜＝
＝2 ， BC 所在直线的方程为 ＝ ，即 x －2 y ＋3＝0.点 A 到
直线 BC 的距离 d ＝ ＝ ，所以△ ABC 的面积 S ＝ ｜
BC ｜· d ＝ ×2 × ＝4.
4　
2. （2024·韶关月考）动点 P （ x ， y ）在直线 x ＋ y －4＝0上， O 为原
点，则｜ OP ｜最小时点 P 的坐标为 .
解析：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此
时 OP 垂直于已知直线，则 kOP ＝1，∴ OP 所在的直线方程为 y ＝ x .
由∴点 P 的坐标为（2，2）.
（2，2）　
1. 点 P （1，－1）到直线 l ：3 y ＝2的距离是（　　）
A. 3
C. 1
解析： 　点 P （1，－1）到直线 l 的距离 d ＝ ＝ ，故
选B.
2. 已知点（ a ，1）到直线 x － y ＋1＝0的距离为1，则 a 的值为
（　　）
A. 1 B. －1
解析： 　由题意知 ＝1，即｜ a ｜＝ ，∴ a ＝± .
3. （2024·河源月考）求过点 P （1，2）且与点 A （2，3）， B （4，
－5）的距离相等的直线 l 的方程.
解：显然所求直线的斜率存在，设直线方程为 y ＝ kx ＋ b ，
根据条件得，化简得
所以
所以所求直线 l 的方程为： y ＝－4 x ＋6或 y ＝－ x ＋ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 点 P （1，－1）到直线 x ＝－2的距离是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　因为直线 x ＝－2平行于 y 轴，所以所求距离 d ＝｜－2－
1｜＝3.
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 若第二象限内的点 M （ m ，1）到直线 x ＋ y ＋1＝0的距离为 ，
则 m ＝（　　）
A. 0 B. －4
C. －4或0 D. 0或4
解析： 　由 ＝ ，得 m ＝－4或 m ＝0，又∵ m ＜0，
∴ m ＝－4.
1
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3. （2024·周口质检）若点 P （2，1）到直线 l ： ax ＋ by ＝0的距离为
2，则直线 l 的方程为（　　）
A. x ＝0
B. 3 x ＋4 y ＝0
C. x ＝0或3 x ＋4 y ＝0
D. x ＝0或3 x －4 y ＝0
解析： 　由 ＝2，化简得4 ab －3 b2＝0，所以 b ＝0或4 a
＝3 b ，所以直线 l 的方程为 x ＝0或3 x ＋4 y ＝0.
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4. 已知点 M （1，2），点 P （ x ， y ）在直线2 x ＋ y －1＝0上，则｜
MP ｜的最小值是（　　）
解析： 　点 M 到直线2 x ＋ y －1＝0的距离，即为｜ MP ｜的最小
值，所以｜ MP ｜的最小值为 ＝ .
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5. （多选）已知直线 l 经过点（3，4），且点 A （－2，2）， B （4，
－2）到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程可能为（　　）
A. 2 x ＋3 y －18＝0 B. 2 x － y －2＝0
C. x ＋2 y ＋2＝0 D. 2 x －3 y ＋6＝0
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解析： 　当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足题意；当直线 l
的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y －4＝ k （ x －3），即 kx － y ＋4
－3 k ＝0，由点 A （－2，2）， B （4，－2）到直线 l 的距离相等，
得 ＝ ，解得 k ＝2或 k ＝－ ，所以直线
l 的方程为2 x － y －2＝0或2 x ＋3 y －18＝0.故选A、B.
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6. （多选）（2024·焦作月考）已知在△ ABC 中， A （3，2）， B （－
1，5），点 C 在直线3 x － y ＋3＝0上.若△ ABC 的面积为10，则点 C
的坐标可以为（　　）
A. （－1，0）
C. （1，6）
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解析： 　设 C （ m ， n ），由｜ AB ｜＝5，△ ABC 的面积为10，
得点 C 到边 AB 所在直线的距离为4.又线段 AB 所在直线的方程为 y
－5＝－ （ x ＋1），即3 x ＋4 y －17＝0.所以
故点 C 坐标为（－1，0）或（ ，8）.
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7. 点 P （0，－1）到直线 ＋ ＝1的距离为 .
解析： ＋ ＝1化为一般式为12 x ＋5 y －60＝0，所以点 P 到直线
＋ ＝1的距离为 ＝5.
5　
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8. （2024·南阳月考）过点 P （1，2）且与原点距离最大的直线方程
为 .
解析：由题意知，过点 P 且与 OP 垂直的直线到原点 O 的距离最
大，∵ kOP ＝2，∴所求直线方程为 y －2＝－ （ x －1），即 x ＋2 y
－5＝0.
x ＋2 y －5＝0　
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解析：∵点（ x ，5）关于点（1， y ）的对称点为（－2，－3），
∴即 P （4，1），直线 y ＝ x ＋1的一般
式方程为 x － y ＋1＝0.∴所求距离为 d ＝ ＝2 .
2 　
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10. 已知△ ABC 三边所在直线的方程分别为 lAB ：3 x －2 y ＋6＝0，
lAC ：2 x ＋3 y －22＝0， lBC ：3 x ＋4 y － m ＝0（ m ∈R， m ≠30）.
（1）判断△ ABC 的形状；
解： 直线 AB 的斜率为 kAB ＝ .直线 AC 的斜率为 kAC ＝
－ ，所以 kAB · kAC ＝－1，所以直线 AB 与 AC 互相垂直，因
此△ ABC 为直角三角形.
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（2）当 BC 边上的高为1时，求实数 m 的值.
解： 由即 A 点坐标为
（2，6）.
由点到直线的距离公式，得点 A 到 BC 边的距离即 BC 边上的
高为 ＝ ＝1，
即｜30－ m ｜＝5，解得 m ＝25或 m ＝35.
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11. 直线 l 经过两直线7 x ＋5 y －24＝0和 x － y ＝0的交点，且点（5，
1）到直线 l 的距离为 ，则直线 l 的方程是（　　）
A. 3 x ＋ y ＋4＝0 B. 3 x － y ＋4＝0
C. 3 x － y －4＝0 D. x －3 y －4＝0
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解析： 　易解得直线7 x ＋5 y －24＝0和 x － y ＝0的交点坐标为
（2，2），设直线 l 的方程为 y －2＝ k （ x －2），即 kx － y －2 k ＋
2＝0，因为点（5，1）到直线 l 的距离为 ，则 d ＝
＝ ＝ ，解得 k ＝3，∴直线 l 的方程为 y
－2＝3（ x －2），即3 x － y －4＝0，故选C.
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12. 已知实数 x ， y 满足2 x ＋ y ＋5＝0，那么 的最小
值为（　　）
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解析： 　 表示直线2 x ＋ y ＋5＝0上的动点到点
（0，－3）的距离，过点（0，－3）向直线2 x ＋ y ＋5＝0作垂
线，由垂线段最短知 的最小值为点（0，－3）
到直线2 x ＋ y ＋5＝0的距离，即 ＝ ，故选D.
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13. （多选）（2024·中山质检）已知平面上一点 M （5，0），若直线
上存在点 P 使得｜ PM ｜＝4，则称该直线为“切割型直线”，下
列直线中是“切割型直线”的是（　　）
A. y ＝ x ＋1 B. y ＝2
D. y ＝2 x ＋1
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解析： 　点 M （5，0）到直线 y ＝ x ＋1的距离 d ＝ ＝3 ＞
4，故A不符合题意；点 M （5，0）到直线 y ＝2的距离 d ＝2＜4，
故B符合题意；点 M （5，0）到直线 y ＝ x 的距离 d ＝
＝4，故C符合题意；点 M （5，0）到直线 y ＝2 x ＋1的距离 d ＝
＝ ＞4，故D不符合题意.故选B、C.
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14. 已知直线 m ：（ a －1） x ＋（2 a ＋3） y － a ＋6＝0， n ： x －2 y ＋
3＝0.
（1）当 a ＝0时，直线 l 过 m 与 n 的交点，且它在两坐标轴上的截
距相反，求直线 l 的方程；
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解： 联立
即 m 与 n 的交点为（－21，－9）.
当直线 l 过原点时，直线 l 的方程为3 x －7 y ＝0；
当直线 l 不过原点时，设 l 的方程为 ＋ ＝1，
将（－21，－9）代入得 b ＝－12，
所以直线 l 的方程为 x － y ＋12＝0，
故满足条件的直线 l 的方程为3 x －7 y ＝0或 x － y ＋12＝0.
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（2）若坐标原点 O 到直线 m 的距离为 ，判断 m 与 n 的位置
关系.
解： 设原点 O 到直线 m 的距离为 d ，
则 d ＝ ＝ ，
解得 a ＝－ 或 a ＝－ ，
当 a ＝－ 时，直线 m 的方程为 x －2 y －5＝0，此时 m ∥ n ；
当 a ＝－ 时，直线 m 的方程为2 x ＋ y －5＝0，此时 m ⊥ n .
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15. （2024·宁德月考）在平面直角坐标系 xOy 中， P 是曲线 y ＝ x ＋
（ x ＞0）上的一个动点，则点 P 到直线 x ＋ y ＝0的距离的最小值
是 .
解析：设 P （ x ， x ＋ ）， x ＞0，则点 P 到直线 x ＋ y ＝0的距离 d
＝ ＝ ≥ ＝4，当且仅当2 x ＝ ，即 x ＝
时取等号，故点 P 到直线 x ＋ y ＝0的距离的最小值是4.
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16. 已知△ ABC 的顶点坐标为 A （1，1）， B （ m ， ）， C （4，
2），1＜ m ＜4.当 m 为何值时，△ ABC 的面积 S 最大？
解：｜ AC ｜＝ ＝ ，直线 AC 的方程
为 ＝ ，即 x －3 y ＋2＝0.
∵点 B （ m ， ）到直线 AC 的距离 d ＝ ，
∴△ ABC 的面积 S ＝ ｜ AC ｜· d ＝ ｜ m －3 ＋2｜＝ （ －
）2－ .
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∵1＜ m ＜4，∴1＜ ＜2，
∴0＜ ≤ ，0＜ S ≤ .
∴当 ＝ ，即 m ＝ 时，△ ABC 的面积 S 最大.
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