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(共20张PPT)
2.8 直角三角形全等的判定
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
知识与技能目标
重点应用HL定理：明确“斜边和直角边对应相等（HL）”是直角三角形特有的判定方法，并能用规范的几何语言书写证明过程。
过程与方法目标
探究推理能力：通过画图、剪拼等实践活动，探索直角三角形全等的条件，体会数学猜想与验证的过程。
情感态度与价值观目标
严谨性培养：感受几何证明的严密性，养成步步有据的数学表达习惯。
应用意识：体会直角三角形全等在实际问题（如测量、建筑）中的应用价值，增强学习兴趣。
课堂导入
"工人师傅为什么用三角尺就能判断窗框垂直？测量员仅用直角仪和一条边的长度如何确定距离？这背后的数学原理是什么？"
旧知复习
一般三角形全等的判定方法有哪些？
AAS
ASA
SAS
SSS
直角三角形作为特殊三角形，是否可以用更简化的条件判定全等？
观察三角尺：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等（如两把相同三角尺），它们是否一定全等？
新知探究
课堂活动：画图验证HL定理
步骤1：每人画一个直角三角形△ABC，使∠C=90°，AC=5cm，AB=10cm。
10cm
5cm
步骤2：同桌交换图纸，尝试画出另一个△DEF，满足∠F=90°，DF=5cm，DE=10cm。
5cm
10cm
步骤3：剪下三角形重叠比较，观察是否完全重合。
新知探究
已知：如图所示，在△ACB和△A'C'B'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'。
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'
因为 AC＝A'C'，所以可考虑以 AC 为一边作一个直角三角形，使它和 Rt△A'B'C'全等，然后只要证明所作的直角三角形和Rt△ABC全等。
证明：如图，延长 BC至D，使 CD＝B'C'，连结AD。
由AC＝A'C'，∠ACD＝90°＝∠C'，得△ADC≌△A'B'C'（ SAS），
∴AD＝A'B'，∵A'B'＝AB，∴AD＝AB。
又∵AC⊥BD，AC是等腰三角形ABD的高线，
∴BC＝CD。而AC＝AC（公共边），
可得△ADC ≌△ABC（SSS），所以△ABC ≌△A'B'C'。
直角三角形全等的判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” “HL”）。
例1. 在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB'N之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（ ）
典例分析
A ．SAS B．AAS C．ASA D．HL
D
小宏第一步为截取BC=B'C'
小宏第二步为作线段AC=A'C'
变式训练
用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取ON=OM，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的理由是（ ）
D
A ．SAS B．AAS C．ASA D．HL
例2 如图，AD，BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN∥AM，与BC交于点N，BN=CM．求证：∠B=∠C．
典例分析
根据AM⊥BC于点M，DN∥AM得∠AMB=∠DNC=90°。根据BN=CM得BM=CN,进而可依据“HL”判定Rt△ABM和Rt△DCN全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论。
证明：∵AM⊥BC于点M，DN∥AM
∴∠AMB=∠DNC=90°
∵BN=CM，∴BN+MN=CM+MN
∴BM=CN
在Rt△ABM和Rt△DCN中
∴Rt△ABM≌Rt△DCN(HL),∴∠B=∠C
变式训练
如图，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，连接BD、CD和AD，DB=DC．求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F
∴∠BED=∠CFD=90°
又∵BE=CF，BD=DC,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴DE=DF
∵DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC
∴点D在∠BAC的平分线上
∴AD是∠BAC的平分线
先证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，得到DE=DF，再根据角平分线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键
例3 已知：如图所示，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。
做一做
证明：如图，作射线OP。由PD⊥OA，PE⊥OB，
可得∠PDO＝∠PEO＝90°。∵OP＝OP，PD＝PE，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
∴∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上（角平分线的定义）。
如图所示，要证明点P在∠AOB的平分线上，可以转化为证明射线OP平分∠AOB。
1
2
角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
课堂练习
1．如图，能用“”判定和全等的条件是（ ）
A
A．AC=A'C' AB=A'B' B．∠A=∠A' AB=A'B'
C．AC=A'C' BC=B'C' D．∠B=∠B' BC=B'C'
HL
已知条件结合∠C=∠C',运用“AAS”得到全等
已知条件结合∠C=∠C',运用“SAS”得到全等
已知条件结合∠C=∠C',运用“ASA”得到全等
课堂练习
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，且AE=AC，若BC=7，则DE+BD的值为（ ）
A .14 B . 12 C . 9 D . 7
D
证明Rt△ADE≌Rt△ADC(HL),得到DE=DC，即可求出DE+BD=DC+BD=BC=7
解：∵∠C=90°，DE⊥AB于点E，
∴△ADE、△ADC都是直角三角形
∵AE=AC，AD=AD
∴Rt△ADE≌Rt△ADC(HL),∴DE=DC
∴DE+BD=DC+DB=BC=7
课堂练习
3．如图，一架梯子斜靠在竖直的墙体上，梯子底部B到墙角C的距离为1m．若梯子底部B沿水平方向向右滑动至点D，梯子顶部A落在竖直墙体的点E处，此时梯子与水平地面的夹角∠EDC=32°，点到墙角的距离为1m，则∠AOE的度数为_________．
根据题意证明△ABC≌△DEC(HL)，得到∠BAC=∠EDC=32°，根据直角三角形的性质得到∠DEC=90°-∠EDC=58°，得到∠AOE=∠DEC-∠BAC=58°-32°=26°
解：根据题意得BC=CE=1m,AB=DE
∵∠C=∠C=90°，∴△ABC≌△DEC(HL)
∴∠BAC=∠EDC=32°
∵∠C=90°，∴∠DEC=90°-∠EDC =58°
∴∠AOE=∠DEC-∠BAC=58°-32°=26°
26°
课堂练习
4 .如图，点E在△ABC的边BC上，D为线段BC上方一点，连接DE，DB，且AC=BE，AB=BD，∠ACB=∠BED=90°，若∠1=28°，则∠2的度数为__________．
利用HL证明RtACB≌Rt△BED，得到∠A=∠2，再利用三角形内角和定理求解即可
解：∵AC=BE，AB=BD，∠ACB=∠BED=90°
∴RtACB≌Rt△BED（HL）
∴∠A=∠2,
∵∠1=28°，∴∠A=180°-90°-28°=62°
∴∠2=∠A=62°
62°
课堂练习
5.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠ABC=25°，则∠DFE的度数为______．
利用HL证明Rt△ABC和Rt△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF=∠ABC，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得
解：∵在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠DEF=∠ABC=25°
∴∠DFE=90°-25°=65°
课堂练习
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，EC⊥于C，且AB=BE=AC，CD=CE，求证：Rt△ABD≌
Rt△BEC．
解：∵AB=AC，AD⊥BC，CD=CE
∴BD=CD=CE，∵EC⊥BC
∴∠ADB=∠BCE=90°
在Rt△ABD和Rt△BCE中，
∴Rt△ABD≌Rt△BEC（HL）
先根据等腰三角形的三线合一性质得到BD=CD=CE，然后利用HL证明三角形全等即可
课堂练习
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF=AC，DF=DC．
证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°
在△BDF和△ADC中，,∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
(1)求证：△BDF≌△ADC
(2)若AF=6，FD=2，试求△ABC的面积
解：∵Rt△BDF≌Rt△ADC
∴AD=BD=AF+FD
∵AF=6，FD=2，DF=DC
∴BD=AD=8，BC=BD+CD=8+2=10
∴
课堂小结
普通三角形全等判定中没有“边边角（SSA）”，但直角三角形中，斜边与直角边构成的“SSA”即HL定理成立。
因直角固定了三角形的形状，确保唯一性。
HL定理的独特性
内容：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则它们全等。
特点：
直角三角形独有的判定方法，普通三角形不适用。
本质是“边边角（SSA）”在直角三角形中的特例（因直角固定了三角形的形状）。关系推直角”。
②必须验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。
斜边-直角边定理（HL）
01
03
04
02
感谢聆听!

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