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培优课　对称问题
1.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（　　）
A.2 B.4
C.5 D.
2.点P（2，5）关于x＋y＋1＝0的对称点的坐标为（　　）
A.（6，3） B.（3，－6）
C.（－6，－3） D.（－6，3）
3.（2024·周口质检）直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（　　）
A.3x－2y－6＝0 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0
4.两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（　　）
A.3x－2y＋24＝0 B.3x－2y－10＝0
C.3x－2y－20＝0 D.3x－2y＋22＝0
5.（2024·阳江月考）如图所示，已知点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（　　）
A.2 B.6
C.3 D.2
6.已知点A（－3，5），B（3，1），在直线l：y＝x上求一点P，使｜PA－PB｜的值最大，则P点的坐标为（　　）
A.（0，0） B.（，）
C.（，） D.（7，7）
7.（多选）已知直线l：y＝x，点A（0，－1），则（　　）
A.过点A与l平行的直线的方程为y＝x－1 B.点A关于l对称的点的坐标为（0，1）
C.点A到直线l的距离为 D.过点A与l垂直的直线的方程为y＝－x－1
8.已知直线l：3x＋2y－1＝0与直线l1关于直线x＋y＝0对称，则l1的方程为　　　　.
9.已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为　　　　.
10.（2024·南京质检）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离.结合上述观点，可得f（x）＝＋的最小值为　　　　.
11.若函数y＝的图象上存在两点P，Q关于点（1，0）对称，则直线PQ的方程是　　　　.
12.已知点M（3，5），在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小，并求出P和Q两点的坐标.
13.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.
（1）试判断由此得到的△ABC的个数；
（2）求直线BC的方程.
培优课　对称问题
1.D　由题可知： 所以点P（x，y）到原点的距离是.故选D.
2.C　设点P（2，5）关于直线x＋y＋1＝0的对称点为Q（a，b），则解得因此，点P（2，5）关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为（－6，－3）.故选C.
3.D　首先在所求直线上取点（x，y），则点（x，y）关于点（1，－1）对称的点的坐标为（2－x，－2－y），代入直线2x＋3y－6＝0，可得2（2－x）＋3（－2－y）－6＝0，整理得2x＋3y＋8＝0，故选D.
4.D　设所求直线方程为3x－2y＋c＝0（c≠－6，c≠8），由题意可知，所求直线到直线l2的距离等于直线l1，l2间的距离，∴＝.解得c＝22或c＝－6（舍去），∴所求直线的方程为3x－2y＋22＝0.故选D.
5.A　由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D（4，2），关于y轴的对称点为C（－2，0），连接MD，NC，易知PM＝MD，PN＝NC，所以PM＋MN＋NP＝MD＋MN＋NC＝CD，故光线所经过的路程为CD＝2.
6.B　如图，设点B关于直线l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，则kBB'·kl＝－1，即＝－1，得a＋b－4＝0，①.又由BB'的中点（，）在直线l上，所以＝，即a－b＋2＝0，②.由①②解得所以B'（1，3），于是AB'所在直线方程为＝，即x＋2y－7＝0，易知｜PA－PB｜＝｜PA－PB'｜，当且仅当P，B'，A三点共线时｜PA－PB'｜最大，即由得其交点坐标为（，），故P点坐标为（，）.故选B.
7.ACD　与直线y＝x平行的直线方程可设为y＝x＋m，代入点A（0，－1）得－1＝0＋m，即m＝－1，即平行线方程为y＝x－1，A正确；点A关于l的对称点坐标为（－1，0），B错；点A到直线l的距离为d＝＝，C正确；与直线l垂直的直线方程可设为y＝－x＋n，代入A点坐标得－1＝0＋n，n＝－1，即直线方程为y＝－x－1，D正确.故选A、C、D.
8.2x＋3y＋1＝0　解析：x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0不平行，故l1经过x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0的交点，联立解得即（1，－1）在l1上，取l：3x＋2y－1＝0上另一点（3，－4），设（3，－4）关于直线x＋y＝0的对称点为（m，n），则有解得l1过两点（1，－1）和（4，－3），故方程为＝，即2x＋3y＋1＝0.
9.2x＋7y－46＝0　解析：由题意可知，反射光线经过点M（－3，4）关于直线l的对称点P（9，4），如图所示.直线PN的方程即为反射光线所在的直线方程，又N（2，6），P（9，4）可得kPN＝＝－，根据直线的点斜式方程可得，反射光线所在直线方程为y－6＝－（x－2），整理得2x＋7y－46＝0，即反射光线所在直线的方程为2x＋7y－46＝0.
10.5　解析：∵f（x）＝＋＝＋，∴f（x）的几何意义为点M（x，0）到两定点A（－2，4）与B（－1，3）的距离之和，设点A（－2，4）关于x轴的对称点为A'，则A'（－2，－4）.要求f（x）的最小值，可转化为求MA＋MB的最小值，利用对称思想可知MA＋MB≥A'B＝＝5，即f（x）＝＋的最小值为5.
11.x－4y－1＝0　解析：根据题意，设P（p，），Q（q，），因为线段PQ的中点是（1，0），所以整理得所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，解得x＝1±，所以P（1＋，），Q（1－，－）或P（1－，－），Q（1＋，）.由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0.
12.解：由题可得，设点M（3，5）关于直线l的对称点为M1（a，b），则
解得即M1（5，1），
点M（3，5）关于y轴的对称点为M2（－3，5），
则直线M1M2的方程为＝，即x＋2y－7＝0.
当P，Q分别为直线M1M2与直线l，y轴的交点时，△MPQ的周长最小.
令x＝0，得到直线M1M2与y轴的交点Q（0，）.
由解得
所以直线M1M2与直线l的交点为P（，）.
故点P（，），Q（0，）即为所求.
13.解：（1）如图，设B（m，0），点A关于x轴的对称点为A'（1，－2），点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B'（－3，m＋3）.
根据光学知识，直线AB'与直线BC关于直线l对称，点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上，又直线A'B的方程为y＝（x－m），
由得x＝.
又直线AB'的方程为y－2＝·（x－1），
由得x＝.
所以＝，即3m2＋8m－3＝0，
解得m＝或－3.
当m＝时，符合题意；
当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形.
综上，符合题意的△ABC只有1个.
（2）由（1）得m＝，则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0，
即直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
2 / 2培优课　对称问题
　　
题型一 中心对称问题
【例1】　（1）求点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点P'的坐标；
（2）求直线3x－y－4＝0关于点（2，－1）的对称直线l的方程.
通性通法
1.解决点关于点对称问题的方法
点P（x0，y0）关于点A（m，n）的对称点P'（x'，y'）可利用中点坐标公式求得，由得
2.解决直线关于点对称问题的方法
方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线；
方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程；
特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－y）＋C＝0.
【跟踪训练】
1.（2024·济宁月考）若点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为（－1，2），则点B的坐标为　　　　.
2.已知直线l1：2x＋y＋2＝0与l2：4x＋by＋c＝0关于点P（1，0）对称，则b＋c＝　　　　.
题型二 轴对称问题
【例2】　（2024·湛江月考）已知直线l：y＝3x＋3，求：
（1）点P（4，5）关于直线l的对称点的坐标；
（2）直线y＝x－2关于直线l的对称直线的方程.
通性通法
1.解决点关于直线对称问题的方法
已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P'（x'，y'）可以分三步来求：
第一步，直线PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）；
第二步，PP'的中点在直线l上，即（，）满足直线方程Ax＋By＋C＝0，得到A·＋B·＋C＝0；
第三步，联立两式可解出x'，y'.
2.解决直线关于直线对称问题的方法
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程：
（1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m；
（2）如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确定所求直线方程.
【跟踪训练】
（2024·南通月考）已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程.
题型三 对称问题的应用
角度1　光的反射问题
【例3】　已知光线从点A（－2，1）射出，经直线2x－y＋10＝0反射，且反射光线所在直线过点B（－8，－3），则反射光线所在直线的方程是（　　）
A.x－3y－1＝0 B.3x－y＋21＝0
C.x＋3y＋17＝0 D.3x＋y＋15＝0
通性通法
利用对称解决光线反射问题的方法
　　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点关于法线对称.利用点的对称关系可以求解.
角度2　利用对称解决有关最值问题
【例4】　（2024·德州月考）在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得：
（1）P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差最大；
（2）Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小.
通性通法
利用对称性求距离最值问题的方法
　　要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之和（差）的最值问题，一般借助平面几何知识（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边）及对称性解决.即：
（1）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之和最小的点，只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可；
（2）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的点，则只需求出直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可；
（3）若两点A，B位于直线l的异侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的点，则只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可.
【跟踪训练】
1.一条光线从点A（－1，3）射向x轴，经过x轴上的点P反射后经过点B（3，1），则点P的坐标为（　　）
A.（0，0） B.（1，0）
C.（2，0） D.（3，0）
2.（2024·宁波月考）已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A（2，0），B（－2，－4），在直线l上求一点P，使｜PB－PA｜最大.
1.点A（－3，1），C（1，y）关于点B（－1，－3）对称，则y的值为（　　）
A.－5 B.－6
C.－7 D.－8
2.点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是（　　）
A.（－1，－3） B.（17，－9）
C.（－1，3） D.（－17，9）
3.直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是（　　）
A.2x－y＋1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x＋y＋1＝0 D.x＋2y＋1＝0
培优课　对称问题
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）根据题意可知点A（a，b）为PP'的中点，设点P'的坐标为（x，y），
则根据中点坐标公式，得所以
所以点P'的坐标为（2a－x0，2b－y0）.
（2）法一　设直线l上任意一点M的坐标为（x，y），则此点关于点（2，－1）的对称点为M1（4－x，－2－y），
且M1在直线3x－y－4＝0上，
所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0.
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
法二　在直线3x－y－4＝0上取两点A（0，－4），B（1，－1），
则点A（0，－4）关于点（2，－1）的对称点为A1（4，2），
点B（1，－1）关于点（2，－1）的对称点为B1（3，－1）.
可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，
即所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
法三　由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，
则可设l的方程为3x－y＋c＝0（c≠－4）.
在直线3x－y－4＝0上取一点（0，－4），
则点（0，－4）关于点（2，－1）的对称点（4，2）在直线3x－y＋c＝0上，
所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10.
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
跟踪训练
1.（7，6）　解析：设点B（x，y），∵点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为（－1，2），∴解得x＝7，y＝6，所以点B的坐标为（7，6）.
2.－10　解析：在直线l1：2x＋y＋2＝0上取点M（－1，0），N（0，－2），M，N关于点P（1，0）对称的点分别为M1（3，0），N1（2，2）.∵点M1（3，0），N1（2，2）在直线l2：4x＋by＋c＝0上，∴12＋c＝0，8＋2b＋c＝0，解得c＝－12，b＝2，∴b＋c＝－10.
【例2】　解：（1）设点P关于直线l的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l，即解得
所以点P'的坐标为（－2，7）.
（2）解方程组得
则点（－，－）在所求直线上.
在直线y＝x－2上任取一点M（2，0），
设点M关于直线l的对称点为M'（x0，y0），
则解得
点M'（－，）也在所求直线上.
由两点式得直线方程为＝，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程.
跟踪训练
　解：法一　因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）.
因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l间的距离等于l2与l间的距离.
由两条平行直线间的距离公式，得＝，解得m＝－5或m＝3（舍去）.
所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
法二　由题意知l1∥l2，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）.
在直线l1上取点M（0，3），设点M关于直线l的对称点为M'（a，b），于是有解得即点M'的坐标为（4，－1）.
把点M'的坐标代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
【例3】　B　设A（－2，1）关于直线2x－y＋10＝0的对称点为C（x，y），则解得即C（－6，3），所以反射光线所在直线方程为y－3＝·（x＋6），即3x－y＋21＝0.故选B.
【例4】　解：（1）如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，则kBB'·kl＝－1，即×1＝－1，
∴a＋b－4＝0， ①
∵BB'的中点（，）在直线l上，
∴－－1＝0，即a－b－6＝0. ②
由①②得
∴点B'的坐标为（5，－1）.
于是AB'所在直线的方程为＝，
即2x＋y－9＝0.
易知｜PB－PA｜＝｜PB'－PA｜，当且仅当P，B'，A三点共线时，｜PB'－PA｜最大.
∴联立直线l与AB'的方程，解得x＝，y＝，
即直线l与AB'的交点坐标为（，）.
故点P的坐标为（，）.
（2）如图，设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为（1，2），
∴AC'所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知QA＋QC＝QA＋QC'，当且仅当Q，A，C'三点共线时，QA＋QC'最小.
∴联立直线AC'与l的方程，解得x＝，y＝，
即直线AC'与l的交点坐标为（，）.
故点Q的坐标为（，）.
跟踪训练
1.C　由题可得B（3，1）关于x轴的对称点为B'（3，－1），则直线AB'的方程为＝，可得y＝－x＋2，令y＝0，可得x＝2，所以点P（2，0）.
2.解：易知A，B两点在直线l的同侧，
当且仅当A，B，P三点共线时，｜PB－PA｜取得最大值，
又直线AB的方程为y＝x－2，
则得
故所求的点P的坐标为（12，10）.
随堂检测
1.C　由已知得＝－3，解得y＝－7.
2.A　设点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为（a，b），则由解得即得该点坐标为（－1，－3）.故选A.
3.A　由得其交点为（－1，－1），则点（－1，－1）在所求直线上，在直线x－2y－1＝0上任取一点P（1，0），设点P关于直线y－x＝0的对称点为P'（x0，y0），则解得即P'（0，1），又点P'也在所求直线上，则所求直线方程为＝，即2x－y＋1＝0，故选A.
3 / 3(共55张PPT)
培优课　对称问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
03
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 中心对称问题
【例1】　（1）求点 P （ x0， y0）关于点 A （ a ， b ）的对称点P'
的坐标；
解： 根据题意可知点 A （ a ， b ）为PP'的中点，设点P'的
坐标为（ x ， y ），
则根据中点坐标公式，得
所以点P'的坐标为（2 a － x0，2 b － y0）.
（2）求直线3 x － y －4＝0关于点（2，－1）的对称直线 l 的方程.
解： 法一　设直线 l 上任意一点 M 的坐标为（ x ， y ），则
此点关于点（2，－1）的对称点为 M1（4－ x ，－2－ y ），
且 M1在直线3 x － y －4＝0上，
所以3（4－ x ）－（－2－ y ）－4＝0，即3 x － y －10＝0.
所以所求直线 l 的方程为3 x － y －10＝0.
法二　在直线3 x － y －4＝0上取两点 A （0，－4）， B （1，－1），
则点 A （0，－4）关于点（2，－1）的对称点为 A1（4，2），
点 B （1，－1）关于点（2，－1）的对称点为 B1（3，－1）.
可得直线 A1 B1的方程为3 x － y －10＝0，
即所求直线 l 的方程为3 x － y －10＝0.
法三　由平面几何知识易知所求直线 l 与直线3 x － y －4＝0平行，
则可设 l 的方程为3 x － y ＋ c ＝0（ c ≠－4）.
在直线3 x － y －4＝0上取一点（0，－4），
则点（0，－4）关于点（2，－1）的对称点（4，2）在直线3 x － y ＋
c ＝0上，
所以3×4－2＋ c ＝0，所以 c ＝－10.
所以所求直线 l 的方程为3 x － y －10＝0.
通性通法
1. 解决点关于点对称问题的方法
点 P （ x0， y0）关于点 A （ m ， n ）的对称点P'（x'，y'）可利用中
点坐标公式求得，由得
2. 解决直线关于点对称问题的方法
方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称
点，再由对称点确定对称直线；
方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利
用对称直线与原直线平行求直线方程；
特别地，直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0关于原点对称的直线方程是 A （－
x ）＋ B （－ y ）＋ C ＝0.
【跟踪训练】
1. （2024·济宁月考）若点 P （3，4）是线段 AB 的中点，且点 A 的坐
标为（－1，2），则点 B 的坐标为 .
解析：设点 B （ x ， y ），∵点 P （3，4）是线段 AB 的中点，且点
A 的坐标为（－1，2），∴解得 x ＝7， y ＝6，所以点 B
的坐标为（7，6）.
（7，6）　
2. 已知直线 l1：2 x ＋ y ＋2＝0与 l2：4 x ＋ by ＋ c ＝0关于点 P （1，0）
对称，则 b ＋ c ＝ .
解析：在直线 l1：2 x ＋ y ＋2＝0上取点 M （－1，0）， N （0，－
2）， M ， N 关于点 P （1，0）对称的点分别为 M1（3，0）， N1
（2，2）.∵点 M1（3，0）， N1（2，2）在直线 l2：4 x ＋ by ＋ c ＝0
上，∴12＋ c ＝0，8＋2 b ＋ c ＝0，解得 c ＝－12， b ＝2，∴ b ＋ c
＝－10.
－10　
题型二 轴对称问题
【例2】　（2024·湛江月考）已知直线 l ： y ＝3 x ＋3，求：
（1）点 P （4，5）关于直线 l 的对称点的坐标；
解： 设点 P 关于直线 l 的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'
的中点在直线 l 上，且直线PP'垂直于直线 l ，即
所以点P'的坐标为（－2，7）.
（2）直线 y ＝ x －2关于直线 l 的对称直线的方程.
解： 解方程组则点（－ ，－ ）
在所求直线上.在直线 y ＝ x －2上任取一点 M （2，0），点 M 关于
直线 l 的对称点为M'（ x0， y0），则
点M'（－ ）也在所求直线上.由两点式得直线方程
为 ＝ ，化简得7 x ＋ y ＋22＝0，即为所求直线方程.
通性通法
1. 解决点关于直线对称问题的方法
已知 P （ x ， y ），直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0，求点 P 关于直线 l 的对
称点P'（x'，y'）可以分三步来求：
第一步，直线PP'和 l 垂直，故 kPP'· kl ＝－1（ kl ≠0）；
第二步，PP'的中点在直线 l 上，即（ ， ）满足直线方程
Ax ＋ By ＋ C ＝0，得到 A · ＋ B · ＋ C ＝0；
第三步，联立两式可解出x'，y'.
2. 解决直线关于直线对称问题的方法
已知直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0，求直线
l1关于直线 l2的对称直线的方程：
（1）如果 l1∥ l2，则设所求直线方程为 A1 x ＋ B1 y ＋ m ＝0（ m ≠
C1），然后在 l1上找一点 P ，求出点 P 关于直线 l2的对称点P'
（x'，y'），再代入 A1 x ＋ B1 y ＋ m ＝0即可解出 m ；
（2）如果 l1不平行于 l2，则先找出 l1与 l2的交点 P ，然后在 l1上确定
一点（不同于交点），找出这一点关于 l2的对称点P'，由直线
方程的两点式确定所求直线方程.
【跟踪训练】
（2024·南通月考）已知直线 l1： x － y ＋3＝0，直线 l ： x － y －1＝0.
若直线 l1关于直线 l 的对称直线为 l2，求直线 l2的方程.
解：法一　因为 l1∥ l ，所以 l2∥ l ，设直线 l2的方程为 x － y ＋ m
＝0（ m ≠3， m ≠－1）.
因为直线 l1， l2关于直线 l 对称，所以 l1与 l 间的距离等于 l2与 l 间
的距离.
由两条平行直线间的距离公式，得 ＝ ，解得 m
＝－5或 m ＝3（舍去）.
所以直线 l2的方程为 x － y －5＝0.
法二　由题意知 l1∥ l2，设直线 l2的方程为 x － y ＋ m ＝0（ m ≠3， m
≠－1）.
在直线 l1上取点 M （0，3），设点 M 关于直线 l 的对称点为M'（ a ，
b ），于是有即点M'的坐标为
（4，－1）.
把点M'的坐标代入 l2的方程，得 m ＝－5，所以直线 l2的方程为 x － y
－5＝0.
题型三 对称问题的应用
角度1　光的反射问题
【例3】　已知光线从点 A （－2，1）射出，经直线2 x － y ＋10＝0反
射，且反射光线所在直线过点 B （－8，－3），则反射光线所在直线
的方程是（　　）
A. x －3 y －1＝0 B. 3 x － y ＋21＝0
C. x ＋3 y ＋17＝0 D. 3 x ＋ y ＋15＝0
解析： 　设 A （－2，1）关于直线2 x － y ＋10＝0的对称点为 C
（ x ， y ），则即 C （－
6，3），所以反射光线所在直线方程为 y －3＝ ·（ x ＋6），即3 x
－ y ＋21＝0.故选B.
通性通法
利用对称解决光线反射问题的方法
　　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线
关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点关于法线对称.利用
点的对称关系可以求解.
角度2　利用对称解决有关最值问题
【例4】　（2024·德州月考）在直线 l ： x － y －1＝0上求两点 P ， Q .
使得：
（1） P 到 A （4，1）与 B （0，4）的距离之差最大；
解： 如图，设点 B 关于 l 的对称点B'的坐标
为（ a ， b ），连接BB'，则 kBB'· kl ＝－1，即
×1＝－1，
∴ a ＋ b －4＝0， ①
∵BB'的中点（ ）在直线 l 上，
∴ － －1＝0，即 a － b －6＝0. ②
由①②得
∴点B'的坐标为（5，－1）.
于是AB'所在直线的方程为 ＝ ，
即2 x ＋ y －9＝0.
易知｜ PB － PA ｜＝｜PB'－ PA ｜，当且仅当 P ，
B'， A 三点共线时，｜PB'－ PA ｜最大.
∴联立直线 l 与AB'的方程，解得 x ＝ ， y ＝ ，
即直线 l 与AB'的交点坐标为（ ）.
故点 P 的坐标为（ ）.
（2） Q 到 A （4，1）与 C （3，0）的距离之和最小.
解： 如图，设点 C 关于 l 的对称点为C'，
可求得C'的坐标为（1，2），
∴AC'所在直线的方程为 x ＋3 y －7＝0.
易知 QA ＋ QC ＝ QA ＋QC'，当且仅当 Q ， A ，C'三点共线时，
QA ＋QC'最小.
∴联立直线AC'与 l 的方程，解得 x ＝ ， y ＝ ，
即直线AC'与 l 的交点坐标为（ ）.
故点 Q 的坐标为（ ）.
通性通法
利用对称性求距离最值问题的方法
　　要解决在直线 l 上求一点，使这点到两定点 A ， B 的距离之和
（差）的最值问题，一般借助平面几何知识（三角形任意两边之和大
于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边）及对称性解决.即：
（1）若两点 A ， B 位于直线 l 的同侧，要求直线 l 上到 A ， B 距离之和
最小的点，只需作 A （或 B ）关于直线 l 的对称点A'（或B'），
得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线 l 的交点即可；
（2）若两点 A ， B 位于直线 l 的同侧，要求直线 l 上到 A ， B 距离之差
最大的点，则只需求出直线 AB 的方程，再求其与直线 l 的交点
即可；
（3）若两点 A ， B 位于直线 l 的异侧，要求直线 l 上到 A ， B 距离之差
最大的点，则只需作 A （或 B ）关于直线 l 的对称点A'（或
B'），得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线 l 的交点即可.
【跟踪训练】
1. 一条光线从点 A （－1，3）射向 x 轴，经过 x 轴上的点 P 反射后经过
点 B （3，1），则点 P 的坐标为（　　）
A. （0，0） B. （1，0）
C. （2，0） D. （3，0）
解析： 　由题可得 B （3，1）关于 x 轴的对称点为B'（3，－1），
则直线AB'的方程为 ＝ ，可得 y ＝－ x ＋2，令 y ＝0，可
得 x ＝2，所以点 P （2，0）.
2. （2024·宁波月考）已知直线 l ： x －2 y ＋8＝0和两点 A （2，0），
B （－2，－4），在直线 l 上求一点 P ，使｜ PB － PA ｜最大.
解：易知 A ， B 两点在直线 l 的同侧，
当且仅当 A ， B ， P 三点共线时，｜ PB － PA ｜取得最大值，
又直线 AB 的方程为 y ＝ x －2，
则
故所求的点 P 的坐标为（12，10）.
1. 点 A （－3，1）， C （1， y ）关于点 B （－1，－3）对称，则 y 的
值为（　　）
A. －5 B. －6
C. －7 D. －8
解析： 　由已知得 ＝－3，解得 y ＝－7.
2. 点（3，9）关于直线 x ＋3 y －10＝0对称的点的坐标是（　　）
A. （－1，－3） B. （17，－9）
C. （－1，3） D. （－17，9）
解析： 　设点（3，9）关于直线 x ＋3 y －10＝0对称的点的坐标为
（ a ， b ），则由即得该
点坐标为（－1，－3）.故选A.
3. 直线 x －2 y －1＝0关于直线 y － x ＝0对称的直线方程是（　　）
A. 2 x － y ＋1＝0 B. 2 x ＋ y －1＝0
C. 2 x ＋ y ＋1＝0 D. x ＋2 y ＋1＝0
解析： 　由得其交点为（－1，－1），则点
（－1，－1）在所求直线上，在直线 x －2 y －1＝0上任取一点 P
（1，0），设点 P 关于直线 y － x ＝0的对称点为 P '（ x0， y0），则
即 P '（0，1），又点 P '也在所求直
线上，则所求直线方程为 ＝ ，即2 x － y ＋1＝0，故选A.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知点 A （ x ，5）关于点（1， y ）的对称点为（－2，－3），则点
P （ x ， y ）到原点的距离是（　　）
A. 2 B. 4
C. 5
解析： 　由题可知： 所以点 P （ x ， y ）到
原点的距离是 .故选D.
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2. 点 P （2，5）关于 x ＋ y ＋1＝0的对称点的坐标为（　　）
A. （6，3） B. （3，－6）
C. （－6，－3） D. （－6，3）
解析： 　设点 P （2，5）关于直线 x ＋ y ＋1＝0的对称点为 Q
（ a ， b ），则因此，点 P
（2，5）关于直线 x ＋ y ＋1＝0的对称点的坐标为（－6，－3）.故
选C.
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3. （2024·周口质检）直线2 x ＋3 y －6＝0关于点（1，－1）对称的直
线方程是（　　）
A. 3 x －2 y －6＝0 B. 2 x ＋3 y ＋7＝0
C. 3 x －2 y －12＝0 D. 2 x ＋3 y ＋8＝0
解析： 　首先在所求直线上取点（ x ， y ），则点（ x ， y ）关于
点（1，－1）对称的点的坐标为（2－ x ，－2－ y ），代入直线2 x
＋3 y －6＝0，可得2（2－ x ）＋3（－2－ y ）－6＝0，整理得2 x ＋3
y ＋8＝0，故选D.
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4. 两直线 l1：3 x －2 y －6＝0， l2：3 x －2 y ＋8＝0，则直线 l1关于直线
l2对称的直线方程为（　　）
A. 3 x －2 y ＋24＝0 B. 3 x －2 y －10＝0
C. 3 x －2 y －20＝0 D. 3 x －2 y ＋22＝0
解析： 　设所求直线方程为3 x －2 y ＋ c ＝0（ c ≠－6， c ≠8），
由题意可知，所求直线到直线 l2的距离等于直线 l1， l2间的距离，
∴ ＝ .解得 c ＝22或 c ＝－6（舍去），∴所
求直线的方程为3 x －2 y ＋22＝0.故选D.
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5. （2024·阳江月考）如图所示，已知点 A （4，0）， B （0，4），从点 P （2，0）射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到点 P ，则光线所经过的路程是（　　）
B. 6
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解析： 　由题意知， AB 所在直线的方程为 x ＋
y －4＝0.如图，点 P 关于直线 AB 的对称点为 D
（4，2），关于 y 轴的对称点为 C （－2，0），
连接 MD ， NC ，易知 PM ＝ MD ， PN ＝ NC ，
所以 PM ＋ MN ＋ NP ＝ MD ＋ MN ＋ NC ＝ CD ，
故光线所经过的路程为 CD ＝2 .
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6. 已知点 A （－3，5）， B （3，1），在直线 l ： y ＝ x 上求一点 P ，
使｜ PA － PB ｜的值最大，则 P 点的坐标为（　　）
A. （0，0）
D. （7，7）
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解析： 　如图，设点 B 关于直线 l 的对称点 B '的坐
标为（ a ， b ），连接 BB '，则 kBB'· kl ＝－1，即
＝－1，得 a ＋ b －4＝0，①.又由 BB '的中点（
）在直线 l 上，所以 ＝ ，即 a － b ＋2＝0，
②.由①②解得所以 B '（1，3），于是 AB '所
在直线方程为 ＝ ，即 x ＋2 y －7＝0，易知｜ PA － PB ｜
＝｜ PA － PB '｜，当且仅当 P ， B '， A 三点共线时｜ PA － PB '｜最
大，即由得其交点坐标为（ ），故 P 点坐标
为（ ）.故选B.
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7. （多选）已知直线 l ： y ＝ x ，点 A （0，－1），则（　　）
A. 过点 A 与 l 平行的直线的方程为 y ＝ x －1
B. 点 A 关于 l 对称的点的坐标为（0，1）
D. 过点 A 与 l 垂直的直线的方程为 y ＝－ x －1
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解析： 　与直线 y ＝ x 平行的直线方程可设为 y ＝ x ＋ m ，代入
点 A （0，－1）得－1＝0＋ m ，即 m ＝－1，即平行线方程为 y ＝ x
－1，A正确；点 A 关于 l 的对称点坐标为（－1，0），B错；点 A 到
直线 l 的距离为 d ＝ ＝ ，C正确；与直线 l 垂直的直线方
程可设为 y ＝－ x ＋ n ，代入 A 点坐标得－1＝0＋ n ， n ＝－1，即直
线方程为 y ＝－ x －1，D正确.故选A、C、D.
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8. 已知直线 l ：3 x ＋2 y －1＝0与直线 l1关于直线 x ＋ y ＝0对称，则 l1的
方程为 .
解析： x ＋ y ＝0与 l ：3 x ＋2 y －1＝0不平行，故 l1经过 x ＋ y ＝0与
l ：3 x ＋2 y －1＝0的交点，联立
即（1，－1）在 l1上，取 l ：3 x ＋2 y －1＝0上另一点
（3，－4），设（3，－4）关于直线 x ＋ y ＝0的对称点为（ m ，
n ），则有 l1过两点（1，－
1）和（4，－3），故方程为 ＝ ，即2 x ＋3 y ＋1＝0.
2 x ＋3 y ＋1＝0　
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9. 已知入射光线经过点 M （－3，4），被直线 l ： x －3＝0反射，反
射光线经过点 N （2，6），则反射光线所在直线的方程为
.
2 x ＋7 y
－46＝0　
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解析：由题意可知，反射光线经过点 M （－
3，4）关于直线 l 的对称点 P （9，4），如图
所示.直线 PN 的方程即为反射光线所在的直线
方程，又 N （2，6）， P （9，4）可得 kPN ＝
＝－ ，根据直线的点斜式方程可得，反射
光线所在直线方程为 y －6＝－ （ x －2），整
理得2 x ＋7 y －46＝0，即反射光线所在直线的
方程为2 x ＋7 y －46＝0.
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10. （2024·南京质检）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般
好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何
问题加以解决，如： 可以转化为平面上
点 M （ x ， y ）与点 N （ a ， b ）的距离.结合上述观点，可得 f
（ x ）＝ ＋ 的最小值为 　 　.
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解析：∵ f （ x ）＝ ＋ ＝
＋ ，∴ f
（ x ）的几何意义为点 M （ x ，0）到两定点 A （－2，4）与 B （－
1，3）的距离之和，设点 A （－2，4）关于 x 轴的对称点为A'，则
A'（－2，－4）.要求 f （ x ）的最小值，可转化为求 MA ＋ MB 的最
小值，利用对称思想可知 MA ＋ MB ≥A'B＝
＝5 ，即 f （ x ）＝ ＋
的最小值为5 .
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11. 若函数 y ＝ 的图象上存在两点 P ， Q 关于点（1，0）对称，则
直线 PQ 的方程是 .
解析：根据题意，设 P （ p ， ）， Q （ q ， ），因为线段
PQ 的中点是（1，0），所以
所以 p ， q 为方程 x2－2 x －1＝0的根，解得 x ＝1±
，所以 P （1＋ ）， Q （1－ ，－ ）或 P （1－
，－ ）， Q （1＋ ）.由两点式得直线 PQ 的方程为 x
－4 y －1＝0.
x －4 y －1＝0　
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12. 已知点 M （3，5），在直线 l ： x －2 y ＋2＝0和 y 轴上各找一点 P
和 Q ，使△ MPQ 的周长最小，并求出 P 和 Q 两点的坐标.
解：由题可得，设点 M （3，5）关于直线 l 的对称点为 M1（ a ，
b ），则
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解得即 M1（5，1），
点 M （3，5）关于 y 轴的对称点为 M2（－3，5），
则直线 M1 M2的方程为 ＝ ，即 x ＋2 y －7＝0.
当 P ， Q 分别为直线 M1 M2与直线 l ， y 轴的交点时，△ MPQ 的周
长最小.
令 x ＝0，得到直线 M1 M2与 y 轴的交点 Q （0， ）.
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由
所以直线 M1 M2与直线 l 的交点为 P （ ）.
故点 P （ ）， Q （0， ）即为所求.
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13. 已知直线 l ： x － y ＋3＝0，一束光线从点 A （1，2）处射向 x 轴上
一点 B ，又从点 B 反射到 l 上的一点 C ，最后从点 C 反射回点 A .
（1）试判断由此得到的△ ABC 的个数；
解： 如图，设 B （ m ，0），点 A 关于 x 轴的对
称点为A'（1，－2），点 B 关于直线 x － y ＋3＝
0的对称点为B'（－3， m ＋3）.
根据光学知识，直线AB'与直线 BC 关于直线 l 对
称，点 C 在直线A'B上，点 C 又在直线B'A上，又
直线A'B的方程为 y ＝ （ x － m ），
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由得 x ＝ .
又直线AB'的方程为 y －2＝ （ x －1），
由得 x ＝ .
所以 ＝ ，即3 m2＋8 m －3＝0，解得 m ＝ 或－3.
当 m ＝ 时，符合题意；
当 m ＝－3时，点 B 在直线 x － y ＋3＝0上，不能构成三角形.
综上，符合题意的△ ABC 只有1个.
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（2）求直线 BC 的方程.
解： 由（1）得 m ＝ ，则直线A'B的方程为3 x ＋ y －1
＝0，
即直线 BC 的方程为3 x ＋ y －1＝0.
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