资源简介

2.4.1　圆的标准方程
1.（2024·郑州月考）点（sin 30°，cos 30°）与圆x2＋y2＝的位置关系是（　　）
A.点在圆上 B.点在圆内
C.点在圆外 D.不能确定
2.方程（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0）表示的圆（　　）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x－y＝0对称
D.关于直线x＋y＝0对称
3.若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的值为（　　）
A.－1 B.1
C.0 D.2
4.（2024·莱芜月考）圆心为（1，2），且过点（0，0）的圆的标准方程为（　　）
A.（x＋1）2＋（y＋2）2＝
B.x2＋y2＝5
C.（x－1）2＋（y－2）2＝5
D.x2＋y2＝
5.（多选）以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为（　　）
A.x2＋（y－4）2＝20
B.（x－4）2＋y2＝20
C.x2＋（y－2）2＝20
D.（x－2）2＋y2＝20
6.（多选）（2024·东莞月考）已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心C在直线y＝0上，则（　　）
A.点M1（2，3）在圆内 B.点M1（2，3）在圆外
C.点M2（2，4）在圆内 D.点M2（2，4）在圆外
7.若点P（5a＋1，12a）在圆（x－1）2＋y2＝1的外部，则实数a的取值范围为　　　　.
8.写出符合条件：圆心在直线y＝x＋1上，且与x轴相切的一个圆的标准方程为　　　　.
9.设点P（x，y）为圆（x－2）2＋（y－1）2＝1上任一点，点A（－1，5），则｜AP｜的最小值是　　　　.
10.（2024·洛阳月考）已知A（3，5），B（－1，3），C（－3，1）为△ABC的三个顶点，O，M，N分别为边AB，BC，CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径.
11.已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为（　　）
A.（x＋2）2＋（y－3）2＝13 B.（x－2）2＋（y＋3）2＝13
C.（x－2）2＋（y＋3）2＝52 D.（x＋2）2＋（y－3）2＝52
12.（多选）若圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（　　）
A.x2＋y2＝5　　　　 B.（x－1）2＋y2＝5
C.x2＋（y＋1）2＝5 D.（x－1）2＋（y＋1）2＝5
13.（2024·泰安质检）已知三点A（3，2），B（5，－3），C（－1，3），以点P（2，－1）为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则这个圆的标准方程为　　　　.
14.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T（－1，1）在AD边所在的直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的标准方程.
15.（多选）（2024·珠海月考）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），则下列说法正确的是（　　）
A.无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点（3，0）
C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个
D.所有圆Ck的面积均为4π
16.已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，点A（0，－1），B（0，1），设P是圆C上的动点，令d＝｜PA｜2＋｜PB｜2，求d的最大值和最小值.
2.4.1　圆的标准方程
1.C　因为sin230°＋cos230°＝1＞，所以点在圆外.
2.D　易得圆心C（－a，a），即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.
3.B　由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝0，解得a＝1.
4.C　因为圆的圆心为（1，2），且过点（0，0），则圆的半径r＝＝，故所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝5.
5.AD　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），｜AB｜＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20.
6.AD　因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为（2，3），故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为C（－1，0），半径r＝＝，故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋y2＝20.点M1（2，3）到圆心的距离为＝＜r，所以点M1在圆内，点M2（2，4）到圆心的距离为＝＞r，所以点M2在圆外，故选A、D.
7.∪
解析：∵点P在圆外，∴（5a＋1－1）2＋（12a）2＞1，169a2＞1，a2＞，∴a＞或a＜－.
8.（x－1）2＋（y－2）2＝4（答案不唯一）　解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线y＝x＋1上，半径为2，满足圆心（1，2）到x轴的距离等于半径，所以圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝4.
9.4　解析：点A（－1，5）与圆（x－2）2＋（y－1）2＝1的圆心（2，1）的距离为＝5，则点A在圆外，所以｜AP｜min＝5－1＝4.
10.解：因为点O，M，N分别为AB，BC，CA的中点且A（3，5），B（－1，3），C（－3，1），
所以O（1，4），M （－2，2），N（0，3）.
因为所求圆经过点O，M，N，
所以设△OMN外接圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
把点O，M，N的坐标代入圆的方程得解得
所以圆的方程为（x＋）2＋（y－）2＝.
该圆的圆心为（－，），半径为.
11.B　如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13.
12.AD　∵圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），则由（2－a）2＋（1＋a）2＝5，解得a＝0或a＝1，∴圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5或x2＋y2＝5.故选A、D.
13.（x－2）2＋（y＋1）2＝13
解析：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是｜PA｜，｜PB｜，｜PC｜的中间值.因为｜PA｜＝，｜PB｜＝，｜PC｜＝5，所以｜PA｜＜｜PB｜＜｜PC｜，所以圆的半径r＝｜PB｜＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13.
14.解：（1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又点T（－1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1），即3x＋y＋2＝0.
（2）由解得点A的坐标为（0，－2），
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M（2，0），
所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又r＝｜AM｜＝＝2，
所以矩形ABCD外接圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝8.
15.ABD　易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确.
16.解：设P（x，y），
则d＝｜PA｜2＋｜PB｜2＝2（x2＋y2）＋2.
因为圆心C的坐标为（3，4），
所以｜CO｜2＝32＋42＝25，
所以（5－1）2≤x2＋y2≤（5＋1）2.
即16≤x2＋y2≤36.
所以d的最小值为2×16＋2＝34.
最大值为2×36＋2＝74.
2 / 22.4.1　圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程 数学抽象、直观想象
2.能准确判断点与圆的位置关系 数学运算、逻辑推理
　　月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色.万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽.”
【问题】　如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　圆的标准方程
　
提醒　（1）圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径；（2）当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2.
知识点二　点与圆的位置关系
点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 ｜CM｜＝r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2
点M在圆外 ｜CM｜＞r （x0－a）2＋（y0－b）2＞r2
点M在圆内 ｜CM｜＜r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆.（　　）
（2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.（　　）
（3）圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4.（　　）
2.圆心为（－2，3），半径为2的圆的方程是（　　）
A.（x－2）2＋（y＋3）2＝2
B.（x＋2）2＋（y－3）2＝4
C.（x＋2）2＋（y－3）2＝2
D.（x－2）2＋（y＋3）2＝4
3.点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，则圆的方程是　　　　.
4.（2024·潮州月考）以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　　.
题型一 求圆的标准方程
角度1　直接法求圆的标准方程
【例1】　（2024·清远月考）求下列圆的标准方程：
（1）圆心是（4，－1），且过点（5，2）；
（2）圆心在y轴上，半径长为5，且过点（3，－4）.
通性通法
直接法求圆的标准方程的策略
　　确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
角度2　待定系数法求圆的标准方程
【例2】　已知△ABC的三个顶点分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），求该三角形的外接圆的方程.
通性通法
待定系数法求圆的标准方程的步骤
角度3　几何性质法求圆的标准方程
【例3】　（2024·江门月考）求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A（2，－3），B（－2，－5）的圆的方程.
通性通法
常用的圆的几何性质
（1）圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；
（2）圆的弦的垂直平分线过圆心；
（3）圆的切线垂直于过切点的直径；
（4）一般地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角形三边垂直平分线的交点；
（5）已知圆心所在的直线及圆上两点，则两点连线（圆的弦）的垂直平分线与圆心所在直线的交点即为圆心.
【跟踪训练】
1.与圆C：（x－1）2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积一半的圆的方程为（　　）
A.（x－1）2＋y2＝18　B.（x－1）2＋y2＝9
C.（x－1）2＋y2＝6 D.（x－1）2＋y2＝3
2.过A（5，1），B（1，3）两点且圆心在x轴上的圆的标准方程是　　　　　　　　.
题型二 点与圆的位置关系
【例4】　（2024·宿迁月考）已知点A（1，2）和圆C：（x－a）2＋（y＋a）2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
（1）点A在圆的内部；
（2）点A在圆上；
（3）点A在圆的外部.
通性通法
判断点与圆位置关系的两种方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小；
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断.
【跟踪训练】
1.若圆的标准方程是（x－2）2＋（y－3）2＝4，则点（1，2）（　　）
A.是圆心　　　　　　B.在圆上
C.在圆内 D.在圆外
2.（2024·安阳月考）若点A（a＋1，3）在圆C：（x－a）2＋（y－1）2＝m的内部，则实数m的取值范围是（　　）
A.（5，＋∞） B.[5，＋∞）
C.（0，5） D.[0，5]
1.已知圆C的方程为（x＋2）2＋（y－3）2＝2，则它的圆心和半径分别为（　　）
A.（－2，3），2 B.（2，－3），2
C.（－2，3）， D.（2，－3），
2.点P（m2，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（　　）
A.点P在圆内 B.点P在圆外
C.点P在圆上 D.不确定
3.（2024·汕头月考）若圆C与圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程是（　　）
A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1 B.（x－2）2＋（y－1）2＝1
C.（x－1）2＋（y＋2）2＝1 D.（x＋1）2＋（y－2）2＝1
4.求圆心在直线x＝2上，且与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2）的圆的标准方程.
2.4.1　圆的标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
定长　圆心　半径　圆心　半径　（x－a）2＋（y－b）2＝r2
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×
2.B　因为圆心为（－2，3），半径为2，所以圆的标准方程为（x＋2）2＋（y－3）2＝4.故选B.
3.（x＋2）2＋y2＝10　解析：因为点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，故（1＋2）2＋12＝m，所以m＝10.即圆的方程为（x＋2）2＋y2＝10.
4.（x－1）2＋（y－2）2＝25　解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心，｜AB｜＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）圆心为C（4，－1），且过点（5，2），
∴半径r＝＝，
∴圆的标准方程为（x－4）2＋（y＋1）2＝10.
（2）设圆心为C（0，b），
∴r＝＝5，
∴（4＋b）2＝16＝42，
∴4＋b＝4或4＋b＝－4，∴b＝0或b＝－8，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25.
【例2】　解：设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
【例3】　解：法一　设点C为圆心，
∵点C在直线x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为（2a＋3，a）.
连接CA，CB（图略）.
∵该圆经过A，B两点，∴｜CA｜＝｜CB｜，
∴
＝，
解得a＝－2，
∴圆心为C（－1，－2），半径r＝.
故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10.
法二　由题意得过A（2，－3），B（－2，－5）的弦所在的直线方程为＝，即x－2y－8＝0，
弦AB的中点坐标为（0，－4），
所以弦AB的垂直平分线所在的方程为2x＋y＋4＝0，
由圆心的几何性质，知圆心为直线x－2y－3＝0与2x＋y＋4＝0的交点，
由解得
故圆心C（－1，－2），圆的半径为｜CA｜＝＝，
所以圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋2）2＝10.
跟踪训练
1.A　圆C：（x－1）2＋y2＝36的圆心坐标为（1，0），半径为6，则所求圆的圆心为（1，0），根据所求圆的面积为圆C面积的一半可知所求圆的半径为3，所以所求圆的方程为（x－1）2＋y2＝18.故选A.
2.（x－2）2＋y2＝10　解析：线段AB的垂直平分线为y－2＝2（x－3），令y＝0，则x＝2，∴圆心坐标为（2，0），半径r＝＝，∴圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝10.
【例4】　解：（1）因为点A在圆的内部，所以（1－a）2＋（2＋a）2＜2a2，且a不为0，解得a＜－.
（2）因为点A在圆上，所以（1－a）2＋（2＋a）2＝2a2，且a不为0，
解得a＝－.
（3）因为点A在圆的外部，所以（1－a）2＋（2＋a）2＞2a2，
且a不为0，解得a＞－且a≠0.
跟踪训练
1.C　由题意可得，圆心坐标为（2，3），半径为2，圆心到点（1，2）的距离为＝＜2，故点（1，2）在圆内.
2.A　由题意得（a＋1－a）2＋（3－1）2＜m，解得m＞5.
随堂检测
1.C　由圆C的方程为（x＋2）2＋（y－3）2＝2，可得它的圆心和半径分别为（－2，3），.故选C.
2.B　由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外.
3.A　由两圆关于原点对称可知圆C的圆心坐标为（2，－1），半径为1，所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
4.解：法一　因为圆心在直线x＝2上，
所以设圆心为C（2，y），
又圆经过A，B两点，所以｜AC｜＝｜BC｜，
即＝，
解得y＝－3，
所以圆心C（2，－3），半径r＝，
所以圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5.
法二　因为圆与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2），所以圆心在直线y＝－3上.
又圆心在直线x＝2上，所以圆心的坐标为（2，－3），所以圆的半径r＝＝，故圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5.
2 / 3(共57张PPT)
2.4.1　圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，
探索并掌握圆的标准方程 数学抽象、直观
想象
2.能准确判断点与圆的位置关系 数学运算、逻辑
推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬
畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有诗道：“明月四时
有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作
太虚一色.万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽.”
【问题】　如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标
系，那么月亮的坐标方程如何表示？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点一　圆的标准方程
提醒　（1）圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意
义：圆心位置和半径；（2）当圆心在坐标原点时，圆的方程为 x2＋
y2＝ r2.
知识点二　点与圆的位置关系
点 M （ x0， y0）与圆 C ：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2的位置关系及判
断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点 M 在圆上 ｜ CM ｜＝ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2
＝ r2
点 M 在圆外 ｜ CM ｜＞ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2
＞ r2
点 M 在圆内 ｜ CM ｜＜ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2
＜ r2
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）方程（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ m2一定表示圆. （　×　）
（2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径. （　√　）
（3）圆（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是
4. （　×　）
×
√
×
2. 圆心为（－2，3），半径为2的圆的方程是（　　）
A. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝2
B. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝4
C. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝2
D. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝4
解析： 　因为圆心为（－2，3），半径为2，所以圆的标准方程为
（ x ＋2）2＋（ y －3）2＝4.故选B.
3. 点（1，1）在圆（ x ＋2）2＋ y2＝ m 上，则圆的方程是
.
解析：因为点（1，1）在圆（ x ＋2）2＋ y2＝ m 上，故（1＋2）2＋
12＝ m ，所以 m ＝10.即圆的方程为（ x ＋2）2＋ y2＝10.
4. （2024·潮州月考）以两点 A （－3，－1）和 B （5，5）为直径端点
的圆的标准方程是 .
解析：∵ AB 为直径，∴ AB 的中点（1，2）为圆心， ｜ AB ｜＝
＝5为半径，∴该圆的标准方程为（ x －
1）2＋（ y －2）2＝25.
（ x ＋2）2
＋ y2＝10　
（ x －1）2＋（ y －2）2＝25　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求圆的标准方程
角度1　直接法求圆的标准方程
【例1】　（2024·清远月考）求下列圆的标准方程：
（1）圆心是（4，－1），且过点（5，2）；
解： 圆心为 C （4，－1），且过点（5，2），
∴半径 r ＝ ＝ ，
∴圆的标准方程为（ x －4）2＋（ y ＋1）2＝10.
（2）圆心在 y 轴上，半径长为5，且过点（3，－4）.
解： 设圆心为 C （0， b ），
∴ r ＝ ＝5，
∴（4＋ b ）2＝16＝42，
∴4＋ b ＝4或4＋ b ＝－4，∴ b ＝0或 b ＝－8，
∴圆的标准方程为 x2＋ y2＝25或 x2＋（ y ＋8）2＝25.
通性通法
直接法求圆的标准方程的策略
　　确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆
的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准
方程.
角度2　待定系数法求圆的标准方程
【例2】　已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （0，5）， B （1，－2），
C （－3，－4），求该三角形的外接圆的方程.
解：设所求圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2.
因为 A （0，5）， B （1，－2）， C （－3，－4）都在圆上，所以它
们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝25.
通性通法
待定系数法求圆的标准方程的步骤
角度3　几何性质法求圆的标准方程
【例3】　（2024·江门月考）求圆心在直线 x －2 y －3＝0上，且过点
A （2，－3）， B （－2，－5）的圆的方程.
解：法一　设点 C 为圆心，
∵点 C 在直线 x －2 y －3＝0上，
∴可设点 C 的坐标为（2 a ＋3， a ）.
连接 CA ， CB （图略）.
∵该圆经过 A ， B 两点，∴｜ CA ｜＝｜ CB ｜，
∴
＝ ，
解得 a ＝－2，
∴圆心为 C （－1，－2），半径 r ＝ .
故所求圆的标准方程为（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝10.
法二　由题意得过 A （2，－3）， B （－2，－5）的弦所在的直线方
程为 ＝ ，即 x －2 y －8＝0，
弦 AB 的中点坐标为（0，－4），
所以弦 AB 的垂直平分线所在的方程为2 x ＋ y ＋4＝0，
由圆心的几何性质，知圆心为直线 x －2 y －3＝0与2 x ＋ y ＋4＝0
的交点，
由
故圆心 C （－1，－2），圆的半径为｜ CA ｜＝
＝ ，
所以圆的标准方程为（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝10.
通性通法
常用的圆的几何性质
（1）圆的半径 r ，弦长的一半 h ，弦心距 d 满足 r2＝ h2＋ d2；
（2）圆的弦的垂直平分线过圆心；
（3）圆的切线垂直于过切点的直径；
（4）一般地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角形三边垂直平分
线的交点；
（5）已知圆心所在的直线及圆上两点，则两点连线（圆的弦）的垂
直平分线与圆心所在直线的交点即为圆心.
【跟踪训练】
1. 与圆 C ：（ x －1）2＋ y2＝36同圆心，且面积等于圆 C 面积一半的圆
的方程为（　　）
A. （ x －1）2＋ y2＝18 B. （ x －1）2＋ y2＝9
C. （ x －1）2＋ y2＝6 D. （ x －1）2＋ y2＝3
解析： 　圆 C ：（ x －1）2＋ y2＝36的圆心坐标为（1，0），半径
为6，则所求圆的圆心为（1，0），根据所求圆的面积为圆 C 面积
的一半可知所求圆的半径为3 ，所以所求圆的方程为（ x －1）2
＋ y2＝18.故选A.
2. 过 A （5，1）， B （1，3）两点且圆心在 x 轴上的圆的标准方程
是 .
解析：线段 AB 的垂直平分线为 y －2＝2（ x －3），令 y ＝0，则 x ＝
2，∴圆心坐标为（2，0），半径 r ＝ ＝
，∴圆的标准方程为（ x －2）2＋ y2＝10.
（ x －2）2＋ y2＝10　
题型二 点与圆的位置关系
【例4】　（2024·宿迁月考）已知点 A （1，2）和圆 C ：（ x － a ）2
＋（ y ＋ a ）2＝2 a2，试分别求满足下列条件的实数 a 的取值范围：
（1）点 A 在圆的内部；
解： 因为点 A 在圆的内部，所以（1－ a ）2＋（2＋ a ）2＜
2 a2，且 a 不为0，解得 a ＜－ .
（2）点 A 在圆上；
解： 因为点 A 在圆上，所以（1－ a ）2＋（2＋ a ）2＝2
a2，且 a 不为0，
解得 a ＝－ .
（3）点 A 在圆的外部.
解： 因为点 A 在圆的外部，所以（1－ a ）2＋（2＋ a ）2＞2 a2，
且 a 不为0，解得 a ＞－ 且 a ≠0.
通性通法
判断点与圆位置关系的两种方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小；
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大
小，并作出判断.
【跟踪训练】
1. 若圆的标准方程是（ x －2）2＋（ y －3）2＝4，则点（1，2）
（　　）
A. 是圆心 B. 在圆上
C. 在圆内 D. 在圆外
解析： 　由题意可得，圆心坐标为（2，3），半径为2，圆心到点
（1，2）的距离为 ＝ ＜2，故点（1，
2）在圆内.
2. （2024·安阳月考）若点 A （ a ＋1，3）在圆 C ：（ x － a ）2＋（ y
－1）2＝ m 的内部，则实数 m 的取值范围是（　　）
A. （5，＋∞） B. [5，＋∞）
C. （0，5） D. [0，5]
解析： 　由题意得（ a ＋1－ a ）2＋（3－1）2＜ m ，解得 m ＞5.
1. 已知圆 C 的方程为（ x ＋2）2＋（ y －3）2＝2，则它的圆心和半径
分别为（　　）
A. （－2，3），2 B. （2，－3），2
解析： 　由圆 C 的方程为（ x ＋2）2＋（ y －3）2＝2，可得它的圆
心和半径分别为（－2，3）， .故选C.
2. 点 P （ m2，5）与圆 x2＋ y2＝24的位置关系是（　　）
A. 点 P 在圆内 B. 点 P 在圆外
C. 点 P 在圆上 D. 不确定
解析： 　由（ m2）2＋52＝ m4＋25＞24，得点 P 在圆外.
3. （2024·汕头月考）若圆 C 与圆（ x ＋2）2＋（ y －1）2＝1关于原点
对称，则圆 C 的方程是（　　）
A. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1
B. （ x －2）2＋（ y －1）2＝1
C. （ x －1）2＋（ y ＋2）2＝1
D. （ x ＋1）2＋（ y －2）2＝1
解析： 　由两圆关于原点对称可知圆 C 的圆心坐标为（2，－
1），半径为1，所以圆 C 的方程为（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1.
4. 求圆心在直线 x ＝2上，且与 y 轴交于点 A （0，－4）， B （0，－
2）的圆的标准方程.
解：法一　因为圆心在直线 x ＝2上，
所以设圆心为 C （2， y ），
又圆经过 A ， B 两点，所以｜ AC ｜＝｜ BC ｜，
即 ＝ ，
解得 y ＝－3，
所以圆心 C （2，－3），半径 r ＝ ，
所以圆的标准方程为（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝5.
法二　因为圆与 y 轴交于点 A （0，－4）， B （0，－2），所以圆心
在直线 y ＝－3上.
又圆心在直线 x ＝2上，所以圆心的坐标为（2，－3），所以圆的半径
r ＝ ＝ ，故圆的标准方程为（ x －2）2＋
（ y ＋3）2＝5.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·郑州月考）点（ sin 30°， cos 30°）与圆 x2＋ y2＝ 的位置关
系是（　　）
A. 点在圆上 B. 点在圆内
C. 点在圆外 D. 不能确定
解析： 　因为 sin 230°＋ cos 230°＝1＞ ，所以点在圆外.
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2. 方程（ x ＋ a ）2＋（ y － a ）2＝2 a2（ a ≠0）表示的圆（　　）
A. 关于 x 轴对称
B. 关于 y 轴对称
C. 关于直线 x － y ＝0对称
D. 关于直线 x ＋ y ＝0对称
解析： 　易得圆心 C （－ a ， a ），即圆心在直线 y ＝－ x 上，所
以该圆关于直线 x ＋ y ＝0对称，故选D.
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3. 若直线 x ＋ y ＋ a ＝0过圆（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝2的圆心，则实数
a 的值为（　　）
A. －1 B. 1 C. 0 D. 2
解析： 　由圆的标准方程（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝2，可得圆心坐
标为（1，－2），因为直线 x ＋ y ＋ a ＝0过圆心（1，－2），所以1
－2＋ a ＝0，解得 a ＝1.
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4. （2024·莱芜月考）圆心为（1，2），且过点（0，0）的圆的标准
方程为（　　）
B. x2＋ y2＝5
C. （ x －1）2＋（ y －2）2＝5
解析： 因为圆的圆心为（1，2），且过点（0，0），则圆的半
径 r ＝ ＝ ，故所求圆的标准方程为（ x －1）2＋（ y －
2）2＝5.
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5. （多选）以直线2 x ＋ y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另
一个交点的圆的标准方程可能为（　　）
A. x2＋（ y －4）2＝20 B. （ x －4）2＋ y2＝20
C. x2＋（ y －2）2＝20 D. （ x －2）2＋ y2＝20
解析： 　令 x ＝0，则 y ＝4；令 y ＝0，则 x ＝2.所以直线2 x ＋ y
－4＝0与两坐标轴的交点分别为 A （0，4）， B （2，0），｜ AB ｜
＝ ＝2 ，以 A 为圆心，过 B 点的圆的标准方程为 x2＋（ y
－4）2＝20.以 B 为圆心，过 A 点的圆的标准方程为（ x －2）2＋ y2＝
20.
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6. （多选）（2024·东莞月考）已知圆 C 过点 A （1，4）， B （3，
2），且圆心 C 在直线 y ＝0上，则（　　）
A. 点 M1（2，3）在圆内 B. 点 M1（2，3）在圆外
C. 点 M2（2，4）在圆内 D. 点 M2（2，4）在圆外
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解析： 　因为圆过 A ， B 两点，所以圆心在线段 AB 的垂直平分
线上，直线 AB 的斜率为－1，线段 AB 的中点坐标为（2，3），故
线段 AB 的垂直平分线的方程为 y －3＝ x －2，即 x － y ＋1＝0，又圆
心在直线 y ＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，
即圆心坐标为 C （－1，0），半径 r ＝ ＝
，故所求圆的标准方程为（ x ＋1）2＋ y2＝20.点 M1（2，3）到
圆心的距离为 ＝ ＜ r ，所以点 M1在
圆内，点 M2（2，4）到圆心的距离为 ＝
＞ r ，所以点 M2在圆外，故选A、D.
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解析：∵点 P 在圆外，∴（5 a ＋1－1）2＋（12 a ）2＞1，169 a2＞
1， a2＞ ，∴ a ＞ 或 a ＜－ .
∪ 　
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8. 写出符合条件：圆心在直线 y ＝ x ＋1上，且与 x 轴相切的一个圆的
标准方程为 .
解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线 y ＝ x ＋1上，半径为
2，满足圆心（1，2）到 x 轴的距离等于半径，所以圆的标准方程为
（ x －1）2＋（ y －2）2＝4.
（ x －1）2＋（ y －2）2＝4（答案不唯一）　
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9. 设点 P （ x ， y ）为圆（ x －2）2＋（ y －1）2＝1上任一点，点 A
（－1，5），则｜ AP ｜的最小值是 .
解析：点 A （－1，5）与圆（ x －2）2＋（ y －1）2＝1的圆心（2，
1）的距离为 ＝5，则点 A 在圆外，所
以｜ AP ｜min＝5－1＝4.
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10. （2024·洛阳月考）已知 A （3，5）， B （－1，3）， C （－3，
1）为△ ABC 的三个顶点， O ， M ， N 分别为边 AB ， BC ， CA 的
中点，求△ OMN 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径.
解：因为点 O ， M ， N 分别为 AB ， BC ， CA 的中点且 A （3，
5）， B （－1，3）， C （－3，1），
所以 O （1，4）， M （－2，2）， N （0，3）.
因为所求圆经过点 O ， M ， N ，
所以设△ OMN 外接圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2，
把点 O ， M ， N 的坐标代入圆的方程得
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所以圆的方程为（ x ＋ ）2＋（ y － ）2＝ .
该圆的圆心为（－ ），半径为 .
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11. 已知一圆的圆心为点 A （2，－3），一条直径的端点分别在 x 轴和
y 轴上，则圆的标准方程为（　　）
A. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝13
B. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝13
C. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝52
D. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝52
解析： 　如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
圆的半径为 r ＝ ＝ .故
所求圆的标准方程为（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝13.
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12. （多选）若圆上的点（2，1）关于直线 x ＋ y ＝0的对称点仍在圆
上，且圆的半径为 ，则圆的标准方程可能是（　　）
A. x2＋ y2＝5 B. （ x －1）2＋ y2＝5
C. x2＋（ y ＋1）2＝5 D. （ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5
解析： 　∵圆上的点（2，1）关于直线 x ＋ y ＝0的对称点仍在
圆上，∴圆心在直线 x ＋ y ＝0上，设圆心坐标为（ a ，－ a ），则
由（2－ a ）2＋（1＋ a ）2＝5，解得 a ＝0或 a ＝1，∴圆的标准方
程为（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5或 x2＋ y2＝5.故选A、D.
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13. （2024·泰安质检）已知三点 A （3，2）， B （5，－3）， C （－
1，3），以点 P （2，－1）为圆心作一个圆，使 A ， B ， C 三点中
一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则这个圆的标准方程
为 .
解析：要使 A ， B ， C 三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆
内，则圆的半径是｜ PA ｜，｜ PB ｜，｜ PC ｜的中间值.因为｜
PA ｜＝ ，｜ PB ｜＝ ，｜ PC ｜＝5，所以｜ PA ｜＜｜
PB ｜＜｜ PC ｜，所以圆的半径 r ＝｜ PB ｜＝ .故所求圆的标
准方程为（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝13.
（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝13　
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14. 已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M （2，0）， AB 边所在直
线的方程为 x －3 y －6＝0，点 T （－1，1）在 AD 边所在的直线上.
（1）求 AD 边所在直线的方程；
解： 因为 AB 边所在直线的方程为 x －3 y －6＝0，且
AD 与 AB 垂直，所以直线 AD 的斜率为－3.
又点 T （－1，1）在直线 AD 上，所以 AD 边所在直线的方程
为 y －1＝－3（ x ＋1），即3 x ＋ y ＋2＝0.
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（2）求矩形 ABCD 外接圆的标准方程.
解： 由解得点 A 的坐标为（0，－2），
因为矩形 ABCD 的两条对角线的交点为点 M （2，0），
所以点 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.
又 r ＝｜ AM ｜＝ ＝2 ，
所以矩形 ABCD 外接圆的标准方程为（ x －2）2＋ y2＝8.
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15. （多选）（2024·珠海月考）设圆 Ck ：（ x － k ）2＋（ y － k ）2＝4
（ k ∈R），则下列说法正确的是（　　）
A. 无论 k 如何变化，圆心 Ck 都在一条直线上
B. 所有圆 Ck 均不经过点（3，0）
C. 经过点（2，2）的圆 Ck 有且只有一个
D. 所有圆 Ck 的面积均为4π
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解析： 　易知圆心 Ck （ k ， k ）在直线 y ＝ x 上，∴A中说法
正确；令（3－ k ）2＋（0－ k ）2＝4，化简得2 k2－6 k ＋5＝0，∵Δ
＝36－40＝－4＜0，∴方程2 k2－6 k ＋5＝0无解，∴B中说法正
确；令（2－ k ）2＋（2－ k ）2＝4，化简得 k2－4 k ＋2＝0，∵Δ＝
16－8＝8＞0，∴ k2－4 k ＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点
（2，2）的圆 Ck 有两个，∴C中说法错误；易知圆 Ck 的半径为2，
∴圆 Ck 的面积为4π，∴D中说法正确.
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16. 已知圆 C ：（ x －3）2＋（ y －4）2＝1，点 A （0，－1）， B （0，
1），设 P 是圆 C 上的动点，令 d ＝｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2，求 d 的最
大值和最小值.
解：设 P （ x ， y ），
则 d ＝｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2＝2（ x2＋ y2）＋2.
因为圆心 C 的坐标为（3，4），所以｜ CO ｜2＝32＋42＝25，
所以（5－1）2≤ x2＋ y2≤（5＋1）2.即16≤ x2＋ y2≤36.
所以 d 的最小值为2×16＋2＝34.
最大值为2×36＋2＝74.
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