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第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用
1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2024·周口月考）直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是（　　）
A.（1，2） B.（－2，－1）
C.（－1，－2） D.（2，1）
3.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　）
A.　　 　 B.
C.　　 　 D.
4.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则该双曲线的方程为（　　）
A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9
C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25
5.（多选）双曲线的标准方程为x2－＝1，则下列说法正确的是（　　）
A.该曲线两顶点的距离为2
B.该曲线与双曲线y2－＝1有相同的渐近线
C.该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1
D.该曲线与直线l：y＝（x－2）有且仅有一个公共点
6.（多选）（2024·湖州月考）已知平面上两点M（－5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使｜PM｜－｜PN｜＝6，则称该直线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有（　　）
A.3y＝x＋1 B.y＝2
C.y＝x D.y＝2x＋1
7.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是　　　　.
8.已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m＝　　　　.
9.设动点M到定点F（3，0）的距离与它到直线l：x＝的距离之比为，则点M的轨迹方程为　　　　.
10.双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，且经过点（3，－2）.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求｜AB｜.
11.（2024·扬州月考）若直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是（　　）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（－1，1） D.（1，＋∞）
12.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l，交双曲线于A，B两点，若｜AB｜＝4，则这样的直线l有（　　）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
13.过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为　　　　.
14.（2024·漳州月考）已知双曲线C的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，实轴长为2.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P（0，1）的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点，求该直线斜率的取值范围.
15.已知点A（3，1），双曲线x2－＝1，F为双曲线的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则2｜PA｜＋｜PF｜的最小值为　　　　，此时点P的坐标为　　　　.
16.（2024·郑州月考）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点（，2）.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，求阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积.
第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用
1.B　直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切（直线与双曲线的渐近线平行时）；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一公共点.
2.C　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为（－1，－2）.
3.D　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F（2，0），将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以｜PF｜＝3.又A的坐标是（1，3），故△APF的面积为×3×（2－1）＝.
4.B　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝x联立，得x2－a2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1·x2＝－，∴｜AB｜＝×a＝2，∴a＝3，故选B.
5.CD　由已知双曲线中a＝1，b＝，则c＝2，顶点为（1，0）和（－1，0），距离为2，A错误；该双曲线的渐近线方程是y＝±x，而双曲线y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，不相同，B错误；该双曲线上的点到右焦点的距离的最小值为c－a＝1，C正确；直线l与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且仅有一个公共点，D正确.故选C、D.
6.AB　因为｜PM｜－｜PN｜＝6＜｜MN｜＝10，所以点P在以M，N为焦点的双曲线的右支上，即点P的轨迹方程为－＝1（x≥3）.根据题意得“单曲型直线”与双曲线的右支存在交点，下面依次联立方程，消去y，判断所得方程有无正根即可.对于A，联立得消y得15x2－2x－145＝0，因为Δ＝（－2）2－4×15×（－145）＞0，且x1x2＜0，所以3y＝x＋1是“单曲型直线”.对于B，联立得消y得x2＝，所以y＝2是“单曲型直线”.对于C，联立得整理得0＝1，显然不成立，所以y＝x不是“单曲型直线”.对于D，联立得消y得20x2＋36x＋153＝0，因为Δ＝362－4×20×153＜0，所以y＝2x＋1不是“单曲型直线”.综上，是“单曲型直线”的有A、B.
7.（1，]　解析：由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e＞1，所以离心率e的取值范围是（1，].
8.±1　解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8＞0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为（m，2m）.又点（m，2m）在x2＋y2＝5上，所以m2＋（2m）2＝5，得m＝±1.
9.－＝1　解析：设点M的坐标为（x，y），点M到直线l的距离为d，由已知得＝，即｜MF｜＝d，∵点F（3，0），直线l的方程为x＝，∴｜MF｜＝＝，d＝｜x－｜，∴＝｜x－｜，整理得－＝1，∴点M的轨迹方程是－＝1.
10.解：（1）因为双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ（λ≠0）.
又因为双曲线经过点（3，－2），代入方程可得λ＝6，
所以所求双曲线的方程为－＝1.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝（x－3），
联立消去y得x2－18x＋33＝0，因为Δ＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝18，x1x2＝33，
所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝2＝16，即弦长｜AB｜＝16.
11.C　直线y＝kx过原点，且与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交点，可得直线y＝kx一定在两渐近线之间，如图.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以k∈（－1，1）.
12.C　设A（x1，y1），B（x2，y2）.当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由得y＝±2，∴｜AB｜＝｜y1－y2｜＝4，满足题意.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k（x－），由消去y，得（2－k2）x2＋2k2x－3k2－2＝0.当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，则｜AB｜＝＝＝·＝＝4，解得k＝±；当2－k2＝0时，直线l分别与双曲线的一条渐近线平行，最多有一个交点，不满足题意，故这样的直线l有3条.
13.2＋　解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F（c，0），则直线l的方程为y＝（x－c）.因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b（点P在x轴下方，故舍去），故点P的坐标为（2a，－b），代入直线方程得－b＝（2a－c），化简可得离心率e＝＝2＋.
14.解：（1）由双曲线C的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝1（a＞0），
由实轴长为2，得2a＝2，故a＝1，
则双曲线的标准方程为x2－y2＝1.
（2）因为过点P（0，1）的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点，
所以该直线斜率一定存在，且该直线不和双曲线的渐近线平行，故设直线方程为y＝kx＋1，k≠±1，
联立消去y，整理得（1－k2）x2－2kx－2＝0，
则满足＜0，解得－1＜k＜1，
即该直线斜率的取值范围为（－1，1）.
15.5　（，1）　解析：由已知得双曲线的离心率e＝＝2，双曲线右准线方程为x＝＝，那么点P到右准线的距离d＝｜PF｜，从而2｜PA｜＋｜PF｜＝2（｜PA｜＋｜PF｜）＝2（｜PA｜＋d）.｜PA｜＋d的最小值为点A到右准线的距离，即3－＝，因而2｜PA｜＋｜PF｜的最小值为5，将y＝1代入双曲线方程，得此时点P坐标为（，1）.
16.解：（1）∵双曲线C的离心率e＝＝，∴c＝a，
∴c2＝a2＋b2＝a2，∴b2＝a2，
∴双曲线的方程为－＝1，过点（，2），即－＝1，a2＝3，b2＝1，
∴双曲线方程为－x2＝1.
（2）由（1）知双曲线的渐近线方程为y＝±x，
取直线x＝m（0≤m≤1），代入－x2＝1，得y＝，
代入y＝x，得y＝m，
∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝（3＋3m2）π－3m2π＝3π.
又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π.
2 / 2第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用
题型一 直线与双曲线的位置关系
【例1】　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k（x－1），直线l与双曲线有两个不同的交点，确定满足条件的实数k的取值范围.
通性通法
1.解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2.双曲线与直线只有一个交点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
【跟踪训练】
1.直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值范围是　　　　.
2.已知双曲线x2－＝1，过点P（1，1）的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
题型二 双曲线第二定义及应用
【例2】　（1）（2024·烟台质检）点M（x，y）到定点F（5，0）的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，则点M的轨迹方程为　　　　；
（2）点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，则点M的轨迹方程为　　　　.
通性通法
　　双曲线上任意一点到左焦点的距离与到左准线x＝－的距离的比或到右焦点的距离与到右准线x＝的距离的比是该双曲线的离心率，显然当0＜e＜1时为椭圆，当e＞1时为双曲线.
【跟踪训练】
　双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离为3，则P到右准线的距离为（　　）
A.　　 B.　　
C.　　 D.
题型三 弦长公式及中点弦问题
【例3】　（1）已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为（　　）
A.3 B.4
C.6 D.6
（2）（2024·金华月考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB的中点为Q（12，15），则双曲线C的离心率为（　　）
A.2 B.
C. D.
通性通法
　　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
【跟踪训练】
　已知斜率为2的直线l截双曲线－＝1所得弦长为，求直线l的方程.
1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（　　）
A.1 B.2
C.1或2 D.0
2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围为（　　）
A.（－2，2） B.[－2，2）
C.（－2，2] D.[－2，2]
3.（2024·开封月考）经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为（　　）
A. B.
C. D.7
4.在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1上有一点M，点M的横坐标是3，则点M到双曲线右焦点的距离是　　　　.
第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用
【典型例题·精研析】
【例1】　解：联立消去y，得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.（*）
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝（2k2）2－4（1－k2）（－k2－4）＝4（4－3k2）.
由得－＜k＜且k≠±1，
此时方程（*）有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的交点.
跟踪训练
1.[－，]　解析：由得（1－m2）x2－2mx－2＝0，当1－m2＝0，即m＝±1时，若m＝1，解得x＝－1，若m＝－1，解得x＝1，所以m＝±1时满足条件.当1－m2≠0时，则Δ＝4m2＋8（1－m2）≥0，解得－≤m≤且m≠±1.综上所述，m的取值范围是－≤m≤.
2.解：①当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意.
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k（x－1）＋1，
代入双曲线方程，得（4－k2）x2－（2k－2k2）x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0，即k＝±2时，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.
综上，k＝或k＝±2或k不存在时，直线l与双曲线只有一个公共点.
【例2】　（1）－＝1　（2）＋＝1　解析：（1）
d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P＝{M｜＝}，由此得＝.将上式两边平方，并化简，得9x2－16y2＝144，即－＝1.
（2）
设M（x，y），d是点M到直线l：x＝8的距离，根据题意，点M的轨迹就是集合P＝，由此得＝，将上式两边平方，并化简，得3x2＋4y2＝48，即＋＝1.
跟踪训练
　C　由题意，可得a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2，c＝＝，可得双曲线的离心率为e＝＝，因为双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离为3，即｜PF2｜＝3，可得点P到右准线的距离为d＝＝.故选C.
【例3】　（1）D　（2）B　解析：（1）双曲线C：－＝1，则c2＝4，∴右焦点为F（2，0），根据题意易得过F的直线斜率存在，设方程为y＝k（x－2），A（xA，yA），B（xB，yB），联立化简得（1－k2）x2＋4k2x－4k2－2＝0，∴xA＋xB＝，xAxB＝.∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋xB＝＝8，解得k2＝2，∴xAxB＝＝10，则（xA－xB）2＝（xA＋xB）2－4xAxB＝82－4×10＝24，则｜AB｜＝＝＝6.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由线段AB的中点为Q（12，15），得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30.由两式相减得＝，则＝＝.由直线l的斜率k＝＝1，得＝1，则＝.则双曲线C的离心率e＝＝＝.故选B.
跟踪训练
　解：设直线l的方程为y＝2x＋m，与－＝1联立消去y得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0.设直线l与双曲线－＝1的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝－m，x1x2＝.
∴｜AB｜＝·＝＝＝，解得m＝±.∴直线l的方程为y＝2x±.
随堂检测
1.A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有一个交点，故选A.
2.A　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程（4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2.
3.B　双曲线x2－y2＝8的右焦点为（4，0），经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为y＝2（x－4），代入x2－y2＝8并整理得3x2－32x＋72＝0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝24，所以直线被双曲线截得的线段的长为×＝.
4.4　解析：令d为点M到右准线x＝1的距离，则＝e＝＝2，∵d＝2，∴｜MF｜＝4.
2 / 2(共56张PPT)
第2课时　
双曲线的标准方程及性质
的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与双曲线的位置关系
【例1】　已知双曲线 x2－ y2＝4，直线 l ： y ＝ k （ x －1），直线 l 与
双曲线有两个不同的交点，确定满足条件的实数 k 的取值范围.
解：联立消去 y ，得（1－ k2） x2＋2 k2 x － k2－4＝0.（*）
当1－ k2≠0，即 k ≠±1时，
Δ＝（2 k2）2－4（1－ k2）（－ k2－4）＝4（4－3 k2）.
由得－ ＜ k ＜ 且 k ≠±1，
此时方程（*）有两个不同的实数解，即直线 l 与双曲线有两个不同的
交点.
通性通法
1. 解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次
项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况.
2. 双曲线与直线只有一个交点的题目，应分两种情况讨论：直线与双
曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
3. 注意对直线的斜率是否存在进行讨论.

解析：由得（1－ m2） x2－2 mx －2＝0，当1－ m2＝
0，即 m ＝±1时，若 m ＝1，解得 x ＝－1，若 m ＝－1，解得 x ＝1，
所以 m ＝±1时满足条件.当1－ m2≠0时，则Δ＝4 m2＋8（1－ m2）
≥0，解得－ ≤ m ≤ 且 m ≠±1.综上所述， m 的取值范围是－
≤ m ≤ .
[－ ， ]　
2. 已知双曲线 x2－ ＝1，过点 P （1，1）的直线 l 与双曲线只有一个
公共点，求直线 l 的斜率 k .
解：①当直线 l 的斜率不存在时， l ： x ＝1与双曲线相切，符合
题意.
②当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y ＝ k （ x －1）＋1，
代入双曲线方程，得（4－ k2） x2－（2 k －2 k2） x － k2＋2 k －
5＝0.
当4－ k2＝0，即 k ＝±2时， l 与双曲线的渐近线平行， l 与双曲
线只有一个公共点；
当4－ k2≠0时，令Δ＝0，得 k ＝ .
综上， k ＝ 或 k ＝±2或 k 不存在时，直线 l 与双曲线只有一个
公共点.
题型二 双曲线第二定义及应用
【例2】　（1）（2024·烟台质检）点 M （ x ， y ）到定点 F （5，0）
的距离和它到定直线 l ： x ＝ 的距离的比是常数 ，则点 M 的轨迹方
程为 ；
－ ＝1　
解析： 设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据
题意，所求轨迹就是集合 P ＝
＝ .将上式两边平
方，并化简，得9 x2－16 y2＝144，即 －
＝1.
解析： 设 M （ x ， y ）， d 是点 M 到直线 l ： x ＝8的距离，
根据题意，点 M 的轨迹就是集合 P ＝ ＝ ，将上式两边平方，并化简，
得3 x2＋4 y2＝48，即 ＋ ＝1.
（2）点 M 与定点 F （2，0）的距离和它到定直线 x ＝8的距离的比是
1∶2，则点 M 的轨迹方程为 .
＋ ＝1　
通性通法
　　双曲线上任意一点到左焦点的距离与到左准线 x ＝－ 的距离的
比或到右焦点的距离与到右准线 x ＝ 的距离的比是该双曲线的离心
率，显然当0＜ e ＜1时为椭圆，当 e ＞1时为双曲线.
【跟踪训练】
　双曲线 － ＝1上一点 P 到右焦点的距离为3，则 P 到右准线的距
离为（　　）
解析： 　由题意，可得 a2＝9， b2＝4，即 a ＝3， b ＝2， c ＝
＝ ，可得双曲线的离心率为 e ＝ ＝
－ ＝1上一点 P 到右焦点的距离为3，即｜ PF2｜＝3，可得点 P 到右
准线的距离为 d ＝ ＝ .故选C.
题型三 弦长公式及中点弦问题
【例3】　（1）已知双曲线 C ： x2－ y2＝2，过右焦点的直线交双曲线
于 A ， B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为4，则弦 AB 的长为
（　D　）
C. 6
D
解析： 双曲线 C ： － ＝1，则 c2＝4，∴右焦点为 F
（2，0），根据题意易得过 F 的直线斜率存在，设方程为 y ＝ k
（ x －2）， A （ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），联立
化简得（1－ k2） x2＋4 k2 x －4 k2－2＝0，∴ xA ＋
xB ＝ ， xAxB ＝ .∵线段 AB 中点的横坐标为4，∴ xA ＋
xB ＝ ＝8，解得 k2＝2，∴ xAxB ＝ ＝10，则（ xA －
xB ）2＝（ xA ＋ xB ）2－4 xAxB ＝82－4×10＝24，则｜ AB ｜＝
＝ ＝6 .
（2）（2024·金华月考）已知双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞
0），过点 P （3，6）的直线 l 与 C 相交于 A ， B 两点，且线段
AB 的中点为 Q （12，15），则双曲线 C 的离心率为（　B　）
A. 2
B
解析：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由线段 AB 的中点为 Q
（12，15），得 x1＋ x2＝24， y1＋ y2＝30.由
＝ ＝
＝ .由直线 l 的斜率 k ＝ ＝1，得 ＝1，则
＝ .则双曲线 C 的离心率 e ＝ ＝ ＝ .故选B.
通性通法
　　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题
常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围.
【跟踪训练】
　已知斜率为2的直线 l 截双曲线 － ＝1所得弦长为 ，求直线 l
的方程.
解：设直线 l 的方程为 y ＝2 x ＋ m ，与 － ＝1联立消去 y 得10 x2＋
12 mx ＋3 m2＋6＝0.设直线 l 与双曲线 － ＝1的交点分别为 A
（ x1， y1）， B （ x2， y2），
由一元二次方程根与系数的关系得 x1＋ x2＝－ m ， x1 x2＝ .
∴｜ AB ｜＝ · ＝
＝ ＝ ，解得 m ＝± .∴直线 l 的方程为 y ＝2 x ± .
1. 直线 y ＝ x ＋3与双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的交点个数是
（　　）
A. 1 B. 2
C. 1或2 D. 0
解析： 因为直线 y ＝ x ＋3与双曲线的渐近线 y ＝ x 平行，所以
它与双曲线只有一个交点，故选A.
2. 若直线 y ＝ kx 与双曲线4 x2－ y2＝16有两个公共点，则实数 k 的取值
范围为（　　）
A. （－2，2） B. [－2，2）
C. （－2，2] D. [－2，2]
解析： 　易知 k ≠±2，将 y ＝ kx 代入4 x2－ y2＝16得关于 x 的一元
二次方程（4－ k2） x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜ k ＜2.
3. （2024·开封月考）经过双曲线 x2－ y2＝8的右焦点且斜率为2的直线
被双曲线截得的线段的长为（　　）
解析： 　双曲线 x2－ y2＝8的右焦点为（4，0），经过双曲线 x2－
y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为 y ＝2（ x －4），代入 x2－ y2
＝8并整理得3 x2－32 x ＋72＝0，设交点 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），则 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝24，所以直线被双曲线截得的线段的
长为 × ＝ .
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 － ＝1上有一点 M ，点 M 的
横坐标是3，则点 M 到双曲线右焦点的距离是 .
解析：令 d 为点 M 到右准线 x ＝1的距离，则 ＝ e ＝ ＝2，
∵ d ＝2，∴｜ MF ｜＝4.
4　
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. “直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的
（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 　直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相
切（直线与双曲线的渐近线平行时）；直线与双曲线相切时，直线
与双曲线一定有唯一公共点.
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2. （2024·周口月考）直线 y ＝ x －1被双曲线2 x2－ y2＝3所截得的弦的
中点坐标是（　　）
A. （1，2） B. （－2，－1）
C. （－1，－2） D. （2，1）
解析： 　将 y ＝ x －1代入2 x2－ y2＝3，得 x2＋2 x －4＝0，由此可
得弦的中点的横坐标为 ＝ ＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，
即中点坐标为（－1，－2）.
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3. 已知 F 是双曲线 C ： x2－ ＝1的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x
轴垂直，点 A 的坐标是（1，3），则△ APF 的面积为（　　）
解析： 　由 c2＝ a2＋ b2＝4得 c ＝2，所以 F （2，0），将 x ＝2代入
x2－ ＝1，得 y ＝±3，所以｜ PF ｜＝3.又 A 的坐标是（1，3），
故△ APF 的面积为 ×3×（2－1）＝ .
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4. 已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，与直线 y ＝ x
交于 A ， B 两点，若｜ AB ｜＝2 ，则该双曲线的方程为（　　）
A. x2－ y2＝6 B. x2－ y2＝9
C. x2－ y2＝16 D. x2－ y2＝25
解析： 　设等轴双曲线的方程为 x2－ y2＝ a2（ a ＞0），与 y ＝ x
联立，得 x2－ a2＝0.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝
0， x1· x2＝－ ，∴｜ AB ｜＝ × a ＝2 ，∴ a
＝3，故选B.
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5. （多选）双曲线的标准方程为 x2－ ＝1，则下列说法正确的是
（　　）
C. 该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1
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解析： 　由已知双曲线中 a ＝1， b ＝ ，则 c ＝2，顶点为
（1，0）和（－1，0），距离为2，A错误；该双曲线的渐近线方程
是 y ＝± x ，而双曲线 y2－ ＝1的渐近线方程是 y ＝± x ，不相
同，B错误；该双曲线上的点到右焦点的距离的最小值为 c － a ＝
1，C正确；直线 l 与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且仅
有一个公共点，D正确.故选C、D.
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6. （多选）（2024·湖州月考）已知平面上两点 M （－5，0）和 N
（5，0），若直线上存在点 P 使｜ PM ｜－｜ PN ｜＝6，则称该直
线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有（　　）
A. 3 y ＝ x ＋1 B. y ＝2
D. y ＝2 x ＋1
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解析： 　因为｜ PM ｜－｜ PN ｜＝6＜｜ MN ｜＝10，所以点 P
在以 M ， N 为焦点的双曲线的右支上，即点 P 的轨迹方程为 －
＝1（ x ≥3）.根据题意得“单曲型直线”与双曲线的右支存在交
点，下面依次联立方程，消去 y ，判断所得方程有无正根即可.对于
A，联立得消 y 得15 x2－2 x －145＝0，因为Δ＝（－
2）2－4×15×（－145）＞0，且 x1 x2＜0，所以3 y ＝ x ＋1是“单曲
型直线”.对于B，联立得消 y 得 x2＝ ，所以 y ＝2是
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“单曲型直线”.对于C，联立得整理得0＝1，显然
不成立，所以 y ＝ x 不是“单曲型直线”.对于D，联立得
消 y 得20 x2＋36 x ＋153＝0，因为Δ＝362－4×20×153
＜0，所以 y ＝2 x ＋1不是“单曲型直线”.综上，是“单曲型直线”
的有A、B.
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7. 若双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）与直线 y ＝2 x 无交点，则离心
率 e 的取值范围是 .
解析：由题意可得， ≤2，所以 e ＝ ≤ .又 e ＞1，
所以离心率 e 的取值范围是（1， ].
（1， ]　
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8. 已知直线 l ： x － y ＋ m ＝0与双曲线 x2－ ＝1交于不同的两点 A ，
B ，若线段 AB 的中点在圆 x2＋ y2＝5上，则实数 m ＝ .
解析：由消去 y 得 x2－2 mx － m2－2＝0.则Δ＝4 m2
＋4 m2＋8＝8 m2＋8＞0.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝
2 m ， y1＋ y2＝ x1＋ x2＋2 m ＝4 m ，所以线段 AB 的中点坐标为
（ m ，2 m ）.又点（ m ，2 m ）在 x2＋ y2＝5上，所以 m2＋（2 m ）2
＝5，得 m ＝±1.
±1　
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9. 设动点 M 到定点 F （3，0）的距离与它到直线 l ： x ＝ 的距离之比
为 ，则点 M 的轨迹方程为 　 － ＝1　.
－ ＝1　
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解析：设点 M 的坐标为（ x ， y ），点 M 到直线 l 的距离为 d ，由已
知得 ＝ ，即｜ MF ｜＝ d ，∵点 F （3，0），直线 l 的方
程为 x ＝ ，∴｜ MF ｜＝ ＝
， d ＝｜ x － ｜，∴ ＝ ｜ x －
｜，整理得 － ＝1，∴点 M 的轨迹方程是 － ＝1.
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10. 双曲线的两条渐近线的方程为 y ＝± x ，且经过点（3，－2
）.
（1）求双曲线的方程；
解： 因为双曲线的两条渐近线方程为 y ＝± x ，
所以可设双曲线的方程为2 x2－ y2＝λ（λ≠0）.
又因为双曲线经过点（3，－2 ），代入方程可得λ＝6，
所以所求双曲线的方程为 － ＝1.
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（2）过双曲线的右焦点 F 且倾斜角为60°的直线交双曲线于 A ， B
两点，求｜ AB ｜.
解： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
过 F 且倾斜角为60°的直线方程为 y ＝ （ x －3），
联立消去 y 得 x2－18 x ＋33＝0，因为Δ＞0，
由根与系数的关系得 x1＋ x2＝18， x1 x2＝33，
所以｜ AB ｜＝ ·｜ x1－ x2｜＝
· ＝2 ＝16 ，即
弦长｜ AB ｜＝16 .
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11. （2024·扬州月考）若直线 y ＝ kx 与双曲线 x2－ y2＝1的两支各有一
个交点，则实数 k 的取值范围是（　　）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （－1，1） D. （1，＋∞）
解析： 　直线 y ＝ kx 过原点，且与双曲线 x2
－ y2＝1的两支各有一个交点，可得直线 y ＝
kx 一定在两渐近线之间，如图.因为双曲线的
渐近线方程为 y ＝± x ，所以 k ∈（－1，1）.
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12. 过双曲线 x2－ ＝1的右焦点 F 作直线 l ，交双曲线于 A ， B 两点，
若｜ AB ｜＝4，则这样的直线 l 有（　　）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
解析： 设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）.当直线 l 的斜率不存在
时，其方程为 x ＝得 y ＝±2，∴｜ AB ｜
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＝｜ y1－ y2｜＝4，满足题意.当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y
＝ k （ x －消去 y ，得（2－ k2） x2＋2
k2 x －3 k2－2＝0.当2－ k2≠0时， x1＋ x2＝ ， x1 x2＝
，则｜ AB ｜＝ ＝
＝ · ＝
＝4，解得 k ＝± ；当2－ k2＝0时，直线 l 分别与双曲线的一条渐
近线平行，最多有一个交点，不满足题意，故这样的直线 l 有3条.
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13. 过双曲线 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点作一条与其渐
近线平行的直线，交 C 于点 P . 若点 P 的横坐标为2 a ，则 C 的离心
率为 .
2＋ 　
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解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l
的斜率为 ，又直线 l 过右焦点 F （ c ，0），则
直线 l 的方程为 y ＝ （ x － c ）.因为点 P 的横坐
标为2 a ，代入双曲线方程得 － ＝1，化简
得 y ＝－ b 或 y ＝ b （点 P 在 x 轴下方，故舍去），故点 P 的坐标为（2 a ，－ b ），代入直线方程得－ b ＝ （2 a － c ），化简可得离心率 e ＝ ＝2＋ .
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14. （2024·漳州月考）已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上，其渐近线方程
为 y ＝± x ，实轴长为2.
（1）求双曲线 C 的标准方程；
解： 由双曲线 C 的焦点在 x 轴上，其渐近线方程为 y ＝
± x ，可设双曲线方程为 － ＝1（ a ＞0），
由实轴长为2，得2 a ＝2，故 a ＝1，
则双曲线的标准方程为 x2－ y2＝1.
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（2）过点 P （0，1）的直线与双曲线 C 的左、右两支各交于一
点，求该直线斜率的取值范围.
解： 因为过点 P （0，1）的直线与双曲线 C 的左、
右两支各交于一点，
所以该直线斜率一定存在，且该直线不和双曲线的渐近线
平行，故设直线方程为 y ＝ kx ＋1， k ≠±1，
联立消去 y ，整理得（1－ k2） x2－2 kx －
2＝0，
则满足 ＜0，解得－1＜ k ＜1，
即该直线斜率的取值范围为（－1，1）.
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15. 已知点 A （3，1），双曲线 x2－ ＝1， F 为双曲线的右焦点， P
是双曲线右支上的动点，则2｜ PA ｜＋｜ PF ｜的最小值
为 ，此时点 P 的坐标为 .
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（ ，1）　
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解析：由已知得双曲线的离心率 e ＝ ＝2，双曲线右准线方程为 x
＝ ＝ ，那么点 P 到右准线的距离 d ＝ ｜ PF ｜，从而2｜ PA ｜
＋｜ PF ｜＝2（｜ PA ｜＋ ｜ PF ｜）＝2（｜ PA ｜＋ d ）.｜ PA ｜
＋ d 的最小值为点 A 到右准线的距离，即3－ ＝ ，因而2｜ PA ｜
＋｜ PF ｜的最小值为5，将 y ＝1代入双曲线方程，得此时点 P 坐
标为（ ，1）.
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16. （2024·郑州月考）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.
他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容
异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面
积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 C 的焦点在 y
轴上，离心率为 ，且过点（ ，2 ）.
（1）求双曲线的标准方程；
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解： ∵双曲线 C 的离心率 e ＝
＝ ，∴ c ＝ a ，
∴ c2＝ a2＋ b2＝ a2，∴ b2＝ a2，
∴双曲线的方程为 － ＝1，过
点（ ，2 － ＝1，
a2＝3， b2＝1，∴双曲线方程为 － x2＝1.
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（2）若直线 x ＝0， x ＝1在第一象限内与 C 及其渐近线围成如图
阴影部分所示的图形，求阴影图形绕 x 轴旋转一周所得几何
体的体积.
解： 由（1）知双曲线的渐近
线方程为 y ＝± x ，
取直线 x ＝ m （0≤ m ≤1），代入
－ x2＝1，得 y ＝ ，
代入 y ＝ x ，得 y ＝ m ，
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∴直线 x ＝ m 与阴影部分旋转一周所得圆环的面积 S ＝（3＋
3 m2）π－3 m2π＝3π.
又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕 x 轴旋转一周所得几
何体与底面半径为 ，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕
x 轴旋转一圈所得几何体的体积为3π.
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