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(共53张PPT)
培优课
圆锥曲线的离心率
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 定义法求圆锥曲线的离心率
【例1】　（2024·南京质检）直线 y ＝－ x 与椭圆 C ： ＋ ＝1
（ a ＞ b ＞0）交于 A ， B 两点，以线段 AB 为直径的圆恰好经过椭圆的
右焦点，则椭圆 C 的离心率为（　　）
解析： 　设椭圆的左、右焦点分别为 F1， F2，由题意可得｜ OF2｜
＝｜ OA ｜＝｜ OB ｜＝｜ OF1｜＝ c ，由 y ＝－ x ，不妨设 A 在第二
象限，得∠ AOF2＝ ，∠ AOF1＝ .∴｜ AF2｜＝ c ，｜ AF1｜＝
c .由椭圆定义可知，｜ AF1｜＋｜ AF2｜＝2 a ，∴ c ＋ c ＝2 a ，∴ e
＝ ＝ －1.
通性通法
　　根据椭圆或双曲线的定义，求出 a ， c 或列出关于 a ， c 的等式，
得到关于 e 的方程，进而求出 e .
【跟踪训练】
设双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左、右焦点分别为 F1， F2， P
为该双曲线上一点且2｜ PF1｜＝3｜ PF2｜，若∠ F1 PF2＝60°，则该
双曲线的离心率为 .
解析：因为2｜ PF1｜＝3｜ PF2｜，所以由双曲线的定义知，｜ PF1｜
－｜ PF2｜＝2 a ，故｜ PF1｜＝6 a ，｜ PF2｜＝4 a .在△ PF1 F2中，由
余弦定理得4 c2＝36 a2＋16 a2－2·6 a ·4 a cos 60°，化简整理得 c ＝
a ，故 e ＝ .
　
题型二 几何法求圆锥曲线的离心率
【例2】　已知 F1， F2是椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦
点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上，△ PF1 F2为等
腰直角三角形，且∠ F1 F2 P ＝90°，则 C 的离心率为（　　）
解析：A　如图所示，由椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞
0），得到左顶点 A （－ a ，0），又由点 P 在过点
A 且斜率为 的直线上，可得 AP 方程为 y ＝ （ x ＋
a ），因为△ PF1 F2为等腰直角三角形，且∠ F1 F2
P ＝90°，可得 P （ c ，2 c ），代入直线 y ＝ （ x ＋
a ），可得2 c ＝ （ c ＋ a ），整理得3 c ＝ a ，所以
椭圆的离心率为 e ＝ ＝ ，故选A.
通性通法
　　涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的
正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得 的值.
【跟踪训练】
（2024·无锡月考）已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的
左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1的直线分别交双曲线的左、右两支于
P ， Q 两点，若△ PQF2为正三角形，则双曲线 C 的离心率为 .
　
解析：如图所示，因为△ PQF2是正三角形，所以｜
PQ ｜＝｜ QF2｜＝｜ PF2｜，∠ F1 PF2＝120°，由双曲
线定义可知｜ QF1｜－｜ QF2｜＝2 a ，即｜ QF1｜－｜
PQ ｜＝｜ PF1｜＝2 a ，再由｜ PF2｜－｜ PF1｜＝2 a
可得｜ PF2｜＝4 a ，在△ PF1 F2中， cos ∠ F1 PF2＝
＝－ ，得28 a2＝4 c2， ＝7，所以 e ＝ .
题型三 齐次式法求圆锥曲线的离心率
【例3】　已知双曲线 E ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0），若矩形
ABCD 的四个顶点都在 E 上，且 AB ， CD 的中点为 E 的两个焦点，且
2｜ AB ｜＝3｜ BC ｜，则 E 的离心率是 .
解析：如图，由题意知｜ AB ｜＝ ，｜ BC ｜＝2
c .又2｜ AB ｜＝3｜ BC ｜，∴2× ＝3×2 c ，即2 b2
＝3 ac ，∴2（ c2－ a2）＝3 ac ，两边同除以 a2并整理
得2 e2－3 e －2＝0，解得 e ＝2（负值舍去）.
2　
通性通法
　　利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数 a ， b ， c 的等
式，结合 a ， b ， c 之间的关系，化简为参数 a ， c 的关系式进行求解.
【跟踪训练】
　已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）， A ， B 分别为椭圆的左顶点和
上顶点， F 为右焦点，且 AB ⊥ BF ，则椭圆的离心率为（　　）
解析： 　因为 A （－ a ，0）， B （0， b ）， F （ c ，0）， AB ⊥
BF ，所以 kAB · kBF ＝－1，所以 ×（－ ）＝－1，所以 b2＝ ac ，所以
a2－ c2＝ ac ，所以1－ e2＝ e ，即 e2＋ e －1＝0，得 e ＝ ，故选D.
题型四 离心率的范围问题
【例4】　（2024·苏州质检）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）
的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1 A2为直径的圆与直线 bx －
ay ＋2 ab ＝0相交，则椭圆 C 的离心率的取值范围为（　　）
解析： 　由题设，以线段 A1 A2为直径的圆为 x2＋ y2＝ a2，与直线 bx
－ ay ＋2 ab ＝0相交，所以 ＜ a ，可得3 b2＝3（ a2－ c2）＜
a2，即 e2＞ .又0＜ e ＜1，所以 ＜ e ＜1.
通性通法
求离心率范围的常用思路
（1）把已知的不等关系用 a ， b ， c 表示出来，消去 b 后构造关于 e 的
不等式求范围，也可以求出相关的范围，再表示出离心率并求
范围；
（2）将已知条件转化为不等关系；
（3）利用椭圆、双曲线的范围构造不等关系.
【跟踪训练】
　已知双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的右顶点到其渐近线的距离
不大于 a ，则离心率 e 的取值范围为（　　）
解析： 　依题意得，点（ a ，0）到渐近线 bx ＋ ay ＝0的距离不大于
a ，∴ ≤ a ，解得 e ≤ .又 e ＞1，∴1＜ e ≤ .
1. 设双曲线 － ＝1（ a ＞0）的两焦点之间的距离为10，则双曲线
的离心率为（　　）
解析： 　因为双曲线 － ＝1（ a ＞0）的两焦点之间的距离为
10，所以2 c ＝10， c ＝5，所以 a2＝ c2－9＝16，所以 a ＝4.所以离心
率 e ＝ .
2. 已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1， F2，点
A 是椭圆短轴的一个顶点，且 cos ∠ F1 AF2＝ ，则椭圆的离心率 e
＝（　　）
解析： 　设椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的焦距
为2 c （ c ＞0），如图，在△ F1 AF2中， cos ∠ F1
AF2＝ ＝ ，即1－2 e2＝ ，解得 e ＝ .
3. 已知椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的一条弦所在的直线方程是 x － y
＋5＝0，弦的中点坐标是 M （－4，1），则椭圆的离心率是（　　）
解析： 　设直线与椭圆交点为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），分别
代入椭圆方程，由点差法可知 yM ＝－ xM ，代入 k ＝1， M （－
4，1），解得 ＝ ， e ＝ ＝ .
4. 已知双曲线 ＋ ＝1的焦点在 y 轴上，则离心率 e 的取值范围
为 .
解析：双曲线 ＋ ＝1的焦点在 y 轴上，将双曲线方程化为
－ ＝1，所以即 m ＜2.离心率 e
＝ ＝ ＝ ＝ ，因为 m ＜2，所以 ＞
0，所以2＋ ＞2，从而 e ＞ .
（ ，＋∞）　
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的渐近线方程为 y ＝±
x ，则双曲线的离心率为（　　）
解析： 　因为双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的渐近线方
程为 y ＝± x ，所以双曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线，且 ＝ .所
以 ＝2，所以双曲线的离心率为 e ＝ ＝ .故选B.
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2. 如图，椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为 e1， e2， e3， e4，其
大小关系为（　　）
A. e1＜ e2＜ e3＜ e4 B. e2＜ e1＜ e3＜ e4
C. e1＜ e2＜ e4＜ e3 D. e2＜ e1＜ e4＜ e3
解析： 　根据椭圆越扁离心率越大，可得0＜
e1＜ e2＜1，根据双曲线开口越大离心率越大，可得1＜ e4＜ e3，故可得： e1＜ e2＜ e4＜ e3，故选C.
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3. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其
短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（　　）
解析： 　不妨设直线 l ： ＋ ＝1，即 bx ＋ cy － bc ＝0 椭圆中心
到 l 的距离为 ＝ e ＝ ＝ ，故选B.
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4. （2024·镇江月考）已知 F1（－ c ，0）， F2（ c ，0）为椭圆 ＋
＝1（ a ＞ b ＞0）的两个焦点， P 为椭圆上一点，且 · ＝ c2，
则此椭圆离心率的取值范围是（　　）
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解析： 　设 P （ x ， y ），则 · ＝（－ c － x ，－ y ）·（ c －
x ，－ y ）＝ x2－ c2＋ y2＝ c2，将 y2＝ b2－ x2代入上式，解得 x2＝
＝ .又 x2∈[0， a2]，∴2 c2≤ a2≤3 c2，∴ e
＝ ∈［ ］.
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5. 设 F1， F2分别是椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点，
点 P 在椭圆 C 上，若线段 PF1的中点在 y 轴上，∠ PF1 F2＝30°，则
椭圆的离心率为（　　）
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解析： 　如图，设 PF1的中点为 M ，连接 PF2.因
为 O 为 F1 F2的中点，所以 OM 为△ PF1 F2的中位线.
所以 OM ∥ PF2，所以∠ PF2 F1＝∠ MOF1＝90°.因
为∠ PF1 F2＝30°，所以｜ PF1｜＝2｜ PF2｜，｜
F1 F2｜＝ ｜ PF2｜.由椭圆定义得2 a ＝｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝3｜ PF2｜，即 a ＝ ，2 c ＝｜ F1 F2｜＝ ｜ PF2｜，即 c ＝ ，则 e ＝ ＝ · ＝ .
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6. 已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左顶点为 M ，左、右
焦点分别为 F1， F2，过 F2作 x 轴的垂线交 C 于 A ， B 两点，若∠
AMB 为锐角，则 C 的离心率的取值范围是（　　）
B. （1，2）
D. （2，＋∞）
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解析： 　令 x ＝ c ，得 － ＝1，解得 y ＝± ，则 M （－ a ，
0）， A （ c ， ）， B （ c ，－ ），因为∠ AMB 为锐角，所以
· ＞0，因为 ＝（ c ＋ a ， ）， ＝（ c ＋ a ，－
），即（ c ＋ a ）2－ ＞0，即 c2－ ac －2 a2＜0，即 e2－ e －2＜
0，结合 e ＞1，解得1＜ e ＜2，故选B.
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7. （多选）已知双曲线 － ＝1（ m ＞0），则（　　）
A. 离心率的最小值为4
B. 当 m ＝1时离心率最小
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解析： 　由题意可得 e2＝ ＝ ＝ m ＋ .因为 m ＞0，所以 e2
＝ m ＋ ≥2 ＝4，即 e ≥2，当且仅当 m ＝ ，即 m ＝2时取
等号.此时双曲线方程是 － ＝1，渐近线方程是 x ± y ＝0.故选
C、D.
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8. 已知双曲线 － ＝1（ b ＞0）与直线 y ＝ 相交于 M ， N 两点，
且 M ， N 两点的纵坐标之积为－ ，则该双曲线的离心率
为 .
解析：联立方程组消去 x ，得（3 b2－1） y2－ b2＝
0，由题意， ＝－ ，得 b2＝1，即双曲线 － y2＝1，故该双
曲线的离心率 e ＝ ＝ .
　
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9. （2024·宿迁质检） F1， F2分别为双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞
0）的左、右焦点， P 为双曲线左支上的任意一点，若 的最
小值为8 a ，则双曲线的离心率 e 的最大值是 .
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解析： F1， F2是左、右焦点， P 为双曲线左支上的任意一点，所
以｜ PF2｜－｜ PF1｜＝2 a ，代入得 ＝ ＝｜
PF1｜＋4 a ＋ ≥2 ＋4 a ＝8 a ，当且仅
当｜ PF1｜＝2 a 时取等号，即｜ PF1｜＝2 a ，又点 P 是双曲线左支
上任意一点，所以｜ PF1｜≥ c － a ，即2 a ≥ c － a ，即 e ≤3.
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10. 已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F1，
F2， P 是 C 上一点，且 PF2⊥ x 轴，直线 PF1与 C 的另一个交点为
Q ，若｜ PF1｜＝4｜ F1 Q ｜，则 C 的离心率为 .
　
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解析：由题意，可将点 P 的坐标代入椭圆 C 的方
程得 ＋ ＝1，解得｜ PF2｜＝ .如图所
示，过 Q 点作 QE ⊥ x 轴，垂足为点 E ，设 Q
（ x0， y0），根据题意及图可知，Rt△ PF2 F1∽Rt△ QEF1，∵ ＝4，∴ ＝ ＝4，∴｜ EF1｜＝ ＝ ＝ ，∴ x0＝－ c － ＝－ .又∵ y0＝－｜ QE ｜＝－ ＝－ .∴点 Q 的坐标为（－ ，－ ）.将点 Q 的坐标代入椭圆方程，得 ＋ ＝1.结合 b2＝ a2－ c2，解得 e ＝ ＝ .
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11. 已知双曲线 E ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左、右焦点分别为
F1， F2，过 F2作圆 O ： x2＋ y2＝ a2的切线，切点为 T ，延长 F2 T 交
双曲线 E 的左支于点 P . 若｜ PF2｜＞2｜ TF2｜，则双曲线 E 的离
心率的取值范围是 .
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解析：在Rt△ OTF2中，｜ OT ｜＝ a ，｜ OF2｜
＝ c ，∴｜ TF2｜＝ b ， cos ∠ PF2 F1＝ ，由双
曲线的定义知，｜ PF2｜－｜ PF1｜＝2 a ，在
△ PF1 F2中，由余弦定理知，｜ PF1｜2＝
｜ PF2｜2＋｜ F1 F2｜2－2｜ PF2｜·｜ F1 F2｜· cos ∠ PF2 F1，∴（｜ PF2｜－2 a ）2＝｜ PF2｜2＋4 c2－2｜ PF2｜·2 c · ，解得｜ PF2｜＝ ＝ ＞0，∴ b ＞ a ，∵｜ PF2｜＞2｜ TF2｜，∴ ＞2 b ，即 b ＜2 a ，∴1＜ ＜2，∴离心率 e ＝ ＝ ∈（ ）.
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12. 双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点为 F （ c ，0）.
（1）若双曲线 C 为等轴双曲线，且过点 P （2， ），求双曲线
C 的方程；
解： ∵双曲线 C 为等轴双曲线，∴ － ＝1，
∵双曲线过点 P （2， ＝1，解得 a2
＝1，
∴双曲线 C 的方程为 x2－ y2＝1.
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（2）经过原点 O 且倾斜角为45°的直线 l 与双曲线 C 的右支交于点
M ，△ OMF 是以线段 OF 为底边的等腰三角形，求双曲线 C
的离心率.
解： 法一　∵△ OMF 是以线段 OF 为底边的等腰三角
形，∠ MOF ＝45°，∴△ OMF 是等腰直角三角形，｜ OF ｜
＝ c ，
过 M 作 MA ⊥ x 轴于点 A ，如图所示，
则 A ， M ，
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设左焦点 F1（－ c ，0），由双曲线定义
知｜ MF1｜－｜ MF ｜＝2 a ，
∴2 a ＝ －
＝ c － c ＝
c ，
∴ e ＝ .
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法二　同法一得 M ，
∵点 M 在双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）上，
∴ － ＝1，即 － ＝4，
∴ e2－ ＝4，
整理得 e4－6 e2＋4＝0，解得 e2＝3± ，
∵ e ＞1，∴ e2＝3＋ ，∴ e ＝ ＝ ＝ ＝ .
∴ e ＝ .
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13. （2024·杭州质检）如图，在平面直角坐标系 Oxy 中，已知椭圆
＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的右焦点为 F （ c ，0）， P 为直线 x ＝ 上
一点，点 Q 在椭圆上，且 FQ ⊥ FP .
（1）若椭圆的离心率为 ，短轴长为2 .
①求椭圆的方程；
②若直线 OQ ， PQ 的斜率分别为 k1， k2求 k1· k2的值.
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解： ①由题意，得
解得 a ＝2， b ＝ ＋ ＝1.
②由①可得，焦点 F （1，0），点 P 在直线 x ＝4上，设 P （4， t ）， Q （ x0， y0），则 ＋ ＝1，所以 ＝3－ ＝（ x0－1， y0）， ＝（3， t ），因为 FP ⊥ FQ ，所以 · ＝3（ x0－1）＋ ty0＝0，所以－ ty0＝3（ x0－1），
所以 k1 k2＝ · ＝ ＝－ .
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（2）若在 x 轴上方存在 P ， Q 两点，使 O ， F ， P ， Q 四点共圆，
求椭圆离心率的取值范围.
解： 法一　设 P ， Q
（ x0， y0），
因为 FP ⊥ FQ ，则△ FPQ 的外接圆即
为以 PQ 为直径的圆 （ x － x0）＋（ y － t ）（ y － y0）＝0，由题意，焦点 F ，原点 O 均在该圆上，
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消去 ty0可得 （ c － x0）－ x0＝0，所以 x0＝ c － ，因为点 P ， Q 均在 x
轴上方，所以－ a ＜ c － ＜ c ，即 c2＋ ac － a2＞0，所以 e2＋ e －1＞0，因为0＜ e ＜1，所以 ＜ e ＜1，
故 e 的取值范围为（ ，1）.
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法二　因为 O ， F ， P ， Q 四点共圆且 FP ⊥ FQ ，所以 PQ 为圆的直
径，所以圆心必为 PQ 中点 M ，又圆心在弦 OF 的中垂线 x ＝ 上，所
以圆心 M 的横坐标为 xM ＝ ，
所以点 Q 的横坐标为 xQ ＝2 xM － ＝ c － ，
因为点 P ， Q 均在 x 轴上方，所以－ a ＜ c － ＜ c ，
所以 e2＋ e －1＞0，因为0＜ e ＜1，
所以 ＜ e ＜1，故 e 的取值范围为 .
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谢 谢 观 看！培优课　圆锥曲线的离心率
1.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
2.如图，椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为（　　）
A.e1＜e2＜e3＜e4 B.e2＜e1＜e3＜e4
C.e1＜e2＜e4＜e3 D.e2＜e1＜e4＜e3
3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
4.（2024·镇江月考）已知F1（－c，0），F2（c，0）为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）
A.（0，］ B.（0，］
C.［，］ D.［，1）
5.设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
6.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为M，左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线交C于A，B两点，若∠AMB为锐角，则C的离心率的取值范围是（　　）
A.（1，） B.（1，2）
C.（，＋∞） D.（2，＋∞）
7.（多选）已知双曲线－＝1（m＞0），则（　　）
A.离心率的最小值为4 B.当m＝1时离心率最小
C.离心率最小时双曲线的标准方程为－＝1 D.离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y＝0
8.已知双曲线－＝1（b＞0）与直线y＝相交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为－，则该双曲线的离心率为　　　　.
9.（2024·宿迁质检）F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的最大值是　　　　.
10.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若｜PF1｜＝4｜F1Q｜，则C的离心率为　　　　.
11.已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长F2T交双曲线E的左支于点P.若｜PF2｜＞2｜TF2｜，则双曲线E的离心率的取值范围是　　　　.
12.双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），右焦点为F（c，0）.
（1）若双曲线C为等轴双曲线，且过点P（2，），求双曲线C的方程；
（2）经过原点O且倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率.
13.（2024·杭州质检）如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），P为直线x＝上一点，点Q在椭圆上，且FQ⊥FP.
（1）若椭圆的离心率为，短轴长为2.
①求椭圆的方程；
②若直线OQ，PQ的斜率分别为k1，k2求k1·k2的值.
（2）若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F，P，Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围.
培优课　圆锥曲线的离心率
1.B　因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，所以双曲线C为焦点在y轴上的双曲线，且＝.所以＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝.故选B.
2.C　根据椭圆越扁离心率越大，可得0＜e1＜e2＜1，根据双曲线开口越大离心率越大，可得1＜e4＜e3，故可得：e1＜e2＜e4＜e3，故选C.
3.B　不妨设直线l：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0 椭圆中心到l的距离为＝ e＝＝，故选B.
4.C　设P（x，y），则·＝（－c－x，－y）·（c－x，－y）＝x2－c2＋y2＝c2，将y2＝b2－x2代入上式，解得x2＝＝.又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈［，］.
5.A　如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以｜PF1｜＝2｜PF2｜，｜F1F2｜＝｜PF2｜.由椭圆定义得2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝3｜PF2｜，即a＝，2c＝｜F1F2｜＝｜PF2｜，即c＝，则e＝＝·＝.
6.B　令x＝c，得－＝1，解得y＝±，则M（－a，0），A（c，），B（c，－），因为∠AMB为锐角，所以·＞0，因为＝（c＋a，），＝（c＋a，－），即（c＋a）2－＞0，即c2－ac－2a2＜0，即e2－e－2＜0，结合e＞1，解得1＜e＜2，故选B.
7.CD　由题意可得e2＝＝＝m＋.因为m＞0，所以e2＝m＋≥2＝4，即e≥2，当且仅当m＝，即m＝2时取等号.此时双曲线方程是－＝1，渐近线方程是x±y＝0.故选C、D.
8.　解析：联立方程组消去x，得（3b2－1）y2－b2＝0，由题意，＝－，得b2＝1，即双曲线－y2＝1，故该双曲线的离心率e＝＝.
9.3　解析：F1，F2是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2a，代入得＝＝｜PF1｜＋4a＋≥2＋4a＝8a，当且仅当｜PF1｜＝2a时取等号，即｜PF1｜＝2a，又点P是双曲线左支上任意一点，所以｜PF1｜≥c－a，即2a≥c－a，即e≤3.
10.　解析：由题意，可将点P的坐标代入椭圆C的方程得＋＝1，解得｜PF2｜＝.如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q（x0，y0），根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，∵＝4，∴＝＝4，∴｜EF1｜＝＝＝，∴x0＝－c－＝－.又∵y0＝－｜QE｜＝－＝－.∴点Q的坐标为（－，－）.将点Q的坐标代入椭圆方程，得＋＝1.结合b2＝a2－c2，解得e＝＝.
11.（，）　解析：在Rt△OTF2中，｜OT｜＝a，｜OF2｜＝c，∴｜TF2｜＝b，cos∠PF2F1＝，由双曲线的定义知，｜PF2｜－｜PF1｜＝2a，在△PF1F2中，由余弦定理知，｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2－2｜PF2｜·｜F1F2｜·cos∠PF2F1，∴（｜PF2｜－2a）2＝｜PF2｜2＋4c2－2｜PF2｜·2c·，解得｜PF2｜＝＝＞0，∴b＞a，∵｜PF2｜＞2｜TF2｜，∴＞2b，即b＜2a，∴1＜＜2，∴离心率e＝＝∈（，）.
12.解：（1）∵双曲线C为等轴双曲线，∴－＝1，
∵双曲线过点P（2，），将其代入得＝1，解得a2＝1，
∴双曲线C的方程为x2－y2＝1.
（2）法一　∵△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，∠MOF＝45°，∴△OMF是等腰直角三角形，｜OF｜＝c，
过M作MA⊥x轴于点A，如图所示，
则A（，0），M（，），
设左焦点F1（－c，0），由双曲线定义知｜MF1｜－｜MF｜＝2a，
∴2a＝－＝c－c＝c，
∴e＝.
法二　同法一得M，
∵点M在双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上，
∴－＝1，即－＝4，
∴e2－＝4，
整理得e4－6e2＋4＝0，解得e2＝3±，
∵e＞1，∴e2＝3＋，∴e＝＝＝＝.
∴e＝.
13.解：（1）①由题意，得
解得a＝2，b＝，所以椭圆的方程为＋＝1.
②由①可得，焦点F（1，0），点P在直线x＝4上，设P（4，t），Q（x0，y0），则＋＝1，
所以＝3－，所以＝（x0－1，y0），＝（3，t），
因为FP⊥FQ，所以·＝3（x0－1）＋ty0＝0，
所以－ty0＝3（x0－1），
所以k1k2＝·＝＝－.
（2）法一　设P，Q（x0，y0），
因为FP⊥FQ，则△FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆（x－x0）＋（y－t）（y－y0）＝0，
由题意，焦点F，原点O均在该圆上，
消去ty0可得（c－x0）－x0＝0，
所以x0＝c－，因为点P，Q均在x轴上方，
所以－a＜c－＜c，
即c2＋ac－a2＞0，所以e2＋e－1＞0，
因为0＜e＜1，所以＜e＜1，
故e的取值范围为（，1）.
法二　因为O，F，P，Q四点共圆且FP⊥FQ，所以PQ为圆的直径，所以圆心必为PQ中点M，又圆心在弦OF的中垂线x＝上，所以圆心M的横坐标为xM＝，
所以点Q的横坐标为xQ＝2xM－＝c－，
因为点P，Q均在x轴上方，所以－a＜c－＜c，
所以e2＋e－1＞0，因为0＜e＜1，
所以＜e＜1，故e的取值范围为.
1 / 2培优课　圆锥曲线的离心率
　题型一 定义法求圆锥曲线的离心率
【例1】　（2024·南京质检）直线y＝－x与椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B.
C.－1 D.4－2
通性通法
　　根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.
【跟踪训练】
设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点且2｜PF1｜＝3｜PF2｜，若∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率为　　　　.
题型二 几何法求圆锥曲线的离心率
【例2】　已知F1，F2是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰直角三角形，且∠F1F2P＝90°，则C的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
通性通法
　　涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值.
【跟踪训练】
（2024·无锡月考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于P，Q两点，若△PQF2为正三角形，则双曲线C的离心率为　　　　　.
题型三 齐次式法求圆锥曲线的离心率
【例3】　已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点都在E上，且AB，CD的中点为E的两个焦点，且2｜AB｜＝3｜BC｜，则E的离心率是　　　　.
通性通法
　　利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的等式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解.
【跟踪训练】
　已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（　　）
A. B.C. D.
题型四 离心率的范围问题
【例4】　（2024·苏州质检）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A.（0，） B.（，1）
C.（，1） D.（0，）
通性通法
求离心率范围的常用思路
（1）把已知的不等关系用a，b，c表示出来，消去b后构造关于e的不等式求范围，也可以求出相关的范围，再表示出离心率并求范围；
（2）将已知条件转化为不等关系；
（3）利用椭圆、双曲线的范围构造不等关系.
【跟踪训练】
　已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为（　　）
A.[，＋∞） B.[，＋∞）
C.（1，] D.（1，]
1.设双曲线－＝1（a＞0）的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
2.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e＝（　　）
A. B.
C. D.
3.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M（－4，1），则椭圆的离心率是（　　）
A. B.
C. D.
4.已知双曲线＋＝1的焦点在y轴上，则离心率e的取值范围为　　　　.
培优课　圆锥曲线的离心率
【典型例题·精研析】
【例1】　C　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得｜OF2｜＝｜OA｜＝｜OB｜＝｜OF1｜＝c，由y＝－x，不妨设A在第二象限，得∠AOF2＝，∠AOF1＝.∴｜AF2｜＝c，｜AF1｜＝c.由椭圆定义可知，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝－1.
跟踪训练
　　解析：因为2｜PF1｜＝3｜PF2｜，所以由双曲线的定义知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，故｜PF1｜＝6a，｜PF2｜＝4a.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acos 60°，化简整理得c＝a，故e＝.
【例2】　A　如图所示，由椭圆＋＝1（a＞b＞0），得到左顶点A（－a，0），又由点P在过点A且斜率为的直线上，可得AP方程为y＝（x＋a），因为△PF1F2为等腰直角三角形，且∠F1F2P＝90°，可得P（c，2c），代入直线y＝（x＋a），可得2c＝（c＋a），整理得3c＝a，所以椭圆的离心率为e＝＝，故选A.
跟踪训练
　　解析：如图所示，因为△PQF2是正三角形，所以｜PQ｜＝｜QF2｜＝｜PF2｜，∠F1PF2＝120°，由双曲线定义可知｜QF1｜－｜QF2｜＝2a，即｜QF1｜－｜PQ｜＝｜PF1｜＝2a，再由｜PF2｜－｜PF1｜＝2a可得｜PF2｜＝4a，在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝，
即＝－，得28a2＝4c2，＝7，所以e＝.
【例3】　2　解析：
如图，由题意知｜AB｜＝，｜BC｜＝2c.又2｜AB｜＝3｜BC｜，∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2（c2－a2）＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2（负值舍去）.
跟踪训练
　D　因为A（－a，0），B（0，b），F（c，0），AB⊥BF，所以kAB·kBF＝－1，所以×（－）＝－1，所以b2＝ac，所以a2－c2＝ac，所以1－e2＝e，即e2＋e－1＝0，得e＝，故选D.
【例4】　B　由题设，以线段A1A2为直径的圆为x2＋y2＝a2，与直线bx－ay＋2ab＝0相交，所以＜a，可得3b2＝3（a2－c2）＜a2，即e2＞.又0＜e＜1，所以＜e＜1.
跟踪训练
　D　依题意得，点（a，0）到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，∴≤a，解得e≤.又e＞1，∴1＜e≤.
随堂检测
1.C　因为双曲线－＝1（a＞0）的两焦点之间的距离为10，所以2c＝10，c＝5，所以a2＝c2－9＝16，所以a＝4.所以离心率e＝.
2.D　设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），如图，在△F1AF2中，cos∠F1AF2＝＝，即1－2e2＝，解得e＝.
3.C　设直线与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M（－4，1），解得＝，e＝＝.
4.（，＋∞）　解析：双曲线＋＝1的焦点在y轴上，将双曲线方程化为－＝1，所以解得即m＜2.离心率e＝＝＝＝，因为m＜2，所以＞0，所以2＋＞2，从而e＞.
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