资源简介

3.3.1　抛物线及其标准方程
1.抛物线y＝－x2的准线方程为（　　）
A.x＝　　　　　　　 B.x＝1
C.y＝1 D.y＝2
2.在平面直角坐标系中，与点（1，2）和直线x＋y－3＝0的距离相等的点的轨迹是（　　）
A.直线 B.抛物线
C.圆 D.双曲线
3.准线与x轴垂直，且经过点（1，－）的抛物线的标准方程是（　　）
A.y2＝－2x B.y2＝2x
C.x2＝2y D.x2＝－2y
4.（2024·温州月考）已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋（y－4）2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是（　　）
A.5 B.
C.－1 D.＋1
5.（多选）经过点P（4，－2）的抛物线的标准方程为（　　）
A.y2＝x B.x2＝8y
C.x2＝－8y D.y2＝－8x
6.（多选）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线y2＝10x的有（　　）
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.开口向右，焦点坐标为（5，0）
D.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于
7.已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝　　　　.
8.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是　　　　　　.
9.（2024·泰州月考）已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2 的距离之和的最小值是　　　　.
10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程：
（1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
（2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，｜AF｜＝5.
11.若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是（　　）
A.x＋4＝0 B.x－4＝0
C.y2＝8x D.y2＝16x
12.（多选）设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（　　）
A.抛物线的准线方程是x＝－1
B.当PF⊥x轴时，｜PF｜取最小值
C.若A（2，3），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为
D.以线段PF为直径的圆与y轴相切
13.已知M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，过M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，若∠MFO＝120°（O为坐标原点），△MNF的周长为12，则｜NF｜＝　　　　.
14.（2024·青岛月考）如图所示，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.
15.（2024·泉州质检）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且｜PM｜＝｜PF｜，则△PMF的面积为（　　）
A.4 B.8
C.16 D.32
16.已知抛物线y2＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点.
（1）求｜AM｜＋｜AN｜的值；
（2）是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
3.3.1　抛物线及其标准方程
1.C　抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.
2.A　因为点（1，2）在直线x＋y－3＝0上，所以所求点的轨迹是过点（1，2）且与直线x＋y－3＝0垂直的直线，故选A.
3.B　由题意可设抛物线的标准方程为y2＝mx（m≠0），则（－）2＝m，解得m＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x.
4.C　点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F（1，0）的距离.圆心坐标是（0，4），圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1.
5.AC　若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx（m≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以（－2）2＝4m，解得m＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny（n≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以42＝－2n，解得n＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故选A、C.
6.BD　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，B满足，A不满足；易知抛物线开口向右，焦点坐标为（，0），C不满足；设M（1，y0）是抛物线y2＝10x上一点，F为焦点，则｜MF｜＝1＋＝1＋＝，所以D满足.
7.3　解析：由题意得m＋1＝22，解得m＝3.
8.（－6，6）或（－6，－6）
解析：由方程y2＝－12x，知焦点F（－3，0），准线l：x＝3.设所求点为P（x，y），则由抛物线定义知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为（－6，6）或（－6，－6）.
9.2　解析：易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，距离之和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.
10.解：（1）双曲线方程可化为－＝1，左顶点为（－3，0），
由题意设抛物线方程为y2＝－2px（p＞0）且＝－3，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
（2）设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），A（m，－3），
由抛物线定义得5＝｜AF｜＝｜m＋｜.
又（－3）2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
11.D　依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2＝16x.故选D.
12.ACD　对于A，抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故A正确；对于B，设P（x0，y0），则x0≥0，＝4x0，F（1，0），则｜PF｜＝＝x0＋1≥1，当x0＝0时取得最小值，此时P（0，0）在原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝＝，故C正确；
对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m，n），线段PF的中点为B（x1，y1），可得x1＝（1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x1＝｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D.
13.4　解析：因为∠MFO＝120°，所以∠FMN＝60°.又M是抛物线C上一点，所以｜FM｜＝｜MN｜，则△FMN是等边三角形.又△FMN的周长为12，所以｜NF｜＝＝4.
14.解：（1）抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
于是4＋＝5，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
（2）由题意得A（4，4），B（0，4），M（0，2）.
又F（1，0），所以kAF＝，
则FA的方程为y＝（x－1）.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组
得所以N.
15.B　如图所示，易得F（2，0），过点P作PN⊥l，垂足为N.因为｜PM｜＝｜PF｜，｜PF｜＝｜PN｜，所以｜PM｜＝｜PN｜，所以｜MN｜＝｜PN｜.设P（，t），则｜t｜＝＋2，解得t＝±4，所以△PMF的面积为·｜t｜·｜MF｜＝×4×4＝8.
16.解：（1）设M（xM，yM），N（xN，yN），由抛物线的定义，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a.又圆的方程为[x－（a＋4）]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，得x2－2（4－a）x＋a2＋8a＝0，∴xM＋xN＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8.
（2）不存在.假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'.
∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜.由抛物线的定义知点P必在抛物线上，这与点P是线段MN的中点矛盾，∴这样的a不存在.
2 / 23.3.1　抛物线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象、数学运算
把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.
【问题】　你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的　　　　　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的　　　，直线l叫做抛物线的　　　.
提醒　定义中要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
知识点二　抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
　　　（p＞0） x＝　
　　　（p＞0） x＝　
　　　（p＞0） y＝　
　　　（p＞0） y＝　
提醒　四个标准方程的区分方法：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）抛物线的方程都是二次函数.（　　）
（2）抛物线的焦点到准线的距离是p（p＞0）.（　　）
（3）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.（　　）
（4）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.（　　）
2.焦点为（0，2）的抛物线的标准方程是（　　）
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝4x D.y2＝8x
3.抛物线y2＝x的准线方程为（　　）
A.x＝ B.x＝
C.x＝－ D.x＝－
4.（2024·淄博月考）已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M（m，－2）到焦点的距离为4，则m＝　　　.
题型一 求抛物线的标准方程
角度1　直接法求抛物线的标准方程
【例1】　（1）焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线的标准方程是（　　）
A.x2＝±3y　　　　　 B.y2＝±6x
C.x2＝±12y D.x2＝±6y
（2）准线方程为x＝的抛物线的标准方程是　　　　.
通性通法
　　在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程.
角度2　待定系数法求抛物线的标准方程
【例2】　顶点在原点，且过点（－4，4）的抛物线的标准方程是（　　）
A.y2＝－4x
B.x2＝4y
C.y2＝－4x或x2＝4y
D.y2＝4x或x2＝－4y
通性通法
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
提醒　当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx（m≠0）或x2＝ny（n≠0），这样可以减少讨论情况的个数.
【跟踪训练】
　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
（1）经过点（－3，－1）；
（2）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
题型二 抛物线定义的应用
角度1　焦半径公式及应用
【例3】　（1）（2024·常州月考）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，｜AF｜＝x0，则x0＝（　　）
A.1 B.2
C.4 D.8
（2）抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为　　　　.
通性通法
　　根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题.
角度2　与抛物线有关的轨迹问题
【例4】　已知圆C的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程.
通性通法
解与抛物线有关的轨迹问题的方法
　　求解与抛物线有关的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.
角度3　最值问题
【例5】　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
【母题探究】
1.（变条件）若将本例中的点（0，2）改为点A（3，2），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值.
2.（变条件）若将本例中的点（0，2）换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
通性通法
利用抛物线定义研究最值的一般思路
（1）若点M在抛物线的内部，过点M作准线的垂线，该垂线与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点M的距离最小；
（2）若点M在抛物线的外部，连接MF，则MF与抛物线的交点P可使｜PF｜＋｜PM｜的值最小.
【跟踪训练】
　平面上一动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
1.若动点P到定点F（－4，0）的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是（　　）
A.抛物线 B.线段
C.直线 D.射线
2.已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（　　）
A.（1，0） B.
C. D.（0，1）
3.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F1，若点A（2，－4）在抛物线上，则点A到焦点的距离为　　　　.
4.若焦点在y轴上，且抛物线上一点P（m，1）到焦点F的距离为6，求抛物线的标准方程.
3.3.1　抛物线及其标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
距离相等　焦点　准线
知识点二
y2＝2px　－　y2＝－2px　　x2＝2py　－　x2＝－2py　
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√
2.A
3.D　抛物线y2＝x的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝1，∴＝，∴抛物线y2＝x的准线方程为x＝－，故选D.
4.±4　解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将（m，－2）代入上式，得m2＝16.∴m＝±4.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）C　（2）y2＝－x
解析：（1）由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y.
（2）由题意知＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程是y2＝－x.
【例2】　C　设抛物线方程为y2＝－2p1x（p1＞0）或x2＝2p2y（p2＞0），把（－4，4）代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
跟踪训练
　解：（1）因为点（－3，－1）在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0）或x2＝－2py（p＞0）.
若抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0），
则由（－1）2＝－2p×（－3），解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py（p＞0），则由（－3）2＝－2p×（－1），解得p＝.
故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.
（2）对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）.
当焦点为（0，－3）时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为（4，0）时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
【例3】　（1）A　（2）（6，9）或（－6，9）
解析：（1）由题意，知抛物线的准线方程为x＝－，因为｜AF｜＝x0，根据抛物线的定义，得x0＋＝｜AF｜＝x0，所以x0＝1，故选A.
（2）设点P（x0，y0），由抛物线方程为x2＝4y，知焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝－1.由抛物线的定义，得｜PF｜＝y0＋1＝10，所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.所以P点坐标为（±6，9）.
【例4】　解：设点P的坐标为（x，y），动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，∴R＝｜x｜.
∵动圆与定圆C：（x－5）2＋y2＝25外切，
∴｜PC｜＝R＋5，
∴｜PC｜＝｜x｜＋5，
当点P在y轴右侧时，x＞0，则｜PC｜＝x＋5，
∴点P的轨迹是以（5，0）为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x（x＞0）；
当点P在y轴左侧时，x＜0，则｜PC｜＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程为y＝0（x＜0）.
∴点P的轨迹方程为y2＝20x（x＞0）或y＝0（x＜0）.
【例5】　解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，
当点P，点（0，2）和抛物线的焦点F（，0）三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝ ＝.
母题探究
1.解：将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±.
所以点A在抛物线内部.
设点P到准线x＝－的距离为d，
则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d.
由图可知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是.
即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是.
2.解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
｜PA1｜＋｜PQ｜＝｜PA1｜＋｜PF｜≥.
｜A1F｜的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离，设点F到直线l1的距离为d，d＝＝1.即所求最小值为1.
跟踪训练
　解：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合题意；
当x≥0时，题中条件等价于点P到点F（1，0）与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）.
随堂检测
1.A　动点P的条件满足抛物线的定义.故选A.
2.C　由抛物线y＝2px2过点（1，4），可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为，故选C.
3.4　解析：把点（2，－4）代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为（2，0）.故点A到焦点的距离为4.
4.解：由题意，可设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0）.点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故1－（－）＝6，解得p＝10，所以抛物线的标准方程为x2＝20y.
4 / 4(共59张PPT)
3.3.1　
抛物线及其标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世
界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　把一根直尺固定在图板上直线 l 的位置，把一块三角尺的一条直
角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条
直角边的一点 A ，取绳长等于点 A 到直角顶点 C 的长（即点 A 到直线 l
的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点 F . 用铅笔尖扣
着绳子，使点 A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着
直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.
【问题】　你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
知识点一　抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （ l 不经过点 F ）的
的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的 ，直线 l 叫做抛物
线的 .
提醒　定义中要注意强调定点 F 不在定直线 l 上.当直线 l 经过点 F 时，
点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线.
距离相等　
焦点　
准线　
知识点二　抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
（ p ＞0） x ＝
（ p ＞0） x ＝
y2＝2 px 　
－ 　
y2＝－2 px 　
　
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
（ p ＞0） y ＝
（ p ＞0） y ＝
x2＝2 py 　
－ 　
x2＝－2 py 　
　
提醒　四个标准方程的区分方法：焦点在一次项变量对应的坐标轴
上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴
的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）抛物线的方程都是二次函数. （　×　）
（2）抛物线的焦点到准线的距离是 p （ p ＞0）. （　√　）
（3）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛
物线. （　×　）
（4）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线
才具有标准形式. （　√　）
×
√
×
√
2. 焦点为（0，2）的抛物线的标准方程是（　　）
A. x2＝8 y B. x2＝4 y
C. y2＝4 x D. y2＝8 x
3. 抛物线 y2＝ x 的准线方程为（　　）
解析： 　抛物线 y2＝ x 的焦点在 x 轴上，且开口向右，2 p ＝1，
∴ ＝ ，∴抛物线 y2＝ x 的准线方程为 x ＝－ ，故选D.
4. （2024·淄博月考）已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在 y 轴上，抛
物线上的点 M （ m ，－2）到焦点的距离为4，则 m ＝ .
解析：由已知，可设抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞0）.由抛物线定
义有2＋ ＝4，∴ p ＝4，∴ x2＝－8 y .将（ m ，－2）代入上式，得
m2＝16.∴ m ＝±4.
±4　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求抛物线的标准方程
角度1　直接法求抛物线的标准方程
【例1】　（1）焦点在 y 轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线
的标准方程是（　C　）
A. x2＝±3 y B. y2＝±6 x
C. x2＝±12 y D. x2＝±6 y
解析： 由已知得 p ＝6且焦点在 y 轴上，所以抛物线的标准
方程是 x2＝±12 y .
C
（2）准线方程为 x ＝ 的抛物线的标准方程是 　 y2＝－ x 　.
解析： 由题意知 ＝ ，所以 p ＝ ，所以抛物线的标准方
程是 y2＝－ x .
y2＝－ x 　
通性通法
　　在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个
参数 p ，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程.
角度2　待定系数法求抛物线的标准方程
【例2】　顶点在原点，且过点（－4，4）的抛物线的标准方程是
（　　）
A. y2＝－4 x B. x2＝4 y
C. y2＝－4 x 或 x2＝4 y D. y2＝4 x 或 x2＝－4 y
解析： 　设抛物线方程为 y2＝－2 p1 x （ p1＞0）或 x2＝2 p2 y （ p2＞
0），把（－4，4）代入得16＝8 p1或16＝8 p2，即 p1＝2或 p2＝2.故抛
物线的标准方程为 y2＝－4 x 或 x2＝4 y .故选C.
通性通法
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
提醒　当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2＝ mx （ m ≠0）或
x2＝ ny （ n ≠0），这样可以减少讨论情况的个数.
【跟踪训练】
　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
（1）经过点（－3，－1）；
解： 因为点（－3，－1）在第三象限，所以设所求抛物线
的标准方程为 y2＝－2 px （ p ＞0）或 x2＝－2 py （ p ＞0）.
若抛物线的标准方程为 y2＝－2 px （ p ＞0），
则由（－1）2＝－2 p ×（－3），解得 p ＝ ；
若抛物线的标准方程为 x2＝－2 py （ p ＞0），则由（－3）2＝－
2 p ×（－1），解得 p ＝ .
故所求抛物线的标准方程为 y2＝－ x 或 x2＝－9 y .
（2）焦点为直线3 x －4 y －12＝0与坐标轴的交点.
解： 对于直线方程3 x －4 y －12＝0，令 x ＝0，得 y ＝－3；
令 y ＝0，得 x ＝4，
所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）.
当焦点为（0，－3）时， ＝3，所以 p ＝6，此时抛物线的标准
方程为 x2＝－12 y ；
当焦点为（4，0）时， ＝4，所以 p ＝8，此时抛物线的标准方
程为 y2＝16 x .
故所求抛物线的标准方程为 x2＝－12 y 或 y2＝16 x .
题型二 抛物线定义的应用
角度1　焦半径公式及应用
【例3】　（1）（2024·常州月考）已知抛物线 C ： y2＝ x 的焦点为
F ， A （ x0， y0）是 C 上一点，｜ AF ｜＝ x0，则 x0＝（　A　）
A. 1 B. 2
解析： 由题意，知抛物线的准线方程为 x ＝－ ，因为｜
AF ｜＝ x0，根据抛物线的定义，得 x0＋ ＝｜ AF ｜＝ x0，所
以 x0＝1，故选A.
A
C. 4 D. 8
（2）抛物线 x2＝4 y 上的点 P 到焦点的距离是10，则 P 点的坐标
为 .
解析： 设点 P （ x0， y0），由抛物线方程为 x2＝4 y ，知焦
点坐标为（0，1），准线方程为 y ＝－1.由抛物线的定义，得｜
PF ｜＝ y0＋1＝10，所以 y0＝9，代入抛物线方程得 x0＝±6.所以
P 点坐标为（±6，9）.
（6，9）或（－6，9）　
通性通法
　　根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准
线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互
转化，从而简化某些问题.
角度2　与抛物线有关的轨迹问题
【例4】　已知圆 C 的方程为 x2＋ y2－10 x ＝0，求与 y 轴相切且与圆 C
外切的动圆圆心 P 的轨迹方程.
解：设点 P 的坐标为（ x ， y ），动圆的半径为 R ，
∵动圆 P 与 y 轴相切，∴ R ＝｜ x ｜.
∵动圆与定圆 C ：（ x －5）2＋ y2＝25外切，
∴｜ PC ｜＝ R ＋5，
∴｜ PC ｜＝｜ x ｜＋5，
当点 P 在 y 轴右侧时， x ＞0，则｜ PC ｜＝ x ＋5，
∴点 P 的轨迹是以（5，0）为焦点的抛物线，则圆心 P 的轨迹方程为
y2＝20 x （ x ＞0）；
当点 P 在 y 轴左侧时， x ＜0，则｜ PC ｜＝－ x ＋5，此时点 P 的轨迹
是 x 轴的负半轴，即方程为 y ＝0（ x ＜0）.
∴点 P 的轨迹方程为 y2＝20 x （ x ＞0）或 y ＝0（ x ＜0）.
通性通法
解与抛物线有关的轨迹问题的方法
　　求解与抛物线有关的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可
以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.
角度3　最值问题
【例5】　已知点 P 是抛物线 y2＝2 x 上的一个动点，求点 P 到点（0，
2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的
距离等于它到焦点的距离.由图可知，当点 P ，点
（0，2）和抛物线的焦点 F 三点共线时距离
之和最小，所以最小距离 d ＝ ＝ .
【母题探究】
1. （变条件）若将本例中的点（0，2）改为点 A （3，2），求｜ PA ｜
＋｜ PF ｜的最小值.
解：将 x ＝3代入 y2＝2 x ，
得 y ＝± .
所以点 A 在抛物线内部.
设点 P 到准线 x ＝－ 的距离为 d ，则｜ PA ｜＋｜ PF ｜＝｜ PA ｜＋ d .由图可知，当 PA ⊥ l 时，｜ PA ｜＋ d 最小，最小值
是 .即｜ PA ｜＋｜ PF ｜的最小值是 .
2. （变条件）若将本例中的点（0，2）换为直线 l1：3 x －4 y ＋ ＝0，
求点 P 到直线3 x －4 y ＋ ＝0的距离与点 P 到该抛物线的准线的距离
之和的最小值.
解：如图，作 PQ 垂直于准线 l 于点 Q ，
｜ PA1｜＋｜ PQ ｜＝｜ PA1｜＋｜ PF ｜≥ .
｜ A1 F ｜的最小值为点 F 到直线3 x －4 y ＋ ＝0的距
离，设点 F 到直线 l1的距离为 d ， d ＝ ＝
1.即所求最小值为1.
通性通法
利用抛物线定义研究最值的一般思路
（1）若点 M 在抛物线的内部，过点 M 作准线的垂线，该垂线与抛物
线的交点到抛物线焦点 F 和到已知点 M 的距离最小；
（2）若点 M 在抛物线的外部，连接 MF ，则 MF 与抛物线的交点 P 可
使｜ PF ｜＋｜ PM ｜的值最小.
【跟踪训练】
　平面上一动点 P 到定点 F （1，0）的距离比点 P 到 y 轴的距离大1，
求动点 P 的轨迹方程.
解：由题意，动点 P 到定点 F （1，0）的距离比到 y 轴的距离大1，由
于点 F （1，0）到 y 轴的距离为1，故当 x ＜0时，直线 y ＝0上的点符
合题意；
当 x ≥0时，题中条件等价于点 P 到点 F （1，0）与到直线 x ＝－1的距
离相等，故点 P 的轨迹是以 F 为焦点，直线 x ＝－1为准线的抛物线，
轨迹方程为 y2＝4 x .
故所求动点 P 的轨迹方程为 y2＝4 x （ x ≥0）或 y ＝0（ x ＜0）.
1. 若动点 P 到定点 F （－4，0）的距离与到直线 x ＝4的距离相等，则
P 点的轨迹是（　　）
A. 抛物线 B. 线段
C. 直线 D. 射线
解析： 　动点 P 的条件满足抛物线的定义.故选A.
2. 已知抛物线 y ＝2 px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为
（　　）
A. （1，0）
D. （0，1）
解析： 　由抛物线 y ＝2 px2过点（1，4），可得 p ＝2，∴抛物线
的标准方程为 x2＝ y ，则焦点坐标为 ，故选C.
3. 已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F1，若点 A （2，－4）在抛
物线上，则点 A 到焦点的距离为 .
解析：把点（2，－4）代入抛物线 y2＝2 px ，得16＝4 p ，即 p ＝4，
从而抛物线的焦点为（2，0）.故点 A 到焦点的距离为4.
4. 若焦点在 y 轴上，且抛物线上一点 P （ m ，1）到焦点 F 的距离为
6，求抛物线的标准方程.
解：由题意，可设抛物线的标准方程为 x2＝2 py （ p ＞0）.点 P 到焦
点的距离等于点 P 到准线的距离，故1－（－ ）＝6，解得 p ＝
10，所以抛物线的标准方程为 x2＝20 y .
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 抛物线 y ＝－ x2的准线方程为（　　）
B. x ＝1
C. y ＝1 D. y ＝2
解析： 　抛物线的标准方程为 x2＝－4 y ，则准线方程为 y ＝1.
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2. 在平面直角坐标系中，与点（1，2）和直线 x ＋ y －3＝0的距离相
等的点的轨迹是（　　）
A. 直线 B. 抛物线
C. 圆 D. 双曲线
解析： 　因为点（1，2）在直线 x ＋ y －3＝0上，所以所求点的轨
迹是过点（1，2）且与直线 x ＋ y －3＝0垂直的直线，故选A.
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3. 准线与 x 轴垂直，且经过点（1，－ ）的抛物线的标准方程是
（　　）
A. y2＝－2 x B. y2＝2 x
C. x2＝2 y D. x2＝－2 y
解析： 　由题意可设抛物线的标准方程为 y2＝ mx （ m ≠0），则
（－ ）2＝ m ，解得 m ＝2，因此抛物线的标准方程为 y2＝2 x .
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4. （2024·温州月考）已知 P 为抛物线 y2＝4 x 上一个动点， Q 为圆 x2＋
（ y －4）2＝1上一个动点，则点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的
准线的距离之和的最小值是（　　）
A. 5
解析： 　点 P 到抛物线的准线的距离等于点 P 到抛物线焦点 F
（1，0）的距离.圆心坐标是（0，4），圆心到抛物线焦点的距离为
，即圆上的点 Q 到抛物线焦点的距离的最小值是 －1.
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5. （多选）经过点 P （4，－2）的抛物线的标准方程为（　　）
A. y2＝ x B. x2＝8 y
C. x2＝－8 y D. y2＝－8 x
解析： 　若抛物线的焦点在 x 轴上，设抛物线的方程为 y2＝ mx
（ m ≠0），因为抛物线经过点 P （4，－2），所以（－2）2＝4
m ，解得 m ＝1，所以抛物线的标准方程为 y2＝ x .若抛物线的焦点在
y 轴上，设抛物线的方程为 x2＝ ny （ n ≠0），因为抛物线经过点 P
（4，－2），所以42＝－2 n ，解得 n ＝－8，所以抛物线的标准方
程为 x2＝－8 y .故选A、C.
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6. （多选）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线 y2＝
10 x 的有（　　）
A. 焦点在 y 轴上
B. 焦点在 x 轴上
C. 开口向右，焦点坐标为（5，0）
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解析： 　抛物线 y2＝10 x 的焦点在 x 轴上，B满足，A不满足；易
知抛物线开口向右，焦点坐标为（ ，0），C不满足；设 M （1，
y0）是抛物线 y2＝10 x 上一点， F 为焦点，则｜ MF ｜＝1＋ ＝1＋
＝ ，所以D满足.
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7. 已知双曲线 － y2＝1的右焦点恰好是抛物线 y2＝8 x 的焦点，则 m
＝ .
解析：由题意得 m ＋1＝22，解得 m ＝3.
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8. 在抛物线 y2＝－12 x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是
.
解析：由方程 y2＝－12 x ，知焦点 F （－3，0），准线 l ： x ＝3.设
所求点为 P （ x ， y ），则由抛物线定义知｜ PF ｜＝3－ x .又｜
PF ｜＝9，所以3－ x ＝9， x ＝－6，代入 y2＝－12 x ，得 y ＝±6 .
所以所求点的坐标为（－6，6 ）或（－6，－6 ）.
（－
6，6 ）或（－6，－6 ）　
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9. （2024·泰州月考）已知直线 l1：4 x －3 y ＋6＝0和直线 l2： x ＝－
1，抛物线 y2＝4 x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2 的距离之和的最小值
是 .
解析：易知直线 l2： x ＝－1恰为抛物线 y2＝4 x 的准
线，如图所示，动点 P 到 l2： x ＝－1的距离可转化
为 PF 的长度，其中 F （1，0）为抛物线 y2＝4 x 的
焦点.由图可知，距离之和的最小值即 F 到直线 l1的
距离 d ＝ ＝2.
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10. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程：
（1）抛物线的焦点是双曲线16 x2－9 y2＝144的左顶点；
解： 双曲线方程可化为 － ＝1，左顶点为（－3，0），
由题意设抛物线方程为 y2＝－2 px （ p ＞0）且 ＝－3，
∴ p ＝6，∴抛物线的方程为 y2＝－12 x .
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（2）抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y ＝－3与抛物线交于点
A ，｜ AF ｜＝5.
解： 设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y2＝2 px
（ p ≠0）， A （ m ，－3），
由抛物线定义得5＝｜ AF ｜＝｜ m ＋ ｜.
又（－3）2＝2 pm ，∴ p ＝±1或 p ＝±9，
故所求抛物线方程为 y2＝±2 x 或 y2＝±18 x .
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11. 若动点 M （ x ， y ）到点 F （4，0）的距离比它到直线 x ＋5＝0的
距离小1，则点 M 的轨迹方程是（　　）
A. x ＋4＝0 B. x －4＝0
C. y2＝8 x D. y2＝16 x
解析： 　依题意可知，点 M 到点 F 的距离等于点 M 到直线 x ＝－
4的距离，因此其轨迹是抛物线，且 p ＝8，顶点在原点，焦点在 x
轴正半轴上，所以其方程为 y2＝16 x .故选D.
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12. （多选）设抛物线 y2＝4 x ， F 为其焦点， P 为抛物线上一点，则
下列结论正确的是（　　）
A. 抛物线的准线方程是 x ＝－1
B. 当 PF ⊥ x 轴时，｜ PF ｜取最小值
D. 以线段 PF 为直径的圆与 y 轴相切
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解析： 　对于A，抛物线的准线方程为 x ＝－ ＝－1，故A正
确；对于B，设 P （ x0， y0），则 x0≥0， ＝4 x0， F （1，0），
则｜ PF ｜＝ ＝ x0＋1≥1，当 x0＝0时取得最小
值，此时 P （0，0）在原点，故B错误；对于C， A 在抛物线外
部，故当 P ， A ， F 三点共线时｜ PA ｜＋｜ PF ｜取得最小值，
为｜ AF ｜＝ ＝ ，故C正确；
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对于D，过点 P 作准线的垂线，垂足为 Q ，设 P （ m ， n ），线段
PF 的中点为 B （ x1， y1），可得 x1＝ （1＋ m ），由抛物线的定
义，得｜ PF ｜＝｜ PQ ｜＝ m ＋1，∴ x1＝ ｜ PF ｜，即点 B 到 y
轴的距离等于以 PF 为直径的圆的半径，因此，以 PF 为直径的圆
与 y 轴相切，故D正确.故选A、C、D.
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13. 已知 M 是抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）上一点， F 是抛物线 C 的焦
点，过 M 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 N ，若∠ MFO ＝120°
（ O 为坐标原点），△ MNF 的周长为12，则｜ NF ｜＝ .
解析：因为∠ MFO ＝120°，所以∠ FMN ＝60°.又 M 是抛物线 C 上
一点，所以｜ FM ｜＝｜ MN ｜，则△ FMN 是等边三角形.又△
FMN 的周长为12，所以｜ NF ｜＝ ＝4.
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14. （2024·青岛月考）如图所示，已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦
点为 F ， A 是抛物线上横坐标为4，且位于 x 轴上方的点，点 A 到抛
物线准线的距离等于5，过点 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为点 B ，
OB 的中点为 M .
（1）求抛物线的方程；
解： 抛物线 y2＝2 px 的准线方程为 x ＝－ ，
于是4＋ ＝5， p ＝2，
所以抛物线的方程为 y2＝4 x .
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（2）过点 M 作 MN ⊥ FA ，垂足为 N ，求点 N 的坐标.
解： 由题意得 A （4，4）， B （0，
4）， M （0，2）.
又 F （1，0），所以 kAF ＝ ，
则 FA 的方程为 y ＝ （ x －1）.
因为 MN ⊥ FA ，所以 kMN ＝－ ，
则 MN 的方程为 y ＝－ x ＋2.
解方程组得所以 N .
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15. （2024·泉州质检）已知抛物线 C ： y2＝8 x 的焦点为 F ，准线 l 与 x
轴的交点为 M ，点 P 在抛物线上，且｜ PM ｜＝ ｜ PF ｜，则△
PMF 的面积为（　　）
A. 4 B. 8
C. 16 D. 32
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解析： 　如图所示，易得 F （2，0），过点 P
作 PN ⊥ l ，垂足为 N . 因为｜ PM ｜＝ ｜
PF ｜，｜ PF ｜＝｜ PN ｜，所以｜ PM ｜＝
｜ PN ｜，所以｜ MN ｜＝｜ PN ｜.设 P （ ，
t ），则｜ t ｜＝ ＋2，解得 t ＝±4，所以△ PMF的面积为 ·
｜ t ｜·｜ MF ｜＝ ×4×4＝8.
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16. 已知抛物线 y2＝4 ax （ a ＞0）的焦点为 A ，以 B （ a ＋4，0）为圆
心，｜ BA ｜为半径，在 x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不
同两点 M ， N ，点 P 为线段 MN 的中点.
（1）求｜ AM ｜＋｜ AN ｜的值；
解： 设 M （ xM ， yM ）， N （ xN ， yN ），由抛物线的定
义，得｜ AM ｜＋｜ AN ｜＝ xM ＋ xN ＋2 a .又圆的方程为[ x
－（ a ＋4）]2＋ y2＝16，将 y2＝4 ax 代入，得 x2－2（4－ a ）
x ＋ a2＋8 a ＝0，∴ xM ＋ xN ＝2（4－ a ），∴｜ AM ｜＋｜
AN ｜＝8.
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（2）是否存在这样的 a ，使2｜ AP ｜＝｜ AM ｜＋｜ AN ｜？若存
在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由.
解： 不存在.假设存在这样的 a ，使得2｜ AP ｜＝｜ AM ｜＋
｜ AN ｜.过点 P 作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'.
∵｜ AM ｜＋｜ AN ｜＝2｜PP'｜，∴｜ AP ｜＝｜PP'｜.由
抛物线的定义知点 P 必在抛物线上，这与点 P 是线段 MN 的
中点矛盾，∴这样的 a 不存在.
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