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第2课时　集合的表示
语言是人与人之间相互交流的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，繁体中文为“生日快樂”，英文为“Happy Birthday”……
【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点一　列举法
　把集合的所有元素　　　　　　出来，并用花括号“{　　}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
提醒　用列举法表示集合的注意点：①元素间用“，”隔开；②集合的“{}”已包含“所有”“全体”的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼.
知识点二　描述法
　设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为　　　　　　，这种表示集合的方法称为描述法.
提醒　用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符号，如{x｜x＞1}不能写成{x＞1}；②不能出现未被说明的字母，如{x∈Z｜x＝2m}中m未被说明；③所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z｜x＝2m}，m∈N*”不符合要求.
1.方程x2－4x＋3＝0的所有实数根组成的集合为（　　）
A.{1，3} B.{1}
C.{x2－4x＋3＝0} D.{x＝1，x＝3}
2.不等式4x－5＜3的解集用集合表示为　　　.
3.由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为　　　，用描述法表示为　　　.
题型一 用列举法表示集合
【例1】　用列举法表示下列集合：
（1）方程（x－1）2（x－2）＝0的解组成的集合；
（2）“Welcome”中的所有字母构成的集合；
（3）函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合.
通性通法
用列举法表示集合的3个步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
提醒　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.
【跟踪训练】
1.若集合A＝{（1，2），（3，4）}，则集合A中元素的个数是（　　）
A.1　　　B.2 C.3　　　D.4
2.用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝－3x＋12上所有满足x∈N*，y∈N*的点所组成的集合.
题型二 用描述法表示集合
【例2】　用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合；
（2）坐标平面内第一象限的点的集合；
（3）大于4的所有偶数.
通性通法
用描述法表示集合的2个步骤
【跟踪训练】
　选择适当的方法表示下列集合：
（1）大于1且小于8的有理数；
（2）不等式2x－3＜5的解组成的集合；
（3）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合.
题型三 集合表示法的应用
【例3】　集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
【母题探究】
1.（变条件）若集合A中有两个元素，求k的取值范围.
2.（变条件）若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围.
3.（变设问）在本例条件下，是否存在实数k使集合A与集合{1}相等？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
通性通法
集合与方程的综合问题的解题策略
（1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根；
（2）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或范围，必要时要分类讨论；
（3）求出参数的值或范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性.
【跟踪训练】
　已知集合A＝{x｜x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＝　　　　，b＝　　　　.
1.用列举法表示集合{x∈N｜x－3＜2}，正确的是（　　）
A.{1，2，3，4}　　　　B.{1，2，3，4，5}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{0，1，2，3，4}
2.集合{（x，y）｜y＝2x－1}表示（　　）
A.方程y＝2x－1
B.点（x，y）
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
3.（多选）下面四个说法正确的是（　　）
A.10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}
B.由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}
C.方程x2－2x＋1＝0的解集是{1，1}
D.0与{0}表示同一个集合
4.用适当的方法表示下列集合：
（1）一年中有31天的月份的全体；
（2）大于－3.5且小于12.8的整数的全体；
（3）2022年冬奥会的主办城市组成的集合.
第2课时　集合的表示
【基础知识·重落实】
知识点一
一一列举
知识点二
{x∈A｜P（x）}
自我诊断
1.A　由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3，∴用列举法表示实数根组成的集合为{1，3}.
2.{x｜x＜2}　解析：由4x－5＜3得x＜2.所以不等式4x－5＜3的解集用集合表示为{x｜x＜2}.
3.{0，1，2，3，4}　{x∈N｜－1＜x＜5}
解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1＜x＜5.故用描述法表示集合为{x∈N｜－1＜x＜5}.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）方程（x－1）2（x－2）＝0的解为1或2，因此用列举法表示为{1，2}.
（2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}.
（3）函数y＝2x－1的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为（0，－1），因此用列举法表示为.
跟踪训练
1.B　集合A＝{（1，2），（3，4）}中有两个元素（1，2）和（3，4）.
2.解：（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}.
（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}.
（3）当x＝1时，y＝9；当x＝2时，y＝6；当x＝3时，y＝3，所以在直线y＝－3x＋12上满足x∈N*，y∈N*的所有点组成的集合为{（1，9），（2，6），（3，3）}.
【例2】　解：（1）根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x｜x＝3n＋1，n∈N}.
（2）第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{（x，y）｜x＞0，y＞0}.
（3）偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x｜x＝2n，n∈Z且n≥3}.
跟踪训练
　解：（1）大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x∈Q｜1＜x＜8}.
（2）不等式2x－3＜5的解组成的集合可表示为{x｜2x－3＜5}，即{x｜x＜4}.
（3）二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点（x，y），其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{（x，y）｜y＝x2＋2x－10}.
【例3】　解：（1）当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，即A＝{2}，满足题意；
（2）当k≠0时，要使集合A＝{x｜kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意.
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0，1}.
母题探究
1.解：由题意得
解得k＜1，且k≠0.
2.解：（1）当集合A中只含有一个元素时，由例题知，k＝0或k＝1；
（2）当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，
即解得k＞1.
综上，实数k的取值集合为{k｜k＝0或k≥1}.
3.解：若A＝{1}，则1∈A，
∴k－8＋16＝0，即k＝－8.
又当k＝－8时，－8x2－8x＋16＝0，
即x2＋x－2＝0，
解得x＝1或x＝－2，
此时A＝{1，－2}，与A＝{1}矛盾，
故不存在实数k使集合A与集合{1}相等.
跟踪训练
　5　6　解析：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6.
随堂检测
1.D　解不等式得x＜5，又x∈N，∴x是小于5的自然数，∴表示为{0，1，2，3，4}.
2.D　本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合.故选D.
3.AB　10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A说法正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，1，2}相等，且都可以表示由1，2，3组成的集合，故B说法正确；方程x2－2x＋1＝0的解集应为{1}，故C说法错误；由集合的表示方法知“0”不是集合，故D说法错误.故选A、B.
4.解：（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.
（2）{－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}或{x∈Z｜－3.5＜x＜12.8}.
（3）北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}.
3 / 3第2课时　集合的表示
1.设A＝{x｜x≥2}，a＝3，下列各式正确的是（　　）
A.0∈A B.a A
C.a∈A D.－a∈A
2.下列集合恰有两个元素的是（　　）
A.{x2－x＝0}
B.{x｜y＝x2－x}
C.{y｜y2－y＝0}
D.{y｜y＝x2－x}
3.下列集合中表示同一集合的是（　　）
A.P＝{（3，2）}，Q＝{（2，3）}
B.P＝{2，3}，Q＝{3，2}
C.P＝{（x，y）｜x＋y＝1}，Q＝{y｜x＋y＝1}
D.P＝{2，3}，Q＝{（2，3）}
4.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，则集合B中元素的个数为（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
5.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　　）
A.{x∈Z｜－3＜x＜11}
B.{x｜－3＜x＜11}
C.{x｜－3＜x＜11，x＝2k}
D.{x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}
6.（多选）下列命题中正确的是（　　）
A.集合{x∈R｜x2＝1}中有两个元素
B.集合{0}中没有元素
C.∈{x｜x＜2}
D.{1，2}与{2，1}是同一个集合
7.集合{x｜x＝2m－3，m＜5，m∈N*}，用列举法表示为　　　　.
8.已知集合P＝{－2，－1，0，1}，集合Q＝{y｜y＝｜x｜，x∈P}，则Q＝　　　　.
9.方程组的解集是　　　　.
10.选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程x（x2－2x－3）＝0的所有实数根组成的集合；
（2）大于2且小于6的有理数；
（3）图中阴影部分的点（含边界）的集合.
11.对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（　　）
A.{x｜x是小于18的正奇数}
B.{x｜x＝4k＋1，k∈Z，且k＜5}
C.{x｜x＝4t－3，t∈N，且t≤5}
D.{x｜x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}
12.下列说法正确的是（　　）
A.在平面直角坐标系内，第一、三象限的点的集合为{（x，y）｜xy＞0}
B.方程x2－4＝0的解集为{（－2，2）}
C.集合{（x，y）｜y＝x}与{x｜y＝x}相等
D.若A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}，则－0.1∈A
13.（多选）下列选项中是集合A＝{（x，y）｜x＝，y＝，k∈Z}中的元素的是（　　）
A.（，） B.（，）
C.（3，4） D.（4，3）
14.下列三个集合：
①A＝{x｜y＝x2＋1}；
②B＝{y｜y＝x2＋1}；
③C＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.
（1）它们是不是相等的集合？
（2）它们各自的含义分别是什么？
15.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集.集合A＝{－1，1，2}　　　　（填“是”或“不是”）可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集　　　　.
16.已知集合A＝{x∈N｜∈N}，B＝{a∈N｜a＝，x∈N}，试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合.
第2课时　集合的表示
1.C　集合A＝{x｜x≥2}，∵a＝3，3＞2，∴a∈A.
2.C　A表示只有一个方程x2－x＝0的集合；B表示函数y＝x2－x中自变量的取值集合，有无数个元素；C表示方程y2－y＝0的所有实数根组成的集合，有0，1两个元素；D表示函数y＝x2－x的函数值的取值集合，有无数个元素.
3.B　选项A中的集合P是只含有一个点（3，2）的点集，集合Q是只含有一个点（2，3）的点集，故集合P与Q不是同一个集合；选项C中的集合P是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合Q是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即Q＝{y｜x＋y＝1}＝R，故集合P与Q不是同一个集合；选项D中的集合P是数集，而集合Q是点集，故集合P与Q不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知P，Q表示同一个集合.
4.C　由于集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，因为0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，所以B＝{0，1，2}.故集合B中元素的个数为3.
5.D　由题意可知，满足题设条件的只有选项D.
6.AD　{x∈R｜x2＝1}＝{1，－1}；集合{0}中有一个元素，这个元素是0；{x｜x＜2}＝{x｜x＜}，＞，故 {x｜x＜2}；根据集合中元素的无序性可知，{1，2}与{2，1}是同一个集合.故选A、D.
7.{－1，1，3，5}　解析：集合中的元素满足x＝2m－3，m＜5，m∈N*，则m可取值为1，2，3，4，则满足条件的x值为－1，1，3，5.则集合用列举法表示为{－1，1，3，5}.
8.{2，1，0}　解析：将x＝－2，－1，0，1分别代入y＝｜x｜中，得到y＝2，1，0，故Q＝{2，1，0}.
9.{（1，－1），（－2，2）}　解析：由方程组可得或所以方程组的解集是{（1，－1），（－2，2）}.
10.解：（1）方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x｜x（x2－2x－3）＝0}.
（2）由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q｜2＜x＜6}.
（3）题图中阴影部分的点（含边界）的集合可表示为（x，y）｜0≤x≤，0≤y≤1.
11.D　A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；B中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－11，…；C中t＝0时，x＝－3，不属于给定的集合；只有D是正确的.
12.A　对于选项A，因为xy＞0，所以或所以集合{（x，y）｜xy＞0}表示平面直角坐标系内第一、三象限的点的集合，故A正确.对于选项B，方程x2－4＝0的解集为{2，－2}，故B错误.对于选项C，集合{（x，y）｜y＝x}表示直线y＝x上的点，集合{x｜y＝x}表示函数y＝x中x的取值范围，故集合{（x，y）｜y＝x}与{x｜y＝x}不相等，故C错误.对于选项D，A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}＝{－1，0，1}，所以－0.1 A，故D错误.故选A.
13.AD　对于A，当x＝，y＝时，由得k＝1，满足题意，故A正确；对于B，当x＝，y＝时，由可知无解，不满足题意，故B错误；对于C，当x＝3，y＝4时，由可知无解，不满足题意，故C错误；对于D，当x＝4，y＝3时，由得k＝12，满足题意，故D正确.故选A、D.
14.解：（1）它们是互不相等的集合.
（2）集合A＝{x｜y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R；
集合B＝{y｜y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1.
集合C＝{（x，y）｜y＝x2＋1}的代表元素是（x，y），是抛物线y＝x2＋1上的点.
15.不是　{1，2，}（答案不唯一）
解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若集合中有三个元素，则必有一个元素的倒数是它本身，故可取的集合有{1，2，}，{－1，3，}等.
16.解：对于集合A，B，因为x∈N，∈N，
所以当x＝1时，a＝＝1；
当x＝7时，a＝＝3；
当x＝9时，a＝＝9.
所以A＝{1，7，9}，B＝{1，3，9}.
所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1，9}.
2 / 2(共56张PPT)
第2课时　集合的表示
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
语言是人与人之间相互交流的一种方式，同样的祝福又有着不同的
表示方法.例如，简体中文中的“生日快乐”，繁体中文为“生日快
樂”，英文为“Happy Birthday”……
【问题】　对于一个集合，有哪些不同的表示方法呢？
知识点一　列举法
　把集合的所有元素 出来，并用花括号“{　　}”括起
来表示集合的方法叫做列举法.
提醒　用列举法表示集合的注意点：①元素间用“，”隔开；②集合
的“{}”已包含“所有”“全体”的意思，比如{整数}，即代表整数
集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼.
一一列举　
知识点二　描述法
　设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P （ x ）的元素
x 所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法
称为描述法.
提醒　用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符
号，如{ x ｜ x ＞1}不能写成{ x ＞1}；②不能出现未被说明的字母，如
{ x ∈Z｜ x ＝2 m }中 m 未被说明；③所有描述的内容都要写在花括号
内，如“{ x ∈Z｜ x ＝2 m }， m ∈N*”不符合要求.
{ x ∈ A ｜ P （ x ）}　
1. 方程 x2－4 x ＋3＝0的所有实数根组成的集合为（　　）
A. {1，3} B. {1}
C. { x2－4 x ＋3＝0} D. { x ＝1， x ＝3}
解析： 由 x2－4 x ＋3＝0，得 x ＝1或 x ＝3，∴用列举法表示实
数根组成的集合为{1，3}.
2. 不等式4 x －5＜3的解集用集合表示为 .
解析：由4 x －5＜3得 x ＜2.所以不等式4 x －5＜3的解集用集合表
示为{ x ｜ x ＜2}.
3. 由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为
，用描述法表示为 .
解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集
合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用 x 表示代表元素，其满
足的条件是 x ∈N且－1＜ x ＜5.故用描述法表示集合为{ x ∈N｜－1
＜ x ＜5}.
{ x ｜ x ＜2}　
{0，1，2，
3，4}　
{ x ∈N｜－1＜ x ＜5}　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用列举法表示集合
【例1】　用列举法表示下列集合：
（1）方程（ x －1）2（ x －2）＝0的解组成的集合；
解： 方程（ x －1）2（ x －2）＝0的解为1或2，因此用列举
法表示为{1，2}.
（2）“Welcome”中的所有字母构成的集合；
解： 由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m
共6个元素，因此用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}.
（3）函数 y ＝2 x －1的图象与坐标轴交点组成的集合.
解： 函数 y ＝2 x －1的图象与 x 轴的交点为 ，与 y 轴
的交点为（0，－1），因此用列举法表示为 .
通性通法
用列举法表示集合的3个步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
提醒　二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点
的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”
隔开.
【跟踪训练】
1. 若集合 A ＝{（1，2），（3，4）}，则集合 A 中元素的个数是
（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　集合 A ＝{（1，2），（3，4）}中有两个元素（1，2）
和（3，4）.
2. 用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
解： 因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等
于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，
10}.
（2）方程 x2＝2 x 的所有实数解组成的集合；
解： 方程 x2＝2 x 的解是 x ＝0或 x ＝2，所以方程的解组
成的集合为{0，2}.
（3）直线 y ＝－3 x ＋12上所有满足 x ∈N*， y ∈N*的点所组成
的集合.
解： 当 x ＝1时， y ＝9；当 x ＝2时， y ＝6；当 x ＝3时，
y ＝3，所以在直线 y ＝－3 x ＋12上满足 x ∈N*， y ∈N*的所有
点组成的集合为{（1，9），（2，6），（3，3）}.
题型二 用描述法表示集合
【例2】　用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合；
解： 根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为
{ x ｜ x ＝3 n ＋1， n ∈N}.
（2）坐标平面内第一象限的点的集合；
解： 第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可
表示为{（ x ， y ）｜ x ＞0， y ＞0}.
（3）大于4的所有偶数.
解： 偶数可表示为2 n ， n ∈Z，又因为大于4，故 n ≥3，
从而用描述法表示此集合为{ x ｜ x ＝2 n ， n ∈Z且 n ≥3}.
通性通法
用描述法表示集合的2个步骤
【跟踪训练】
　选择适当的方法表示下列集合：
（1）大于1且小于8的有理数；
解： 大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{ x
∈Q｜1＜ x ＜8}.
（2）不等式2 x －3＜5的解组成的集合；
解： 不等式2 x －3＜5的解组成的集合可表示为{ x ｜2 x －3
＜5}，即{ x ｜ x ＜4}.
（3）二次函数 y ＝ x2＋2 x －10的图象上所有的点组成的集合.
解： 二次函数 y ＝ x2＋2 x －10的图象上所有的点组成的集
合中，代表元素为点（ x ， y ），其中 x ， y 满足 y ＝ x2＋2 x －
10，由于点有无数个，则用描述法表示为{（ x ， y ）｜ y ＝ x2＋
2 x －10}.
题型三 集合表示法的应用
【例3】　集合 A ＝{ x ｜ kx2－8 x ＋16＝0}，若集合 A 中只有一个元
素，求实数 k 的值组成的集合.
解：（1）当 k ＝0时，方程 kx2－8 x ＋16＝0变为－8 x ＋16＝0，解得 x
＝2，即 A ＝{2}，满足题意；
（2）当 k ≠0时，要使集合 A ＝{ x ｜ kx2－8 x ＋16＝0}中只有一个元
素，则方程 kx2－8 x ＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64 k
＝0，解得 k ＝1，此时集合 A ＝{4}，满足题意.
综上所述， k ＝0或 k ＝1，故实数 k 的值组成的集合为{0，1}.
【母题探究】
1. （变条件）若集合 A 中有两个元素，求 k 的取值范围.
解：由题意得
解得 k ＜1，且 k ≠0.
2. （变条件）若集合 A 中至多有一个元素，求 k 的取值范围.
解：（1）当集合 A 中只含有一个元素时，由例题知， k ＝0或 k
＝1；
（2）当集合 A 中没有元素时，方程 kx2－8 x ＋16＝0无解，即
解得 k ＞1.
综上，实数 k 的取值集合为{ k ｜ k ＝0或 k ≥1}.
3. （变设问）在本例条件下，是否存在实数 k 使集合 A 与集合{1}相
等？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.
解：若 A ＝{1}，则1∈ A ，
∴ k －8＋16＝0，即 k ＝－8.
又当 k ＝－8时，－8 x2－8 x ＋16＝0，
即 x2＋ x －2＝0，
解得 x ＝1或 x ＝－2，
此时 A ＝{1，－2}，与 A ＝{1}矛盾，
故不存在实数 k 使集合 A 与集合{1}相等.
通性通法
集合与方程的综合问题的解题策略
（1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合
中的元素就是方程的实数根；
（2）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参
数的值或范围，必要时要分类讨论；
（3）求出参数的值或范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性.
【跟踪训练】
　已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ b ＝0}，若 A ＝{2，3}，则 a ＝ ，
b ＝ .
解析：由 A ＝{2，3}，知方程 x2－ ax ＋ b ＝0的两根为2，3，由根与系
数的关系得因此 a ＝5， b ＝6.
5　
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1. 用列举法表示集合{ x ∈N｜ x －3＜2}，正确的是（　　）
A. {1，2，3，4} B. {1，2，3，4，5}
C. {0，1，2，3，4，5} D. {0，1，2，3，4}
解析： 　解不等式得 x ＜5，又 x ∈N，∴ x 是小于5的自然数，
∴表示为{0，1，2，3，4}.
2. 集合{（ x ， y ）｜ y ＝2 x －1}表示（　　）
A. 方程 y ＝2 x －1
B. 点（ x ， y ）
C. 平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D. 一次函数 y ＝2 x －1图象上的所有点组成的集合
解析： 　本题中的集合是点集，其表示一次函数 y ＝2 x －1图象
上的所有点组成的集合.故选D.
3. （多选）下面四个说法正确的是（　　）
A. 10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}
B. 由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}
C. 方程 x2－2 x ＋1＝0的解集是{1，1}
D. 0与{0}表示同一个集合
解析： 　10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A说法
正确；由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，1，2}相等，且都
可以表示由1，2，3组成的集合，故B说法正确；方程 x2－2 x ＋1＝
0的解集应为{1}，故C说法错误；由集合的表示方法知“0”不是
集合，故D说法错误.故选A、B.
4. 用适当的方法表示下列集合：
（1）一年中有31天的月份的全体；
解： {1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.
（2）大于－3.5且小于12.8的整数的全体；
解： {－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，
9，10，11，12}或{ x ∈Z｜－3.5＜ x ＜12.8}.
（3）2022年冬奥会的主办城市组成的集合.
解： 北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可
以用列举法表示为{北京，张家口}.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 A ＝{ x ｜ x ≥2 }， a ＝3，下列各式正确的是（　　）
A. 0∈ A B. a A
C. a ∈ A D. － a ∈ A
解析： 　集合 A ＝{ x ｜ x ≥2 }，∵ a ＝3，3＞2 ，∴ a ∈ A .
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2. 下列集合恰有两个元素的是（　　）
A. { x2－ x ＝0} B. { x ｜ y ＝ x2－ x }
C. { y ｜ y2－ y ＝0} D. { y ｜ y ＝ x2－ x }
解析： 　A表示只有一个方程 x2－ x ＝0的集合；B表示函数 y ＝ x2
－ x 中自变量的取值集合，有无数个元素；C表示方程 y2－ y ＝0的
所有实数根组成的集合，有0，1两个元素；D表示函数 y ＝ x2－ x 的
函数值的取值集合，有无数个元素.
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3. 下列集合中表示同一集合的是（　　）
A. P ＝{（3，2）}， Q ＝{（2，3）}
B. P ＝{2，3}， Q ＝{3，2}
C. P ＝{（ x ， y ）｜ x ＋ y ＝1}， Q ＝{ y ｜ x ＋ y ＝1}
D. P ＝{2，3}， Q ＝{（2，3）}
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解析： 　选项A中的集合 P 是只含有一个点（3，2）的点集，集
合 Q 是只含有一个点（2，3）的点集，故集合 P 与 Q 不是同一个集
合；选项C中的集合 P 是由一次函数 y ＝1－ x 图象上的所有点组成
的集合，集合 Q 是由一次函数 y ＝1－ x 图象上的所有点的纵坐标组
成的集合，即 Q ＝{ y ｜ x ＋ y ＝1}＝R，故集合 P 与 Q 不是同一个
集合；选项D中的集合 P 是数集，而集合 Q 是点集，故集合 P 与 Q
不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知 P ，
Q 表示同一个集合.
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4. 设集合 A ＝{－1，0，1，2，3，4}， B ＝{ x ｜ x ∈ A 且2 x ∈ A }，则
集合 B 中元素的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析： 　由于集合 A ＝{－1，0，1，2，3，4}， B ＝{ x ｜ x ∈ A
且2 x ∈ A }，因为0∈ A 且2×0∈ A ，1∈ A 且2×1∈ A ，2∈ A 且
2×2∈ A ，所以 B ＝{0，1，2}.故集合 B 中元素的个数为3.
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5. 由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　　）
A. { x ∈Z｜－3＜ x ＜11}
B. { x ｜－3＜ x ＜11}
C. { x ｜－3＜ x ＜11， x ＝2 k }
D. { x ｜－3＜ x ＜11， x ＝2 k ， k ∈Z}
解析： 　由题意可知，满足题设条件的只有选项D.
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6. （多选）下列命题中正确的是（　　）
A. 集合{ x ∈R｜ x2＝1}中有两个元素
B. 集合{0}中没有元素
D. {1，2}与{2，1}是同一个集合
解析：AD　{ x ∈R｜ x2＝1}＝{1，－1}；集合{0}中有一个元素，
这个元素是0；{ x ｜ x ＜2 }＝{ x ｜ x ＜ }， ＞ ，故
{ x ｜ x ＜2 }；根据集合中元素的无序性可知，{1，2}与
{2，1}是同一个集合.故选A、D.
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7. 集合{ x ｜ x ＝2 m －3， m ＜5， m ∈N*}，用列举法表示为
.
解析：集合中的元素满足 x ＝2 m －3， m ＜5， m ∈N*，则 m 可取
值为1，2，3，4，则满足条件的 x 值为－1，1，3，5.则集合用列
举法表示为{－1，1，3，5}.
{－1，
1，3，5}　
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8. 已知集合 P ＝{－2，－1，0，1}，集合 Q ＝{ y ｜ y ＝｜ x ｜， x ∈
P }，则 Q ＝ .
解析：将 x ＝－2，－1，0，1分别代入 y ＝｜ x ｜中，得到 y ＝2，
1，0，故 Q ＝{2，1，0}.
{2，1，0}　
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9. 方程组的解集是 .
解析：由方程组可得或所以方程
组的解集是{（1，－1），（－2，2）}.
{（1，－1），（－2，2）}　
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10. 选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程 x （ x2－2 x －3）＝0的所有实数根组成
的集合；
解： 方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举
法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{ x ｜ x （ x2－2 x －3）＝0}.
（2）大于2且小于6的有理数；
解： 由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{ x ∈Q｜2＜ x ＜6}.
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（3）图中阴影部分的点（含边界）的集合.
解： 题图中阴影部分的点（含边界）的集合可表示为
.
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11. 对集合{1，5，9，13，17}用描述法表示，其中正确的是（　　）
A. { x ｜ x 是小于18的正奇数}
B. { x ｜ x ＝4 k ＋1， k ∈Z，且 k ＜5}
C. { x ｜ x ＝4 t －3， t ∈N，且 t ≤5}
D. { x ｜ x ＝4 s －3， s ∈N*，且 s ≤5}
解析： 　A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，
7，11，15；B中除给定集合中的元素外，还有－3，－7，－
11，…；C中 t ＝0时， x ＝－3，不属于给定的集合；只有D是正
确的.
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12. 下列说法正确的是（　　）
A. 在平面直角坐标系内，第一、三象限的点的集合为{（ x ， y ）｜
xy ＞0}
B. 方程 x2－4＝0的解集为{（－2，2）}
C. 集合{（ x ， y ）｜ y ＝ x }与{ x ｜ y ＝ x }相等
D. 若 A ＝{ x ∈Z｜－1≤ x ≤1}，则－0.1∈ A
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解析： 　对于选项A，因为 xy ＞0，所以或所
以集合{（ x ， y ）｜ xy ＞0}表示平面直角坐标系内第一、三象限
的点的集合，故A正确.对于选项B，方程 x2－4＝0的解集为{2，
－2}，故B错误.对于选项C，集合{（ x ， y ）｜ y ＝ x }表示直线 y
＝ x 上的点，集合{ x ｜ y ＝ x }表示函数 y ＝ x 中 x 的取值范围，故
集合{（ x ， y ）｜ y ＝ x }与{ x ｜ y ＝ x }不相等，故C错误.对于选
项D， A ＝{ x ∈Z｜－1≤ x ≤1}＝{－1，0，1}，所以－0.1 A ，
故D错误.故选A.
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13. （多选）下列选项中是集合 A ＝{（ x ， y ）｜ x ＝ ， y ＝ ， k
∈Z}中的元素的是（　　）
C. （3，4） D. （4，3）
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解析： 对于A，当 x ＝ ， y ＝ 时，由得 k ＝1，满足题意，故A正确；对于B，当 x ＝ ， y ＝ 时，由可知无解，不满足题意，故B错误；对于C，当 x ＝3， y ＝4时，由可知无解，不满足题意，故C错误；对于D，当 x ＝4， y ＝3时，由得 k ＝12，满足题意，故D正确.故选A、D.
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14. 下列三个集合：
① A ＝{ x ｜ y ＝ x2＋1}；
② B ＝{ y ｜ y ＝ x2＋1}；
③ C ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x2＋1}.
（1）它们是不是相等的集合？
解： 它们是互不相等的集合.
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（2）它们各自的含义分别是什么？
解： 集合 A ＝{ x ｜ y ＝ x2＋1}的代表元素是 x ，且 x ∈R；
集合 B ＝{ y ｜ y ＝ x2＋1}的代表元素是 y ，满足条件 y ＝ x2＋
1的 y 的取值范围是 y ≥1.
集合 C ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x2＋1}的代表元素是（ x ， y ），
是抛物线 y ＝ x2＋1上的点.
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解析：由于2的倒数 不在集合 A 中，故集合 A 不是可倒数集.若集
合中有三个元素，则必有一个元素的倒数是它本身，故可取的集
合有{1，2， }，{－1，3， }等.
不是　
{1，2， }（答案不唯
一）　
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16. 已知集合 A ＝{ x ∈N｜ ∈N}， B ＝{ a ∈N｜ a ＝ ， x
∈N}，试问集合 A 与 B 有几个相同的元素？并写出由这些相同元
素组成的集合.
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解：对于集合 A ， B ，因为 x ∈N， ∈N，
所以当 x ＝1时， a ＝ ＝1；
当 x ＝7时， a ＝ ＝3；
当 x ＝9时， a ＝ ＝9.
所以 A ＝{1，7，9}， B ＝{1，3，9}.
所以集合 A 与 B 有2个相同的元素，集合 A ， B 的相同元素组成的
集合为{1，9}.
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谢 谢 观 看！

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