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培优课　与圆有关的最值问题
1.以M（－4，3）为圆心的圆与直线2x＋y－5＝0相离，那么圆M的半径r的取值范围是（　　）
A.0＜r＜2 B.0＜r＜
C.0＜r＜2 D.0＜r＜10
2.（2024·清远月考）已知直线y＝kx＋m（m为常数）与圆x2＋y2＝4交于点M，N.当k变化时，若｜MN｜的最小值为2，则m＝（　　）
A.±1 B.±
C.± D.±2
3.已知点P是直线l：3x＋4y－15＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝1作切线，则切线长的最小值是（　　）
A.2 B.1
C. D.2
4.（2024·宁德月考）已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为（　　）
A. B.2
C.3 D.4
5.圆x2＋y2－4y－4＝0上恰有两点到直线x－y＋a＝0的距离为，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－4，0） B.（4，8）
C.（－4，0）∪（4，8） D.（－4，8）
6.已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（　　）
A.1＋ B.4
C.1＋3 D.7
7.（2024·茂名月考）如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B两点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的取值范围为（　　）
A.（0，］ B.（0，π]
C.（0，2－］ D.（0，2－π]
8.（多选）已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（　　）
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝3
D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝3
9.已知实数x，y满足方程y＝，则的最大值为　　　　.
10.过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）｜x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为　　　　　　　　.
11.（2024·常州月考）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则｜PA｜·｜PB｜的最大值是　　　　.
12.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q（－2，3）.
（1）求｜MQ｜的最大值和最小值；
（2）若M（m，n），求的最大值和最小值.
13.已知圆C1：（x－1）2＋（y－2）2＝1，C2：（x－3）2＋（y－5）2＝3，点P，A，B分别在x轴和圆C1，C2上.
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求｜PA｜＋｜PB｜的最小值.
培优课　与圆有关的最值问题
1.C　圆心M到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝2，由0＜r＜d，知C项正确.
2.C　由题意可知，直线l：y＝kx＋m恒过定点A（0，m），由于l截圆的弦长最小值为2，即当直线l与直线OA垂直时（O为坐标原点），弦长取得最小值，于是22＝（×2）2＋｜OA｜2＝1＋m2，解得m＝±.
3.D　圆O：x2＋y2＝1的圆心O（0，0），半径r＝1.切线长L＝＝，所以当OP的长度最小时，切线长L最小.当OP⊥l时，｜OP｜min＝＝3，所以Lmin＝2.
4.D　因为C1（－2，2），r1＝2，C2（2，0），r2＝4，所以｜C1C2｜＝＝2，当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4.
5.C　圆的标准方程为x2＋（y－2）2＝8，所以圆心为C（0，2），半径r＝2，圆心C到已知直线的距离d＝＝.由题意得解得－4＜a＜0或4＜a＜8.
6.C　法一　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9，表示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设x－y＝t，则直线x－y－t＝0与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9有公共点，所以圆心到直线x－y－t＝0的距离d＝≤3，解得1－3≤t≤1＋3.故选C.
法二　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9.设x＝2＋3cos θ，y＝1＋3sin θ，θ∈[0，2π]，则x－y＝1＋3cos θ－3sin θ＝1＋3·cos（θ＋）≤1＋3，当θ＝＋2kπ（k∈Z）时取等号.故选C.
7.C　设两圆的半径为r，当两圆相切于C点时，所围成的图形面积最大，如图，此时，2r＝｜AB｜＝2，所以r＝1，所围成图形的面积S为矩形ABO2O1的面积减去一个半圆的面积，即S＝2－.随着r的增大，S逐渐趋于0，所以所求面积S的取值范围为（0，2－］.
8.ACD　设圆（x－5）2＋（y－5）2＝16的圆心为M（5，5），由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确.易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜ －4＝1，故B不正确.
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，｜PB｜＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，｜PB｜＝3，故C、D都正确.综上，选A、C、D.
9.　解析：方程y＝化为（x－2）2＋y2＝3（y≥0），表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx，如图所示，当直线与半圆相切时，k＝（负值舍去），所以的最大值为.
10.x＋y－2＝0　解析：由题意知，点P（1，1）在圆x2＋y2＝4内，则过点P截得的弦最短的直线将圆分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O和P（1，1）的连线垂直，∴该直线斜率为－1，由点斜式方程，得y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.
11.5　解析：由条件，得A（0，0），B（1，3）.由x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0消去m，得动点P的轨迹方程为（x－）2＋（y－）2＝，易知OB为圆的一条直径，由图可知，PA⊥PB，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝10，所以｜PA｜·｜PB｜≤＝5.
12.解：（1）由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得（x－2）2＋（y－7）2＝8，
∴圆心C的坐标为（2，7），半径r＝2，
又｜QC｜＝＝4，
∴｜MQ｜max＝4＋2＝6，
｜MQ｜min＝4－2＝2.
（2）由题可知表示直线MQ的斜率.
设直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2），
即kx－y＋2k＋3＝0，
则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，得≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
13.解：（1）由题意，得C1（1，2），C2（3，5），r1＝1，r2＝，
∴｜C1C2｜＝＝，r1＋r2＝1＋，｜C1C2｜＞r1＋r2，
∴两圆的位置关系为相离.
（2）如图，作圆C2关于x轴的对称圆C'2，则C'2（3，－5），B的对称点为B'，则｜PA｜＋｜PB｜的最小值为｜PA｜＋｜PB'｜的最小值，即为｜C1C'2｜－r1－r2＝－1－＝－1－.
2 / 2培优课　与圆有关的最值问题
题型一 与距离有关的最值问题
【例1】　（1）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（　　）
A.4 B.5
C.6 D.7
（2）（2024·无锡月考）圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是　　　　.
通性通法
1.求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤
（1）求圆心O与定点M间的距离dMO；
（2）根据圆的几何性质知，①当点M在圆外时，dmax＝dMO＋r，dmin＝dMO－r；②当点M在圆内时，dmax＝dMO＋r，dmin＝r－dMO.
2.求点到直线的距离、弦长及切线长的最值
（1）直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为d－r，最大值为d＋r（d为圆心到直线的距离）；
（2）过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为2，最大值为2r（d为圆心到直线的距离）；
（3）直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值为（d为圆心到直线的距离）.
【跟踪训练】
1.（2024·阳江质检）若过直线3x＋4y－2＝0上一点M向圆C：（x＋2）2＋（y＋3）2＝4作一条切线，切点为T，则｜MT｜的最小值为（　　）
A. B.4
C.2 D.2
2.从点P（1，－2）向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m＝　　　　.
题型二 与面积有关的最值问题
【例2】　已知点A（－2，0），B（0，2），若点C是圆x2－2x＋y2＝0上的动点，求△ABC面积的最小值.
通性通法
　　求与圆有关的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.
【跟踪训练】
1.直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆（x－2）2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）
A.[2，6] B.[4，8]
C.[，3] D.[2，3]
2.（2024·云浮月考）直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为（　　）
A.1 B.C. D.
题型三 利用数学表达式的几何性质求解最值问题
【例3】　已知x和y满足（x＋1）2＋y2＝，求x2＋y2的最值.
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，求的取值范围.
2.（变设问）本例条件不变，求x＋y的取值范围.
通性通法
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
（1）形如u＝形式的最值问题，可转化为过点（x，y）和（a，b）的动直线斜率的最值问题；
（2）形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；
（3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点（x，y）到定点（a，b）的距离的平方的最值问题.
【跟踪训练】
　（2024·郑州月考）在平面直角坐标系Oxy中，已知（x1－2）2＋＝5，x2－2y2＋4＝0，则（x1－x2）2＋（y1－y2）2的最小值为（　　）
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
1.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（　　）
A. B.
C.1 D.3
2.若实数x，y满足（x＋5）2＋（y－12）2＝142，则x2＋y2的最小值为（　　）
A.2 B.1
C. D.
3.已知点O（0，0），A（0，2），点M是圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为（　　）
A. B.1
C. D.2
4.（2024·聊城质检）设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为　　　　.
培优课　与圆有关的最值问题
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）A　（2）6　解析：（1）设圆心C（x，y），则＝1，化简得（x－3）2＋（y－4）2＝1，所以圆心C的轨迹是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆，所以｜OC｜＋1≥｜OM｜＝＝5，所以｜OC｜≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号.
（2）圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为（x－2）2＋（y－2）2＝18，圆心为（2，2），半径为3.圆心（2，2）到直线x＋y－14＝0的距离为＝5＞3，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r＝6.
跟踪训练
1.D　根据题意，知圆C的圆心C（－2，－3），半径r＝2，｜MT｜＝＝，当｜MC｜取得最小值时，｜MT｜的值最小，而｜MC｜的最小值为C到直线3x＋4y－2＝0的距离，即｜MC｜min＝＝4，所以｜MT｜的最小值为＝2.故选D.
2.1　解析：圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0，可化为（x－m）2＋（y－1）2＝1，圆心C（m，1），半径为1，切线长最短时，｜CP｜最小，｜CP｜＝，∴m＝1时，｜CP｜最小，切线长最短.
【例2】　解：设圆上点C到直线AB的距离为d，圆心到直线AB的距离为d'，易得直线AB的方程为y＝x＋2，
则dmin＝d'－1＝－1，
所以（S△ABC）min＝｜AB｜·dmin＝×2×（－1）＝3－.
跟踪训练
1.A　设圆心到直线AB的距离d＝＝2.点P到直线AB的距离为d'.易知d－r≤d'≤d＋r，即≤d'≤3.又｜AB｜＝2，所以S△ABP＝·｜AB｜·d'＝d'，所以2≤S△ABP≤6.
2.B　设圆心到直线的距离为d（0＜d＜1），则｜AB｜＝2，所以S△ABO＝·2·d＝，由基本不等式，可得S△ABO＝≤＝，当且仅当d＝时，等号成立.
【例3】　解：由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.
原点O（0，0）到圆心C（－1，0）的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，
最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
母题探究
1.解：设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，
由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得－≤k≤.
即的取值范围是.
2.解：令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有＝，解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1.即x＋y的取值范围是.
跟踪训练
　B　由已知得点（x1，y1）在圆（x－2）2＋y2＝5上，点（x2，y2）在直线x－2y＋4＝0上，故（x1－x2）2＋（y1－y2）2表示圆（x－2）2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为－＝，故（x1－x2）2＋（y1－y2）2的最小值为.
随堂检测
1.A　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心（1，1）到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.
2.B　x2＋y2表示圆上的点（x，y）与（0，0）间距离的平方，又点（0，0）在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－＝1.
3.B　根据题意，得圆（x－3）2＋（y＋1）2＝4的圆心为（3，－1），半径r＝2，O（0，0），A（0，2），OA所在的直线是y轴，当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，则△OAM的面积最小值S＝×｜OA｜×d＝1.
4.12　解析：由题意，知＝（2－x，－y），＝（－2－x，－y），所以·＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以·＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
2 / 2(共50张PPT)
培优课　
与圆有关的最值问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
　与圆有关的最值问题
题型一 与距离有关的最值问题
【例1】　（1）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点
的距离的最小值为（　A　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析：（1）设圆心 C （ x ， y ），则
＝1，化简得
（ x －3）2＋（ y －4）2＝1，所以圆心 C
的轨迹是以 M （3，4）为圆心，1为半
径的圆，所以｜ OC ｜＋1≥｜ OM ｜＝
＝5，所以｜ OC ｜≥5－1＝4，
当且仅当 C 在线段 OM 上时取等号.
A

解析：（2）圆 x2＋ y2－4 x －4 y －10＝0可化为（ x －2）2＋（ y
－2）2＝18，圆心为（2，2），半径为3 .圆心（2，2）到直
线 x ＋ y －14＝0的距离为 ＝5 ＞3 ，所以圆上的
点到直线的最大距离与最小距离的差是2 r ＝6 .
6 　
通性通法
1. 求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤
（1）求圆心 O 与定点 M 间的距离 dMO ；
（2）根据圆的几何性质知，①当点 M 在圆外时， dmax＝ dMO ＋ r ，
dmin＝ dMO － r ；②当点 M 在圆内时， dmax＝ dMO ＋ r ， dmin＝ r
－ dMO .
2. 求点到直线的距离、弦长及切线长的最值
（1）直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值为 d － r ，
最大值为 d ＋ r （ d 为圆心到直线的距离）；
（2）过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为2 ，
最大值为2 r （ d 为圆心到直线的距离）；
（3）直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值
为 （ d 为圆心到直线的距离）.
【跟踪训练】
1. （2024·阳江质检）若过直线3 x ＋4 y －2＝0上一点 M 向圆 C ：（ x
＋2）2＋（ y ＋3）2＝4作一条切线，切点为 T ，则｜ MT ｜的最小值
为（　　）
B. 4
解析：D　根据题意，知圆 C 的圆心 C （－2，－3），半径 r ＝
2，｜ MT ｜＝ ＝ ，当｜ MC ｜取得
最小值时，｜ MT ｜的值最小，而｜ MC ｜的最小值为 C 到直线3 x
＋4 y －2＝0的距离，即｜ MC ｜min＝ ＝4，所以｜ MT ｜
的最小值为 ＝2 .故选D.
2. 从点 P （1，－2）向圆 x2＋ y2－2 mx －2 y ＋ m2＝0作切线，当切线
长最短时， m ＝ 　　.
答案：1
解析：圆 x2＋ y2－2 mx －2 y ＋ m2＝0，可化为（ x － m ）2＋（ y －
1）2＝1，圆心 C （ m ，1），半径为1，切线长最短时，｜ CP ｜最
小，｜ CP ｜＝ ，∴ m ＝1时，｜ CP ｜最小，切线
长最短.
题型二 与面积有关的最值问题
【例2】　已知点 A （－2，0）， B （0，2），若点 C 是圆 x2－2 x ＋ y2
＝0上的动点，求△ ABC 面积的最小值.
解：设圆上点 C 到直线 AB 的距离为 d ，圆心到直线 AB 的距离为d'，
易得直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋2，
则 dmin＝d'－1＝ －1，
所以（ S△ ABC ）min＝ ｜ AB ｜· dmin＝ ×2 ×（ －1）＝3－ .
通性通法
　　求与圆有关的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径
相关的函数关系或几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如
配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数
形结合思想求解.
【跟踪训练】
1. 直线 x ＋ y ＋2＝0分别与 x 轴、 y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆（ x －
2）2＋ y2＝2上，则△ ABP 面积的取值范围是（　　）
A. [2，6] B. [4，8]
解析：A　设圆心到直线 AB 的距离 d ＝ ＝2 .点 P 到直
线 AB 的距离为d'.易知 d － r ≤d'≤ d ＋ r ，即 ≤d'≤3 .又｜
AB ｜＝2 ，所以 S△ ABP ＝ ·｜ AB ｜·d'＝ d'，所以2≤ S△ ABP ≤6.
2. （2024·云浮月考）直线 y ＝ kx ＋3与圆 O ： x2＋ y2＝1相交于 A ， B
两点，则△ OAB 面积的最大值为（　　）
A. 1
解析：B　设圆心到直线的距离为 d （0＜ d ＜1），则｜ AB ｜＝2
，所以 S△ ABO ＝ ·2 · d ＝ ，由基本
不等式，可得 S△ ABO ＝ ≤ ＝ ，当且仅当 d
＝ 时，等号成立.
题型三 利用数学表达式的几何性质求解最值问题
【例3】　已知 x 和 y 满足（ x ＋1）2＋ y2＝ ，求 x2＋ y2的最值.
解：由题意知 x2＋ y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆
上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最
大值和最小值.
原点 O （0，0）到圆心 C （－1，0）的距离 d ＝1，故圆上的点到坐标
原点的最大距离为1＋ ＝ ，
最小距离为1－ ＝ .因此 x2＋ y2的最大值和最小值分别为 .
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，求 的取值范围.
解：设 k ＝ ，变形为 k ＝ ，此式表示圆上一点（ x ， y ）与点
（0，0）连线的斜率，
由 k ＝ ，可得 y ＝ kx ，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离 d
≤ r ，即 ≤ ，解得－ ≤ k ≤ .
即 .
2. （变设问）本例条件不变，求 x ＋ y 的取值范围.
解：令 y ＋ x ＝ b 并将其变形为 y ＝－ x ＋ b ，问题转化为斜率为－1
的直线在经过圆上的点时在 y 轴上的截距的最值.当直线和圆相切时
在 y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有 ＝ ，解得 b
＝± －1，即最大值为 －1，最小值为－ －1.即 x ＋ y 的取值
范围是 .
通性通法
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
（1）形如 u ＝ 形式的最值问题，可转化为过点（ x ， y ）和（ a ，
b ）的动直线斜率的最值问题；
（2）形如 l ＝ ax ＋ by 形式的最值问题，可转化为动直线 y ＝－ x ＋
截距的最值问题；
（3）形如（ x － a ）2＋（ y － b ）2形式的最值问题，可转化为动点
（ x ， y ）到定点（ a ， b ）的距离的平方的最值问题.
【跟踪训练】
　（2024·郑州月考）在平面直角坐标系 Oxy 中，已知（ x1－2）2＋
＝5， x2－2 y2＋4＝0，则（ x1－ x2）2＋（ y1－ y2）2的最小值为
（　　）
解析：B　由已知得点（ x1， y1）在圆（ x －2）2＋ y2＝5上，点
（ x2， y2）在直线 x －2 y ＋4＝0上，故（ x1－ x2）2＋（ y1－ y2）2表示
圆（ x －2）2＋ y2＝5上的点和直线 x －2 y ＋4＝0上点的距离的平方，
而距离的最小值为 － ＝ ，故（ x1－ x2）2＋（ y1－ y2）2
的最小值为 .
1. 已知直线 l ： x － y ＋4＝0与圆 C ：（ x －1）2＋（ y －1）2＝2，则
圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为（　　）
C. 1 D. 3
解析：A　由题意知，圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值等于圆心
（1，1）到直线 l 的距离减去圆的半径，即 － ＝ .
2. 若实数 x ， y 满足（ x ＋5）2＋（ y －12）2＝142，则 x2＋ y2的最小值
为（　　）
A. 2 B. 1
解析：B　 x2＋ y2表示圆上的点（ x ， y ）与（0，0）间距离的平
方，又点（0，0）在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－
＝1.
3. 已知点 O （0，0）， A （0，2），点 M 是圆（ x －3）2＋（ y ＋1）2
＝4上的动点，则△ OAM 面积的最小值为（　　）
B. 1 D. 2
解析：B　根据题意，得圆（ x －3）2＋（ y ＋1）2＝4的圆心为
（3，－1），半径 r ＝2， O （0，0）， A （0，2）， OA 所在的直
线是 y 轴，当 M 到直线 AO 的距离最小时，△ OAM 的面积最小，则
M 到直线 AO 的距离的最小值 d ＝3－2＝1，则△ OAM 的面积最小值
S ＝ ×｜ OA ｜× d ＝1.
4. （2024·聊城质检）设点 P （ x ， y ）是圆： x2＋（ y －3）2＝1上的
动点，定点 A （2，0）， B （－2，0），则 · 的最大值
为 .
解析：由题意，知 ＝（2－ x ，－ y ）， ＝（－2－ x ，－
y ），所以 · ＝ x2＋ y2－4，由于点 P （ x ， y ）是圆上的点，
故其坐标满足方程 x2＋（ y －3）2＝1，故 x2＝－（ y －3）2＋1，所
以 · ＝－（ y －3）2＋1＋ y2－4＝6 y －12.由圆的方程 x2＋（ y
－3）2＝1，易知2≤ y ≤4，所以，当 y ＝4时， · 的值最大，
最大值为6×4－12＝12.
12　
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 以 M （－4，3）为圆心的圆与直线2 x ＋ y －5＝0相离，那么圆 M 的
半径 r 的取值范围是（　　）
A. 0＜ r ＜2
D. 0＜ r ＜10
解析： 　圆心 M 到直线2 x ＋ y －5＝0的距离 d ＝
＝2 ，由0＜ r ＜ d ，知C项正确.
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2. （2024·清远月考）已知直线 y ＝ kx ＋ m （ m 为常数）与圆 x2＋ y2＝
4交于点 M ， N . 当 k 变化时，若｜ MN ｜的最小值为2，则 m ＝（　）
A. ±1
D. ±2
解析： 　由题意可知，直线 l ： y ＝ kx ＋ m 恒过定点 A （0，
m ），由于 l 截圆的弦长最小值为2，即当直线 l 与直线 OA 垂直时
（ O 为坐标原点），弦长取得最小值，于是22＝（ ×2）2＋｜
OA ｜2＝1＋ m2，解得 m ＝± .
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3. 已知点 P 是直线 l ：3 x ＋4 y －15＝0上的动点，由点 P 向圆 O ： x2＋
y2＝1作切线，则切线长的最小值是（　　）
A. 2 B. 1
解析： 　圆 O ： x2＋ y2＝1的圆心 O （0，0），半径 r ＝1.切线长 L
＝ ＝ ，所以当 OP 的长度最小时，切
线长 L 最小.当 OP ⊥ l 时，｜ OP ｜min＝ ＝3，所以 Lmin＝
2 .
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4. （2024·宁德月考）已知圆 C1： x2＋ y2＋4 x －4 y ＝0，动点 P 在圆
C2： x2＋ y2－4 x －12＝0上，则△ PC1 C2面积的最大值为（　　）
解析： 　因为 C1（－2，2）， r1＝2 ， C2（2，0）， r2＝4，所
以｜ C1 C2｜＝ ＝2 ，当 PC2⊥ C1 C2时，△ PC1
C2的面积最大，其最大值为 ×2 ×4＝4 .
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5. 圆 x2＋ y2－4 y －4＝0上恰有两点到直线 x － y ＋ a ＝0的距离为 ，
则实数 a 的取值范围为（　　）
A. （－4，0） B. （4，8）
C. （－4，0）∪（4，8） D. （－4，8）
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解析： 　圆的标准方程为 x2＋（ y －2）2＝8，所以圆心为 C （0，
2），半径 r ＝2 ，圆心 C 到已知直线的距离 d ＝ ＝
.由题意得解得－4＜ a ＜0或4＜ a
＜8.
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6. 已知实数 x ， y 满足 x2＋ y2－4 x －2 y －4＝0，则 x － y 的最大值是
（　　）
B. 4
D. 7
解析： 法一　由题意，得实数 x ， y 满足（ x －2）2＋（ y －1）2
＝9，表示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设 x － y ＝ t ，则直线 x
－ y － t ＝0与圆（ x －2）2＋（ y －1）2＝9有公共点，所以圆心到直
线 x － y － t ＝0的距离 d ＝ ≤3，解得1－3 ≤ t ≤1＋3
.故选C.
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法二　由题意，得实数 x ， y 满足（ x －2）2＋（ y －1）2＝9.设 x ＝2
＋3 cos θ， y ＝1＋3 sin θ，θ∈[0，2π]，则 x － y ＝1＋3 cos θ－3 sin θ
＝1＋3 · cos （θ＋ ）≤1＋3 ，当θ＝ ＋2 k π（ k ∈Z）时取等
号.故选C.
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7. （2024·茂名月考）如图所示， A ， B 是直线 l 上的两点，且 AB ＝2.
两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A ， B 两点， C 是两个圆的公共
点，则圆弧 AC ， CB 与线段 AB 围成的图形面积 S 的取值范围为
（　　）
B. （0，π]
D. （0，2－π]
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解析： 　设两圆的半径为 r ，当两圆相切于 C 点
时，所围成的图形面积最大，如图，此时，2 r
＝｜ AB ｜＝2，所以 r ＝1，所围成图形的面积 S
为矩形 ABO2 O1的面积减去一个半圆的面积，即 S＝2－ .随着 r 的增大， S 逐渐趋于0，所以所求面积 S 的取值范围为（0，2－ ］.
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8. （多选）已知点 P 在圆（ x －5）2＋（ y －5）2＝16上，点 A （4，
0）， B （0，2），则（　　）
A. 点 P 到直线 AB 的距离小于10
B. 点 P 到直线 AB 的距离大于2
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解析： 　设圆（ x －5）2＋（ y －5）2＝16
的圆心为 M （5，5），由题易知直线 AB 的方程
为 ＋ ＝1，即 x ＋2 y －4＝0，则圆心 M 到直线
AB 的距离 d ＝ ＝ ＞4，所以直线
AB 与圆 M 相离，所以点 P 到直线 AB 的距离的最大值为4＋ d ＝4＋ ，4＋ ＜5＋ ＝10，故A正确.易知点 P 到直线 AB 的距离的最小值为 d －4＝ －4， －4＜ －4＝1，
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故B不正确.过点 B 作圆 M 的两条切线，切点分别为
N ， Q ，如图所示，连接 MB ， MN ， MQ ，则当
∠ PBA 最小时，点 P 与 N 重合，｜ PB ｜＝
＝ ＝3
，当∠ PBA 最大时，点 P 与 Q 重合，｜ PB ｜＝
3 ，故C、D都正确.综上，选A、C、D.
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9. 已知实数 x ， y 满足方程 y ＝ ，则 的最大值
为 .
解析：方程 y ＝ 化为（ x －2）2＋ y2＝
3（ y ≥0），表示的图形是一个半圆，令 ＝ k ，即 y
＝ kx ，如图所示，当直线与半圆相切时， k ＝ .
　
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10. 过点 P （1，1）的直线，将圆形区域{（ x ， y ）｜ x2＋ y2≤4}分为
两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程
.
解析：由题意知，点 P （1，1）在圆 x2＋ y2＝4内，则过点 P 截得
的弦最短的直线将圆分成的两部分面积之差最大，则所求直线与
圆心 O 和 P （1，1）的连线垂直，∴该直线斜率为－1，由点斜式
方程，得 y －1＝－（ x －1），即 x ＋ y －2＝0.
x ＋
y －2＝0　
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11. （2024·常州月考）设 m ∈R，过定点 A 的动直线 x ＋ my ＝0和过定
点 B 的动直线 mx － y － m ＋3＝0交于点 P （ x ， y ），则｜
PA ｜·｜ PB ｜的最大值是 .
解析：由条件，得 A （0，0）， B （1，3）.
由 x ＋ my ＝0与 mx － y － m ＋3＝0消去 m ，
得动点 P 的轨迹方程为（ x － ）2＋（ y －
）2＝ ，易知 OB 为圆的一条直径，由图
可知， PA ⊥ PB ，所以｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2
＝｜ AB ｜2＝10，所以｜ PA ｜·｜ PB ｜≤ ＝5.
5　
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12. 已知 M 为圆 C ： x2＋ y2－4 x －14 y ＋45＝0上任意一点，且点 Q
（－2，3）.
（1）求｜ MQ ｜的最大值和最小值；
解： 由圆 C 的方程 x2＋ y2－4 x －14 y ＋45＝0化为标准
方程得（ x －2）2＋（ y －7）2＝8，
∴圆心 C 的坐标为（2，7），半径 r ＝2 ，
又｜ QC ｜＝ ＝4 ，
∴｜ MQ ｜max＝4 ＋2 ＝6 ，
｜ MQ ｜min＝4 －2 ＝2 .
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（2）若 M （ m ， n ），求 的最大值和最小值.
解： 由题可知 表示直线 MQ 的斜率.
设直线 MQ 的方程为 y －3＝ k （ x ＋2），
即 kx － y ＋2 k ＋3＝0，
则 ＝ k .
由直线 MQ 与圆 C 有交点，得 ≤2 ，
可得2－ ≤ k ≤2＋ ，
∴ 的最大值为2＋ ，最小值为2－ .
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13. 已知圆 C1：（ x －1）2＋（ y －2）2＝1， C2：（ x －3）2＋（ y －
5）2＝3，点 P ， A ， B 分别在 x 轴和圆 C1， C2上.
（1）判断两圆的位置关系；
解： 由题意，得 C1（1，2）， C2（3，5）， r1＝1， r2
＝ ，
∴｜ C1 C2｜＝ ＝ ， r1＋ r2＝1
＋ ，｜ C1 C2｜＞ r1＋ r2，
∴两圆的位置关系为相离.
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（2）求｜ PA ｜＋｜ PB ｜的最小值.
解： 如图，作圆 C2关于 x 轴的对称
圆C'2，则C'2（3，－5）， B 的对称点为
B'，
则｜ PA ｜＋｜ PB ｜的最小值为｜ PA ｜
＋｜PB'｜的最小值，
即为｜ C1C'2｜－ r1－ r2＝
－1－ ＝
－1－ .
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谢 谢 观 看！

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