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2.6直角三角形
（第1课时）
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解直角三角形的定义
理解直角三角形的基本定义能运用定义判断直角三角形
掌握直角三角形的基本性质--角的性质
能证明"直角三角形的两个锐角互余"（即∠A + ∠B = 90°，其中∠C = 90°），并运用该性质计算角度或证明角的关系。
掌握直角三角形的基本性质--斜边中线性质
通过作图或推理，理解"斜边上的中线等于斜边的一半"的定理，并能解决相关问题。
课堂导入
观看下面的视频，你任务视频中的几何玫瑰花是由什么图形组成的呢？
几何玫瑰花是由无数的直角三角形组成
新知探究
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图为Rt△ABC
斜边
直角边
直角边
根据三角内角和180°可得∠B+∠C=90°，所以∠B和∠C互余
直角三角形有以下性质定理： 直角三角形的两个锐角互余。
例1 如图为一盏可调节台灯及其示意图，固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变，现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠DCE=40°，则∠BAO=__________．
典例分析
证明：延长CE交MN于L，延长BA交MN于K,如图
∵CD∥MN，∠DCE=40°，∴∠KLC=∠DCE=40°
∵CE∥BA,∴∠AKO=∠KLC=40°
∵AO⊥MN，∴∠AOK=90°，∴∠OAK=90°-40°=50°，∴∠BAO=180°-50°=130°
130°
K
L
变式训练
小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若∠1=70°，∠ABO=130°，则∠2=________．
考查了角的和差，直角三角形两个锐角互余，解题关键利用直角三角形两个锐角互余求相应角度，根据∠ABO=∠2+90°+（90°-∠1）求解
解：∵∠ABO=∠2+90°+（90°-∠1），∠1=70°，∠ABO=130°，∴130°=∠2+90°+（90°-70°），解得：∠2=20°
20°
新知探究
已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD＝CD。求证：AD＝CD。
证明：∵BD=CD，∴∠B=∠DCB
∵△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°
∴∠ACD=90°-∠DCB,∠A=90°-∠B
∴∠ACD=∠A
∴AD=DC
直角三角形还有以下性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例2 如图，一根木杆斜靠在竖直的墙AC上，∠BAC=32°，木杆的顶端A沿墙面下滑至A'位置，此时∠A'B'C=32°，CD，CD'分别是斜边AB，A'B'上的中线，则∠DCD'的度数为______．
典例分析
26°
根据直角三角形斜边中线的性质，可得CD'=B'D'，CD=AD,从而得到∠B'CD'=∠A'B'C=32°，∠ACD=∠BAC=32°，即可求解
解：∵CD，CD'分别是斜边AB，A'B'上的中线
∴CD'=B'D'，CD=AD，
∴∠B'CD'=∠A'B'C=32°，∠ACD=∠BAC=32°
∵∠ACB=90°
∴∠DCD'=∠ACB-∠B'CD'-∠ACD=26°
变式训练
如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM）垂直的墙(ON)上，在墙角（点O处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB）正中间（点P处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子的长度为4米，梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离_______（填“变大”或“变小”或“不变”）．
不变
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意，OP是Rt△AOB斜边上的中线，则AB=2OP，长度不变
解：根据题意知，点P是Rt△AOB斜边上的中点
∴OP是Rt△AOB斜边上的中线，则AB=2OP，
∵AB长度不变，∴OP长度不变
例3 已知：如图，∠BAC=∠BDC=90°，点E在BC上，点F在AD上，BE=EC，AF=FD．求证：EF⊥AD．
典例分析
连接AE、DE,先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得2AE=2DE=BC，再根据等腰三角形的三线合一可证。
证明：如图，连接AE、DE
∵BE=EC，∴点E是BC的中点，
∵∠BAC=∠BDC=90°
∴AE=????????BC，DE=????????BC
∴AE=DE，又∵AF=FD
∴EF⊥AD
?
变式训练
已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE，求证：CG=EG．
根据斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论
证明：如图所示，连接DE
∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴DE=AE=BE,
∵CD=AE,∴DE=CE,
∵DE⊥CE于G，∴CG=EG
课堂练习
1．如图，将三角板与直尺叠在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上， 其中EF∥HG，∠ACB=90° ，若∠2=55°， 则∠1的度数是（??????????）
A
A．35° B．40° C．45° D．55°
根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，求出∠FCD，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得
解：∵EF∥HG，∠2=55°
∴∠2=∠FCD=55°
∵∠1+∠FCD=∠ACB=90°
∴∠1=90°-∠FCD=90°-55°=35°
课堂练习
2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，交BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于????????MN的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线AQ交BC于点D．若∠C=2∠DAC，则∠B的度数是（?????）
?
A .20° B . 25° C . 30° D . 35°
C
解：由题知，由作图过程可得AQ⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠C+∠DAC=90°
∵∠C=2∠DAC,
∴2∠DAC+∠DAC=90°，解得∠DAC=30°
故∠C=60°，∵在△ABC中，∠BAC=90°
∴∠B=90°-∠C=90°-60°=30°
此过程在AQ⊥BC
课堂练习
3．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2=（???????）
A .60° B . 75° C . 90° D . 120°
熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键，由题意得三角形全等，根据全等三角形的性质可进行求解
C
解：如图所示
△ABC和△DEF为直角三角形，且AC=EF，AB=FD，∠A=∠DFE=90°
∴△ABC≌△FDE(SAS),∴∠1=∠EDF,
∴∠2+∠EDF=90°，∴∠1+∠2=90°
课堂练习
4 .如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁l1和l2，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架AB，CD，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现∠1=40°，则∠2的度数为（??? ??）
A .60° B 50° C . 45° D .40°
B
解：∵CD⊥AB，∠1=40°
∴∠3=90°-∠1=50°
∵l1∥l2
∴∠2=∠3=50°
课堂练习
5．如图，在△ABC纸片中，∠ACB=30°，将该三角形纸片折叠，使得点A落在边BC上的点D处，折痕为CE，若2∠A-∠B=78°，则∠BDE的度数为___________．
解：∵2∠A—∠B=78°，∠A+∠B=90°
∴∠A=56°，∠B=34°
∵将Rt△ABC折叠后，点A落在边BC上的点D处，折痕为CE
∴∠CDE=∠A=56°
∴∠EDB=180°-56°=124°
先根据2∠A—∠B=78°，∠A+∠B=90°求出∠A，∠B的值，再由折叠的性质求出∠CDE=∠A=56°，然后根据邻补角即可求解。
124°
课堂练习
6．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，在线段AD及CD的延长线上依次取点E，F，连接EF，且∠EFD=∠B，若∠A=70°，求∠AEF的度数．
先求出∠B=20°，可得∠EFD=20°，再由直角三角形的性质，可得CD=????????AB=BD，从而得到∠BCD=∠B=20°，进而得到∠EFD=∠B，继而得到BC∥EF，即可求解
?
解：∵Rt△ABC中，∠A=70°
∴∠B=90°-∠A=20°
∵∠EFD=∠B，∴∠EFD=20°
∵CD为斜边AB的中线，
∴CD=????????AB=BD，∴∠BCD=∠B=20°
∴∠EFD=∠B,∴BC∥EF∴∠DEF=∠B=20°，
∴∠AEF=180°-∠DEF=160°
?
课堂练习
7．如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE．
证明：∵连接EN、DN、EM、DE，
∴∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠BDC=90°
∵M、N为BC、AO的中点
∴EN=????????AO，DN=????????AO，EM=????????BC，DM=????????CB
∴EN=DN，EM=DM
∴M、N在线段DE的垂直平分线上
∴MN垂直平分DE
?
连接EN、DN、EM、DE，由BD与EC为△ABC的两条高，可得∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠BDC=90°，根据M、N为BC、AO的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得EN=DN,EM=DM,根据线段垂直平分线的逆定理得到M、N在线段DE的垂直平分线上
课堂小结
直角三角形还有以下性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形的性质2
定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
表示：用Rt△来表示直角三角形
直角三角形的定义
直角三角形有以下性质定理：角三角形的两个锐角互余。
直角三角形的性质1
01
03
04
02
感谢聆听!

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