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第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
考点一　曲线运动的条件与特征
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.曲线运动的速度方向：质点在轨迹上某一点的瞬时速度的方向，沿曲线上该点的①　　　　方向。
2.曲线运动的运动性质：曲线运动一定是变速运动。a恒定：②　　　　　运动；a变化：非匀变速曲线运动。
3.曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的③　　　　方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受的④　　　　方向跟速度方向不在同一条直线上。
(3)当物体的初速度v0和所受的合力F分别满足下列问题中所给定的条件时，物体的运动情况：
a.v0=0，F=0：⑤　　　　；
b.v0≠0，F=0：⑥　　　　　　运动；
c.v0≠0，F≠0且恒定，两者方向相同：⑦　　　　　　运动；
d.v0≠0，F≠0且恒定，两者方向相反：⑧　　　　　　运动；
e.v0≠0，F≠0且恒定，两者方向不在一条直线上：⑨　　　　　　运动；
f.v0≠0，F≠0不恒定且大小、方向都随着时间变化：⑩　　　　　　运动。
【考教衔接】
　　如图，过曲线上的A、B两点作直线，这条直线叫作曲线的割线。设想B点逐渐沿曲线向A点移动，这条割线的位置也就不断变化。当B点非常非常接近A点时，这条割线就叫作曲线在A点的　　　　线。质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的　　　　方向。
【突破·考点题型】
角度1　曲线运动的条件
几种运动的比较
轨迹 特点 加速度与速度 方向的关系 加速度特点 运动性质
直线 共线 加速度不变 匀变速直线运动
加速度变化 非匀变速直线运动
曲线 不共线 加速度不变 匀变速曲线运动
加速度变化 非匀变速曲线运动
曲线运动中 的速率变化
(多选)如图所示，在某光滑水平桌面上有M、N两点，一小铁球在桌面上以某一速度正对着M点匀速运动。若在M点或N点放一块磁铁，且小球不再受其他干扰，则关于小铁球的运动，下列说法正确的是 (　　)
A.若磁铁放在M点，小铁球一定做加速直线运动
B.若磁铁放在M点，小铁球可能做曲线运动
C.若磁铁放在N点，小铁球可能做直线运动
D.若磁铁放在N点，小铁球一定做曲线运动
双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN。vM与vN正好互相垂直，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的(　　)
A.F1
B.F2
C.F3
D.F4
角度2　曲线运动的轨迹特征
　　分析曲线运动中合力方向、速度方向与轨迹间关系的思路
(2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是 (　　)
　　　
A B
　　　
C D
导弹轨迹通常都十分复杂，导弹工作时的轨迹示意图如图所示，其中各点所示的弹头的速度v方向与所受合力F方向都大致正确的是 (　　)
A.A点 B.B点
C.C点 D.D点
考点二　运动的合成与分解
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.合运动与分运动：物体的①　　　　运动是合运动，物体②　　　　的几个运动是分运动。
2.合运动与分运动具有：③　　性、④　　性、⑤　　性、⑥　　性。
3.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循⑦　　　　　　　　　。
【考教衔接】
在一端封闭、长约为1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图甲)。把玻璃管倒置(如图乙)，蜡块A沿玻璃管上升。如果在玻璃管旁边竖立一把刻度尺，可以看到，蜡块上升的速度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动(如图丙)，观察蜡块的运动情况。蜡块沿竖直玻璃管匀速上升，同时，玻璃管沿水平方向匀速右移，蜡块实际上做　　　　(选填“匀速直线”或“变速曲线”)运动。
【突破·考点题型】
角度1　合运动与分运动的关系
等时性 合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进行，同时停止
独立性 各分运动相互独立，不受其他运动的影响。各分运动共同决定合运动的性质和轨迹
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
同一性 各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动
跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中会受到水平风力的影响，下列说法正确的是 (　　)
A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力无关
D.运动员着地速度与风力无关
角度2　合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 若v合与a合共线，则为匀变速直线运动
若v合与a合不共线，则为匀变速曲线运动
若某飞机在水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s时开始降落，降落过程中该飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则该飞机落地之前 (　　)
A.运动轨迹为曲线
B.经20 s该飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C.在第20 s内，该飞机在水平方向的分位移与在竖直方向的分位移大小相等
D.在第20 s内，该飞机在水平方向的平均速度为21 m/s
考点三　小船渡河模型
【突破·考点题型】
小船渡河的两类问题三种情境
最短时间问题 最短航程问题
v船>v水 v船船头垂直河岸 航线斜向下游 船头斜向上游 航线垂直河岸 船头斜向上游 航线斜向下游
tmin= lmin=d cos θ= lmin=d· cos θ=
角度1　渡河时间问题
(多选)假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸，两次渡河时小船相对于静水的速度大小相同。下列说法正确的是 (　　)
A.水流的速度大小为0.2 m/s
B.α=60°
C.小船在静水中的速度大小为0.6 m/s
D.河的宽度为200 m
角度2　最短位移渡河问题
一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是 (　　)
A.vA∶vB　　　　　B.vB∶vA
C.∶ D.∶
角度3　渡河中最小速度问题
如图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，A下游距其100 m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少为(　　)
A. m/s　　　　　
B. m/s
C.2 m/s　　　　
D.4 m/s
【强化·学科思维】
关联速度问题
常见的几种关联速度问题模型及分析思路与结论
情境 图示 A沿斜面下滑
分解 图示
定量 关系 vB=v1=vAcos θ v1=vAcos θ=v0 vAcos α=vBcos β vBsin α=vAcos α
思路 与 结论
角度1　绳连体关联速度
如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O且不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA=10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为 (　　)
A.5 m/s
B. m/s
C.20 m/s
D. m/s
角度2　杆连体关联速度
(多选)如图所示，AB杆以恒定角速度ω绕A点转动，并带动套在光滑水平杆OC上的质量为M的小环D运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则 (　　)
A.小环D的速度将逐渐增大
B.小环D的速度将先减小后增大
C.小环D的加速度将逐渐增大
D.小环D的加速度将逐渐减小
角度3　接触面关联速度
一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆和半圆柱体的接触点P与柱心的连线和竖直方向的夹角为θ时，求竖直杆运动的速度。
方法总结 解决绳(杆)端速度分解问题的技巧 (1)明确分解谁——分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度； (2)知道如何分解——沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向分解； (3)求解依据——因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
练创新试题·知命题导向
1.运动员投掷铅球的示意图如图所示。b点是铅球的抛出点，c点是运动过程中的最高点，d、e分别与b、a等高，不计空气阻力，下列说法正确的是 (　　)
A.铅球所受合力在ab段与在de段方向相反
B.铅球在b点与d点速度方向相反
C.铅球在c点的加速度为零
D.出手后铅球做匀变速曲线运动
2.图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，则巡视器 (　　)
A.两段过程所受合力可能相同
B.两段过程平均速度可能相同
C.在AB段运动时一定有加速度
D.从O到B的位移大小一定等于OAB轨迹长度
3.如图所示，建筑塔吊在某次运送货物过程中，先将建材竖直向上吊升12 m，后沿水平方向移动了9 m。整个过程建材相对地面的位移大小为 (　　)
A.9 m B.10.5 m
C.15 m D.21 m
4.一只小船以相对静水恒为v的速度渡河，船头指向始终与河岸垂直；到达对岸后，小船又以相对静水为2v的速度原路返回，去、回用时相等。河水各处流速恒定，则河水的速度为 (　　)
A.v B.v
C.v D.v
参考答案
考点一　
知识梳理
①切线　②匀变速曲线　③加速度
④合力　⑤静止　⑥匀速直线　
⑦匀加速直线　⑧匀减速直线　
⑨匀变速曲线　⑩变加速曲线
考教衔接
切　切线
例1　AD
例2　C
例3　D　解析　小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，A、B两项错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力与运动方向的夹角为锐角，C项错误，D项正确。
例4　D　解析　弹头的运动轨迹是曲线，因此合力与速度关系应满足曲线运动条件，合力指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，D项正确。
考点二　
知识梳理
①实际　②同时参与　③等时　④独立
⑤等效　⑥同一　⑦平行四边形定则
考教衔接
匀速直线
例5　C
例6　D　解析　由于合初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A项错误；由匀减速直线运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B项错误；飞机在第20 s内，水平方向的分速度始终大于竖直方向的分速度，则水平位移大于竖直位移，C项错误；飞机在第20 s内，水平方向的平均速度=v19.5=60 m/s-2×19.5 m/s=21 m/s，D项正确。
考点三　
例7　AD　解析　船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示，由x=v2t1，得水流的速度大小v2== m/s=0.2 m/s，A项正确；船头保持与河岸成α角向上游航行时，如图乙所示，v2=v1cos α，d=v1sin α·t2，由图甲可得d=v1t1，联立解得sin α=，船头与河岸间的夹角不是60°，v1= m/s，d=200 m，B、C两项错误，D项正确。
例8　D　解析　两船抵达的地点相同，知合速度方向相同，A船静水速度垂直于河岸，B船的静水速度与合速度垂直，如图所示，则有v水==，两船的合位移相等，则渡河所用时间之比===，D项正确。
例9　C　解析　要使小船避开危险区沿直线到达对岸，则有合运动最大位移s= m=200 m，因此已知小船能安全到达河岸的合速度，设此速度与水流速度的夹角为θ，即有tan θ==，所以θ=30°，又已知水流速度，则可得小船在静水中最小速度为v船=v水sin θ=4× m/s=2 m/s，C项正确，A、B、D三项错误。
例10　D　解析　物体B的运动可分解为沿绳BO方向靠近定滑轮O使绳BO段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO垂直)的运动，故可把物体B的速度分解为如图所示的两个分速度。由图可知vB∥=vBcos α，由于绳不可伸长，绳OA段伸长的速度等于绳BO段缩短的速度，所以有vB∥=vA，即vA=vBcos α，得vB== m/s，D项正确。
例11　AC　解析　设小环速度为v，由运动的分解知识有vcos ωt=ω，得v=，可知小环做加速运动，A项正确，B项错误；因cos ωt在ωt<时随t的增大而减小，并且变化得越来越快(可由cos ωt的图像斜率判断)，说明速度增大得越来越快，即加速度逐渐增大，C项正确，D项错误。
例12　解答　将杆的速度和半圆柱P点的速度都按沿圆半径方向和垂直圆半径方向进行分解，两者沿圆半径方向的分速度相等，则有v杆cos θ=v0sin θ，得v杆=v0tan θ。
练创新试题
1.D　解析　铅球在ab段合力斜向上，出手后铅球仅受重力，方向竖直向下，A项错误；铅球在b点速度方向斜向上，在d点速度方向斜向下，两点速度方向不相反，B项错误；铅球在c点受重力，加速度不为零，C项错误，出手后铅球仅受重力，加速度不变，铅球做匀变速曲线运动，D项正确。
2.C　解析　轨迹OA段是直线，巡视器所受合力可能为0，合力也可能与轨迹共线，AB段合力方向指向轨迹内侧，两段过程巡视器所受合力不可能同向，A项错误；平均速度的方向与位移方向相同，两段过程位移的方向不同，则平均速度不可能相同，B项错误；在AB段运动时巡视器做曲线运动，速度方向一定改变，一定有加速度，C项正确；根据位移的定义可知从O到B的位移大小等于OB的连线长度而小于轨迹OAB长度，D项错误。
3.C　解析　建材竖直位移为12 m，水平位移为9 m，两者相互垂直，合位移l= m=15 m，C项正确。
4.C　解析　设水的速度为v0，去程轨迹与河岸的夹角为θ，有tan θ=，由去、回用时相等，知返程时小船垂直河岸的速度为v，有tan θ=，联立解得v0=，C项正确。(共46张PPT)
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
考点一 曲线运动的条件与特征
考点二 运动的合成与分解
考点三 小船渡河模型
考点一 曲线运动的条件与特征
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.曲线运动的速度方向：质点在轨迹上某一点的瞬时速度的方向，沿曲
线上该点的①______方向。
2.曲线运动的运动性质：曲线运动一定是变速运动。 恒定：②_______
_____运动； 变化:非匀变速曲线运动。
切线
匀变速曲线
3.曲线运动的条件：
（1）运动学角度：物体的③________方向跟速度方向不在同一条直线上。
（2）动力学角度：物体所受的④______方向跟速度方向不在同一条直
线上。
加速度
合力
（3）当物体的初速度和所受的合力 分别满足下列问题中所给定的条
件时，物体的运动情况：
.， ⑤______；
.， ⑥__________运动；
.， 且恒定，两者方向相同：⑦____________运动；
.， 且恒定，两者方向相反：⑧____________运动；
.， 且恒定，两者方向不在一条直线上：⑨____________运
动；
.， 不恒定且大小、方向都随着时间变化：⑩____________
运动。
静止
匀速直线
匀加速直线
匀减速直线
匀变速曲线
变加速曲线
考教衔接 以图说法
如图，过曲线上的、 两点作直线，
这条直线叫作曲线的割线。设想 点逐渐
沿曲线向 点移动，这条割线的位置也就
不断变化。当点非常非常接近 点时，
这条割线就叫作曲线在 点的____线。质
切
切线
点在某一点的速度，沿曲线在这一点的______方向。
突破 考点题型
角度1 曲线运动的条件
几种运动的比较
轨迹特点 加速度与速度 方向的关系 加速度特点 运动性质
直线 共线 加速度不变 匀变速直线运动
加速度变化 非匀变速直线运动
轨迹特点 加速度与速度 方向的关系 加速度特点 运动性质
曲线 不共线 加速度不变 匀变速曲线运动
加速度变化 非匀变速曲线运动
曲线运动中的速 率变化 ___________________________________________________________________________________________________ 续表
例1 （多选）如图所示，在某光滑水平桌面上有、 两点，一
小铁球在桌面上以某一速度正对着点匀速运动。若在点或 点放一
块磁铁，且小球不再受其他干扰，则关于小铁球的运动，下列说法正确
的是( )
AD
A.若磁铁放在 点，小铁球一定做加速直线运动
B.若磁铁放在 点，小铁球可能做曲线运动
C.若磁铁放在 点，小铁球可能做直线运动
D.若磁铁放在 点，小铁球一定做曲线运动
[解析] 磁铁放在 点时，小铁球受到的磁铁的吸引力方向与速度方向相
同，则小铁球一定做加速直线运动，不可能做曲线运动;磁铁放在 点时，
小铁球受到的磁铁的吸引力与速度方向不共线，则小铁球向 点一侧偏
转做曲线运动。
例2 双人滑冰运动员在光滑的水平冰面上做表
演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力 ，乙
运动员在冰面上完成了一段优美的弧线 。
与 正好互相垂直，则此过程中，乙运动员
受到甲运动员的恒力可能是图中的( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据题图所示，乙运动员由向 做曲线运动，乙运动员向前的
速度减小，同时向右的速度增大，因此合外力的方向指向题图 水平线
右下方，因此 的方向可能是正确的，C项正确，A、B、D三项错误。
角度2 曲线运动的轨迹特征
分析曲线运动中合力方向、速度方向与轨迹间关系的思路
例3 (2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直
增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下
列四幅图可能正确的是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，A、B两项错误;小
车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力与运动方向的夹角为锐
角，C项错误，D项正确。
例4 导弹轨迹通常都十分复杂，导弹工作时的轨迹示意图如图所示，其
中各点所示的弹头的速度方向与所受合力 方向都大致正确的是( )
D
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
[解析] 弹头的运动轨迹是曲线，因此合力与速度关系应满足曲线运动条
件，合力指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，D项正确。
考点二 运动的合成与分解
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.合运动与分运动：物体的①______运动是合运动，物体②__________
的几个运动是分运动。
2.合运动与分运动具有：③______性、④______性、⑤______性、
⑥______性。
3.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循⑦________
_________。
实际
同时参与
等时
独立
等效
同一
平行四边形定则
考教衔接 以图说法
在一端封闭、长约为 的玻璃管内注满清水，
水中放一个红蜡做的小圆柱体 ，将玻璃管的开口
端用橡胶塞塞紧（如图甲）。把玻璃管倒置
（如图乙），蜡块 沿玻璃管上升。如果在玻璃管
旁边竖立一把刻度尺，可以看到，蜡块上升的速
匀速直线
度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。在蜡块匀速上升的同时，将玻璃
管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动（如图丙），观察蜡块的运动情
况。蜡块沿竖直玻璃管匀速上升，同时，玻璃管沿水平方向匀速右移，
蜡块实际上做__________（选填“匀速直线”或“变速曲线”）运动。
突破 考点题型
角度1 合运动与分运动的关系
等时性 合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始，同时进
行，同时停止
独立性 各分运动相互独立，不受其他运动的影响。各分运动共同
决定合运动的性质和轨迹
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
同一性 各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生
的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动
例5 跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项
目，如图所示，运动员从直升机上由静止跳下后，在下
落过程中会受到水平风力的影响，下列说法正确的是
( )
C
A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力无关
D.运动员着地速度与风力无关
[解析] 运动员同时参与了两个分运动，竖直向下的运动和水平方向随风
飘动的运动，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，则下落时间
和竖直方向的速度与风力大小无关，但水平风力越大，水平方向的速度
越大，则落地的合速度越大，A、B、D三项错误，C项正确。
角度2 合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直 线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运 动
例6 若某飞机在水平分速度为，竖直分速度为 时开始降落，
降落过程中该飞机在水平方向做加速度大小等于 的匀减速直线运
动，在竖直方向做加速度大小等于 的匀减速直线运动，则该飞
机落地之前( )
D
A.运动轨迹为曲线
B.经 该飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C.在第 内，该飞机在水平方向的分位移与在竖直方向的分位移大小
相等
D.在第内，该飞机在水平方向的平均速度为
[解析] 由于合初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹
为直线，A项错误;由匀减速直线运动规律可知，飞机在第 末的水平
分速度为，竖直方向的分速度为，B项错误;飞机在第
内，水平方向的分速度始终大于竖直方向的分速度，则水平位移大于竖
直位移，C项错误;飞机在第 内，水平方向的平均速度
，D项正确。
考点三 小船渡河模型
突破 考点题型
小船渡河的两类问题三种情境
最短时间问题 最短航程问题
___________________________________________ 船头垂直河岸航线 斜向下游 _______________________________________ 船头斜向上游航线垂 直河岸 _______________________________________
船头斜向上游航线斜向下
游
最短时间问题 最短航程问题
续表
角度1 渡河时间问题
例7 （多选）假设一只小船匀速横渡一条河流,当船头垂直对岸方向航
行时,在出发后到达对岸下游处;若船头保持与河岸成 角
向上游航行,出发后 到达正对岸,两次渡河时小船相对于静水的
速度大小相同。下列说法正确的是( )
AD
A.水流的速度大小为
B.
C.小船在静水中的速度大小为
D.河的宽度为
[解析] 船头垂直对岸方向航行时,如图甲所示,由 ,得水流的速度
大小,A项正确;船头保持与河岸成 角向上
游航行时,如图乙所示,,,由图甲可得 ,
联立解得,船头与河岸间的夹角不是 ,, ,
B、C两项错误,D项正确。
角度2 最短位移渡河问题
例8 一艘船以的速度用最短的时间渡河，另一艘船以 的速度从同一
地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合（设河水速度保持不变），
则两船过河所用的时间之比是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 两船抵达的地点相同，知合速度方向相同， 船静水速度垂直于
河岸，船的静水速度与合速度垂直，如图所示，则有 ,
两船的合位移相等，则渡河所用时间之比 ，D项正确。
角度3 渡河中最小速度问题
例9 如图所示，一条小船位于宽的河正中点处， 下游距其
处有一危险区，当时水流速度为 ,为了使小船避开危险区
沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 要使小船避开危险区沿直线到达
对岸，则有合运动最大位移
,因此
已知小船能安全到达河岸的合速度，设此
速度与水流速度的夹角为 ,即有
,所以 ,又已知
水流速度，则可得小船在静水中最小速度为
,C项正确，A、B、D三项错误。
强化 学科思维
关联速度问题
常见的几种关联速度问题模型及分析思路与结论
情境 图示 _____________________________________________ _______________________________ ___________________________________________
分解 图示 ________________________________ _______________________________ ___________________________________________ _________________________________________________
定量 关系
思路 与结 论 __________________________________________________________________________________________ 续表
角度1 绳连体关联速度
例10 如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水
平轨道，轨道上有两个物体和 ，它们通过一根
绕过定滑轮且不可伸长的轻绳相连接，物体 以
速率匀速运动，在绳与轨道成 角
时，物体的速度大小 为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 物体的运动可分解为沿绳 方向靠近定滑
轮使绳段缩短的运动和绕定滑轮（方向与绳
垂直）的运动，故可把物体 的速度分解为如图所示
的两个分速度。由图可知 ，由于绳
不可伸长，绳段伸长的速度等于绳 段缩短的速度，所以有
，即 ，得
，D项正确。
角度2 杆连体关联速度
例11 （多选）如图所示，杆以恒定角速度 绕 点转动，并带动套
在光滑水平杆上的质量为的小环运动，运动开始时， 杆在竖直
位置，则( )
AC
A.小环 的速度将逐渐增大
B.小环 的速度将先减小后增大
C.小环 的加速度将逐渐增大
D.小环 的加速度将逐渐减小
[解析] 设小环速度为，由运动的分解知识有 ，得
，可知小环做加速运动，A项正确，B项错误;因 在
时随的增大而减小，并且变化得越来越快（可由 的图像斜
率判断），说明速度增大得越来越快，即加速度逐渐增大，C项正确，
D项错误。
角度3 接触面关联速度
例12 一个半径为 的半圆柱体沿水平方向向右以速度
匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只
能沿竖直方向运动，如图所示。当杆和半圆柱体的接
触点与柱心的连线和竖直方向的夹角为 时，求竖
直杆运动的速度。
解答 将杆的速度和半圆柱 点的速度都按沿圆半径方
向和垂直圆半径方向进行分解，两者沿圆半径方向的
分速度相等，则有 ，得
。
方法总结
解决绳（杆）端速度分解问题的技巧
（1）明确分解谁——分解不沿绳（杆）方向运动物体的速度；
（2）知道如何分解——沿绳（杆）方向和垂直绳（杆）方向分解；
（3）求解依据——因为绳（杆）不能伸长，所以沿绳（杆）方向的速
度分量大小相等。
练创新试题 知命题导向
1. 运动员投掷铅球的示意图如图所示。点是铅球的抛出点， 点
是运动过程中的最高点，、分别与、 等高，不计空气阻力，下列
说法正确的是( )
D
A.铅球所受合力在段与在 段方
向相反
B.铅球在点与 点速度方向相反
C.铅球在 点的加速度为零
D.出手后铅球做匀变速曲线运动
[解析] 铅球在 段合力斜向上，出手后铅球仅受重力，方向竖直向下，
A项错误;铅球在点速度方向斜向上，在 点速度方向斜向下，两点速度
方向不相反，B项错误;铅球在 点受重力，加速度不为零，C项错误，出
手后铅球仅受重力，加速度不变，铅球做匀变速曲线运动，D项正确。
2. 图为“玉兔二号”巡视器在月球上从处行走到 处的照片，轨
迹段是直线， 段是曲线，则巡视器( )
C
A.两段过程所受合力可能相同
B.两段过程平均速度可能相同
C.在 段运动时一定有加速度
D.从到的位移大小一定等于 轨迹长度
[解析] 轨迹 段是直线，巡视器所受合力可能为0，合力也可能与轨迹
共线， 段合力方向指向轨迹内侧，两段过程巡视器所受合力不可能同
向，A项错误;平均速度的方向与位移方向相同，两段过程位移的方向不
同，则平均速度不可能相同，B项错误;在 段运动时巡视器做曲线运动，
速度方向一定改变，一定有加速度，C项正确;根据位移的定义可知从 到
的位移大小等于的连线长度而小于轨迹 长度，D项错误。
3. 如图所示，建筑塔吊在某次运送货物
过程中，先将建材竖直向上吊升 ，后沿水平
方向移动了 。整个过程建材相对地面的位移大
小为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 建材竖直位移为，水平位移为 ，两者相互垂直，合位移
，C项正确。
4. 一只小船以相对静水恒为 的速度渡
河，船头指向始终与河岸垂直；到达对岸后，小船
又以相对静水为 的速度原路返回，去、回用时相
等。河水各处流速恒定，则河水的速度为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设水的速度为，去程轨迹与河岸的夹角为 ，有 ，
由去、回用时相等，知返程时小船垂直河岸的速度为 ，有
，联立解得 ，C项正确。

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