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2.6直角三角形
（第2课时）
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解互余角与直角三角形的关系
能准确表述判定定理：“若一个三角形中有两个角互余，则它是直角三角形”。
理解该定理与三角形内角和定理（180°）的逻辑关联，即第三个角必然为90°。
应用判定定理解决几何问题
在已知三角形中两个角的度数（或代数关系）时，能快速判断是否为直角三角形。
结合平行线、角平分线等条件，推导角的关系并应用判定定理。
培养逆向思维与严谨逻辑
强调证明过程的规范性（如先设∠A+∠B=90°，再推导∠C=90°）。
分析常见错误，如混淆“两角互余”与“两锐角之和小于90°”的非直角三角形情况。
课堂导入
"木匠王师傅需要制作一个直角三角架，但手头只有量角器。他测量了其中两个角分别是30°和60°，却忘记测量第三个角。他能确定这个三角架一定是直角三角形吗？"
思考1：已知两角，如何求第三个角？
思考2：30°+60°=90°，剩下的角是多少度？
今天我们就来学习，如何通过‘两角互余’这一特征，判定一个三角形是直角三角形。"
新知探究
拿出2个相同的直角三角板，将30°和60°的两个角拼在一起，用量角器量一下它们组成的角度是多少
课堂活动：折纸探秘
60°
30°
同学们在作业本上画出一个直角三角形，剪下它的两个锐角拼在一起，再用量角器量一下新角的角度
学生通过拼接发现：当两角拼成直角时，原三角形第三个角必为直角（因三个角之和为180°）。
直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=28°，点D在边AB上，将△ABC沿CD折叠，使得点B落在边AC上的点B'处，则∠ADB'的度数为 ．
典例分析
解：∵∠ACB=90°，∠A=28°
∴∠B=90°-∠A=62°
∵△CDB沿CD折叠得到△CDB'
∴∠DB'C=∠B=62°
∵∠DB'C是△ADB'的一个外角
∴∠ADB'=∠DB'C-∠A=62°-28°=34°
根据直角三角形的特征得∠B=62°，再根据折叠的性质得∠DB'C=62°，再根据三角形的外角的性质即可求解。
34°
变式训练
已知△ABC，∠A=90°，点D是AC上一点，要求用尺规在BC边上确定一点E，使得DE⊥BC．小明同学的作法如图所示，其说明直线DE是BC垂线的推理过程中，没有用到的依据是（ ）
D
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等量代换
C．两个锐角互余的三角形是直角三角形
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
解：∵∠A=90°，∴∠B+∠C=90°
若∠EDC+∠C=90°
∴∠EDC=∠B
∴∠DEC=90°，∴DE⊥BC
例2 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BD=AD，DF=DC．猜想BF与AC的关系，并说明理由
典例分析
通过证明△ADC≌△BDE，可得∠BFD=∠C，进而得∠CBE+∠BFD=∠CBE+∠C=90°，进而得∠BEC=90°，从而即可的解
解：∵BF=AC，BF⊥AC，理由如下
∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°
又∵在△ADC和△BDF中，,
∴△ADC≌△BDE（SAS），∴∠BFD=∠C，BF=AC
∵∠BDF=90°，∴∠CBE+∠BFD=∠CBE+∠C=90°
∴∠BEC=90°，∴BF⊥AC
变式训练
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE．求证：△AEM是直角三角形．
由AD是BC边上的高，得∠DMC+∠DCM=90°，再由∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME，即可得出结论成立
解：∵AD是BC边上的高
∴∠ADC=90°，
∴∠DMC+∠DCM=90°
∵∠DCM=∠MAE，∠DMC=∠AME
∴∠AME+∠MAE=90°
∴△AEM是直角三角形
例3 如图，点E、F分别在CD、AB上，连BE，CF，DF，BE⊥DF于点G，∠C=∠1．
典例分析
解：∵BE⊥DF，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°
∵∠C=∠1，∴∠C+∠D=90°，∴∠CFD=90°
（1）求∠CFD的度数；
（2）若∠2+∠D=90°，求证：AB∥CD
证明：∵BE⊥FD，，∴∠DGE=90°
∴∠1+∠D=90°，∵∠2+∠D=90°
∴∠1=∠2，∵∠C=∠1
∴∠2=∠C
∴AB∥CD
变式训练
如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A=∠2，∠1=∠B．
解：CD⊥AB，理由如下
∵∠A+∠B=90°，∠A=∠2
∴∠2+∠B=90°
∴∠CDB=90°，∴CD⊥AB
（1）判断△ABC的形状；
（2）判断CD是否与AB垂直；
解：△ABC是直角三角形，理由如下
∵∠A=∠2，∠1=∠B，∴∠A+∠2+∠1+∠B=180°
∴∠A+∠B=90°，∴∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形
课堂练习
1．小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（ ）
C
A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角45° D．两条直角边相等
两边相等是等腰三角形 ，A合适
一个角为直角的三角形是直角三角形，B适合
一个角45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，C不适合
两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形
课堂练习
2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD为边BC上的中线，∠B=32°，则∠CAD的度数为（ ）
A .58° B . 56° C . 54° D . 62°
A
首先根据三角形的“三线合一”的性质得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可
解：∵AB=AC，AD为BC边上中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=32°，∴∠BAD=58°
∴∠CAD=∠BAD=58°
课堂练习
3．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A .∠A=90° B . ∠A:∠B:∠C=3:4:5
C . ∠C=∠A+∠B D . ∠A+∠C=90°
B
∠A=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意
∠A:∠B:∠C=3:4:5时，最大的角∠C=×180°=75°，△ABC不是直角三角形
∠C=∠A+∠B，则∠C=×180°=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意
∠A+∠C=90°，则∠B=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意
课堂练习
4 .如图，是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B，C均在格点上，在图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹）
(1)在图中作四边形ABCD，且四边形ABCD是以直线AC为对称轴的轴对称图形；
(2)在图中作△ABC的边AB上的高CH．
解：如图所示
解：由网格特点可得∠ABE=∠CEF=90°，FE=BE,CE=AE，
∴△ABE≌△CFE（SAS）,∴∠B=∠CFE,
∵∠CFE+∠ECF=180°-∠CEF=90°，
∴∠B+∠BCH=90°，∴∠CHB=90°
∴CH⊥AB，∴CH是AB边上的高
D
H
F
E
课堂练习
5.如图，CD是△ABC的AB边上的中线，CD=AB，求证：△ABC是直角三角形．将下面证明的过程补充完整．
证明：∵CD是AB边上的中线（已知），
∴AD=BD= ( )
∵CD=AB，∴CD=AD
∴∠A=∠ ( )
同理，∠B=∠BCD，
∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°（ ）
∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=×180°=90°
∴△ABC是直角三角形（ ）
AB
中线的定义
ACD
等边对等角
三角形内角和等于180°
有2个角互余的三角形是直角三角形
课堂练习
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高．
解：∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB
∴图中有3个直角三角形，分别是△ACD、△BCD、△ABC
（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？
（2）∠2和∠A有什么数量关系？并说明理由
由题中已知条件∠ACB=90°，CD是高，可得到∠ADC、∠BDC、∠ACB都是直角
由（1）知△ACD、△BCD、△ABC
都是直角三角形，且∠ADC、∠BDC、∠ACB都是直角，∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，由此可得∠2=∠A
解：∵△ACD、△BCD、△ABC都是直角三角形，且∠ADC、∠BDC、∠ACB都是直角
∴∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°
∴∠2=∠A
课堂练习
7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠1=∠B．
解：∵∠ACB=90°，∠1+∠BCD=90°
∵∠1=∠B，∴∠B+∠BCD=90°
∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB
∴CD是△ABC的高
（1）试说明CD是△ABC的高
（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长
解：∵∠ACB=∠CDB=90°
∴
∵AC=8，BC=6，AB=10
∴
课堂小结
这是“直角三角形两锐角互余”性质的逆命题
原命题：直角三角形 → 两锐角互余。
逆命题：两锐角互余 → 直角三角形。
逆命题与判定
内容：若两个角的和为90°，则称这两个角互余。
示例：在△ABC中，若∠A + ∠B = 90°，则∠A与∠B互余。
互余角的定义
内容：任意三角形的内角和为180°。若一个三角形中有两个角互余（和为90°），则第三个角为：180° - (∠A + ∠B) = 180° - 90° = 90°。
结论：
第三个角是直角，因此该三角形是直角三角形。
三角形内角和定理的应用
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03
04
02
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