资源简介 模块综合检测（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线l过点（－3，0），且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为（ ）A.y＝－（x－3） B.y＝－（x＋3）C.y＝（x－3） D.y＝（x＋3）2.双曲线－＝1的焦距是（ ）A.2 B.8C.4 D.43.设第一象限的点P（m，n）为抛物线y2＝8x上一点，F为焦点，若｜PF｜＝6，则n＝（ ）A.4 B.4 C.2 D.324.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是棱AC的三等分点，且AC＝3AE，F是棱B1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝（ ）A.a－b＋c B.a＋b＋cC.a－b＋c D.a＋b＋c5.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.6.若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A（－1，0），B（1，0）为两个定点，则｜PA｜＋｜PB｜的最大值是（ ）A.2 B.2 C.4 D.47.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则直线EF到平面ACD1的距离为（ ）A. B. C. D.8.设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：－＝1（a2＞0，b2＞0）的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为原点.若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（ ）A. B.C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－（2a－3）y－1＝0，则下列说法正确的是（ ）A.l2始终过定点（，） B.若l1∥l2，则a＝1或a＝－3C.若l1⊥l2，则a＝0或a＝2 D.当a＞0时，l1始终不过第三象限10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点，则（ ）A.＜，＞＝120° B.BD1⊥ACC.BD1⊥EB1 D.∠BB1E＝45°11.在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2，则（ ）A.x1x2＝6 B.直线AB过点（2，0）C.△ABO面积的最小值是2 D.△ABO与△AFO面积之和的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12.已知点M（1，2）在直线l上的射影是H（－1，4），则直线l的方程为 .13.如图，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则PG长为 ，异面直线PA与BC所成角的余弦值为 .14.设F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且满足∠MAN＝120°，则该双曲线的离心率为 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知点A（－2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为，记点M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）若直线l：y＝x－3和曲线C相交于E，F两点，求｜EF｜.16.（本小题满分15分）如图，在三棱锥C-ABD中，AB⊥BD，BC⊥CD，且∠ADB＝30°，BC＝CD，E是AD的中点.（1）若AB＝CE，证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）若二面角A-BD-C的大小为30°，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD.四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，△ABD是边长为1的等边三角形，M为线段BD的中点，BC＝3.（1）求证：AF⊥BD；（2）求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；（3）线段BD上是否存在点N，使得直线CE∥平面AFN？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD＋kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分17分）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在xOy平面上，我们把与定点F1（－a，0），F2（a，0）（a＞0）距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，F1，F2为该曲线的两个焦点.数学家雅各布·伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲线C：（x2＋y2）2＝9（x2－y2）是一条伯努利双纽线.（1）求曲线C的焦点F1，F2的坐标；（2）试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由.模块综合检测1.B 因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点（－3，0），故所求直线的方程为y＝－（x＋3）.2.B 依题意知，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝＝＝4.所以焦距2c＝8.3.A 由题意可得，准线方程为x＝－2，则｜PF｜＝m＋2＝6，解得m＝4.将P点坐标代入抛物线方程得n2＝8×4，解得n＝±4，因为P点在第一象限，所以n＝4.4.D 取BC的中点D，连接AD，AF，DF（图略），则＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.因为＝＝b，所以＝－＝a＋b＋c－b＝a＋b＋c.5.C 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B（0，2，0），A（2，0，0），M（1，1，2），N（1，0，2），所以＝（1，－1，2），＝（－1，0，2），设BM与AN所成角为θ，则cos θ＝＝＝.6.B ∵点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且点A（－1，0），B（1，0）为两个定点，∴｜PA｜2＋｜PB｜2＝4，∵（｜PA｜＋｜PB｜）2≤2（｜PA｜2＋｜PB｜2）＝8，∴｜PA｜＋｜PB｜≤2，当且仅当｜PA｜＝｜PB｜＝时“＝”成立，故｜PA｜＋｜PB｜的最大值是2.7.C 因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以直线EF到平面ACD1的距离等于点E到平面ACD1的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），所以＝（－1，2，0），＝（－1，0，1）.设平面ACD1的法向量为n＝（a，b，c），则即所以令a＝2，则n＝（2，1，2）.连接D1E，则＝（1，1，－1），所以点E到平面ACD1的距离为＝＝，即直线EF到平面ACD1的距离为.故选C.8.C 设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，｜F1F2｜＝2c.如图，因为点M是双曲线和椭圆的交点，所以根据椭圆和双曲线的定义，知m＋n＝2a1，m－n＝2a2，所以m＝a1＋a2，n＝a1－a2.又因为｜F1F2｜＝4｜MF2｜，所以2c＝4（a1－a2），即－＝，所以＝＋，所以e1＝.因为椭圆离心率0＜e1＜1，所以＞1，即＜＜1，所以e1e2＝＝.令t＝，＜t＜1，则e1e2＝＝，在＜t＜1时单调递减，所以＜e1e2＜2.故选C.9.ACD 将l2的方程变形为a（x－2y）＋3y－1＝0，由解得所以l2始终过定点（，），故A中说法正确；当a＝1时，l1，l2重合，故B中说法错误；由1×a＋a×（3－2a）＝0得a＝0或a＝2，故C中说法正确；将l1的方程变形为y＝－x＋1，可得l1始终过点（0，1），当a＞0时，斜率为负，所以l1始终不过第三象限，故D中说法正确.10.ABC 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设正方体的棱长为1，则B（1，1，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E（，，0），B1（1，1，1），A1（1，0，1）.＝（－1，－1，1），＝（－1，1，0）.因为·＝（－1）×（－1）＋（－1）×1＋1×0＝0，所以⊥，所以BD1⊥AC，B正确；＝（，，1）.因为·＝（－1）×＋（－1）×＋1×1＝0，所以⊥，所以BD1⊥EB1，C正确；＝（0，1，－1），＝（－1，－1，0），cos＜，＞＝＝－，所以＜，＞＝120°，A正确；＝（－，－，－1），＝（0，0，－1），cos＜，＞＝＝≠，D不正确.故A、B、C正确.11.BCD 设直线AB：x＝my＋n.由消去x可得y2－my－n＝0.∴y1y2＝－n，∴x1x2＝＝n2.∵·＝2，∴n2－n＝2，则n＝2或n＝－1.∵y1y2＜0，∴n＞0，∴n＝2，x1x2＝4，故A错误.直线AB：x＝my＋2恒过点（2，0），故B正确.设定点P（2，0），S△ABO＝S△AOP＋S△BOP＝×2×｜y1｜＋×2×｜y2｜＝｜y1－y2｜＝≥2，当且仅当y1＝±时，取等号，故C正确.因为F（，0），所以S△ABO＋S△AFO＝｜y1－y2｜＋·｜y1｜·＝｜y1－y2｜＋｜y1｜.不妨设y1＞0，则S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1＝y1－y2＝y1＋≥2＝3，当且仅当y1＝时，取等号，故D正确.故选B、C、D.12.x－y＋5＝0 解析：因为kMH＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，所以直线l的方程为y－4＝x＋1，即x－y＋5＝0.13. 解析：由题意得∠ABC＝90°，连接点P和线段AC的中点D，连接BD，如图，易知BD＝PD＝，则∠PDB＝90°，又 G为△ABC的重心，∴GD＝BD＝，∴PG＝＝.∵·＝·＝·－·＝，∴cos＜，＞＝＝，∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为.14. 解析：不妨设M在第一象限，N在第三象限，易知A（－a，0），由已知条件知圆的方程为x2＋y2＝c2，由得M（a，b），N（－a，－b），∴＝（2a，b），＝（0，－b），又∠MAN＝120°，∴cos＜，＞＝＝－，∴4a2＝3b2，∴4a2＝3（c2－a2），∴7a2＝3c2，∴＝，即双曲线的离心率为.15.解：（1）因为M（x，y），则直线AM，BM的斜率分别为kAM＝，kBM＝，由已知得·＝，化简得－＝1（x≠±2），即曲线C的方程为－＝1（x≠±2），曲线C是除去左、右顶点的双曲线.（2）联立消去y，整理得x2－12x＋22＝0，Δ＝122－4×22＝56＞0.设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1＋x2＝12，x1x2＝22，所以｜EF｜＝｜x1－x2｜＝·＝×＝×＝4.16.解：（1）证明：取BD的中点F，连接CF，EF.设AB＝2，则CE＝2.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝2.因为E，F分别是AD，BD的中点，所以EF＝1，EF∥AB，EF⊥BD.在△BCD中，因为BC⊥CD，且F是BD的中点，所以CF＝BD＝.在△CEF中，可知EF2＋CF2＝CE2，所以EF⊥CF.因为CF∩BD＝F，CF，BD 平面BCD，所以EF⊥平面BCD.因为EF 平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.（2）由（1）知，EF⊥BD，在△BCD中，因为BC⊥CD，BC＝CD，且F是BD的中点，所以BD⊥CF，故∠CFE是二面角A-BD-C的平面角，即∠CFE＝30°.以F为坐标原点，FE，FD所在直线分别为x轴，y轴，且以过点F与平面ABD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图.设AB＝2，则B（0，－，0），D（0，，0），C（，0，），A（2，－，0），所以＝（0，2，0），＝（，－，），＝（－2，2，0）.设平面ACD的法向量为m＝（x，y，z），则即令x＝，得y＝1，z＝－1，所以平面ACD的一个法向量为m＝（，1，－1）.设平面BCD的法向量为n＝（a，b，c），则即所以令a＝1，得c＝－，所以平面BCD的一个法向量为n＝（1，0，－），所以｜cos＜m，n＞｜＝＝＝.故平面ACD与平面BCD夹角的余弦值为.17.解：（1）证明：因为四边形ADEF为正方形，所以AF⊥AD.又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD.（2）取AD的中点O，EF的中点K，连接OB，OK.于是在△ABD中，OB⊥OD，在正方形ADEF中，OK⊥OD.又平面ADEF⊥平面ABCD，故OB⊥平面ADEF，进而OB⊥OK，即OB，OD，OK两两垂直.分别以OB，OD，OK所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）.所以B（，0，0），D（0，，0），C（，3，0），E（0，，1），M（，，0），F（0，－，1），所以＝（－，－，1），＝（－，－，0），＝（0，0，1）.设平面CDE的一个法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝－5，则y＝，则n＝（－5，，0）.设直线MF与平面CDE所成角为θ，所以sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝.（3）存在.要使直线CE∥平面AFN，只需AN∥CD，设＝λ，λ∈[0，1]，则（xN－，yN，zN）＝λ（－，，0），所以xN＝－λ，yN＝λ，zN＝0，即N（－λ，λ，0），所以＝（－λ，λ＋，0）.又＝（－，－，0），由∥得＝，解得λ＝∈[0，1]，所以线段BD上存在点N，使得直线CE∥平面AFN，且＝.18.解：（1）由已知可得解得a2＝2，b2＝c2＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.（2）由得（1＋2k2）x2＋8kx＋6＝0，由Δ＝64k2－24（1＋2k2）＝16k2－24＞0，解得k＜－或k＞.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝，设存在点D（0，m），则kAD＝，kBD＝，所以kAD＋kBD＝＝＝.要使kAD＋kBD为定值，只需2（2m－1）k的值与参数k无关，故2m－1＝0，解得m＝，当m＝时，kAD＋kBD＝0.综上所述，存在点D，使得kAD＋kBD为定值，且定值为0.19.解：（1）法一 设焦点F1（－a，0），F2（a，0）（a＞0），曲线C：（x2＋y2）2＝9（x2－y2）与x轴正半轴交于点P（3，0），由题意知｜PF1｜｜PF2｜＝（3＋a）（3－a）＝9－a2＝a2，于是a2＝，a＝，因此F1，F2.法二 设焦点F1（－a，0），F2（a，0）（a＞0），由题意知[（x＋a）2＋y2][（x－a）2＋y2]＝a4，即[（x2＋a2＋y2）＋2ax][（x2＋a2＋y2）－2ax]＝a4，整理得（x2＋y2）2＝2a2（x2－y2），于是a2＝，a＝.因此F1，F2.（2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即OA⊥OB，由题意知直线OA，OB斜率均存在，不妨设直线OA的方程为y＝k1x，直线OB的方程为y＝k2x，将直线OA的方程与曲线C联立，得（1＋）2x4＝9x2（1－），即x2＝＞0.解得－1＜k1＜1，同理－1＜k2＜1，因此k1k2＝－1不可能成立，于是假设不成立，即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.3 / 3(共47张PPT)课件使用说明本课件使用Office2016制作，请使用相应软件打开并使用。本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑。本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office2007或WPS 2021年4月份以前的版本会出现包含公式及数字无法编辑的情况，请您升级软件享受更优质体验。如您在使用过程中遇到公式不显示或者乱码的情况，可能是因为您的电脑缺少字体，请登录网站http://c.nxw.so/f下载。由于WPS软件原因，少量电脑可能存在理科公式无动画的问题，请您安装Office2016或以上版本即可解决该问题，登录网站http://c.nxw.so/2016下载。关于一键升级Office版本及其他课件使用方面的问题，请点击“常见问题”，或致电0537-7311096。模块综合检测（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线 l 过点（－3，0），且与直线 y ＝2 x －3垂直，则直线 l 的方程为（ ）解析： 因为直线 y ＝2 x －3的斜率为2，所以直线 l 的斜率为－ .又直线 l 过点（－3，0），故所求直线的方程为 y ＝－ （ x ＋3）.123456789101112131415161718192021222324252627282. 双曲线 － ＝1的焦距是（ ）B. 8C. 4解析：B 依题意知， a2＝ m2＋12， b2＝4－ m2，所以 c ＝＝ ＝4.所以焦距2 c ＝8.3. 设第一象限的点 P （ m ， n ）为抛物线 y2＝8 x 上一点， F 为焦点，若｜ PF ｜＝6，则 n ＝（ ）B. 4D. 32解析： 由题意可得，准线方程为 x ＝－2，则｜ PF ｜＝ m ＋2＝6，解得 m ＝4.将 P 点坐标代入抛物线方程得 n2＝8×4，解得 n ＝±4，因为 P 点在第一象限，所以 n ＝4 .4. 在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， E 是棱 AC 的三等分点，且 AC ＝3 AE ，F 是棱 B1 C1的中点，若 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 ＝（ ）解析： 取 BC 的中点 D ，连接 AD ， AF ， DF （图略），则＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ a ＋ b ＋ c .因为 ＝ ＝b ，所以 ＝ － ＝ a ＋ b ＋ c － b ＝ a ＋ b ＋ c .5. 直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，∠ BCA ＝90°， M ， N 分别是 A1 B1， A1C1的中点， BC ＝ CA ＝ CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）解析： 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz ，设 BC ＝2，则 B （0，2，0）， A （2，0，0）， M（1，1，2）， N （1，0，2），所以 ＝（1，－1，2）， ＝（－1，0，2），设 BM 与 AN 所成角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ .6. 若点 P 为圆 x2＋ y2＝1上的一个动点，点 A （－1，0）， B （1，0）为两个定点，则｜ PA ｜＋｜ PB ｜的最大值是（ ）A. 2C. 4解析： ∵点 P 为圆 x2＋ y2＝1上的一个动点，且点 A （－1，0）， B （1，0）为两个定点，∴｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2＝4，∵（｜PA ｜＋｜ PB ｜）2≤2（｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2）＝8，∴｜ PA ｜＋｜PB ｜≤2 ，当且仅当｜ PA ｜＝｜ PB ｜＝ 时“＝”成立，故｜ PA ｜＋｜ PB ｜的最大值是2 .7. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AD ＝ AA1＝1， AB ＝2，点E ， F 分别是棱 AB ， BC 的中点，则直线 EF 到平面 ACD1的距离为（ ）解析： 因为点 E ， F 分别是棱 AB ， BC 的中点，所以 EF ∥AC ，所以直线 EF 到平面 ACD1的距离等于点 E 到平面 ACD1的距离.以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D1（0，0，1）， E （1，1，0）， A （1，0，0）， C （0，2，0），所以 ＝（－1，2，0）， ＝（－1，0，1）.设平面 ACD1的法向量为 n ＝（ a ， b ， c ），则 令 a ＝2，则 n ＝（2，1，2）.连接 D1 E ，则 ＝（1，1，－1），所以点 E 到平面 ACD1的距离为 ＝ ＝ ，即直线 EF 到平面 ACD1的距离为 .故选C.8. 设 F1， F2同时为椭圆 C1： ＋ ＝1（ a1＞ b1＞0）与双曲线 C2：－ ＝1（ a2＞0， b2＞0）的左、右焦点，设椭圆 C1与双曲线 C2在第一象限内交于点 M ，椭圆 C1与双曲线 C2的离心率分别为 e1，e2， O 为原点.若｜ F1 F2｜＝4｜ MF2｜，则 e1 e2的取值范围是（ ）解析： 设｜ MF1｜＝ m ，｜ MF2｜＝ n ，｜ F1F2｜＝2 c .如图，因为点 M 是双曲线和椭圆的交点，所以根据椭圆和双曲线的定义，知 m ＋ n ＝2 a1， m－ n ＝2 a2，所以 m ＝ a1＋ a2， n ＝ a1－ a2.又因为｜F1 F2｜＝4｜ MF2｜，所以2 c ＝4（ a1－ a2），即 － ＝ ＝ ＋ ，所以 e1＝ .因为椭圆离心率0＜ e1＜1，所以 ＞1，即 ＜ ＜1，所以 e1 e2＝ ＝ .令 t ＝ ＜ t ＜1，则 e1 e2＝ ＝ ＜ t ＜1时单调递减，所以 ＜ e1 e2＜2.故选C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知直线 l1： x ＋ ay － a ＝0和直线 l2： ax －（2 a －3） y －1＝0，则下列说法正确的是（ ）B. 若 l1∥ l2，则 a ＝1或 a ＝－3C. 若 l1⊥ l2，则 a ＝0或 a ＝2D. 当 a ＞0时， l1始终不过第三象限解析： 将 l2的方程变形为 a （ x －2 y ）＋3 y －1＝0，由所以 l2始终过定点（ ），故A中说法正确；当 a ＝1时， l1， l2重合，故B中说法错误；由1× a ＋ a ×（3－2 a ）＝0得 a ＝0或 a ＝2，故C中说法正确；将 l1的方程变形为y ＝－ x ＋1，可得 l1始终过点（0，1），当 a ＞0时，斜率为负，所以 l1始终不过第三象限，故D中说法正确.10. 如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E 为 AC 的中点，则（ ）B. BD1⊥ ACC. BD1⊥ EB1 D. ∠ BB1 E ＝45°解析： 以 D 为坐标原点，分别以 DA ，DC ， DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D - xyz .设正方体的棱长为1，则 B （1，1，0）， D1（0，0，1）， A （1，0，0）， C （0，1，0）， E （ ，0）， B1（1，1，1）， A1（1，0，1）.＝（－1，－1，1）， ＝（－1，1，0）.因为· ＝（－1）×（－1）＋（－1）×1＋1×0＝0，所以 ⊥ ，所以 BD1⊥ AC ，B正确； ＝（ ，1）.因为 · ＝（－1）× ＋（－1）× ＋1×1＝0，所以 ⊥ ，所以 BD1⊥ EB1，C正确； ＝（0，1，－1）， ＝（－1，－1，0）， cos ＜ ＞＝ ＝－ ，所以＜ ＞＝120°，A正确；＝（－ ，－ ，－1）， ＝（0，0，－1），cos ＜ ＞＝ ＝ ≠ ，D不正确.故A、B、C正确.11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F 为抛物线 y2＝ x 的焦点，点 A（ x1， y1）， B （ x2， y2）在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，· ＝2，则（ ）A. x1 x2＝6B. 直线 AB 过点（2，0）D. △ ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是3解析： 设直线 AB ： x ＝ my ＋ n .由消去 x 可得y2－ my － n ＝0.∴ y1 y2＝－ n ，∴ x1 x2＝ ＝ n2.∵ · ＝2，∴ n2－ n ＝2，则 n ＝2或 n ＝－1.∵ y1 y2＜0，∴ n ＞0，∴ n ＝2， x1x2＝4，故A错误.直线 AB ： x ＝ my ＋2恒过点（2，0），故B正确.设定点 P （2，0）， S△ ABO ＝ S△ AOP ＋ S△ BOP ＝ ×2×｜ y1｜＋×2×｜ y2｜＝｜ y1－ y2｜＝ ≥2 ，当且仅当 y1＝±时，取等号，故C正确.因为 F （ ，0），所以 S△ ABO ＋ S△ AFO ＝｜y1－ y2｜＋ ·｜ y1｜· ＝｜ y1－ y2｜＋ ｜ y1｜.不妨设 y1＞0，则 S△ABO ＋ S△ AFO ＝ y1－ y2＋ y1＝ y1－ y2＝ y1＋ ≥2 ＝3，当且仅当 y1＝ 时，取等号，故D正确.故选B、C、D.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12. 已知点 M （1，2）在直线 l 上的射影是 H （－1，4），则直线 l 的方程为 .解析：因为 kMH ＝ ＝－1，所以直线 l 的斜率 k ＝1，所以直线 l的方程为 y －4＝ x ＋1，即 x － y ＋5＝0.x － y ＋5＝0 13. 如图， P 为△ ABC 所在平面外一点， PA ＝ PB ＝ PC ＝1，∠ APB ＝∠ BPC ＝60°，∠ APC ＝90°，若 G 为△ ABC 的重心，则 PG 长为 ，异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为 . 解析：由题意得∠ ABC ＝90°，连接点 P 和线段 AC的中点 D ，连接 BD ，如图，易知 BD ＝ PD ＝ ，则∠ PDB ＝90°，又 G 为△ ABC 的重心，∴ GD ＝BD ＝ ，∴ PG ＝ ＝ .∵ · ＝ · ＝ · － · ＝ ，∴ cos ＜ ＞＝ ＝ ，∴异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为 .14. 设 F1， F2分别为双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左、右焦点， A 为双曲线的左顶点，以 F1 F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于 M ， N 两点，且满足∠ MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为 . 解析：不妨设 M 在第一象限， N 在第三象限，易知 A （－ a ，0），由已知条件知圆的方程为 x2＋ y2＝ c2，由得 M（ a ， b ）， N （－ a ，－ b ），∴ ＝（2 a ， b ）， ＝（0，－ b ），又∠ MAN ＝120°，∴ cos ＜ ＞＝＝－ ，∴4 a2＝3 b2，∴4 a2＝3（ c2－ a2），∴7 a2＝3c2，∴ ＝ .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分13分）已知点 A （－2，0）， B （2，0），动点 M（ x ， y ）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 ，记点 M 的轨迹为曲线 C .（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；解： 因为 M （ x ， y ），则直线 AM ， BM 的斜率分别为 kAM ＝ ， kBM ＝ ，由已知得 · ＝ ，化简得 － ＝1（ x ≠±2），即曲线 C 的方程为 － ＝1（ x ≠±2），曲线 C 是除去左、右顶点的双曲线.（2）若直线 l ： y ＝ x －3和曲线 C 相交于 E ， F 两点，求｜ EF ｜.解： 联立消去 y ，整理得 x2－12 x ＋22＝0，Δ＝122－4×22＝56＞0.设 E （ x1， y1）， F （ x2， y2），则 x1＋ x2＝12， x1 x2＝22，所以｜ EF ｜＝ ｜ x1－ x2｜＝· ＝ ×＝ × ＝4 .16. （本小题满分15分）如图，在三棱锥 C - ABD 中， AB ⊥ BD ， BC⊥ CD ，且∠ ADB ＝30°， BC ＝ CD ， E 是 AD 的中点.（1）若 AB ＝ CE ，证明：平面 ABD ⊥平面 BCD ；解： 证明：取 BD 的中点 F ，连接CF ， EF . 设 AB ＝2，则 CE ＝2.在Rt△ ABD 中，∠ ADB ＝30°，所以 BD＝2 .因为 E ， F 分别是 AD ， BD 的中点，所以 EF ＝1， EF ∥ AB ， EF ⊥ BD .在△ BCD 中，因为 BC ⊥ CD ，且 F 是 BD 的中点，所以 CF ＝ BD ＝ .在△ CEF 中，可知 EF2＋ CF2＝ CE2，所以 EF ⊥ CF .因为 CF ∩ BD ＝ F ， CF ， BD 平面 BCD ，所以 EF ⊥平面 BCD .因为 EF 平面 ABD ，所以平面 ABD ⊥平面 BCD .（2）若二面角 A - BD - C 的大小为30°，求平面 ACD 与平面 BCD 夹角的余弦值.解： 由（1）知， EF ⊥ BD ，在△ BCD 中，因为 BC ⊥ CD ， BC ＝CD ，且 F 是 BD 的中点，所以 BD ⊥ CF ，故∠ CFE 是二面角 A - BD - C 的平面角，即∠ CFE ＝30°.以 F 为坐标原点， FE ， FD 所在直线分别为 x 轴， y 轴，且以过点 F 与平面 ABD 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图.设 AB ＝2，则 B （0，－ ，0）， D （0， ，0）， C （ ，0， ）， A （2，－ ，0），所以 ＝（0，2 ，0）， ＝（ ，－ ）， ＝（－2，2 ，0）.设平面 ACD 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ），则令 x ＝ ，得 y ＝1， z ＝－1，所以平面ACD 的一个法向量为 m ＝（ ，1，－1）.设平面 BCD 的法向量为 n ＝（ a ， b ， c ），则所以令 a ＝1，得 c ＝－ ，所以平面 BCD 的一个法向量为 n ＝（1，0，－ ），所以｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝ ＝ ＝ .故平面 ACD 与平面 BCD 夹角的余弦值为 .17. （本小题满分15分）如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF ⊥平面 ABCD . 四边形 ADEF 为正方形，四边形 ABCD 为梯形，且 AD∥ BC ，△ ABD 是边长为1的等边三角形， M 为线段 BD 的中点，BC ＝3.（1）求证： AF ⊥ BD ；解： 证明：因为四边形 ADEF 为正方形，所以 AF ⊥ AD .又因为平面 ADEF ⊥平面 ABCD ，且平面 ADEF ∩平面 ABCD ＝ AD ，所以 AF⊥平面 ABCD ，所以 AF ⊥ BD .（2）求直线 MF 与平面 CDE 所成角的正弦值；解： 取 AD 的中点 O ， EF 的中点K ，连接 OB ， OK .于是在△ ABD 中， OB ⊥ OD ，在正方形ADEF 中， OK ⊥ OD . 又平面 ADEF ⊥平面 ABCD ，故 OB ⊥平面 ADEF ，进而OB ⊥ OK ，即 OB ， OD ， OK 两两垂直.分别以 OB ， OD ， OK 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图）.所以 B （ ，0，0）， D （0， ，0）， C （ ，3，0）， E （0， ，1）， M （ ，0）， F （0，－ ，1），所以 ＝（－ ，－ ，1）， ＝（－ ，－ ，0）， ＝（0，0，1）.设平面 CDE 的一个法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则令 x ＝－5，则 y ＝ ，则 n ＝（－5， ，0）.设直线 MF 与平面 CDE 所成角为θ，所以 sin θ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ .（3）线段 BD 上是否存在点 N ，使得直线 CE ∥平面 AFN ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.解： 存在.要使直线 CE ∥平面AFN ，只需 AN ∥ CD ，设 ＝λ ，λ∈[0，1]，则（ xN － ， yN ， zN ）＝λ（－ ，0），所以 xN ＝ － λ， yN ＝ λ， zN ＝0，即 N （ － λ， λ，0），所以 ＝（ － λ， λ＋，0）.又 ＝（－ ，－ ，0），由 ∥ ＝ ，解得λ＝ ∈[0，1]，所以线段 BD 上存在点 N ，使得直线 CE ∥平面 AFN ，且 ＝ .18. （本小题满分17分）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.（1）求椭圆 C 的标准方程；解： 由已知可得解得 a2＝2， b2＝ c2＝1，所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ y2＝1.（2）若直线 l ： y ＝ kx ＋2与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，在 y轴上是否存在点 D ，使直线 AD 与 BD 的斜率之和 kAD ＋kBD 为定值？若存在，求出点 D 坐标及该定值；若不存在，请说明理由.解： 由得（1＋2 k2） x2＋8 kx ＋6＝0，由Δ＝64 k2－24（1＋2 k2）＝16 k2－24＞0，解得 k ＜－ 或 k ＞ .设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝ ，设存在点 D （0， m ），则 kAD ＝ ， kBD ＝ ，所以 kAD ＋ kBD ＝＝＝ .要使 kAD ＋ kBD 为定值，只需2（2 m －1） k 的值与参数 k 无关，故2 m －1＝0，解得 m ＝ ，当 m ＝ 时， kAD ＋ kBD ＝0.综上所述，存在点 D ，使得 kAD ＋ kBD 为定值，且定值为0.19. （本小题满分17分）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱.它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在 xOy 平面上，我们把与定点 F1（－ a ，0）， F2（ a ，0）（ a ＞0）距离之积等于 a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线， F1， F2为该曲线的两个焦点.数学家雅各布·伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究.已知曲线C ：（ x2＋ y2）2＝9（ x2－ y2）是一条伯努利双纽线.（1）求曲线 C 的焦点 F1， F2的坐标；（2）试判断曲线 C 上是否存在两个不同的点 A ， B （异于坐标原点 O ），使得以 AB 为直径的圆过坐标原点 O . 如果存在，求出 A ， B 坐标；如果不存在，请说明理由.解： 法一 设焦点 F1（－ a ，0）， F2（ a ，0）（ a ＞0），曲线 C ：（ x2＋ y2）2＝9（ x2－ y2）与 x 轴正半轴交于点 P（3，0），由题意知｜ PF1｜｜ PF2｜＝（3＋ a ）（3－ a ）＝9－ a2＝a2，于是 a2＝ ， a ＝ ，因此 F1 ， F2 .法二 设焦点 F1（－ a ，0）， F2（ a ，0）（ a ＞0），由题意知[（ x ＋ a ）2＋ y2][（ x － a ）2＋ y2]＝ a4，即[（ x2＋ a2＋ y2）＋2 ax ][（ x2＋ a2＋ y2）－2 ax ]＝ a4，整理得（ x2＋ y2）2＝2 a2（ x2－ y2），于是 a2＝ ， a ＝ .因此 F1 ， F2 .（2）假设曲线 C 上存在两点 A ， B ，使得以AB 为直径的圆过坐标原点 O ，即 OA ⊥ OB ，由题意知直线 OA ， OB 斜率均存在，不妨设直线 OA 的方程为 y ＝ k1 x ，直线 OB 的方程为 y ＝ k2 x ，将直线 OA 的方程与曲线 C 联立，得（1＋ ）2 x4＝9 x2（1－ ），即 x2＝ ＞0.解得－1＜ k1＜1，同理－1＜ k2＜1，因此 k1 k2＝－1不可能成立，于是假设不成立，即曲线 C 上不存在两点A ， B ，使得以 AB 为直径的圆过坐标原点 O .谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 模块综合检测.docx 模块综合检测.pptx
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