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第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
1.点P（4cos α，2sin α）（α∈R）与椭圆C：＋＝1的位置关系是（　　）
A.点P在椭圆C上
B.点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关
C.点P在椭圆C内
D.点P在椭圆C外
2.若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是（　　）
A.　　B.－　　C.±　　D.±
3.（2024·龙岩月考）过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为（　　）
A. B.
C. D.
4.（2024·泰安质检）已知过圆锥曲线＋＝1上一点P（x0，y0）的切线方程为＋＝1.过椭圆＋＝1上的点A（3，－1）作椭圆的切线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为（　　）
A.x－y－3＝0 B.x＋y－2＝0
C.2x＋3y－3＝0 D.3x－y－10＝0
5.椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P（3，2），以P为中心的弦所在直线的斜率为（　　）
A.－ B.－
C.－ D.－
6.（多选）（2024·杭州质检）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交椭圆C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（　　）
A.椭圆的焦距为
B.椭圆方程为＋y2＝1
C.弦长｜AB｜＝
D.S△OAB＝
7.过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为　　　　.
8.（2024·福州月考）设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点A是椭圆E的上顶点，△AF1F2为等腰直角三角形，延长AF1交椭圆E于点B，则直线BF2的斜率为　　　　.
9.已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且｜MN｜＝，则k＝　　　　.
10.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）当m＝1时，求直线与椭圆的相交弦长.
11.已知椭圆＋y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹方程为（　　）
A.x＋4y＝0
B.x＋4y＝0（－＜x＜）
C.4x＋y＝0
D.4x＋y＝0（－＜x＜）
12.经过椭圆x2＋2y2＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则·＝（　　）
A.－3 B.±
C.－ D.－
13.（多选）设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（　　）
A.kAB·kOM＝－1
B.若点M坐标为（1，1），则直线l的方程为2x＋y－3＝0
C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M坐标为（，）
D.若直线l的方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝
14.椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，P（，）是椭圆上一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过焦点F1的弦AB的中点为E（－，t），求线段EF2的长.
15.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若｜PF1｜＋｜QF2｜≥b，则C的离心率的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
16.（2024·杭州质检）设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，下顶点为B，过A，O，B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为（，－）.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标.
第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
1.D　把P（4cos α，2sin α）（α∈R）代入椭圆方程的左边，得＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4＞1，因此点P在椭圆C外.
2.C　把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝，∴k＝±.
3.B　椭圆x2＋2y2＝4化为标准方程为＋＝1，所以a＝2，b＝，c＝，所以左焦点为（－，0），易求直线AB的方程为y＝（x＋）.由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0，Δ＝（12）2－4×7×8＝64＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝.由弦长公式，得｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝2×＝.
4.B　过椭圆＋＝1上的点A（3，－1）的切线l的方程为＋＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1.与直线l垂直的直线的斜率为－1，故过点A且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－（x－3），即x＋y－2＝0.
5.A　设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则4＋9＝144，4＋9＝144，两式相减，得4（x1＋x2）（x1－x2）＋9（y1＋y2）（y1－y2）＝0.又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，所以k＝－.
6.BC　如图，因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，解得a＝2.因为直线y＝x－过右焦点F2，所以c＝，椭圆的焦距为2，故A错误.b2＝a2－c2＝4－3＝1，椭圆方程为＋y2＝1，故B正确.设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y，得5x2－8x＋8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，｜AB｜＝＝＝＝＝，故C正确.原点到直线y＝x－的距离d＝＝，所以S△OAB＝×d×｜AB｜＝××＝，故D错误.故选B、C.
7.4，3　解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3.
8.　解析：∵△AF1F2为等腰直角三角形，∴b＝c，则a2＝b2＋c2＝2b2，易知直线AF1的方程为y＝x＋b，代入椭圆方程可得3x2＋4bx＝0，解得x＝0或x＝－b，则B（－b，－b），又F2（b，0），∴＝＝.
9.±1　解析：设M（x1，y1），N（x2，y2），由消去y并整理得（1＋2k2）x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.由｜MN｜＝，得（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝，所以（1＋k2）（x1－x2）2＝，所以（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝，即（1＋k2）·＝.化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.
10.解：联立消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.（*）
（1）因为直线和椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－4×5（m2－1）≥0，所以m2≤，解得－≤m≤.
所以实数m的取值范围为［－，］.
（2）设交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
当m＝1时，（*）式可化为5x2＋2x＝0，
则根据一元二次方程根与系数的关系有x1＋x2＝－，x1x2＝0，
由弦长公式得｜AB｜＝·＝×＝.
11.B　设斜率为2的直线与椭圆＋y2＝1交于点A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），由点差法可知，k＝2＝＝－×＝－×，即x＋4y＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆内，∴＋（－）2＜1，解得－＜x＜.∴所求的轨迹方程为x＋4y＝0（－＜x＜）.
12.C　由题意得椭圆的标准方程为＋y2＝1，∴a＝，b＝1，∴c＝1，∴椭圆的焦点为（－1，0），（1，0）.不妨设倾斜角为45°的直线l过点（1，0），则其方程为y＝x－1，由消去y，整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.当x＝0时，y＝－1；当x＝时，y＝.∴·＝0×＋（－1）×＝－.故选C.
13.BD　设A（x1，y1），B（x2，y2），则两式相减，得＋＝0，即·＝－2，即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M（1，1），得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M（，），则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以｜AB｜＝×｜－－0｜＝，所以D正确.故选B、D.
14.解：（1）由题意可得解得
故椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y＝k（x＋1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立椭圆与直线AB的方程得
消去y得（3＋4k2）x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
故Δ＝（8k2）2－4（3＋4k2）（4k2－12）＞0，
x1＋x2＝－＝－1，解得k2＝，
将x＝－代入y＝k（x＋1）得y＝，
故E（－，），又F2（1，0），
所以｜EF2｜＝＝＝＝.
15.C　由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆另一交点为A（图略），由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，易知｜QF2｜＝｜F1A｜，又｜PF1｜＋｜F1A｜＝｜PA｜，由椭圆过焦点的弦通径最短，所以当PA垂直x轴时，｜PA｜最小，所以b≤｜PA｜min＝，所以ab≤2b2，解得0＜e≤.故选C.
16.解：（1）依题意知A（a，0），B（0，－b），
因为△AOB为直角三角形，
所以过A，O，B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，所以＝，－＝－，
即a＝，b＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
（2）由（1）知B（0，－1），依题意知直线BN的斜率存在且小于0，
设直线BN的方程为y＝kx－1（k＜0），
则直线BM的方程为y＝－x－1，
由消去y得（1＋3k2）x2－6kx＝0，
解得xN＝，yN＝kxN－1，
所以｜BN｜＝＝＝｜xN｜，
所以｜BN｜＝·，
在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，
即M（－k，0），所以｜BM｜＝，
在Rt△MBN中，因为∠BMN＝60°，
所以｜BN｜＝｜BM｜，
即·＝·，
整理得3k2－2｜k｜＋1＝0，
解得｜k｜＝，
因为k＜0，所以k＝－，
所以点M的坐标为（，0）.
1 / 2第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
从椭圆C的一个焦点F1处出发的光线照射到P点，经反射后通过椭圆的另一个焦点F2，如图所示.
【问题】　（1）点P与椭圆C具有怎样的位置关系？
（2）直线l及直线PF2与椭圆C具有怎样的位置关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　点与椭圆的位置关系
点P（x0，y0）与椭圆＋＝1（a＞b＞0）的位置关系：
（1）点P在椭圆上 ＋＝1；
（2）点P在椭圆内部 ＋＜1；
（3）点P在椭圆外部 ＋＞1.
知识点二　直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1（a＞b＞0）位置关系的判断方法：联立消y得一元二次方程：
（1）当Δ＞0时，方程　　　　　，直线与椭圆相交；
（2）当Δ＝0时，方程　　　　　，直线与椭圆相切；
（3）当Δ＜0时，方程　　　　　，直线与椭圆相离.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是相切.（　　）
（2）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为.（　　）
（3）直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况.（　　）
2.直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是（　　）
A.　　　　　　B.
C. D.
3.若点A（a，1）在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是　　　　.
题型一 直线与椭圆的位置关系
【例1】　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
（1）相交；（2）相切；（3）相离.
通性通法
　　研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
【跟踪训练】
1.（2024·深圳月考）若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1（m＞0）有两个公共点，则 m的取值范围是（　　）
A.（1，＋∞）　　　　　B.（1，3）∪（3，＋∞）
C.（3，＋∞） D.（0，3）∪（3，＋∞）
2.（多选）无论k为何值，直线y＝kx＋2和椭圆＋＝1交点情况有（　　）
A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.无法确定
题型二 直线与椭圆的相交弦问题
【例2】　（2024·济南质检）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y＝x＋m交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜＝，求m的值.
通性通法
求弦长的两种方法
（1）求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；
（2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：｜P1P2｜＝·（或｜P1P2｜＝ ·），其中x1，x2（y1，y2）是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式求得弦长.
【跟踪训练】
　已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.
题型三 直线与椭圆的中点弦问题
【例3】　已知P（1，1）为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，若此弦被P点平分，求此弦所在的直线方程.
通性通法
解决椭圆“中点弦”问题的方法
【跟踪训练】
　（2024·郑州月考）已知直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且AB的中点是M（－4，1），则椭圆的离心率是（　　）
A. B.
C. D.
1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是（　　）
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
2.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长｜AB｜＝（　　）
A. B.
C.2 D.3
3.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是（　　）
A.（，－） B.（－，）
C.（，－） D.（－，）
4.（2024·连云港月考）已知直线y＝kx＋1（k∈R）与焦点在x轴上的椭圆＋＝1（b＞0）总有公共点，求实数b的取值范围.
第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用
【基础知识·重落实】
知识点二
（1）有两解　（2）有一解　（3）无解
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√
2.C　联立消去y，得3x2＋4x－2＝0，设直线与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，故AB的中点横坐标x0＝＝－，纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.
3.（－，）　解析：∵点A在椭圆内部，∴＋＜1，∴a2＜2，∴－＜a＜.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ①
方程①的根的判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144.
（1）当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不相等的实数根，这时直线l与椭圆C相交.
（2）当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相等的实数根，这时直线l与椭圆C相切.
（3）当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数根，这时直线l与椭圆C相离.
跟踪训练
1.B　由得（m＋3）x2＋4mx＋m＝0.由Δ＞0且m≠3及m＞0，得m＞1且m≠3.
2.BC　因为y＝kx＋2过定点（0，2），且椭圆＋＝1的上顶点也为（0，2），所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，故选B、C.
【例2】　解：（1）由题意可得解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y并整理，得x2＋2mx＋2m2－2＝0，
易知Δ＞0，即（2m）2－4（2m2－2）＞0，解得－＜m＜.
所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，
所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝×＝×＝，解得m＝±1.
跟踪训练
　解：设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴F（，0），∴直线l的方程为y＝x－，
将其代入椭圆方程，化简并整理得5x2－8x＋8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝·
＝×＝.
【例3】　解：法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k（x－1），弦所在的直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点.
由
消去y得，（2k2＋1）x2－4k（k－1）x＋2（k2－2k－1）＝0，
∴x1＋x2＝，
又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－.
经检验，k＝－满足题意.
故此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1），
即x＋2y－3＝0.
法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则＋＝1， ①
＋＝1， ②
①－②得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，
又x1－x2≠0，∴k＝＝－.
经检验，k＝－满足题意.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0.
跟踪训练
　C　设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的中点是M（－4，1），所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，＋＝0，所以＝－·，所以＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝.故选C.
随堂检测
1.A　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋（3－x）2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，∴直线与椭圆相离.
2.A　由得交点为（0，1），（－，－），则｜AB｜＝＝.
3.A　由消去y得2x2＋（x－1）2＝4，即3x2－2x－3＝0，所以弦的中点的横坐标是x＝×＝，代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，所以弦的中点坐标是（，－）.故选A.
4.解：由题意，知直线y＝kx＋1（k∈R）恒过定点M（0，1），
要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1（b＞0）总有公共点，则只需点M（0，1）在椭圆上或椭圆内，则b≥1.
又b2＜4，所以1≤b＜2.
3 / 3(共63张PPT)
第2课时　
椭圆的标准方程及性质的应用
目录
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
从椭圆 C 的一个焦点 F1处出发的光线照射到 P 点，经反射后通过椭圆的另一个焦点 F2，如图所示.
【问题】　（1）点 P 与椭圆 C 具有怎样的位置关系？
（2）直线 l 及直线 PF2与椭圆 C 具有怎样的位置关系？
知识点一　点与椭圆的位置关系
点 P （ x0， y0）与椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的位置关系：
（1）点 P 在椭圆上 ＋ ＝1；
（2）点 P 在椭圆内部 ＋ ＜1；
（3）点 P 在椭圆外部 ＋ ＞1.
知识点二　直线与椭圆的位置关系
直线 y ＝ kx ＋ m 与椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）位置关系的判断方
法：联立消 y 得一元二次方程：
（1）当Δ＞0时，方程 ，直线与椭圆相交；
（2）当Δ＝0时，方程 ，直线与椭圆相切；
（3）当Δ＜0时，方程 ，直线与椭圆相离.
有两解　
有一解　
无解　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线 y ＝ x ＋1与椭圆 ＋ ＝1的位置关系是相切.
（　×　）
（2）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 .
（　√　）
（3）直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况.
（　√　）
×
√
√
2. 直线 y ＝ x ＋1被椭圆 ＋ ＝1所截得的弦的中点坐标是（　　）
解析： 　联立消去 y ，得3 x2＋4 x －2＝0，设直线与
椭圆交于点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－ ，故 AB 的
中点横坐标 x0＝ ＝－ ，纵坐标 y0＝ x0＋1＝－ ＋1＝ .
3. 若点 A （ a ，1）在椭圆 ＋ ＝1的内部，则 a 的取值范围
是 .
解析：∵点 A 在椭圆内部，∴ ＋ ＜1，∴ a2＜2，∴－ ＜ a ＜
.
（－ ， ）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与椭圆的位置关系
【例1】　已知直线 l ： y ＝2 x ＋ m ，椭圆 C ： ＋ ＝1.试问当 m 取
何值时，直线 l 与椭圆 C ：
（1）相交；
（1）当Δ＞0，即－3 ＜ m ＜3 时，方程①有两个不相等的
实数根，这时直线 l 与椭圆 C 相交.
解：直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组
消去 y ，得9 x2＋8 mx ＋2 m2－4＝0， ①
方程①的根的判别式Δ＝（8 m ）2－4×9×（2 m2－4）＝－8 m2＋
144.
（2）相切；
解：当Δ＝0，即 m ＝±3 时，方程①有两个相等的实数根，
这时直线 l 与椭圆 C 相切.
（3）相离.
解：当Δ＜0，即 m ＜－3 或 m ＞3 时，方程①没有实数
根，这时直线 l 与椭圆 C 相离.
通性通法
　　研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研
究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时
要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
【跟踪训练】
1. （2024·深圳月考）若直线 y ＝ x ＋2与椭圆 ＋ ＝1（ m ＞0）有
两个公共点，则 m 的取值范围是（　　）
A. （1，＋∞） B. （1，3）∪（3，＋∞）
C. （3，＋∞） D. （0，3）∪（3，＋∞）
解析： 　由得（ m ＋3） x2＋4 mx ＋ m ＝0.由Δ＞0且
m ≠3及 m ＞0，得 m ＞1且 m ≠3.
2. （多选）无论 k 为何值，直线 y ＝ kx ＋2和椭圆 ＋ ＝1交点情况
有（　　）
A. 没有公共点 B. 一个公共点
C. 两个公共点 D. 无法确定
解析： 　因为 y ＝ kx ＋2过定点（0，2），且椭圆 ＋ ＝1的
上顶点也为（0，2），所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆
相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆
有两个交点，故选B、C.
题型二 直线与椭圆的相交弦问题
【例2】　（2024·济南质检）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）
的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
（1）求椭圆 C 的方程；
解： 由题意可得所以椭
圆 C 的方程为 ＋ y2＝1.
解： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
由消去 y 并整理，得 x2＋2 mx ＋2 m2－2＝0，
易知Δ＞0，即（2 m ）2－4（2 m2－2）＞0，解得－ ＜ m ＜
.
所以 x1＋ x2＝－2 m ， x1 x2＝2 m2－2，
所以｜ AB ｜＝ ｜ x1－ x2｜＝ × ＝
× ＝ ，解得 m ＝±1.
（2）设直线 l ： y ＝ x ＋ m 交椭圆 C 于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝
，求 m 的值.
通性通法
求弦长的两种方法
（2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次
方程，利用弦长公式：｜ P1 P2｜＝ ·
（或｜ P1 P2｜＝ · ），其中 x1， x2（ y1， y2）是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式求得弦长.
（1）求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；
【跟踪训练】
　已知斜率为1的直线 l 过椭圆 ＋ y2＝1的右焦点 F ，交椭圆于 A ， B
两点，求弦 AB 的长.
解：设 A ， B 两点的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2），
由椭圆方程知 a2＝4， b2＝1，∴ c ＝ ＝ ，
∴ F （ ，0），∴直线 l 的方程为 y ＝ x － ，
将其代入椭圆方程，化简并整理得5 x2－8 x ＋8＝0，
∴ x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，∴｜ AB ｜＝ ｜ x1－ x2｜
＝ · ＝ × ＝ .
题型三 直线与椭圆的中点弦问题
【例3】　已知 P （1，1）为椭圆 ＋ ＝1内一定点，经过 P 引一条
弦，若此弦被 P 点平分，求此弦所在的直线方程.
解：法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为 y －1＝ k
（ x －1），弦所在的直线与椭圆相交于 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）
两点.
由
消去 y 得，（2 k2＋1） x2－4 k （ k －1） x ＋2（ k2－2 k －1）＝0，
∴ x1＋ x2＝ ，又∵ x1＋ x2＝2，∴ ＝2，解得 k ＝－ .
经检验， k ＝－ 满足题意.
故此弦所在的直线方程为 y －1＝－ （ x －1），
即 x ＋2 y －3＝0.
法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为 k ，弦所在的直线
与椭圆相交于 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）两点，
则 ＋ ＝1，
①
＋ ＝1，
②
①－②得 ＋ ＝0，
∵ x1＋ x2＝2， y1＋ y2＝2，∴ ＋ y1－ y2＝0，
又 x1－ x2≠0，∴ k ＝ ＝－ .
经检验， k ＝－ 满足题意.
∴此弦所在的直线方程为 y －1＝－ （ x －1），即 x ＋2 y －3＝0.
通性通法
解决椭圆“中点弦”问题的方法
【跟踪训练】
　（2024·郑州月考）已知直线 x － y ＋5＝0与椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b
＞0）相交于 A ， B 两点，且 AB 的中点是 M （－4，1），则椭圆的离
心率是（　　）
解析： 　设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），因为 AB 的中点是 M （－
4，1），所以 x1＋ x2＝－8， y1＋ y2＝2.易知直线 AB 的斜率 k ＝
＝1.由 ＋
＝0，所以 ＝－ · ＝ ，所以
椭圆的离心率 e ＝ ＝ ＝ .故选C.
1. 已知直线 l ： x ＋ y －3＝0，椭圆 ＋ y2＝1，则直线与椭圆的位置
关系是（　　）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相交或相切
解析： 　把 x ＋ y －3＝0代入 ＋ y2＝1，得 ＋（3－ x ）2＝1，
即5 x2－24 x ＋32＝0.∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，∴直线
与椭圆相离.
2. 直线 x － y ＋1＝0被椭圆 ＋ y2＝1所截得的弦长｜ AB ｜＝（　　）
解析： 　由得交点为（0，1），（－ ，－
），则｜ AB ｜＝ ＝ .
3. 直线 y ＝ x －1被椭圆2 x2＋ y2＝4所截得的弦的中点坐标是（　　）
解析： 　由消去 y 得2 x2＋（ x －1）2＝4，即3 x2－
2 x －3＝0，所以弦的中点的横坐标是 x ＝ × ＝ ，代入直线方程 y
＝ x －1中，得 y ＝－ ，所以弦的中点坐标是（ ，－ ）.故选A.
4. （2024·连云港月考）已知直线 y ＝ kx ＋1（ k ∈R）与焦点在 x 轴上
的椭圆 ＋ ＝1（ b ＞0）总有公共点，求实数 b 的取值范围.
解：由题意，知直线 y ＝ kx ＋1（ k ∈R）恒过定点 M （0，1），
要使直线 y ＝ kx ＋1与椭圆 ＋ ＝1（ b ＞0）总有公共点，则只
需点 M （0，1）在椭圆上或椭圆内，则 b ≥1.
又 b2＜4，所以1≤ b ＜2.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 点 P （4 cos α，2 sin α）（α∈R）与椭圆 C ： ＋ ＝1的位置
关系是（　　）
A. 点 P 在椭圆 C 上
B. 点 P 与椭圆 C 的位置关系不能确定，与α的取值有关
C. 点 P 在椭圆 C 内
D. 点 P 在椭圆 C 外
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解析： 把 P （4 cos α，2 sin α）（α∈R）代入椭圆方程的左
边，得 ＋ ＝4（ cos 2α＋ sin 2α）＝4＞1，因
此点 P 在椭圆 C 外.
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2. 若直线 y ＝ kx ＋2与椭圆 ＋ ＝1相切，则斜率 k 的值是（　　）
解析： 　把 y ＝ kx ＋2代入 ＋ ＝1，得（2＋3 k2） x2＋12 kx ＋6
＝0，由题意知Δ＝0，∴ k2＝ ，∴ k ＝± .
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3. （2024·龙岩月考）过椭圆 x2＋2 y2＝4的左焦点作倾斜角为 的弦
AB ，则弦 AB 的长为（　　）
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解析： 　椭圆 x2＋2 y2＝4化为标准方程为 ＋ ＝1，所以 a ＝
2， b ＝ ， c ＝ ，所以左焦点为（－ ，0），易求直线 AB 的
方程为 y ＝ （ x ＋ ）.由消去 y 并整理，得7 x2
＋12 x ＋8＝0，Δ＝（12 ）2－4×7×8＝64＞0，设 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝ .由弦长公式，
得｜ AB ｜＝ ·｜ x1－ x2｜＝2×
＝ .
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4. （2024·泰安质检）已知过圆锥曲线 ＋ ＝1上一点 P （ x0， y0）
的切线方程为 ＋ ＝1.过椭圆 ＋ ＝1上的点 A （3，－1）
作椭圆的切线 l ，则过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程为（　　）
A. x － y －3＝0 B. x ＋ y －2＝0
C. 2 x ＋3 y －3＝0 D. 3 x － y －10＝0
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解析： 　过椭圆 ＋ ＝1上的点 A （3，－1）的切线 l 的方程为
＋ ＝1，即 x － y －4＝0，切线 l 的斜率为1.与直线 l 垂直的直
线的斜率为－1，故过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程为 y ＋1＝－
（ x －3），即 x ＋ y －2＝0.
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5. 椭圆4 x2＋9 y2＝144内有一点 P （3，2），以 P 为中心的弦所在直线
的斜率为（　　）
解析： 　设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2），斜率为 k ，则4 ＋9 ＝144，4 ＋9 ＝
144，两式相减，得4（ x1＋ x2）·（ x1－ x2）＋9（ y1＋ y2）（ y1－
y2）＝0.又 x1＋ x2＝6， y1＋ y2＝4， ＝ k ，所以 k ＝－ .
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6. （多选）（2024·杭州质检）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）
的左、右焦点分别为 F1， F2， O 为坐标原点，直线 y ＝ x － 过 F2
交椭圆 C 于 A ， B 两点，若△ AF1 B 的周长为8，则（　　）
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解析： 　如图，因为△ AF1 B 的周长为8，所以4
a ＝8，解得 a ＝2.因为直线 y ＝ x － 过右焦点
F2，所以 c ＝ ，椭圆的焦距为2 ，故A错误. b2
＝ a2－ c2＝4－3＝1，椭圆方程为 ＋ y2＝1，故B
正确.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），联立消去 y ，得5 x2－8 x ＋8＝0，所以 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ，｜ AB ｜＝
＝ ＝ ＝ ＝ ，故C正确.原点到直线 y ＝ x － 的距离 d ＝ ＝ ，所以 S△ OAB ＝ × d ×
｜ AB ｜＝ × × ＝ ，故D错误.故选B、C.
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7. 过椭圆 ＋ ＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 .
解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2 a ＝4；最短弦为垂
直于长轴的弦，因为 c ＝1，将 x ＝1代入 ＋ ＝1，得 ＋ ＝
1，解得 y2＝ ，即 y ＝± ，所以最短弦的长为2× ＝3.
4，3　
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解析：∵△ AF1 F2为等腰直角三角形，∴ b ＝ c ，则 a2＝ b2＋ c2＝2
b2，易知直线 AF1的方程为 y ＝ x ＋ b ，代入椭圆方程可得3 x2＋4 bx
＝0，解得 x ＝0或 x ＝－ b ，则 B （－ b ，－ b ），又 F2（ b ，
0），∴ ＝ ＝ .
8. （2024·福州月考）设 F1， F2分别是椭圆 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞
0）的左、右焦点，点 A 是椭圆 E 的上顶点，△ AF1 F2为等腰直角三
角形，延长 AF1交椭圆 E 于点 B ，则直线 BF2的斜率为 .
　
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9. 已知直线 l ： y ＝ kx ＋1与椭圆 ＋ y2＝1交于 M ， N 两点，且｜
MN ｜＝ ，则 k ＝ .
±1　
解析：设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2），由消去 y 并
整理得（1＋2 k2） x2＋4 kx ＝0，所以 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝0.
由｜ MN ｜＝ ，得（ x1－ x2）2＋（ y1－ y2）2＝ ，所以（1＋
k2）（ x1－ x2）2＝ ，所以（1＋ k2）[（ x1＋ x2）2－4 x1 x2]＝ ，
即（1＋ k2）· ＝ .化简得 k4＋ k2－2＝0，所以 k2＝1，所以
k ＝±1.
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10. 已知椭圆4 x2＋ y2＝1及直线 y ＝ x ＋ m .
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；
解：联立消去 y ，得5 x2＋2 mx ＋ m2－1＝0.
（*）
（1）因为直线和椭圆有公共点，
所以Δ＝4 m2－4×5（ m2－1）≥0，所以 m2≤ ，解得－ ≤
m ≤ .
所以实数 m 的取值范围为［－ ］.
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（2）当 m ＝1时，求直线与椭圆的相交弦长.
解：设交点为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
当 m ＝1时，（*）式可化为5 x2＋2 x ＝0，
则根据一元二次方程根与系数的关系有 x1＋ x2＝－ ， x1
x2＝0，
由弦长公式得｜ AB ｜＝ ·
＝ × ＝ .
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11. 已知椭圆 ＋ y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的
轨迹方程为（　　）
A. x ＋4 y ＝0
C. 4 x ＋ y ＝0
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解析： 　设斜率为2的直线与椭圆 ＋ y2＝1交于点 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2），弦 AB 的中点为 M （ x ， y ），由点差法可
知， k ＝2＝ ＝－ × ＝－ × ，即 x ＋4 y ＝0.又椭圆的
弦的中点只能在椭圆内，∴ ＋（－ ）2＜1，解得－ ＜ x ＜
.∴所求的轨迹方程为 x ＋4 y ＝0（－ ＜ x ＜ ）.
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12. 经过椭圆 x2＋2 y2＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线 l ，交椭圆于
M ， N 两点，设 O 为坐标原点，则 · ＝（　　）
A. －3
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解析： 　由题意得椭圆的标准方程为 ＋ y2＝1，∴ a ＝ ， b
＝1，∴ c ＝1，∴椭圆的焦点为（－1，0），（1，0）.不妨设倾
斜角为45°的直线 l 过点（1，0），则其方程为 y ＝ x －1，由
消去 y ，整理得3 x2－4 x ＝0，解得 x ＝0或 x ＝ .当 x
＝0时， y ＝－1；当 x ＝ 时， y ＝ .∴ · ＝0× ＋（－1）×
＝－ .故选C.
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13. （多选）设椭圆的方程为 ＋ ＝1，斜率为 k 的直线 l 不经过原
点 O ，且与椭圆相交于 A ， B 两点， M 为线段 AB 的中点，则下列
结论正确的是（　　）
A. kAB · kOM ＝－1
B. 若点 M 坐标为（1，1），则直线 l 的方程为2 x ＋ y －3＝0
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解析： 　设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 ＋ ＝0，即 · ＝－2，即 kAB · kOM ＝－2.对于A， kAB · kOM ＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由 kAB · kOM ＝－2， M （1，1），得 kAB ＝－2，所以直线 l 的方程为 y －1＝－2（ x －1），即2 x ＋ y －3＝0，所以B正确；对于C，若直线 l 的方程为 y ＝ x ＋1， M （ ），则 kAB · kOM ＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D，由得3 x2＋4 x ＝0，解得 x ＝0或 x ＝－ ，所以｜ AB ｜＝ ×｜－ －0｜＝ ，所以D正确.故选B、D.
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14. 椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ， P （ ， ）是椭
圆上一点.
（1）求椭圆的标准方程；
解： 由题意可得
故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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解： 由题意知直线 AB 的斜率存在，
设直线 AB 的方程为 y ＝ k （ x ＋1）， A （ x1， y1）， B
（ x2， y2），
联立椭圆与直线 AB 的方程得
消去 y 得（3＋4 k2） x2＋8 k2 x ＋4 k2－12＝0，
故Δ＝（8 k2）2－4（3＋4 k2）（4 k2－12）＞0，
（2） F1， F2分别是椭圆的左、右焦点，过焦点 F1的弦 AB 的中点
为 E （－ ， t ），求线段 EF2的长.
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x1＋ x2＝－ ＝－1，解得 k2＝ ，
将 x ＝－ 代入 y ＝ k （ x ＋1）得 y ＝ ，
故 E （－ ），又 F2（1，0），
所以｜ EF2｜＝ ＝ ＝
＝ .
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15. 已知 F1， F2分别是椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦
点，点 P ， Q 是 C 上位于 x 轴上方的任意两点，且 PF1∥ QF2.若｜
PF1｜＋｜ QF2｜≥ b ，则 C 的离心率的取值范围是（　　）
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解析： 　由点 P ， Q 是 C 上位于 x 轴上方的任意两点，延长 PF1交
椭圆另一交点为 A （图略），由 PF1∥ QF2再结合椭圆的对称性，
易知｜ QF2｜＝｜ F1 A ｜，又｜ PF1｜＋｜ F1 A ｜＝｜ PA ｜，由椭
圆过焦点的弦通径最短，所以当 PA 垂直 x 轴时，｜ PA ｜最小，所
以 b ≤｜ PA ｜min＝ ，所以 ab ≤2 b2，解得0＜ e ≤ .故选C.
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16. （2024·杭州质检）设椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的右顶点为
A ，下顶点为 B ，过 A ， O ， B （ O 为坐标原点）三点的圆的圆心
坐标为（ ，－ ）.
（1）求椭圆的方程；
解： 依题意知 A （ a ，0）， B （0，－ b ），因为△ AOB 为直角三角形，
所以过 A ， O ， B 三点的圆的圆心为斜边 AB 的中点，所以
＝ ，－ ＝－ ，即 a ＝ ， b ＝1，
所以椭圆的方程为 ＋ y2＝1.
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（2）已知点 M 在 x 轴正半轴上，过点 B 作 BM 的垂线与椭圆交于
另一点 N ，若∠ BMN ＝60°，求点 M 的坐标.
解： 由（1）知 B （0，－1），依题意知直线 BN 的斜
率存在且小于0，
设直线 BN 的方程为 y ＝ kx －1（ k ＜0），
则直线 BM 的方程为 y ＝－ x －1，
由消去 y 得（1＋3 k2） x2－6 kx ＝0，
解得 xN ＝ ， yN ＝ kxN －1，
所以｜ BN ｜＝ ＝ ＝
｜ xN ｜，
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所以｜ BN ｜＝ · ，
在 y ＝－ x －1中，令 y ＝0得 x ＝－ k ，
即 M （－ k ，0），所以｜ BM ｜＝ ，
在Rt△ MBN 中，因为∠ BMN ＝60°，
所以｜ BN ｜＝ ｜ BM ｜，
即 · ＝ · ，
整理得3 k2－2 ｜ k ｜＋1＝0，
解得｜ k ｜＝ ，因为 k ＜0，所以 k ＝－ ，
所以点 M 的坐标为（ ，0）.
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