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2.4.2　圆的一般方程
1.圆的方程为（x－1）（x＋2）＋（y－2）（y＋4）＝0，则圆心坐标为（　　）
A.（1，－1） B.
C.（－1，2） D.
2.已知圆C的圆心坐标为（2，－3），且点（－1，－1）在圆上，则圆C的方程为（　　）
A.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
B.x2＋y2－4x＋6y－8＝0
C.x2＋y2－4x－6y＝0
D.x2＋y2－4x＋6y＝0
3.若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）关于直线y＝x对称，则（　　）
A.D＋E＋F＝0 B.D＝E
C.D＝F D.E＝F
4.（2024·临沂月考）若a∈{－2，0，1，}，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
5.（多选）已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有（　　）
A.关于点（2，0）对称 B.关于直线y＝0对称
C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称
6.（多选）（2024·莆田月考）已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A（0，－5），则（　　）
A.圆C的半径为2
B.点A在圆C外
C.点A与圆C上任一点距离的最大值为3
D.点A与圆C上任一点距离的最小值为
7.若直线x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，则实数a＝　　　　.
8.（2024·南平月考）长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为　　　　.
9.过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程为　　　　.
10.已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一个圆.
（1）求t的取值范围；
（2）求该圆的圆心坐标和半径；
（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.
11.若Rt△ACB的斜边的两端点A，B的坐标分别为（－3，0）和（7，0），则直角顶点C的轨迹方程为（　　）
A.x2＋y2＝25（y≠0）
B.x2＋y2＝25
C.（x－2）2＋y2＝25（y≠0）
D.（x－2）2＋y2＝25
12.（2024·淄博月考）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（　　）
A.（－∞，－2） B.（－∞，－1）
C.（1，＋∞） D.（2，＋∞）
13.已知圆C：x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C.若∠ACB＝，则实数m＝　　　　.
14.已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，－2），且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上.
（1）求圆C的方程；
（2）线段PQ的端点P的坐标是（5，0），端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹.
15.已知定点P1（－1，0），P2（1，0），动点M满足｜MP1｜＝｜MP2｜，则构成△MP1P2面积的最大值是（　　）
A. B.2
C. D.2
16.（2024·三明月考）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：
①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；
②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线W：x2＋y4＝4，A（0，t），B（2，0），C（0，），D（－2，0）为曲线W上不同的四点.
（1）求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的一般方程；
（2）求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；
（3）求曲线W的最小覆盖圆的方程.
2.4.2　圆的一般方程
1.D　将圆的方程化为标准方程，得＋（y＋1）2＝，所以圆心坐标为.
2.D　易知圆C的半径为，所以圆C的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13，展开得一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0.
3.B　由圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可得圆心坐标为（－，－），因为圆关于直线y＝x对称，所以圆心在直线y＝x上，所以－＝－，即D＝E.
4.B　若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.∴当a∈{－2，0，1，}时，只有a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆.故选B.
5.ABC　x2＋y2－4x－1＝0 （x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为.A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确.故选A、B、C.
6.BCD　依题意，圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝2，则圆心C（2，－3），半径r＝，A不正确；因点A（0，－5），则｜AC｜＝2＞r，点A在圆C外，B正确；因点A在圆C外，在圆C上任取点P，则｜PA｜≤｜PC｜＋｜CA｜＝r＋｜CA｜＝3，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“＝”，C正确；在圆C上任取点M，则｜MA｜≥｜CA｜－｜MC｜＝｜CA｜－r＝，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“＝”，D正确.故选B、C、D.
7.1　解析：根据题意，圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，其圆心为（1，－2）.因为直线x＋y＋a＝0平分圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，所以圆心（1，－2）在直线x＋y＋a＝0上，则有a＋1－2＝0，解得a＝1.
8.x2＋y2＝9　解析：设M（x，y），因为△AOB是直角三角形，所以｜OM｜＝｜AB｜＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求.
9.x2＋y2－8x＋6y＝0
解析：设过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则解得故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
10.解：（1）圆的方程可化为[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2.
由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－＜t＜1.
故t的取值范围是（－，1）.
（2）由（1）知，圆的圆心坐标为（t＋3，4t2－1），半径为.
（3）r＝＝≤.
所以r的最大值为，此时t＝，
故此时圆的标准方程为（x－）2＋（y＋）2＝.
11.C　线段AB的中点坐标为（2，0），因为△ACB为直角三角形，C为直角顶点，所以点C到点（2，0）的距离为｜AB｜＝5，所以点C（x，y）满足＝5（y≠0），即（x－2）2＋y2＝25（y≠0）.
12.D　由题意得，曲线C的标准方程为（x＋a）2＋（y－2a）2＝4，因此曲线C是圆心为（－a，2a），半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均在第二象限内，∴解得a＞2，∴a的取值范围是（2，＋∞）.
13.－3　解析：∵x2＋y2－4x＋2y＋m＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5－m，∴圆心C的坐标为（2，－1），圆C的半径r＝.由∠ACB＝可得△ACB为等腰直角三角形，∴2＝r，解得r＝2，∴＝2，解得m＝－3.
14.解：（1）设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D（，－）.
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由得圆心C（－3，－2），
则半径r＝｜CA｜＝＝5，
所以圆C的方程为（x＋3）2＋（y＋2）2＝25.
（2）设点M（x，y），Q（x0，y0）.
因为点P的坐标为（5，0），
所以即
又点Q（x0，y0）在圆C：（x＋3）2＋（y＋2）2＝25上运动，
所以（x0＋3）2＋（y0＋2）2＝25，
即（2x－5＋3）2＋（2y＋2）2＝25，
整理得（x－1）2＋（y＋1）2＝，
即线段PQ的中点M的轨迹为以（1，－1）为圆心，半径为的圆.
15.B　设M（x，y），由｜MP1｜＝｜MP2｜，可得＝ ，化简得（x－3）2＋y2＝8，即点M在以（3，0）为圆心，2为半径的圆上运动，又＝·｜P1P2｜·｜yM｜＝｜yM｜≤2.故选B.
16.解：（1）因为点A（0，t）在曲线W：x2＋y4＝4上，所以t4＝4，解得t＝－或t＝（舍去）.所以A（0，－）.
设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则解得
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－x－2＝0.
易知△ABC是锐角三角形，
所以△ABC的最小覆盖圆的一般方程是x2＋y2－x－2＝0.
（2）因为线段BD的最小覆盖圆是以线段BD为直径的圆，所以线段BD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝4.
又因为｜OA｜＝｜OC｜＝＜2，所以点A，C在圆内.
所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程是x2＋y2＝4.
（3）因为曲线W：x2＋y4＝4是中心对称图形，所以设P（a，b）（－≤b≤）是曲线W上的点.
则｜OP｜2＝a2＋b2＝－b4＋b2＋4＝－（b2－）2＋，当b2＝时，｜OP｜max＝，所以曲线W的最小覆盖圆的方程是x2＋y2＝.
2 / 22.4.2　圆的一般方程
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程 数学抽象、逻辑推理
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程 数学运算
我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部分，圆在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2展开为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D，E，F均为常数.
【问题】　（1）任何一个圆的标准方程是否都可变形为关于x，y的二次项系数为1，且不含xy项的二元二次方程的形式？
（2）若一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程表示圆，则D，E，F应满足什么条件？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念
当　　　　　　时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程.
2.圆的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心坐标为　　　　，半径长为　　　　　　.
提醒　圆的一般方程的特点：①x2，y2的系数都为1；②没有xy项；③只有D2＋E2－4F＞0时才表示圆.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.（　　）
（2）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.（　　）
（3）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.（　　）
（4）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.（　　）
2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为　　　　.
3.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F＝　 　　.
题型一 圆的一般方程的辨析
【例1】　判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标及半径.
（1）x2＋y2－4x＝0；
（2）x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
（3）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.
通性通法
二元二次方程表示圆的判断方法
　　任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法：
（1）计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形；
（2）将该方程配方为（x＋）2＋（y＋）2＝，根据圆的标准方程来判断.
【跟踪训练】
1.（2024·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是圆，则实数m的取值范围为（　　）
A.（－∞，1）　　　　　B.（1，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞）
2.（多选）已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（　　）
A.m＝－1 B.m＝1
C.圆心为（－1，－2） D.圆心为（1，－2）
题型二 求圆的一般方程
【例2】　求满足下列条件的圆的方程：
（1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点；
（2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点.
通性通法
待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
（2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
（3）解此方程组，求出D，E，F的值；
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
【跟踪训练】
（2024·泉州月考）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆C的一般方程.
题型三 与圆有关的轨迹问题
角度1　直接法求轨迹方程
【例3】　求到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的的点M的轨迹方程.
角度2　代入法求轨迹方程
【例4】　（2024·新乡月考）已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
角度3　定义法求轨迹方程
【例5】　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求直角顶点C的轨迹方程.
通性通法
求与圆有关的轨迹方程的3种方法
提醒　（1）题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹，若求的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形；
（2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
【跟踪训练】
　（2024·徐州月考）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.
1.圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的圆心和半径分别是（　　）
A.（2，－3）， B.（2，－3），2
C.（－2，3），1 D.（－2，3），
2.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（　　）
A.（－∞，－1） B.（－1，＋∞）
C.（－1，0） D.（－1，1）
3.（2024·威海质检）已知两定点A（－2，0），B（1，0），若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，则P的轨迹为（　　）
A.直线 B.线段
C.圆 D.半圆
4.已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5），求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
2.4.2　圆的一般方程
【基础知识·重落实】
知识点
1.D2＋E2－4F＞0　2.　
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）×　 （4）√
2.　解析：方程表示圆 1＋1－4k＞0 k＜.
3.4　解析：由圆的一般方程结合题中的条件可得－＝2，－＝－4，＝4，解得D＝－4，E＝8，F＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）方程可变形为（x－2）2＋y2＝4，表示圆心坐标是（2，0），半径是2的圆.
（2）方程可变形为（x－2a）2＋（y－a）2＝a2.
当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆；
当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a，a），半径是｜a｜的圆.
（3）方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋＝0，
法一　由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4×＝－1＜0，不表示任何图形.
法二　方程可变形为（x－）2＋（y＋）2＝－，故方程不表示任何图形.
跟踪训练
1.D　法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.
法二　方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.故选D.
2.BD　根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为，若其直径为4，则＝2，解得m＝1.故选B、D.
【例2】　解：（1）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件得解得
故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0.
（2）法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为（－，－）.
因为圆心在直线y＝x上，且圆过（－1，0），（3，0）两点，
所以解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
法二　因为圆与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点，
所以圆心在直线x＝1上.
又圆心在直线y＝x上，所以圆心坐标为（1，1）.
所以圆的半径为＝，
所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5.
跟踪训练
　解：由题意得圆心C（－，－），
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又半径r＝＝，
所以D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－＜0，即D＞0.
所以所以圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
【例3】　解：设点M的坐标是（x，y），
则＝.∴＝.
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－3＝0.
【例4】　解：设点M（x，y），点P（x0，y0），
则∴
∵点P（x0，y0）在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴＋－8x0－6y0＋21＝0.
∴（2x）2＋（2y）2－8×2x－6×2y＋21＝0，
即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.
【例5】　解：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）.
由直角三角形的性质，知｜CD｜＝｜AB｜＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆（因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.
设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）.
跟踪训练
　解：（1）设动点M的坐标为（x，y）.
因为A（2，0），B（8，0），｜MA｜＝｜MB｜.
所以（x－2）2＋y2＝[（x－8）2＋y2].
化简得x2＋y2＝16.
即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
（2）设点N的坐标为（x0，y0），
因为A（2，0），N为线段AM的中点，
所以点M的坐标为（2x0－2，2y0）.
又点M在圆x2＋y2＝16上，
所以（2x0－2）2＋4＝16，
即得（x0－1）2＋＝4.
所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆.
随堂检测
1.A　圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝2，据此可知圆心坐标为（2，－3），圆的半径为.故选A.
2.A　方程可化为（x－1）2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆.
3.C　设点P的坐标为（x，y），∵A（－2，0），B（1，0），动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，∴＝2，两边平方得（x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，即（x－2）2＋y2＝4.∴P的轨迹为圆.故选C.
4.解：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵点A，B，C在圆上，
∴解得
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即（x－1）2＋（y＋1）2＝25.
∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5.
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2.4.2　圆的一般方程
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程 数学抽象、
逻辑推理
2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部
分，圆在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（ x －
a ）2＋（ y － b ）2＝ r2展开为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，其中
D ， E ， F 均为常数.
【问题】　（1）任何一个圆的标准方程是否都可变形为关于 x ， y 的
二次项系数为1，且不含 xy 项的二元二次方程的形式？
（2）若一个形如 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的二元二次方程表示圆，
则 D ， E ， F 应满足什么条件？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点　圆的一般方程
1. 圆的一般方程的概念
当 时，二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0
叫做圆的一般方程.
D2＋ E2－4 F ＞0　
2. 圆的圆心和半径
圆的一般方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0）表示的
圆的圆心坐标为 　 　，半径长为 　 　.
提醒　圆的一般方程的特点：① x2， y2的系数都为1；②没有 xy
项；③只有 D2＋ E2－4 F ＞0时才表示圆.
　
　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程. （　√　）
（2）方程 x2＋ y2＋ x ＋1＝0表示一个圆. （　×　）
（3）二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0一定是某个圆的方程.
（　×　）
（4）若方程 x2＋ y2－2 x ＋ Ey ＋1＝0表示圆，则 E ≠0. （　√　）
√
×
×
√

解析：方程表示圆 1＋1－4 k ＞0 k ＜ .
3. 若方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半
径的圆，则 F ＝ 　4 　.
解析：由圆的一般方程结合题中的条件可得－ ＝2，－ ＝－4，
＝4，解得 D ＝－4， E ＝8， F ＝4.
　
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 圆的一般方程的辨析
【例1】　判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆
心坐标及半径.
（1） x2＋ y2－4 x ＝0；
解： 方程可变形为（ x －2）2＋ y2＝4，表示圆心坐标是
（2，0），半径是2的圆.
（2） x2＋ y2－4 ax －2 ay ＋6 a2＝0；
解： 方程可变形为（ x －2 a ）2＋（ y － a ）2＝ a2.
当 a ＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆；
当 a ≠0时，方程表示圆心坐标是（2 a ， a ），半径是｜ a ｜
的圆.
法一　由 D2＋ E2－4 F ＝（－1）2＋32－4× ＝－1＜0，不表示任何图形.
法二　方程可变形为（ x － ）2＋（ y ＋ ）2＝－ ，故方程不表示任何图形.
（3）4 x2＋4 y2－4 x ＋12 y ＋11＝0.
解： 方程可变形为 x2＋ y2－ x ＋3 y ＋ ＝0，
通性通法
二元二次方程表示圆的判断方法
　　任何一个圆的方程都可化为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的形式，但
形如 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆
可以有以下两种方法：
（1）计算 D2＋ E2－4 F ，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表
示一个点；若其值为负，则不表示任何图形；
（2）将该方程配方为（ x ＋ ）2＋（ y ＋ ）2＝ ，根据圆
的标准方程来判断.
【跟踪训练】
1. （2024·许昌月考）若方程 x2＋ y2－2 y － m ＝0表示的图形是圆，则
实数 m 的取值范围为（　　）
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－1，＋∞）
解析： 　法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4 m ＞0，解得
m ＞－1.故实数 m 的取值范围为（－1，＋∞）.
法二　方程 x2＋ y2－2 y － m ＝0可化为 x2＋（ y －1）2＝ m ＋1，因为
方程表示的图形是圆，所以 m ＋1＞0，解得 m ＞－1.故实数 m 的取值
范围为（－1，＋∞）.故选D.
2. （多选）已知圆 C ： x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋ m ＝0的直径为4，则
（　　）
A. m ＝－1 B. m ＝1
C. 圆心为（－1，－2） D. 圆心为（1，－2）
解析： 　根据题意，圆 C ： x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋ m ＝0，即（ x －
1）2＋（ y ＋2）2＝5－ m ，其圆心为（1，－2），半径为
，若其直径为4，则 ＝2，解得 m ＝1.故选B、D.
题型二 求圆的一般方程
【例2】　求满足下列条件的圆的方程：
（1）过点 A （－4，0）， B （0，2）和原点；
解： 设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，由已知条件
得
故所求圆的方程为 x2＋ y2＋4 x －2 y ＝0.
（2）圆心在直线 y ＝ x 上，与 x 轴相交于（－1，0），（3，0）两点.
解： 法一　设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，则圆
心为（－ ，－ ）.
因为圆心在直线 y ＝ x 上，且圆过（－1，0），（3，0）两点，
所以
所以圆的方程为 x2＋ y2－2 x －2 y －3＝0.
法二　因为圆与 x 轴相交于（－1，0），（3，0）两点，
所以圆心在直线 x ＝1上.
又圆心在直线 y ＝ x 上，所以圆心坐标为（1，1）.
所以圆的半径为 ＝ ，
所以圆的方程为（ x －1）2＋（ y －1）2＝5.
通性通法
待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0；
（2）根据已知条件，建立关于 D ， E ， F 的方程组；
（3）解此方程组，求出 D ， E ， F 的值；
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般
方程.
【跟踪训练】
（2024·泉州月考）已知圆 C ： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋3＝0的圆心在直线
x ＋ y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为 ，求圆 C 的一般方程.
解：由题意得圆心 C （－ ，－ ），
因为圆心在直线 x ＋ y －1＝0上，
所以－ － －1＝0，即 D ＋ E ＝－2， ①
又半径 r ＝ ＝ ，
所以 D2＋ E2＝20， ②
由①②可得
又圆心在第二象限，所以－ ＜0，即 D ＞0.
所以所以圆 C 的一般方程为 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0.
题型三 与圆有关的轨迹问题
角度1　直接法求轨迹方程
【例3】　求到点 O （0，0）的距离是到点 A （3，0）的距离的 的点
M 的轨迹方程.
解：设点 M 的坐标是（ x ， y ），
则 ＝ .∴ ＝ .
化简，得 x2＋ y2＋2 x －3＝0，即所求轨迹方程为 x2＋ y2＋2 x －3＝0.
角度2　代入法求轨迹方程
【例4】　（2024·新乡月考）已知点 P 在圆 C ： x2＋ y2－8 x －6 y ＋21
＝0上运动，求线段 OP 的中点 M 的轨迹方程.
解：设点 M （ x ， y ），点 P （ x0， y0），
则∴
∵点 P （ x0， y0）在圆 C ： x2＋ y2－8 x －6 y ＋21＝0上，
∴ ＋ －8 x0－6 y0＋21＝0.
∴（2 x ）2＋（2 y ）2－8×2 x －6×2 y ＋21＝0，
即点 M 的轨迹方程为 x2＋ y2－4 x －3 y ＋ ＝0.
角度3　定义法求轨迹方程
【例5】　已知Rt△ ABC 的斜边为 AB ，且 A （－1，0）， B （3，
0），求直角顶点 C 的轨迹方程.
解：设 AB 的中点为 D ，由中点坐标公式，得 D （1，0）.
由直角三角形的性质，知｜ CD ｜＝ ｜ AB ｜＝2.
由圆的定义，知动点 C 的轨迹是以 D （1，0）为圆心，以2为半径长
的圆（因为 A ， B ， C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点）.
设 C （ x ， y ），则直角顶点 C 的轨迹方程为（ x －1）2＋ y2＝4（ x
≠3，且 x ≠－1）.
通性通法
求与圆有关的轨迹方程的3种方法
提醒　（1）题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹，若求
的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形；
（2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
【跟踪训练】
　（2024·徐州月考）已知动点 M 到点 A （2，0）的距离是它到点 B
（8，0）的距离的一半.
（1）求动点 M 的轨迹方程；
解： 设动点 M 的坐标为（ x ， y ）.
因为 A （2，0）， B （8，0），｜ MA ｜＝ ｜ MB ｜.
所以（ x －2）2＋ y2＝ [（ x －8）2＋ y2].
化简得 x2＋ y2＝16.
即动点 M 的轨迹方程为 x2＋ y2＝16.
（2）若 N 为线段 AM 的中点，试求点 N 的轨迹.
解： 设点 N 的坐标为（ x0， y0），
因为 A （2，0）， N 为线段 AM 的中点，
所以点 M 的坐标为（2 x0－2，2 y0）.
又点 M 在圆 x2＋ y2＝16上，
所以（2 x0－2）2＋4 ＝16，
即得（ x0－1）2＋ ＝4.
所以点 N 的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆.
　　
1. 圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋11＝0的圆心和半径分别是（　　）
B. （2，－3），2
C. （－2，3），1
解析： 　圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋11＝0的标准方程为（ x －2）2＋
（ y ＋3）2＝2，据此可知圆心坐标为（2，－3），圆的半径为 .
故选A.
2. 已知方程 x2＋ y2－2 x ＋2 k ＋3＝0表示圆，则 k 的取值范围是
（　　）
A. （－∞，－1） B. （－1，＋∞）
C. （－1，0） D. （－1，1）
解析： 　方程可化为（ x －1）2＋ y2＝－2 k －2，只有－2 k －2＞
0，即 k ＜－1时才能表示圆.
3. （2024·威海质检）已知两定点 A （－2，0）， B （1，0），若动点
P 满足｜ PA ｜＝2｜ PB ｜，则 P 的轨迹为（　　）
A. 直线 B. 线段
C. 圆 D. 半圆
解析： 　设点 P 的坐标为（ x ， y ），∵ A （－2，0）， B （1，
0），动点 P 满足｜ PA ｜＝2｜ PB ｜，∴ ＝2
，两边平方得（ x ＋2）2＋ y2＝4[（ x －1）2＋
y2]，即（ x －2）2＋ y2＝4.∴ P 的轨迹为圆.故选C.
4. 已知△ ABC 的三个顶点为 A （1，4）， B （－2，3）， C （4，－
5），求△ ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
解：设△ ABC 的外接圆方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
∵点 A ， B ， C 在圆上，
∴
∴△ ABC 的外接圆方程为 x2＋ y2－2 x ＋2 y －23＝0，
即（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝25.
∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 圆的方程为（ x －1）（ x ＋2）＋（ y －2）（ y ＋4）＝0，则圆心坐
标为（　　）
A. （1，－1）
C. （－1，2）
解析： 　将圆的方程化为标准方程，得 ＋（ y ＋1）2＝
.
2. 已知圆 C 的圆心坐标为（2，－3），且点（－1，－1）在圆上，则
圆 C 的方程为（　　）
A. x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋8＝0
B. x2＋ y2－4 x ＋6 y －8＝0
C. x2＋ y2－4 x －6 y ＝0
D. x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0
解析： 　易知圆 C 的半径为 ，所以圆 C 的标准方程为（ x －
2）2＋（ y ＋3）2＝13，展开得一般方程为 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0.
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3. 若圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0）关于直线 y ＝ x
对称，则（　　）
A. D ＋ E ＋ F ＝0 B. D ＝ E
C. D ＝ F D. E ＝ F
解析： 　由圆 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0可得圆心坐标为（－ ，
－ ），因为圆关于直线 y ＝ x 对称，所以圆心在直线 y ＝ x 上，所
以－ ＝－ ，即 D ＝ E .
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4. （2024·临沂月考）若 a ∈{－2，0，1， }，则方程 x2＋ y2＋ ax ＋2
ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示的圆的个数为（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　若方程 x2＋ y2＋ ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圆，则 a2
＋（2 a ）2－4（2 a2＋ a －1）＞0，即3 a2＋4 a －4＜0，解得－2＜ a
＜ .∴当 a ∈{－2，0，1， }时，只有 a ＝0时，方程 x2＋ y2＋ ax ＋
2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圆.故选B.
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5. （多选）已知圆 x2＋ y2－4 x －1＝0，则下列说法正确的有（　　）
A. 关于点（2，0）对称
B. 关于直线 y ＝0对称
C. 关于直线 x ＋3 y －2＝0对称
D. 关于直线 x － y ＋2＝0对称
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解析： 　 x2＋ y2－4 x －1＝0 （ x －2）2＋ y2＝5，所以圆心的
坐标为（2，0），半径为 .A项，圆是关于圆心对称的中心对称
图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直
径所在直线对称的轴对称图形，直线 y ＝0过圆心，所以本选项正
确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 x ＋3 y
－2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对
称的轴对称图形，直线 x － y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确.
故选A、B、C.
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6. （多选）（2024·莆田月考）已知圆心为 C 的圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋
11＝0与点 A （0，－5），则（　　）
A. 圆 C 的半径为2
B. 点 A 在圆 C 外
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解析： 　依题意，圆 C ：（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝2，则圆心
C （2，－3），半径 r ＝ ，A不正确；因点 A （0，－5），则｜
AC ｜＝2 ＞ r ，点 A 在圆 C 外，B正确；因点 A 在圆 C 外，在圆 C
上任取点 P ，则｜ PA ｜≤｜ PC ｜＋｜ CA ｜＝ r ＋｜ CA ｜＝3
，当且仅当点 P ， C ， A 共线，且 P 在线段 AC 延长线上时取
“＝”，C正确；在圆 C 上任取点 M ，则｜ MA ｜≥｜ CA ｜－｜
MC ｜＝｜ CA ｜－ r ＝ ，当且仅当点 C ， M ， A 共线，且 M 在线
段 CA 上时取“＝”，D正确.故选B、C、D.
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7. 若直线 x ＋ y ＋ a ＝0平分圆 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋1＝0，则实数 a
＝ .
解析：根据题意，圆的方程为 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋1＝0，其圆心为
（1，－2）.因为直线 x ＋ y ＋ a ＝0平分圆 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋1＝0，
所以圆心（1，－2）在直线 x ＋ y ＋ a ＝0上，则有 a ＋1－2＝0，解
得 a ＝1.
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8. （2024·南平月考）长度为6的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴
和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为 .
x2＋ y2＝9　
解析：设 M （ x ， y ），因为△ AOB 是直角三角形，所以｜ OM ｜＝ ｜ AB ｜＝3为定值，故 M 的轨迹为以 O 为圆心，3为半径的圆，故 x2＋ y2＝9即为所求.
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9. 过三点 O （0，0）， M （1，1）， N （4，2）的圆的方程为
.
解析：设过三点 O （0，0）， M （1，1）， N （4，2）的圆的方程
为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0），则
故所求圆的方程为 x2
＋ y2－8 x ＋6 y ＝0.
x2＋
y2－8 x ＋6 y ＝0　
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10. 已知方程 x2＋ y2－2（ t ＋3） x ＋2（1－4 t2） y ＋16 t4＋9＝0表示一
个圆.
（1）求 t 的取值范围；
解： 圆的方程可化为[ x －（ t ＋3）]2＋[ y ＋（1－4
t2）]2＝1＋6 t －7 t2.
由1＋6 t －7 t2＞0，即7 t2－6 t －1＜0，得－ ＜ t ＜1.
故 t 的取值范围是（－ ，1）.
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（2）求该圆的圆心坐标和半径；
解： 由（1）知，圆的圆心坐标为（ t ＋3，4 t2－1），
半径为 .
（3）求该圆半径 r 的最大值及此时圆的标准方程.
解： r ＝ ＝ ≤ .
所以 r 的最大值为 ，此时 t ＝ ，
故此时圆的标准方程为（ x － ）2＋（ y ＋ ）2＝ .
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11. 若Rt△ ACB 的斜边的两端点 A ， B 的坐标分别为（－3，0）和
（7，0），则直角顶点 C 的轨迹方程为（　　）
A. x2＋ y2＝25（ y ≠0）
B. x2＋ y2＝25
C. （ x －2）2＋ y2＝25（ y ≠0）
D. （ x －2）2＋ y2＝25
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解析： 　线段 AB 的中点坐标为（2，0），因为△ ACB 为直角三
角形， C 为直角顶点，所以点 C 到点（2，0）的距离为 ｜ AB ｜
＝5，所以点 C （ x ， y ）满足 ＝5（ y ≠0），即
（ x －2）2＋ y2＝25（ y ≠0）.
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12. （2024·淄博月考）若曲线 C ： x2＋ y2＋2 ax －4 ay ＋5 a2－4＝0上
所有的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为（　　）
A. （－∞，－2） B. （－∞，－1）
C. （1，＋∞） D. （2，＋∞）
解析： 　由题意得，曲线 C 的标准方程为（ x ＋ a ）2＋（ y －2
a ）2＝4，因此曲线 C 是圆心为（－ a ，2 a ），半径为2的圆.∵曲
线 C 上所有的点均在第二象限内，∴解得 a ＞2，∴ a
的取值范围是（2，＋∞）.
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13. 已知圆 C ： x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋ m ＝0与 y 轴交于 A ， B 两点，圆心
为 C . 若∠ ACB ＝ ，则实数 m ＝ .
解析：∵ x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋ m ＝0可化为（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝
5－ m ，∴圆心 C 的坐标为（2，－1），圆 C 的半径 r ＝ .由
∠ ACB ＝ 可得△ ACB 为等腰直角三角形，∴2＝ r ，解得 r ＝2
，∴ ＝2 ，解得 m ＝－3.
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14. 已知圆心为 C 的圆经过点 A （1，1）和 B （2，－2），且圆心 C 在
直线 l ： x － y ＋1＝0上.
（1）求圆 C 的方程；
解： 设点 D 为线段 AB 的中点，直线 m 为线段 AB 的垂
直平分线，则 D （ ，－ ）.
又 kAB ＝－3，所以 km ＝ ，
所以直线 m 的方程为 x －3 y －3＝0.
由得圆心 C （－3，－2），
则半径 r ＝｜ CA ｜＝ ＝5，
所以圆 C 的方程为（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝25.
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（2）线段 PQ 的端点 P 的坐标是（5，0），端点 Q 在圆 C 上运
动，求线段 PQ 的中点 M 的轨迹.
解： 设点 M （ x ， y ）， Q （ x0， y0）.
因为点 P 的坐标为（5，0），
所以
又点 Q （ x0， y0）在圆 C ：（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝25
上运动，
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所以（ x0＋3）2＋（ y0＋2）2＝25，
即（2 x －5＋3）2＋（2 y ＋2）2＝25，
整理得（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝ ，
即线段 PQ 的中点 M 的轨迹为以（1，－1）为圆心，半径
为 的圆.
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15. 已知定点 P1（－1，0）， P2（1，0），动点 M 满足｜ MP1｜＝
｜ MP2｜，则构成△ MP1 P2面积的最大值是（　　）
解析： 　设 M （ x ， y ），由｜ MP1｜＝ ｜ MP2｜，可得
＝ ，化简得（ x －3）2＋ y2
＝8，即点 M 在以（3，0）为圆心，2 ＝ ·｜ P1 P2｜·｜ yM ｜＝｜ yM ｜≤2 .故选B.
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16. （2024·三明月考）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且
直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下
性质：
①线段 AB 的最小覆盖圆就是以 AB 为直径的圆；
②锐角△ ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆.
已知曲线 W ： x2＋ y4＝4， A （0， t ）， B （2，0）， C （0，
）， D （－2，0）为曲线 W 上不同的四点.
（1）求实数 t 的值及△ ABC 的最小覆盖圆的一般方程；
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解： 因为点 A （0， t ）在曲线 W ： x2＋ y4＝4上，所以
t4＝4，解得 t ＝－ 或 t ＝ （舍去）.所以 A （0，－
）.
设△ ABC 的外接圆的一般方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0
（ D2＋ E2－4 F ＞0），则
所以△ ABC 的外接圆的一般方程为 x2＋ y2－ x －2＝0.
易知△ ABC 是锐角三角形，
所以△ ABC 的最小覆盖圆的一般方程是 x2＋ y2－ x －2＝0.
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（2）求四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程；
解： 因为线段 BD 的最小覆盖圆是以线段 BD 为直径的
圆，所以线段 BD 的最小覆盖圆的方程为 x2＋ y2＝4.
又因为｜ OA ｜＝｜ OC ｜＝ ＜2，所以点 A ， C 在圆内.
所以四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程是 x2＋ y2＝4.
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（3）求曲线 W 的最小覆盖圆的方程.
解： 因为曲线 W ： x2＋ y4＝4是中心对称图形，所以设
P （ a ， b ）（－ ≤ b ≤ ）是曲线 W 上的点.
则｜ OP ｜2＝ a2＋ b2＝－ b4＋ b2＋4＝－（ b2－ ）2＋ ，当
b2＝ 时，｜ OP ｜max＝ ，所以曲线 W 的最小覆盖圆的方
程是 x2＋ y2＝ .
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