资源简介

2.7探索勾股定理
（第1课时）
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解勾股定理的本质与几何证明
掌握定理内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
通过拼图法（如赵爽弦图）、面积割补法等直观方式，理解定理的几何推导过程。
熟练计算直角三角形的边长
已知任意两边，能准确求出第三边（注意区分斜边与直角边）。
解决含特殊比例的直角三角形问题（如3:4:5，5:12:13等常见勾股数）。
应用勾股定理解决实际问题
应用勾股定理解决实际问题
课堂导入
小明家装修时需要将一幅2.5米宽的画斜着搬进房间，门框的宽度是2米，高度是1.5米。他能成功搬进去吗？"
1.5米
斜边
2.5米
斜边
"直角三角形的三条边之间是否存在某种数量关系？"
2米
新知探究
剪四个全等的直角三角形纸片（图 2-34），把它们按图 2-35放入一个边长为c的正方形中。这样就拼成了一个形如图2-35的图形。
同学们自己动手拼一拼
新知探究
设剪出的直角三角形纸片的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c。分别计算图 2-35中的蓝色部分的面积和大、小两个正方形的面积。
a
b-a
小正方形的面积：（b-a）2
蓝色部分面积：2ab
大正方形的面积：c2
新知探究
比较图2-35中蓝色部分和大、小两个正方形的面积，你发现了什么？
大正方形的面积=蓝色部分的面积+小正方形的面积
c2=2ab+（b-a）2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2
所以c2=a2+b2
一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系： 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么c2=a2+b2
古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质也称为勾股定理。
a
b
c
例1. 已知：a，b，c满足|?????????????|+?????????+（?????????????）????=????．
（1）求a、b、c的值；
（2）请判断以a、b、c为边构成的△ABC的形状，并说明理由
?
典例分析
几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求解即可
（1）解：|?????????????|+?????????+（?????????????）????=????，
|a-12|=0,?????????=????，?????????????????=????
|?????????????|=?????????=（?????????????）????=????，
∴a-12=0，b-5=0，c-13=0，a=12，b=5,c=13
?
本题主要考查的是绝对值、平方以及二次根式的非负性
例1. 已知：a，b，c满足|?????????????|+?????????+（?????????????）????=????．
（1）求a、b、c的值；
（2）请判断以a、b、c为边构成的△ABC的形状，并说明理由
?
典例分析
根据（1）所求可证明a2+b2=c2，则可证明直角三角形
（2）解：以a、b、c为边构成的△ABC是直角三角形，理由如下：a=12，b=5，c=13
∴a2+b2=122+52=144+25=169，c2=132=169
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形
本题主要考查利用勾股定理判断直角三角形
变式训练
已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c。
（1）若a＝1，b＝2，求c；
（2）若a＝15，c＝17，求b。
根据勾股定理得：a2+b2=c2
因为a＝1，b＝2，所以代入得c=±????，因为c＞0,所以c=????
?
根据勾股定理b2=c2-a2，因为a=15,c=17,所以代入得b=±8，∵b＞0，所以c=8
例2 如图，已知矩形OABC的边OA在数轴的正半轴上，O为原点，BC=3，AB=1，连接OB，以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为 .
典例分析
根据矩形的性质，可以得到∠OAB=90°，OA=BC=3，然后根据勾股定理可以得到OB的长，从而可以得到OD的长
解：∵四边形OABC是矩形，BC=3，∴∠OAB=90°，OA=BC=3
∵AB=1，∴OB=????????????+(????????)????=????????，∴OD=OB=????????
?
????????
?
变式训练
如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为 _____________ ．
解：由图知，∠AOD=90°，∴△AOD是直角三角形，∵OA=1，OD=3，∴AD=????????+????????=????????，∴N点所表示的数为：????+????????
?
????????
?
例3 一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角0.7米（即AO=0.7m），由于楼梯滑动，底部滑动了1.3米（即AD=1.3米），楼梯的高度为2.5米（即AB=2.5m），则楼梯下滑了________米．（即求BC的长）．
典例分析
解：在Rt△AOB中，BO=?????????????????????????=????.?????????????.????????=2.4
在Rt△COD中，CO=?????????????????????????=????.?????????(????.????+????.????)????=1.5
∴BC=BO-CO=2.4-1.5=0.9米
?
根据勾股定理分别求得BO、CO的长，根据BC=BO-CO，即可求解
0.9
变式训练
《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为___________．
x
x-2
x-4
解：如图所示，根据题意可知，门高为（x-2）尺，门宽为（x-4）尺
由勾股定理，得（x-2）2+（x-4）2=x2
（x-2）2+（x-4）2=x2
课堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．分别以点A和点B为圆心，大于????????AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点，作直线PQ与AB相交于点D，连接CD．若AC=2，BC=4，则CD的长为 。
?
????
?
根据题意得出PQ是线段AB的垂直平分线，再由勾股定理确定AB=????????，即可求解
?
解：由已知可得：PQ是线段AB的垂直平分线，
∵∠ACB=90°，AC=2,BC=4
∴????????=????????????+????????????=????????
∴CD=????????AB=????
?
课堂练习
2.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以t△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为????????，????????，????????，且????????=4，????????=????????．则????????=（??? ??）
?
A .5 B . 12 C . 15 D . 16
D
本题主要考查了勾股定理，掌握直角三角形的三边关系是解答本题的关键，根据勾股定理和正方形的面积公式计算即可
解：∵如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴AB2=AC2+BC2
∵????????=BC2=4，????????=AC2，????????=AB2=20
∴????????=AC2=AB2-BC2=????????-????????=20-4=16
?
课堂练习
3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、E均在网格格点（网格线的交点）上，以点B为圆心，BE长为半径画弧交AC所在的网格线于点F，连接BF，则AF的长为______．（结果保留根号）
先根据网格和作图可知AB=3,BE=4，∠BAC=90°，BF=BE=4，再利用勾股定理求解即可
解：由网格可知，AB=3，BE=4，∠BAC=90°
由作图可知，BF=BE=4，
则AF=?????????????????????????=?????????????????=????
?
????
?
课堂练习
4 .如图，某会展中心在会展期间准备将高7m，长25m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱．
本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确所铺地毯的 长是直角三角形两边直角边的和，利用勾股定理求出长度，再求出面积并计算费用
解：由勾股定理得，楼道的水平宽度为?????????????????????=????????m
因为所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和 ，即24+7=31m
地毯的面积为31×2=62m2
总费用62×20=1240（元）
?
1240
课堂练习
5.如图，将长为4cm，宽为2cm的长方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，压平后得到折痕MN．则线段CN的长为______．
由折叠性质可知BN=NE，设NC=xcm，则BN=EN=(4-x)cm，利用勾股定理CN2+EC2=EN2，可以求出最后结果
解：∵E为CD中点
∴EC=????????×2=1
由折叠的性质可知：BN=NE
设NC=xcm，则BN=EN=(4-x)cm
在Rt△ECN中，CN2+EC2=EN2
∴x2+12=（4-x）2
解得：x=????????????
?
????????????
?
课堂练习
6．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”）
解：甲的结果为：（????+????）????=????????+????????+????×????????????????=????????+????????+????????????，不符合题意
乙的结果为：（????+????）?????????×??????????????=????????，符合题意
?
乙
课堂练习
7．业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，∠EDC=90°，DC=30米，CE=50米，BD=70米，AB=80米，AE=10米，求四边形ABDE的面积．
解：连接BE，在Rt△DCE中，由勾股定理得：
DE=?????????????????????????=?????????????????????????=????????(米)
在Rt△BDE中，由勾股定理得
BE2=DB2+DE2=702+402=6500
在△ABE中，
∵AB2+AE2=802+102=6500=BE2
∴△ABE是直角三角形，且∠A=90°
∴四边形ABDE的面积=?????????????????+?????????????????=????????×????????×????????+????????×????????×????????=????????????????(平方米)
?
课堂小结
求边长：已知直角三角形的任意两边，能求出第三边（注意区分直角边和斜边）。
实际建模：解决梯子靠墙、航海距离、旗杆高度等现实问题，建立直角三角形模型。
勾股定理的实际应用
定理表述：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
几何意义：直角三角形的三边关系，体现为以三边为边长的正方形面积关系。
适用条件：仅适用于直角三角形，非直角三角形不能直接套用。
勾股定理的基本内容
赵爽弦图法：通过四个全等的直角三角形拼合成一个大正方形，利用面积关系证明定理。
面积割补法：通过不同方式计算同一图形的面积
勾股定理的几何证明方法
01
03
04
02
感谢聆听!

展开更多......

收起↑