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2.5逆命题和逆定理
第2章
特殊的三角形
浙教版2024·八年级上册
学 习 目 标
理解逆命题的概念，掌握命题的逆命题构造方法
能准确区分原命题的条件和结论，并互换位置构造逆命题。
注意：逆命题的真假与原命题无关，需独立判断。
识别并证明逆定理，理解互逆定理的关系
知道逆定理是逆命题为真时的特殊情形，掌握教材中的经典逆定理（如勾股定理及其逆定理）。
应用逆命题和逆定理解决实际问题
能分析几何问题中的条件与结论关系，灵活运用逆定理判定图形性质（如判定三角形是否为直角三角形）。
课堂导入
考虑两个命题：“等腰三角形是轴对称图形。”“轴对称图形是等腰三角形。”这两个命题有
什么不同？有什么联系？它们都是真命题吗？
条件：三角形是等腰三角形
结论：它是轴对称图形
条件：三角形是轴对称图形
结论：这个三角形是等腰三角形
这两个命题的条件和结论是相反的
真命题
假命题
新知探究
请仔细阅读表中的四个命题，填写并思考：命题（1）和命题（2），命题（3）和命题（4），它们的条件和结论有什么关系？
命题 条件 结论 真假
①如果一个数是偶数，那么它能被2整除。 一个数是偶数 它能被2整除 真命题
②如果一个动物是鸟，那么它会飞。 一个动物是鸟 它会飞 假命题
③如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。 一个四边形是正方形 它的四条边相等 真命题
④如果今天是晴天，那么地面是湿的。 今天是晴天 地面是湿的 假命题
新知探究
把下面四个命题的条件和结论互换一下，分别写出条件和结论，并判断真假
命题 条件 结论 真假
⑤如果一个数能被2整除，那么它是偶数。 一个数能被2整除 它是偶数 真命题
⑥如果一个动物会飞，那么它是鸟。 一个动物会飞 它是鸟 假命题
⑦如果一个四边形的四条边相等，那么它是正方形。 一个四边形的四条边相等 它是正方形 假命题
⑧如果地面是湿的，那么今天是晴天。 地面是湿的 今天是晴天 假命题
新知探究
每个命题都有它的逆命题，但真命题的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。
对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。
上表中①⑤为互逆命题
例1 已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合．证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？
典例分析
解：已知如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，求证：∠BAD=∠CAD
证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD
在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD，当AD是∠平分线时
∴BD=CD，∴等腰三角形底边上的中线和顶角的平分线重合
它的逆命题是“一边上的中线和该边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形”，逆命题成立
变式训练
已知命题“如果a=b，那么|a|=|b|．”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)写出此命题的逆命题；
(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
条件：a=b
结论：|a|=|b|
逆命题：如果|a|=|b|,那么a=b
当a=2，b=-2时，|2|=|-2|，但是2≠-2
例2 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
典例分析
A
A．两直线平行，同旁内角互补． B．五边形是多边形
C．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0． D．两个全等三角形的面积相等
逆命题：同旁内角互补，两直线平行
多边形是五边形
真
假
逆命题：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0
假
逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形
假
变式训练
已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果|a|=|b|，那么a=b．则下列判断正确的是（ ）
B
A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题
C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题
逆命题：对应角相等的三角形全等
假
逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
真
假
真
新知探究
说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。
证明：（1）当点P在线段AB上时，结论显然成立。
（2）当点P不在线段AB上时，如图所示，
作PC⊥AB于点O。
由PA＝PB，PO⊥AB，可得OA＝OB，
故PC是AB的垂直平分线。
所以点P 在线段AB的垂直平分线上。
这个定理的逆命题是：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
已知：AB是一条线段，P是一点，且PA＝PB。 求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
课堂练习
1．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
D
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．直角三角形中有两个锐角
C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
D．两直线平行，同位角相等
逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角
假
逆命题：有两个锐角的三角形是直角三角形
假
逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等
假
逆命题：同位角相等，两直线平行
真
课堂练习
2.下列 4 个命题中，它们的逆命题是真命题的个数有（ ）
A .1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
D
①两直线平行，同位角相等
②三个角都是60°的三角形是等边三角形
③线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
逆命题：同位角相等，两直线平行
真
逆命题：如果三角形是等边三角形，那么三个角都是60°
真
逆命题：到两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上
真
逆命题：角平分线上的点到角两边的距离相等
真
课堂练习
3．如图，E是AB，CD外一点，∠D=∠B+∠E．求证：AB∥CD．
证明：∵∠D=∠B+∠E_________
∠BFD=∠B+∠E_________，
∴∠D=∠BFD（等量代换）．
∴AB∥CD_________．
(已知)
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
(内错角相等，两直线平行)
此题考查利用三角形外角的性质、平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理是解题的关键
课堂练习
4 .求证：等腰三角形两底角的平分线相等。根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
∵BD和CE是△ABC的角平分线
∴∠DBC=∠ABC,∠BCE=∠ABC,∴∠DBC=∠BCE
在△DBC和△ECB中，,∴△DBC≌△ECB（ASA）
∴BD=CE∴等腰三角形两底角的平分线相等
已知：在△ABC中，______，BD和CE是△ABC的角平分线．
求证：______
证明：
AB=AC
BD=CE
课堂练习
5．求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等．（要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明）
证明：分别过B点和C点作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F
∵∠BED=∠CFD=90°
∵AD是不等边△ABC的中线
∴BD=CD，又∵∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴BE=CF
∴B点和C点到AD的距离相等
D
E
F
已知：如图，AD是不等边三角形ABC的中线
求证：点B和点E到AD的距离相等
课堂练习
6．给出命题p：“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”
(1)写出命题p的条件和结论并判断命题p是真命题还是假命题．
(2)请直接判断命题p的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）．
条件：两个三角形全等，结论：面积相等
逆命题：两个三角形面积相等，那么它们全等
假
长宽分别为4和9的长方形面积为36，边长为6的正方形，不全等
课堂练习
7．如图，△ABC 中，点D，F在边AB上，点G，E分别在边AC，BC上，连接DG，DC，EF．①EF⊥AB，CD⊥AB；②∠DGA=∠BCA；③DG平分∠ADC；④∠B=∠BEF，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件；________，结论：_____(填序号)．
证明：∵∠DGA=∠BCA，∴DG∥BC
∴∠ADG=∠B，∠GDC=∠BCD,
∵DG平方∠ADC，∴∠ADG=∠GDC
∴∠B=∠DCB，∵EF⊥AB，CD⊥AB
∴EF∥CD，∴∠BCD=∠BEF
∴∠B=∠BEF
①②③
④
课堂小结
实际应用：
利用逆定理简化证明（如通过角平分线逆定理确定点在角平分线上）。
互逆命题与定理的逻辑关系
定义：将原命题的条件和结论互换，得到的新命题称为逆命题。
示例：
原命题 "若两直线平行，则同位角相等"
逆命题 "若同位角相等，则两直线平行"
关键点：
逆命题的真假与原命题无关（原命题为真，逆命题可能为假，反之亦然）。
需通过逻辑推理或反例验证其真假。
逆命题的构造与真假判断
定义：若一个命题的逆命题为真，则该逆命题可称为逆定理（即原定理与逆定理互为逆命题）。
逆定理的识别与证明
01
03
04
02
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