资源简介

2.3.4　两条平行直线间的距离
1.两条平行直线3x－4y－2＝0与3x－4y＋3＝0之间的距离为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.（2024·温州月考）两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则（　　）
A.a＝6，d＝ B.a＝－6，d＝
C.a＝－6，d＝ D.a＝6，d＝
3.若直线l1：2x－ay＋1＝0与l2：（a－1）x－y－1＝0平行，则l1与l2之间的距离为（　　）
A. B.
C. D.
4.（2024·扬州月考）若直线2x＋y－3＝0与直线4x＋2y＋a＝0之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－∞，4] B.[－16，4]
C.[－4，16] D.[4，16]
5.（多选）到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程可能为（　　）
A.2x＋y－1＝0 B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y＝0 D.2x＋y＋2＝0
6.（多选）若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n＝（　　）
A.3 B.－17
C.－3 D.17
7.若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为，则C＝　　　　.
8.已知直线l过点A（－1，3），直线l上任意一点到直线x－2y＋3＝0的距离都相等，则直线l的方程为　　　　.
9.（2024·南平月考）垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P（－1，0）的距离为的直线方程为　　　　.
10.已知直线l1：2x＋y＋2＝0；l2：mx＋4y＋n＝0.
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1∥l2，且它们间的距离为，求m，n的值.
11.已知两平行直线l1，l2分别过点P（－1，3），Q（2，－1），它们分别绕点P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是（　　）
A.（0，＋∞） B.[0，5]
C.（0，5] D.[0，]
12.已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为（　　）
A. B.
C.1 D.
13.若直线m被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角为　　　　.
14.（2024·惠州月考）如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程.
15.（2024·龙岩月考）设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（　　）
A.， B.，
C.， D.，
16.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0（a＞0），l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1与l2之间的距离是.
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由.
2.3.4　两条平行直线间的距离
1.A　由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝1.
2.D　根据两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0，可得＝≠.可得a＝6.可得两条平行直线为6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，故它们间的距离d＝＝.
3.C　因为直线l1：2x－ay＋1＝0与l2：（a－1）x－y－1＝0平行，所以2×（－1）＝－a×（a－1），解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，l1：2x＋y＋1＝0与l2：－2x－y－1＝0重合，故舍去；当a＝2时，l1：2x－2y＋1＝0与l2：2x－2y－2＝0之间的距离d＝＝.故选C.
4.B　直线2x＋y－3＝0化为4x＋2y－6＝0，则两直线之间的距离d＝≤，即｜a＋6｜≤10，解得－16≤a≤4，所以实数a的取值范围为[－16，4]，故选B.
5.CD　因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x＋y＋c＝0（c≠1），则d＝＝，解得c＝0或c＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
6.AB　由题意，n≠0，－＝，所以n＝－4，所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，由两平行直线间的距离公式得＝2，解得m＝7或m＝－13，所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
7.11或－15　解析：两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0，可得A＝3，即两直线方程分别为6x－4y－2＝0，6x－4y＋C＝0，两平行直线间的距离为，可得＝，解得C＝11或－15.
8.x－2y＋7＝0　解析：由题意知，直线l与x－2y＋3＝0平行，设直线l的方程为x－2y＋a＝0，将A（－1，3）代入可得a＝7，故直线l的方程为x－2y＋7＝0.
9.3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
解析：设所求直线方程为3x－y＋c＝0，由题意，可得点P到直线的距离等于，即d＝＝，解得c＝9或c＝－3，所以所求直线方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
10.解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝－2，k2＝－.
（1）若l1⊥l2，则k1k2＝＝－1，所以m＝－2.
（2）若l1∥l2，则－2＝－.所以m＝8.
所以直线l2的方程可以化简为2x＋y＋＝0，
所以直线l1与l2间的距离为＝，
所以n＝28或n＝－12.
11.C　当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，所以0＜d≤5.
12.C　（m，n）为直线3x＋4y＝6上的动点，（a，b）为直线3x＋4y＝1上的动点，可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离d＝＝1.故选C.
13.15°或75°　解析：记直线m的倾斜角为θ.由题意知直线l1，l2间的距离等于＝.又直线m被直线l1，l2所截得的线段的长是2，因此直线m与直线l1的夹角的正弦值等于＝，所以直线m与直线l1的夹角是30°，又直线l1的倾斜角是45°，所以θ＝15°或θ＝75°.
14.解：设l2的方程为x＋y－b＝0（b＞1），
则A（1，0），D（0，1），B（b，0），C（0，b）.
∴｜AD｜＝，｜BC｜＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b＞1，∴b＝3.
从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.
15.C　由已知得两条直线间的距离是d＝，因为a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个根，所以a＋b＝－1，ab＝c，则｜a－b｜＝＝，因为0≤c≤，所以≤≤，即≤d≤.故选C.
16.解：（1）l2可化为2x－y－＝0，
∴l1与l2的距离d＝＝，
∴｜a－（－）｜＝.∵a＞0，∴a＝3.
（2）设点P（x0，y0），若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l'：2x－y＋C＝0上，且＝×，即C＝或C＝.
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有
＝·，
即｜2x0－y0＋3｜＝｜x0＋y0－1｜.
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不合题意，舍去.
由解得不合题意，舍去.
由解得
即点P（，）同时满足三个条件.
2 / 22.3.4　两条平行直线间的距离
新课程标准解读 核心素养
1.理解两条平行直线间的距离公式的推导 逻辑推理、直观想象
2.会求两条平行直线间的距离 数学运算
　　当今城市，一座座高楼大厦拔地而起，道路两旁树木茂盛、花朵五颜六色、灯火辉煌，一盏盏路灯就像两条平行的彩虹线.
【问题】　如何准确测量两盏路灯间的距离？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　两条平行直线间的距离
1.定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的　　　　　的长.
2.图示：
3.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（A，B不同时为0，C1≠C2）之间的距离d＝　　　　　.
提醒　使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式；二是两直线方程中x，y的系数分别相同.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离.（　　）
（2）若直线l1：x＋y－1＝0上有A（1，0），B（0，1），C（－1，2）三点，则点A，B，C到直线l2：x＋y＋1＝0的距离相等.（　　）
（3）已知直线l1：x＝x1，l2：2x＝x2，则直线l1，l2间的距离为｜x2－x1｜.（　　）
2.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为（　　）
A.1　　　　　　　　　　 B.
C. D.2
3.（2024·云浮月考）已知两平行直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋m＝0间的距离为，则m＝（　　）
A.0或－10 B.0或－20
C.15或－25 D.0
　题型一 两平行直线间的距离
【例1】　（1）（2024·莆田月考）两平行直线l1：x－2y－＝0，l2：4y－2x－3＝0之间的距离为（　　）
A. B.3
C. D.2
（2）已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离为　　　　.
通性通法
求两平行直线间的距离的方法
（1）转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算；
（2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中x，y的系数对应相等.
【跟踪训练】
1.直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为（　　）
A. B.
C. D.24
2.（2024·绍兴月考）已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则｜c1－c2｜＝（　　）
A. B.
C. D.6
题型二 平行线间距离公式的应用
角度1　直线方程的确定
【例2】　（多选）已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为（　　）
A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0
通性通法
　　解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由两条平行直线间的距离求参数，从而确定直线方程.
角度2　平行直线间距离的最值问题
【例3】　（2024·丽水月考）已知直线l1经过点P（0，1），直线l2经过点Q（5，0），且l1∥l2.
（1）求l1与l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程；
（2）若l1与l2间的距离为5，求两直线的方程.
通性通法
　　解决两平行直线间距离的最值问题要深刻理解题目条件所表示的几何意义，将“数”转化为“形”，利用图形的直观性或两平行直线特有的性质加以解决.
【跟踪训练】
1.已知直线l与直线l1：3x－y＋3＝0和l2：3x－y－1＝0的距离相等，则直线l的方程是（　　）
A.3x－y＋2＝0 B.3x－y－2＝0
C.3x－y－3＝0 D.3x－y＋1＝0
2.P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则｜PQ｜的最小值为　　　　.
1.两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是（　　）
A.　　　 B.　　　
C.2　　　 D.1
2.（2024·舟山月考）两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为（　　）
A. B.
C. D.
3.分别过点A（－2，1）和点B（3，－5）的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是　　　　.
4.求与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程.
2.3.4　两条平行直线间的距离
【基础知识·重落实】
知识点
1.公垂线段　3.
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×
2.B　由题意知l1∥l2，则l1，l2之间的距离为＝.
3.B　∵2x＋4y＋m＝0可化为x＋2y＋＝0，∴两平行直线间的距离为＝＝，解得m＝0或m＝－20.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）A　（2）1　解析：（1）直线l1：x－2y－＝0 l1：2x－4y－2＝0，直线l2：4y－2x－3＝0 2x－4y＋3＝0，两平行直线之间的距离d＝＝.故选A.
（2）由两条直线平行可得＝，解得m＝24.则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1.
跟踪训练
1.B　两直线变形为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，则两直线间的距离d＝＝＝.故选B.
2.D　直线3x＋2y＋1＝0与3x＋2y＋4＝0间的距离d1＝＝，直线4x－6y＋c1＝0与4x－6y＋c2＝0间的距离d2＝＝｜c1－c2｜.又由正方形可知d1＝d2，即＝｜c1－c2｜，则｜c1－c2｜＝6，故选D.
【例2】　BD　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和到直线l2的距离分别为d1，d2.则d1＝，d2＝.因为＝，所以＝，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝5或m＝－，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选B、D.
【例3】　解：（1）连接PQ（图略），则当直线l1，l2均与直线PQ垂直时，l1与l2之间的距离最大.
因为直线PQ的斜率为＝－，所以此时直线l1与l2的斜率均为5，l1与l2之间的最大距离为＝，直线l1的方程为y＝5x＋1，
即5x－y＋1＝0，直线l2的方程为y＝5（x－5），即5x－y－25＝0.
（2）①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k，则l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，l2的方程为y＝k（x－5），即kx－y－5k＝0.由题意得＝5，解得k＝，所以直线l1的方程为y＝x＋1，即12x－5y＋5＝0，直线l2的方程为y＝（x－5），即12x－5y－60＝0.
②若l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，符合题意.综上所述，两直线的方程为l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5.
跟踪训练
1.D　设直线l的方程为3x－y＋c＝0.因为直线l与直线l1：3x－y＋3＝0和l2：3x－y－1＝0的距离相等，所以＝，解得c＝1，所以直线l的方程为3x－y＋1＝0.
2.3　解析：6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0，则两直线平行，｜PQ｜的最小值即为两平行线之间的距离，故｜PQ｜min＝＝＝3.
随堂检测
1.A　2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋＝0，由两平行直线间的距离公式，得d＝＝.
2.C　直线3x＋4y－12＝0即直线6x＋8y－24＝0，由题意知，a＝6，故两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为＝.
3.5　解析：两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝｜－2－3｜＝5.
4.解：易知l1∥l2，且它们之间的距离d＝＝.
设所求直线为l4，则l4∥l3，
所以可设l4：x＋y＋c＝0，则＝，
解得c＝0或－10，
所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
2 / 3(共55张PPT)
2.3.4　
两条平行直线间的距离
新课程标准解读 核心素养
1.理解两条平行直线间的距离公式的
推导 逻辑推理、
直观想象
2.会求两条平行直线间的距离 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　当今城市，一座座高楼大厦拔地而起，道路两旁树木茂盛、花朵
五颜六色、灯火辉煌，一盏盏路灯就像两条平行的彩虹线.
【问题】　如何准确测量两盏路灯间的距离？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　两条平行直线间的距离
1. 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的
的长.
2. 图示：
公垂
线段　
3. 公式：两条平行直线 l1： Ax ＋ By ＋ C1＝0与 l2： Ax ＋ By ＋ C2＝0
（ A ， B 不同时为0， C1≠ C2）之间的距离 d ＝ .
提醒　使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为
一般式；二是两直线方程中 x ， y 的系数分别相同.
　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离.
（　×　）
（2）若直线 l1： x ＋ y －1＝0上有 A （1，0）， B （0，1）， C （－
1，2）三点，则点 A ， B ， C 到直线 l2： x ＋ y ＋1＝0的距离相
等. （　√　）
（3）已知直线 l1： x ＝ x1， l2：2 x ＝ x2，则直线 l1， l2间的距离为｜
x2－ x1｜. （　×　）
×
√
×
2. 已知直线 l1： x ＋ y ＋1＝0， l2： x ＋ y －1＝0，则 l1， l2之间的距离
为（　B　）
A. 1
D. 2
解析：　由题意知 l1∥ l2，则 l1， l2之间的距离为 ＝ .
3. （2024·云浮月考）已知两平行直线 x ＋2 y －5＝0与2 x ＋4 y ＋ m ＝0
间的距离为 ，则 m ＝（　　）
A. 0或－10 B. 0或－20
C. 15或－25 D. 0
解析： 　∵2 x ＋4 y ＋ m ＝0可化为 x ＋2 y ＋ ＝0，∴两平行直线
间的距离为 ＝ ＝ ，解得 m ＝0或 m ＝－20.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
【例1】　（1）（2024·莆田月考）两平行直线 l1： x －2 y － ＝
0， l2：4 y －2 x －3 ＝0之间的距离为（　A　）
B. 3
解析： 直线 l1： x －2 y － ＝0 l1：2 x －4 y －2 ＝
0，直线 l2：4 y －2 x －3 ＝0 2 x －4 y ＋3 ＝0，两平行
直线之间的距离 d ＝ ＝ .故选A.
A
题型一 两平行直线间的距离
（2）已知直线5 x ＋12 y －3＝0与直线10 x ＋ my ＋20＝0平行，则它们
之间的距离为 .
解析： 由两条直线平行可得 ＝ ，解得 m ＝24.则直线
10 x ＋24 y ＋20＝0，即5 x ＋12 y ＋10＝0，由两条平行直线间的
距离公式得 d ＝ ＝1.
1　
通性通法
求两平行直线间的距离的方法
（1）转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点
到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，
常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算；
（2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中 x ， y 的系
数对应相等.
【跟踪训练】
1. 直线 － ＝1与 y ＝ x ＋1之间的距离为（　　）
D. 24
解析： 　两直线变形为3 x －2 y －12＝0与3 x －2 y ＋2＝0，则两直
线间的距离 d ＝ ＝ ＝ .故选B.
2. （2024·绍兴月考）已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3
x ＋2 y ＋1＝0和3 x ＋2 y ＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为
4 x －6 y ＋ c1＝0和4 x －6 y ＋ c2＝0，则｜ c1－ c2｜＝（　　）
D. 6
解析： 　直线3 x ＋2 y ＋1＝0与3 x ＋2 y ＋4＝0间的距离 d1＝
＝ ，直线4 x －6 y ＋ c1＝0与4 x －6 y ＋ c2＝0间的距离 d2
＝ ＝ ｜ c1－ c2｜.又由正方形可知 d1＝ d2，即 ＝
｜ c1－ c2｜，则｜ c1－ c2｜＝6，故选D.
题型二 平行线间距离公式的应用
角度1　直线方程的确定
【例2】　（多选）已知直线 l1：2 x ＋3 y －1＝0和 l2：4 x ＋6 y －9＝
0，若直线 l 到直线 l1的距离与到直线 l2的距离之比为1∶2，则直线 l 的
方程为（　　）
A. 2 x ＋3 y －8＝0 B. 4 x ＋6 y ＋5＝0
C. 6 x ＋9 y －10＝0 D. 12 x ＋18 y －13＝0
解析： 　设直线 l ：4 x ＋6 y ＋ m ＝0， m ≠－2且 m ≠－9，直线 l 到
直线 l1和到直线 l2的距离分别为 d1， d2.则 d1＝ ， d2＝
.因为 ＝ ＝ ，即2｜ m ＋2｜＝｜
m ＋9｜，解得 m ＝5或 m ＝－ ，所以直线 l 的方程为4 x ＋6 y ＋5＝0
或12 x ＋18 y －13＝0.故选B、D.
通性通法
　　解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然
后由两条平行直线间的距离求参数，从而确定直线方程.
角度2　平行直线间距离的最值问题
【例3】　（2024·丽水月考）已知直线 l1经过点 P （0，1），直线 l2经
过点 Q （5，0），且 l1∥ l2.
（1）求 l1与 l2之间的最大距离，并求此时两直线的方程；
解： 连接 PQ （图略），则当直线 l1， l2均与直线 PQ 垂直
时， l1与 l2之间的距离最大.
因为直线 PQ 的斜率为 ＝－ ，所以此时直线 l1与 l2的斜率均
为5， l1与 l2之间的最大距离为 ＝
，直线 l1的方程为 y ＝5 x ＋1，
即5 x － y ＋1＝0，直线 l2的方程为 y ＝5（ x －5），即5 x － y －
25＝0.
（2）若 l1与 l2间的距离为5，求两直线的方程.
解： ①若 l1， l2的斜率都存在，设其斜率为 k ，则 l1的方程
为 y ＝ kx ＋1，即 kx － y ＋1＝0， l2的方程为 y ＝ k （ x －5），即
kx － y －5 k ＝0.由题意得 ＝5，解得 k ＝ ，所以直线 l1
的方程为 y ＝ x ＋1，即12 x －5 y ＋5＝0，直线 l2的方程为 y ＝
（ x －5），即12 x －5 y －60＝0.
②若 l1， l2的斜率都不存在，则 l1的方程为 x ＝0， l2的方程为 x ＝5，
它们之间的距离为5，符合题意.综上所述，两直线的方程为 l1：12 x －
5 y ＋5＝0， l2：12 x －5 y －60＝0或 l1： x ＝0， l2： x ＝5.
通性通法
　　解决两平行直线间距离的最值问题要深刻理解题目条件所表示的
几何意义，将“数”转化为“形”，利用图形的直观性或两平行直线
特有的性质加以解决.
【跟踪训练】
1. 已知直线 l 与直线 l1：3 x － y ＋3＝0和 l2：3 x － y －1＝0的距离相
等，则直线 l 的方程是（　　）
A. 3 x － y ＋2＝0 B. 3 x － y －2＝0
C. 3 x － y －3＝0 D. 3 x － y ＋1＝0
解析： 　设直线 l 的方程为3 x － y ＋ c ＝0.因为直线 l 与直线 l1：3 x
－ y ＋3＝0和 l2：3 x － y －1＝0的距离相等，所以 ＝
，解得 c ＝1，所以直线 l 的方程为3 x － y ＋1＝0.
2. P ， Q 分别为直线3 x ＋4 y －12＝0与6 x ＋8 y ＋6＝0上任一点，则｜
PQ ｜的最小值为 .
解析：6 x ＋8 y ＋6＝0可化为3 x ＋4 y ＋3＝0，则两直线平行，｜
PQ ｜的最小值即为两平行线之间的距离，故｜ PQ ｜min＝
＝ ＝3.
3　
1. 两平行直线 x ＋ y －1＝0与2 x ＋2 y ＋1＝0之间的距离是（　　）
C. 2 D. 1
解析： 　2 x ＋2 y ＋1＝0可化为 x ＋ y ＋ ＝0，由两平行直线间的
距离公式，得 d ＝ ＝ .
2. （2024·舟山月考）两条平行直线3 x ＋4 y －12＝0与 ax ＋8 y ＋11＝0
间的距离为（　　）
解析： 　直线3 x ＋4 y －12＝0即直线6 x ＋8 y －24＝0，由题意
知， a ＝6，故两条平行直线3 x ＋4 y －12＝0与 ax ＋8 y ＋11＝0间的
距离为 ＝ .
3. 分别过点 A （－2，1）和点 B （3，－5）的两条直线均垂直于 x
轴，则这两条直线间的距离是 .
解析：两直线方程分别是 x ＝－2和 x ＝3，故两条直线间的距离 d
＝｜－2－3｜＝5.
5　
4. 求与三条直线 l1： x － y ＋2＝0， l2： x － y －3＝0， l3： x ＋ y －5＝
0可围成正方形的直线方程.
解：易知 l1∥ l2，且它们之间的距离 d ＝ ＝ .
设所求直线为 l4，则 l4∥ l3，
所以可设 l4： x ＋ y ＋ c ＝0，则 ＝ ，
解得 c ＝0或－10，
所以所求直线方程为 x ＋ y ＝0或 x ＋ y －10＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 两条平行直线3 x －4 y －2＝0与3 x －4 y ＋3＝0之间的距离为
（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析： 　由两条平行直线间的距离公式，得 d ＝ ＝1.
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2. （2024·温州月考）两条平行直线2 x － y ＋3＝0和 ax －3 y ＋4＝0间
的距离为 d ，则（　　）
解析： 　根据两条平行直线2 x － y ＋3＝0和 ax －3 y ＋4＝0，可得
＝ ≠ .可得 a ＝6.可得两条平行直线为6 x －3 y ＋9＝0和6 x －3 y
＋4＝0，故它们间的距离 d ＝ ＝ .
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3. 若直线 l1：2 x － ay ＋1＝0与 l2：（ a －1） x － y －1＝0平行，则 l1与
l2之间的距离为（　　）
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解析： 因为直线 l1：2 x － ay ＋1＝0与 l2：（ a －1） x － y －1＝0
平行，所以2×（－1）＝－ a ×（ a －1），解得 a ＝－1或 a ＝2.当 a
＝－1时， l1：2 x ＋ y ＋1＝0与 l2：－2 x － y －1＝0重合，故舍去；
当 a ＝2时， l1：2 x －2 y ＋1＝0与 l2：2 x －2 y －2＝0之间的距离 d ＝
＝ .故选C.
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4. （2024·扬州月考）若直线2 x ＋ y －3＝0与直线4 x ＋2 y ＋ a ＝0之间
的距离不大于 ，则实数 a 的取值范围为（　　）
A. （－∞，4] B. [－16，4]
C. [－4，16] D. [4，16]
解析： 　直线2 x ＋ y －3＝0化为4 x ＋2 y －6＝0，则两直线之间的
距离 d ＝ ≤ ，即｜ a ＋6｜≤10，解得－16≤ a ≤4，所
以实数 a 的取值范围为[－16，4]，故选B.
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5. （多选）到直线2 x ＋ y ＋1＝0的距离等于 的直线方程可能为
（　　）
A. 2 x ＋ y －1＝0 B. 2 x ＋ y －2＝0
C. 2 x ＋ y ＝0 D. 2 x ＋ y ＋2＝0
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解析： 因为所求直线与直线2 x ＋ y ＋1＝0的距离为 ，所以
可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2 x ＋ y ＋ c ＝0
（ c ≠1），则 d ＝ ＝ ，解得 c ＝0或 c ＝2，故所求直线方
程为2 x ＋ y ＝0或2 x ＋ y ＋2＝0.
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6. （多选）若两条平行直线 l1： x －2 y ＋ m ＝0与 l2：2 x ＋ ny －6＝0之
间的距离是2 ，则 m ＋ n ＝（　　）
A. 3 B. －17
C. －3 D. 17
解析： 　由题意， n ≠0，－ ＝ ，所以 n ＝－4，所以 l2：2 x －
4 y －6＝0，即 x －2 y －3＝0，由两平行直线间的距离公式得
＝2 ，解得 m ＝7或 m ＝－13，所以 m ＋ n ＝3或 m ＋ n
＝－17.
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7. 若两条平行直线 Ax －2 y －1＝0与6 x －4 y ＋ C ＝0之间的距离为
，则 C ＝ .
解析：两条平行直线 Ax －2 y －1＝0与6 x －4 y ＋ C ＝0，可得 A ＝
3，即两直线方程分别为6 x －4 y －2＝0，6 x －4 y ＋ C ＝0，两平行
直线间的距离为 ＝ ，解得 C ＝11或－15.
11或－15　
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8. 已知直线 l 过点 A （－1，3），直线 l 上任意一点到直线 x －2 y ＋3
＝0的距离都相等，则直线 l 的方程为 .
解析：由题意知，直线 l 与 x －2 y ＋3＝0平行，设直线 l 的方程为 x
－2 y ＋ a ＝0，将 A （－1，3）代入可得 a ＝7，故直线 l 的方程为 x
－2 y ＋7＝0.
x －2 y ＋7＝0　
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9. （2024·南平月考）垂直于直线 x ＋3 y －5＝0且与点 P （－1，0）的
距离为 的直线方程为 .
解析：设所求直线方程为3 x － y ＋ c ＝0，由题意，可得点 P 到直线
的距离等于 ，即 d ＝ ＝ ，解得 c ＝9或 c ＝－3，所
以所求直线方程为3 x － y ＋9＝0或3 x － y －3＝0.
3 x － y ＋9＝0或3 x － y －3＝0　
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10. 已知直线 l1：2 x ＋ y ＋2＝0； l2： mx ＋4 y ＋ n ＝0.
（1）若 l1⊥ l2，求 m 的值；
（1）若 l1⊥ l2，则 k1 k2＝ ＝－1，所以 m ＝－2.
解：设直线 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1＝－2， k2＝－
.
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解：若 l1∥ l2，则－2＝－ .所以 m ＝8.
所以直线 l2的方程可以化简为2 x ＋ y ＋ ＝0，
所以直线 l1与 l2间的距离为 ＝ ，
所以 n ＝28或 n ＝－12.
（2）若 l1∥ l2，且它们间的距离为 ，求 m ， n 的值.
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11. 已知两平行直线 l1， l2分别过点 P （－1，3）， Q （2，－1），它
们分别绕点 P ， Q 旋转，但始终保持平行，则 l1， l2之间的距离的
取值范围是（　　）
A. （0，＋∞） B. [0，5]
C. （0，5]
解析： 　当直线 l1， l2与直线 PQ 垂直时，它们之间的距离 d 达到
最大，此时 d ＝ ＝5，所以0＜ d ≤5.
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12. 已知 m ， n ， a ， b ∈R，且满足3 m ＋4 n ＝6，3 a ＋4 b ＝1，则
的最小值为（　　）
C. 1
解析： 　（ m ， n ）为直线3 x ＋4 y ＝6上的动点，（ a ， b ）为直
线3 x ＋4 y ＝1上的动点， 可理解为两动
点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离 d ＝
＝1.故选C.
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13. 若直线 m 被两平行直线 l1： x － y ＋1＝0与 l2： x － y ＋3＝0所截得
的线段的长为2 ，则直线 m 的倾斜角为 .
解析：记直线 m 的倾斜角为θ.由题意知直线 l1， l2间的距离等于
＝ .又直线 m 被直线 l1， l2所截得的线段的长是2 ，因此直线
m 与直线 l1的夹角的正弦值等于 ＝ ，所以直线 m 与直线 l1的夹
角是30°，又直线 l1的倾斜角是45°，所以θ＝15°或θ＝75°.
15°或75°　
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14. （2024·惠州月考）如图，已知直线 l1： x ＋ y －1＝0，现将直线 l1
向上平移到直线 l2的位置，若 l2， l1和坐标轴围成的梯形面积为4，
求 l2的方程.
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解：设 l2的方程为 x ＋ y － b ＝0（ b ＞1），
则 A （1，0）， D （0，1）， B （ b ，0）， C （0， b ）.
∴｜ AD ｜＝ ，｜ BC ｜＝ b .
梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2的距离，
故 h ＝ ＝ ＝ ，
由梯形的面积公式得 × ＝4，
∴ b2＝9， b ＝±3.
又 b ＞1，∴ b ＝3.
从而得直线 l2的方程是 x ＋ y －3＝0.
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15. （2024·龙岩月考）设两条直线的方程分别为 x ＋ y ＋ a ＝0， x ＋ y
＋ b ＝0，已知 a ， b 是方程 x2＋ x ＋ c ＝0的两个实根，且0≤ c ≤
，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（　　）
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解析： 　由已知得两条直线间的距离是 d ＝ ，因为 a ， b
是方程 x2＋ x ＋ c ＝0的两个根，所以 a ＋ b ＝－1， ab ＝ c ，则｜ a
－ b ｜＝ ＝ ，因为0≤ c ≤ ≤
≤ ≤ d ≤ .故选C.
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16. 已知三条直线： l1：2 x － y ＋ a ＝0（ a ＞0）， l2：－4 x ＋2 y ＋1＝
0， l3： x ＋ y －1＝0，且 l1与 l2之间的距离是 .
（1）求 a 的值；
解： l2可化为2 x － y － ＝0，
∴ l1与 l2的距离 d ＝ ＝ ，
∴｜ a －（－ ）｜＝ .∵ a ＞0，∴ a ＝3.
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（2）能否找到一点 P ，使得 P 点同时满足下列三个条件：① P 是
第一象限的点；② P 点到 l1的距离是 P 点到 l2的距离的 ；③
P 点到 l1的距离与 P 点到 l3的距离之比是 ∶ ？若能，求
P 点坐标；若不能，请说明理由.
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解： 设点 P （ x0， y0），若点 P 满足条件②，则点 P 在
与 l1， l2平行的直线l'：2 x － y ＋ C ＝0上，且 ＝ ×
，即 C ＝ 或 C ＝ .
∴2 x0－ y0＋ ＝0或2 x0－ y0＋ ＝0.
若点 P 满足条件③，由点到直线的距离公式有
＝ · ，
即｜2 x0－ y0＋3｜＝｜ x0＋ y0－1｜.
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∴ x0－2 y0＋4＝0或3 x0＋2＝0.
∵点 P 在第一象限，∴3 x0＋2＝0不合题意，舍去.
由不合题意，舍去.
由
即点 P （ ）同时满足三个条件.
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谢 谢 观 看！

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