资源简介

1.1　集合的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，掌握集合元素的三个特征，初步运用集合元素的特征解决简单问题 数学抽象
2.体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号 逻辑推理
3.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法） 数学抽象
4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合 数学抽象
第1课时　集合的概念
第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，本届亚运会亚奥理事会45个国家（地区）奥委会均报名参赛，参赛运动员人数达到12 500多名，是历届亚运会参赛人数最多的一届.
【问题】　参加本届亚运会的所有运动员能否构成一个集合？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点一　元素与集合
1.元素
2.集合
提醒　（1）集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义；（2）组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等；（3）组成集合的元素可以有有限个，也可以有无限个.
知识点二　集合中元素的特征
1.集合中元素的特征：　　　，　　　，　　　.
2.集合相等：只要构成两个集合的元素是　　　　，我们就称这两个集合是相等的.
【想一想】
某班所有的高个子男生能否构成一个集合？
知识点三　元素与集合的关系
1.元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A a　A a属于 集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a　A a不属于 集合A
提醒　符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系.
2.常见的数集及符号表示
数集 非负整数集 （自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集
符号 N N*或N＋ Z Q R
1.（多选）下列每组对象，能构成集合的是（　　）
A.中国各地最美的乡村
B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C.所有很大的数
D.清华大学2024年入学的全体学生
2.由单词“title”中的所有字母构成的集合，其元素的个数为（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
3.用“∈”或“ ”填空：
　　N；－5　　Z；　　Q；π　　　R.
题型一 集合的基本概念
【例1】　（1）（多选）下列所给对象能构成集合的是（　　）
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.高中数学必修第一册课本上的所有难题
C.比较接近1的整数的全体
D.某校高一年级的16岁以下的学生
（2）集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合P与集合Q是相等的，则a＝　　　　.
通性通法
1.判断一组对象能构成集合的条件
（1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是满足这个标准；
（2）任何两个对象都是不同的；
（3）对对象出现的顺序没有要求.
2.判断两个集合相等的注意点
若两个集合相等，则构成这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
【跟踪训练】
1.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.中国的所有直辖市可以组成一个集合
B.高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合
C.正偶数的全体可以组成一个集合
D.大于2 010且小于2 024的所有整数不能组成集合
2.设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝　　　　.
题型二 元素与集合的关系
【例2】　（1）（多选）集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（　　）
A. M B.0∈M
C.1∈M D.－ M
（2）已知集合A中元素x满足2x＋a＞0，a∈R，若2∈A，则实数a的取值范围为　　　　.
通性通法
判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可；
（2）推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
【跟踪训练】
1.给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.设集合B是小于的所有实数的集合，则2　　　B，2　　　　B.（用符号“∈”或“ ”填空）
题型三 集合中元素特征的应用
【例3】　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为　　　　.
【母题探究】
1.（变条件）本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值.
2.（变条件）已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值.
通性通法
根据集合中元素的特征求参数值的三个步骤
【跟踪训练】
1.已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是（　　）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.已知集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1.若0∈P，则实数a的值为　　　　.
1.（多选）下列各项中，可以组成集合的是（　　）
A.所有的正数 B.等于2的数
C.接近于0的数 D.不等于0的偶数
2.方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.下列表示正确的是（　　）
A.0∈N B.∈N
C.－3 Z D.π∈Q
4.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若集合A与集合B相等，求实数x，y的值.
第1课时　集合的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
1.研究对象　2.总体
知识点二
1.确定性　互异性　无序性　2.一样的
想一想
　提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准，不满足确定性.
知识点三
1.∈　
自我诊断
1.BD　A项，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元素，故A不能；C项，所有很大的数，无法确定集合中的元素，故C不能；根据集合元素的确定性可知B、D能构成集合.
2.C　设由单词“title”中的所有字母构成的集合为A，则A中的元素有t，i，l，e，共4个.
3. 　∈　 　∈
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）AD　（2）±2　解析：（1）A中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“到原点的距离等于1的点”；B、C中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；D中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”，故选A、D.
（2）由题意得a2＝4，即a＝±2.
跟踪训练
1.AC　A中我国的直辖市有北京、上海、天津、重庆，是确定的，可以组成集合；B中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，所以B错误；C中正偶数的全体可以组成一个集合，正确；D中的所有整数能组成集合，所以D错误.
2.1　解析：由题意知a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1.
【例2】　（1）AB　（2）a＞－4
解析：（1）＞1，故 M，A正确；－2＜0＜1，故B正确；1 M，故C错误；－2＜－＜1，故－∈M，D错误.
（2）∵2∈A，∴2×2＋a＞0，即a＞－4.
跟踪训练
1.B　实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.
2. 　∈　解析：∵2＝＞，∴2 B，∵2＝＜，∴2∈B.
【例3】　－1　解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性.∴a＝－1.
母题探究
1.解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.经检验符合元素的互异性.
2.解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或a＝1（舍去）.综上可知，a＝0.
跟踪训练
1.D　因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D.
2.－或1　解析：因为集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1，且0∈P，所以2a＋1＝0或a2－1＝0，解得a＝－或a＝±1.当a＝－时，a2－1＝－，符合题意；当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；当a＝－1时，2a＋1＝－1，不满足元素的互异性，舍去.综上，实数a的值为－或1.
随堂检测
1.ABD　集合中的元素满足三个特征：确定性、互异性、无序性.“接近于0的数”标准不明确，故接近于0的数不能组成集合，故选A、B、D.
2.C　这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素.
3.A　对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B，是不可约分数，即有 N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有－3∈Z，故C错误；对于D，π是无理数，即有π Q，故D错误.
4.解：由题意得x≠0，即得
1 / 4第一章　集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
第1课时　集合的概念
1.下列说法正确的是（　　）
A.某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B.由1，2，3和，1，组成的集合不相等
C.不超过20的非负数组成一个集合
D.方程（x－1）（x＋1）2＝0的所有解组成的集合中有三个元素
2.若以集合A中的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（　　）
A.梯形　　　　　　　　 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
3.已知集合A中的元素x满足x－1＜，则下列各式正确的是（　　）
A.3∈A且－3 A B.3∈A且－3∈A
C.3 A且－3 A D.3 A且－3∈A
4.已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是（　　）
A.1∈M B.0∈M
C.－1∈M D.－2∈M
5.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.N*中最小的数是1
B.若－a N*，则a∈N*
C.若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2
D.x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素
6.（多选）集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为（　　）
A.2 B.－2
C.4 D.6
7.设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p 　　　M，q　 　　M.（用“∈”或“ ”填空）
8.已知集合A中的元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则－1　　　　A，－34　　　　A.（填“∈”或“ ”）
9.若由a，，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则a2 024＋b2 024＝　　　　.
10.设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合.
（1）0是否是集合A中的元素？
（2）若－5∈A，求实数a的值.
11.由实数x，－x，｜x｜，，－所组成的集合，其元素的个数最多为（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
12.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1（A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（　　）
A.2∈A，且2∈B
B.（1，2）∈A，且（1，2）∈B
C.2∈A，且（3，10）∈B
D.（3，10）∈A，且2∈B
13.已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝　　　　；b＝　　　　.
14.已知集合A含有三个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值.
15.集合A中的元素x满足x＝m＋n（m，n∈Z）.x1＝－，x2＝，x3＝（1－2）2与集合A的关系分别为x1　　 　A，x2　　　 A，x3　　　 A.（填“∈”或“ ”）
16.以某些整数为元素的集合P具有以下两个性质：①P中的元素有正整数，也有负整数；②若x，y∈P，则x＋y∈P.
（1）若x∈P，求证：3x∈P；
（2）求证：0∈P；
（3）判断集合P是有限集还是无限集，请说明理由.
第1课时　集合的概念
1.C　A项中元素不确定；B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等；D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，组成的集合含两个元素.
2.A　因为a，b，c，d是集合A中的四个元素，故a，b，c，d均不相等，故选A.
3.D　∵3－1＝2＞，∴3 A.又－3－1＝－4＜，∴－3∈A.
4.C　由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故－1∈M.
5.AC　N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－a N*，且a N*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的.故选A、C.
6.AC　若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0 A.
7.∈　 　解析：矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q M.
8.∈　∈　解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.
9.1　解析：由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以＝0，所以b＝0，所以a2＝1，即a＝±1，又当a＝1时，集合A不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a＝－1.所以a2 024＋b2 024＝1.
10.解：（1）将x＝0代入方程，02－a×0－5＝－5≠0，所以0不是集合A中的元素.
（2）若－5∈A，则有（－5）2－（－5）a－5＝0，解得a＝－4.
11.A　当x＞0时，x＝｜x｜＝，－＝－x，此时集合中共有2个元素；当x＝0时，x＝｜x｜＝＝－＝－x＝0，此时集合中共有1个元素；当x＜0时，＝｜x｜＝－＝－x，此时集合中共有2个元素.综上，此集合中最多有2个元素，故选A.
12.C　集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B，故选C.
13.－3　2　解析：因为集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A，所以1∈B，2∈B，即1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根.所以即
14.解：因为－3∈A，
所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，
解得a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，
集合A不满足元素的互异性，所以舍去a＝－1.
当a＝－时，经检验，符合题意.
故a＝－.
15.∈　 　∈　解析：x1＝－＝0＋（－1）×，因为0，－1∈Z，所以x1∈A；x2＝＝＝1＋×，因为1∈Z， Z，所以x2 A；x3＝（1－2）2＝9－4＝9＋（－4）×，因为9，－4∈Z，所以x3∈A.
16.解：（1）证明：由②可得若x∈P，则x＋x＝2x∈P，则x＋2x＝3x∈P.
（2）证明：设m∈N*，n∈N*，
由P具有性质①设m∈P，－n∈P，
由（1）知mn∈P，－mn∈P，
由P具有性质②知mn＋（－mn）＝0∈P.
（3）集合P为无限集，理由如下：
假设集合P为有限集，则集合P中元素必有最大值，且最大值为正整数，
不妨设最大值为a，由②可得2a∈P，与集合P中元素的最大值为a矛盾，所以集合P为无限集.
1 / 2(共57张PPT)
1.1　集合的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，了解集合的含义，掌握集合元素的三个
特征，初步运用集合元素的特征解决简单问题 数学抽象
2.体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常
用数集的表示符号 逻辑推理
3.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法） 数学抽象
4.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合 数学抽象
第1课时　集合的概念
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，本届亚运会亚
奥理事会45个国家（地区）奥委会均报名参赛，参赛运动员人数达到
12 500多名，是历届亚运会参赛人数最多的一届.
【问题】　参加本届亚运会的所有运动员能否构成一个集合？
　
知识点一　元素与集合
1. 元素
2. 集合
提醒　（1）集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含
义；（2）组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也
可以是人或物等；（3）组成集合的元素可以有有限个，也可以有无
限个.
知识点二　集合中元素的特征
1. 集合中元素的特征： ， ， .
2. 集合相等：只要构成两个集合的元素是 ，我们就称这两
个集合是相等的.
确定性　
互异性　
无序性　
一样的　
【想一想】
某班所有的高个子男生能否构成一个集合？
提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明
确的标准，不满足确定性.
知识点三　元素与集合的关系
1. 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a
属于集合 A a A a 属于
集合 A
不属于 如果 a 不是集合 A 中的元素，就
说 a 不属于集合 A a A a 不属于
集合 A
提醒　符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集
合之间的从属关系.
∈　
　
2. 常见的数集及符号表示
数集 非负整数
集（自然
数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数
集
符号 N N*或N＋ Z Q R
1. （多选）下列每组对象，能构成集合的是（　　）
A. 中国各地最美的乡村
B. 直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C. 所有很大的数
D. 清华大学2024年入学的全体学生
解析： 　A项，中国各地最美的乡村，无法确定集合中的元
素，故A不能；C项，所有很大的数，无法确定集合中的元素，故C
不能；根据集合元素的确定性可知B、D能构成集合.
2. 由单词“title”中的所有字母构成的集合，其元素的个数为（　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 　设由单词“title”中的所有字母构成的集合为 A ，则 A 中
的元素有t，i，l，e，共4个.
3. 用“∈”或“ ”填空：
N；－5 Z； Q；π R.
　
∈　
　
∈　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合的基本概念
【例1】　（1）（多选）下列所给对象能构成集合的是（　AD　）
A. 平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B. 高中数学必修第一册课本上的所有难题
C. 比较接近1的整数的全体
D. 某校高一年级的16岁以下的学生
AD
解析： A中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是
“到原点的距离等于1的点”；B、C中的对象不能构成集合，
因为“难题”“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，
故不能构成集合；D中的对象能构成集合，因为有确定标准，元
素是“某校高一年级的16岁以下的学生”，故选A、D.
（2）集合 P 中含有两个元素1和4，集合 Q 中含有两个元素1和 a2，若
集合 P 与集合 Q 是相等的，则 a ＝ .
解析：（2）由题意得 a2＝4，即 a ＝±2.
±2　
通性通法
1. 判断一组对象能构成集合的条件
（1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定
它是不是满足这个标准；
（2）任何两个对象都是不同的；
（3）对对象出现的顺序没有要求.
2. 判断两个集合相等的注意点
若两个集合相等，则构成这两个集合的元素相同，但是要注意其中
的元素不一定按顺序对应相等.
【跟踪训练】
1. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 中国的所有直辖市可以组成一个集合
B. 高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合
C. 正偶数的全体可以组成一个集合
D. 大于2 010且小于2 024的所有整数不能组成集合
解析： 　A中我国的直辖市有北京、上海、天津、重庆，是确
定的，可以组成集合；B中由于“较胖”的标准不明确，不满足集
合中元素的确定性，所以B错误；C中正偶数的全体可以组成一个
集合，正确；D中的所有整数能组成集合，所以D错误.
2. 设 a ， b 是两个实数，集合 A 中含有0， b ， 三个元素，集合 B 中
含有1， a ， a ＋ b 三个元素，且集合 A 与集合 B 相等，则 a ＋2 b
＝ .
解析：由题意知 a ＋ b ＝0，所以 ＝－1，所以 b ＝1， a ＝－1，所
以 a ＋2 b ＝1.
1　
题型二 元素与集合的关系
【例2】　（1）（多选）集合 M 是由大于－2且小于1的实数构成的，
则下列关系正确的是（　 　）
B. 0∈ M
C. 1∈ M
解析： ＞1，故 M ，A正确；－2＜0＜1，故B正
确；1 M ，故C错误；－2＜－ ＜1，故－ ∈ M ，D错误.
（2）已知集合 A 中元素 x 满足2 x ＋ a ＞0， a ∈R，若2∈ A ，则实数 a
的取值范围为 .
解析： ∵2∈ A ，∴2×2＋ a ＞0，即 a ＞－4.
a ＞－4　
通性通法
判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素
在已知集合中是否出现即可；
（2）推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该
元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
【跟踪训练】
1. 给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若 a ∈Z，则－ a Z；③
若 a ∈Q， b ∈N*，则 a ＋ b ∈Q. 其中正确的个数为（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 　实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，
若 a ∈Z，则－ a 也是整数，故－ a ∈Z，所以②也不正确；只
有③正确.
2. 设集合 B 是小于 的所有实数的集合，则2 B ，2
B . （用符号“∈”或“ ”填空）
解析：∵2 ＝ ＞ ，∴2 B ，∵2 ＝ ＜ ，
∴2 ∈ B .
　
∈　
题型三 集合中元素特征的应用
【例3】　已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若1∈ A ，则实数 a 的值
为 .
解析：若1∈ A ，则 a ＝1或 a2＝1，即 a ＝±1.当 a ＝1时，集合 A 有重
复元素，不符合元素的互异性，∴ a ≠1；当 a ＝－1时，集合 A 含有
两个元素1，－1，符合元素的互异性.∴ a ＝－1.
－1　
【母题探究】
1. （变条件）本例若将条件“1∈ A ”改为“2∈ A ”，其他条件不
变，求实数 a 的值.
解：因为2∈ A ，所以 a ＝2或 a2＝2，即 a ＝2或 a ＝ 或 a ＝－
.经检验符合元素的互异性.
2. （变条件）已知集合 A 含有两个元素1和 a2，若“ a ∈ A ”，求实数
a 的值.
解：由 a ∈ A 可知，当 a ＝1时，此时 a2＝1，与集合中元素的互异
性矛盾，所以 a ≠1.当 a ＝ a2时， a ＝0或 a ＝1（舍去）.综上可
知， a ＝0.
通性通法
根据集合中元素的特征求参数值的三个步骤
【跟踪训练】
1. 已知集合 S 中的三个元素 a ， b ， c 是△ ABC 的三条边长，那么△
ABC 一定不是（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
解析： 　因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边
长两两不相等，故选D.

解析：因为集合 P 有三个元素－1，2 a ＋1， a2－1，且0∈ P ，所以
2 a ＋1＝0或 a2－1＝0，解得 a ＝－ 或 a ＝±1.当 a ＝－ 时， a2－
1＝－ ，符合题意；当 a ＝1时，2 a ＋1＝3，符合题意；当 a ＝－1
时，2 a ＋1＝－1，不满足元素的互异性，舍去.综上，实数 a 的值
为－ 或1.
－ 或1　
1. （多选）下列各项中，可以组成集合的是（　　）
A. 所有的正数 B. 等于2的数
C. 接近于0的数 D. 不等于0的偶数
解析： 　集合中的元素满足三个特征：确定性、互异性、无
序性.“接近于0的数”标准不明确，故接近于0的数不能组成集
合，故选A、B、D.
2. 方程 x2＋2 x －8＝0和方程 x2＋ x －12＝0的所有实数解组成的集合
为 M ，则 M 中的元素个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合
中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有
3个元素.
3. 下列表示正确的是（　　）
A. 0∈N
C. －3 Z D. π∈Q
解析： 　对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B，
是不可约分数，即有 N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有
－3∈Z，故C错误；对于D，π是无理数，即有π Q，故D错误.
4. 设集合 A 含有两个元素 x ， y ， B 含有两个元素0， x2，若集合 A 与
集合 B 相等，求实数 x ， y 的值.
解：由题意得 x ≠0，即得
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列说法正确的是（　　）
A. 某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
C. 不超过20的非负数组成一个集合
D. 方程（ x －1）（ x ＋1）2＝0的所有解组成的集合中有三个元素
解析： 　A项中元素不确定；B项中两个集合元素相同，因为集合
中的元素具有无序性，所以两个集合相等；D项中方程的解分别是
x1＝1， x2＝ x3＝－1.由互异性知，组成的集合含两个元素.
2. 若以集合 A 中的四个元素 a ， b ， c ， d 为边长构成一个四边形，则
这个四边形可能是（　　）
A. 梯形 B. 平行四边形
C. 菱形 D. 矩形
解析： 　因为 a ， b ， c ， d 是集合 A 中的四个元素，故 a ， b ，
c ， d 均不相等，故选A.
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3. 已知集合 A 中的元素 x 满足 x －1＜ ，则下列各式正确的是
（　　）
A. 3∈ A 且－3 A B. 3∈ A 且－3∈ A
C. 3 A 且－3 A D. 3 A 且－3∈ A
解析： 　∵3－1＝2＞ ，∴3 A . 又－3－1＝－4＜ ，∴－
3∈ A .
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4. 已知集合 M 是方程 x2－ x ＋ m ＝0的解组成的集合，若2∈ M ，则下
列判断正确的是（　　）
A. 1∈ M B. 0∈ M
C. －1∈ M D. －2∈ M
解析： 　由2∈ M 知2为方程 x2－ x ＋ m ＝0的一个解，所以22－2
＋ m ＝0，解得 m ＝－2.所以方程为 x2－ x －2＝0，解得 x1＝－1，
x2＝2.故－1∈ M .
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5. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. N*中最小的数是1
B. 若－ a N*，则 a ∈N*
C. 若 a ∈N*， b ∈N*，则 a ＋ b 的最小值是2
D. x2＋4＝4 x 的实数解组成的集合中含有2个元素
解析： 　N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当 a ＝0
时，－ a N*，且 a N*，故B错误；若 a ∈N*，则 a 的最小值是1，
又 b ∈N*， b 的最小值也是1，当 a 和 b 都取最小值时， a ＋ b 取最小
值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的.故选A、C.
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6. （多选）集合 A 中含有三个元素2，4，6，若 a ∈ A ，且6－ a ∈
A ，那么 a 为（　　）
A. 2 B. －2
C. 4 D. 6
解析： 　若 a ＝2，则6－2＝4∈ A ；若 a ＝4，则6－4＝2∈ A ；
若 a ＝6，则6－6＝0 A .
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7. 设集合 M 中的元素为平行四边形， p 表示某个矩形， q 表示某个梯
形，则 p M ， q M . （用“∈”或“ ”填空）
解析：矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故 p ∈ M ， q
M .
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8. 已知集合 A 中的元素 x 满足 x ＝3 k －1， k ∈Z，则－1 A ，－
34 A . （填“∈”或“ ”）
解析：当 k ＝0时， x ＝－1，所以－1∈ A ；令－34＝3 k －1，得 k
＝－11，所以－34∈ A .
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9. 若由 a ， ，1组成的集合 A 与由 a2， a ＋ b ，0组成的集合 B 相等，
则 a2 024＋ b2 024＝ .
解析：由已知可得 a ≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以 ＝0，
所以 b ＝0，所以 a2＝1，即 a ＝±1，又当 a ＝1时，集合 A 不满足
集合中元素的互异性，舍去，所以 a ＝－1.所以 a2 024＋ b2 024＝1.
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10. 设 A 是方程 x2－ ax －5＝0的解组成的集合.
（1）0是否是集合 A 中的元素？
解： 将 x ＝0代入方程，02－ a ×0－5＝－5≠0，所以0
不是集合 A 中的元素.
（2）若－5∈ A ，求实数 a 的值.
解： 若－5∈ A ，则有（－5）2－（－5） a －5＝0，解
得 a ＝－4.
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11. 由实数 x ，－ x ，｜ x ｜， ，－ 所组成的集合，其元素的
个数最多为（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 　当 x ＞0时， x ＝｜ x ｜＝ ，－ ＝－ x ，此时集
合中共有2个元素；当 x ＝0时， x ＝｜ x ｜＝ ＝－ ＝－ x
＝0，此时集合中共有1个元素；当 x ＜0时， ＝｜ x ｜＝－
＝－ x ，此时集合中共有2个元素.综上，此集合中最多有2个
元素，故选A.
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12. 集合 A 的元素 y 满足 y ＝ x2＋1，集合 B 的元素（ x ， y ）满足 y ＝ x2
＋1（ A ， B 中 x ∈R， y ∈R）.则下列选项中元素与集合的关系
都正确的是（　　）
A. 2∈ A ，且2∈ B
B. （1，2）∈ A ，且（1，2）∈ B
C. 2∈ A ，且（3，10）∈ B
D. （3，10）∈ A ，且2∈ B
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解析： 　集合 A 中的元素为 y ，是数集，又 y ＝ x2＋1≥1，故2∈
A ，集合 B 中的元素为点（ x ， y ），且满足 y ＝ x2＋1，经验证，
（3，10）∈ B ，故选C.
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13. 已知集合 A 含有两个元素1和2，集合 B 表示方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的
解组成的集合，且集合 A 与集合 B 相等，则 a ＝ ； b
＝ .
解析：因为集合 A 与集合 B 相等，且1∈ A ，2∈ A ，所以1∈ B ，
2∈ B ，即1，2是方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的两个实数根.所以
即
－3　
2　
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14. 已知集合 A 含有三个元素 a －2，2 a2＋5 a ，12，且－3∈ A ，求 a
的值.
解：因为－3∈ A ，所以 a －2＝－3或2 a2＋5 a ＝－3，
解得 a ＝－1或 a ＝－ .
当 a ＝－1时， a －2＝－3，2 a2＋5 a ＝－3，
集合 A 不满足元素的互异性，所以舍去 a ＝－1.
当 a ＝－ 时，经检验，符合题意.
故 a ＝－ .
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15. 集合 A 中的元素 x 满足 x ＝ m ＋ n （ m ， n ∈Z）. x1＝－ ， x2
＝ ， x3＝（1－2 ）2与集合 A 的关系分别为 x1 A ，
x2 A ， x3 A . （填“∈”或“ ”）
解析： x1＝－ ＝0＋（－1）× ，因为0，－1∈Z，所以 x1∈
A ； x2＝ ＝ ＝1＋ × ，因为1∈Z， Z，所以 x2
A ； x3＝（1－2 ）2＝9－4 ＝9＋（－4）× ，因为9，－
4∈Z，所以 x3∈ A .
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16. 以某些整数为元素的集合 P 具有以下两个性质：① P 中的元素有
正整数，也有负整数；②若 x ， y ∈ P ，则 x ＋ y ∈ P .
（1）若 x ∈ P ，求证：3 x ∈ P ；
解： 证明：由②可得若 x ∈ P ，则 x ＋ x ＝2 x ∈ P ，则
x ＋2 x ＝3 x ∈ P .
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（2）求证：0∈ P ；
解： 证明：设 m ∈N*， n ∈N*，
由 P 具有性质①设 m ∈ P ，－ n ∈ P ，
由（1）知 mn ∈ P ，－ mn ∈ P ，
由 P 具有性质②知 mn ＋（－ mn ）＝0∈ P .
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（3）判断集合 P 是有限集还是无限集，请说明理由.
解： 集合 P 为无限集，理由如下：
假设集合 P 为有限集，则集合 P 中元素必有最大值，且最大
值为正整数，
不妨设最大值为 a ，由②可得2 a ∈ P ，与集合 P 中元素的最
大值为 a 矛盾，所以集合 P 为无限集.
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