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2024-2025 学年山西省临汾市部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { ∈ || | ≤ 3}，集合 = { 3,0,1,3}，则 =( )
A. { 3, 2, 1,2} B. { 2, 1,2} C. { 2, 1,0,2} D. { 1,0,2,3}
2.下列函数中，是偶函数的是( )
A. = B. = 1 C. = D. = 2

3.“ 2是有理数”是“ 是有理数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如图，△ ′ ′ ′是水平放置的△ 的直观图， ′ ′ = 1， ′ ′ ⊥ ′ ′，则 =( )
A. 3
B. 10
C. 2 3
D. 14
5.已知 tan( ) = 2 tan( + ) = 3 2 ， ，则 2 =( )
A. 6 B. 7 C. 152 D.
32
3
6.若三个不同平面把空间分成 部分，则正整数 的值不可能是( )
A. 8 B. 4 C. 6 D. 5
7.如图，在△ 中， 为 的中点， 是线段 上的一点，若 = + (1 2 ) ，则 =( )
A. 16
B. 14
C. 13
D. 12
8.已知函数 ( ) = sin( 3 )(

其中 > 0)在区间( 2 , 2 )上单调，则 的取值范围为( )
A. 0 < ≤ 13 B. 0 < ≤
1
4 C. 0 < ≤
1
6 D. 0 < ≤
1
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知一组数据从小到大排列如下：1，2， ，6，7，且这组数据的中位数等于平均数，则( )
A. = 5
B.这组数据的 20%分位数为 1.5
C. 26这组数据的方差为 5
D.如果在这组数据中加入 4 这个数，得到的一组新数据的平均数不变
10.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则( )
A.若 > ，则 <
B.若 为钝角，则 >
C.当 > 1 时，若 ： ： = ：( + 1)：( + 2)，且△ 是钝角三角形，则 1 < < 2
D.若 = 6 , = 2, =
15
2 ，则满足条件的三角形有两个
11.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 是线段 1 1上的动
点(不包括端点)，点 是线段 1 上的动点(不包括端点)，则( )
A.正方体 11 1 1 1的内切球的半径为2
B.若点 是 1 1的中点，点 是 1 的中点，则 / /平面 1 1
C.若过直线 的平面 //平面 1 1 ，且平面 与棱 1 1相交于点 ，则
△ 1的面积的最大值为4
D.若 1 1 = 3 1， 1 = 3 1，则 ⊥ 1 1且 ⊥ 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( 1,3)， = ( , 1).若 ⊥ ( )，则 = ______．
13 14 2 .已知圆台的上底面和下底面的面积分别为 ，4 ，体积为 3 ，则圆台的侧面积为______．
2( ) + 1, < 014.已知函数 ( ) = 有 3 个零点，则实数 的取值范围为______．
2 2 + 1, ≥ 0
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = (1 )(2 + )(其中 为实数)为纯虚数．
(1)求实数 的值；
(2)若复数 = ( 2 3 ) + 2 + 在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数 的取值范围．
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16.(本小题 15 分)
1
运动员小王进行两次射击训练，每次中靶的概率均为 (0 < < 1)，若两次射击都中靶的概率为9．
(1)求 的值；
(2)求恰有一次中靶的概率；
(3)求至少有一次中靶的概率．
17.(本小题 15 分)
2
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ( )，且 2 + sin2 = 1．
(1)求 ；
(2) 3若 为 边的中点，△ 的面积为 8 , = 2，求 ．
18.(本小题 17 分)
2025 年江苏省城市足球联赛是由江苏省体育局和各设区市人民政府于 2025 年 5 月～11 月主办的赛事，赛
事主题口号为“城市荣耀，绿茵争锋”.苏州某高中为了通过比赛彰显地域特色与足球魅力，组织学生进行
江苏城市特色和足球知识竞赛，根据参赛学生的成绩，将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，
[80,90)，[90,100]分成 6 组，其频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求学生参赛成绩的众数；(同一组数据用该组区间的中点值作代表)
(2)根据频率分布直方图，求本次学生参赛成绩的平均数和 70%分位数；(同一组数据用该组区间的中点值
作代表)
(3)在参赛成绩在[80,90)和[90,100]的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 6 名学生，再从
抽取的这 6 名学生中随机抽取 2 名学生，求这 2 名学生的参赛成绩都在[80,90)内的概率．
19.(本小题 17 分)
2
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， = = 1，∠ = 3 , 是棱 上的一点，且满
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足 = 3 ， 1与 1 相交于点 ．
(1)证明： 1 ⊥平面 1 ；
(2)求二面角 1 的余弦值；
(3)求直线 1与平面 1 所成的角的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 7
13.9
14.(1, + ∞)
15.(1)复数 = (1 )(2 + ) = 2 + 2 2 = ( + 2) + ( 2) 为纯虚数，
+ 2 = 0
则 2 ≠ 0，即 = 2．
故实数 的值为 2；
(2)复数 = ( 2 3 ) + 2 + = ( 2 3 4) 2 ，在复平面内所对应的点为( 2 3 4, 2)，
因为点位于第三象限，所以 2 3 4 < 0，所以( 4)( + 1) < 0，
则 1 < < 4．
故实数 的取值范围为( 1,4)．
16.(1) 1由题知：两次射击都中靶的概率为9，
2 = 1 0 < < 1 = 1则 9，又 ，解得 3．
(2)恰有一次中靶分为两种情况：第一次不中靶但第二次中靶，第一次中靶但第二次不中靶；
1 2 2 1 4
则恰有一次中靶的概率为： (1 ) + (1 ) = 3 × 3 + 3 × 3 = 9．
(3)至少有一次中靶的对立事件为两次都不中靶，
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2 2 4
两次都不中靶的概率为：(1 )(1 ) = 3 × 3 = 9，
则至少有一次中靶的概率为：1 4 = 59 9．
2
17.(1)因为在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ( )，且
2 + sin2 = 1，
( )2
所以
2 + 2 = 1，
所以化简得 2 + 2 2 = ，
2 2所以 = +
2
2 =
1，
2 = 2

所以 = 3；
(2)作出示意图如下：
1
因为△ 的面积为1
2 =
3 = 3，所以 = ，4 8 2
又 = 2，
1
所以根据余弦定理可得 2 = 2 + 2 = 4，又 = 2，
9
所以 2 + 2 = 2，
因为 为 1边的中点，所以 = ( 2
+ )，
2
所以 = 1 (
2
+ 2
2
4
+ ) = 1 2 2 1 9 1 1 5，4 ( + 2 × + ) = 4 ( 2 + 2 × 2 × 2 ) = 4
所以 = 5．2
18.(1)由频率分布直方图可知，参赛学生的成绩位于[60,70)中的人数最多，
因此学生参赛成绩的众数为 65；

(2) = 0.005 × 10 × 95 + 0.010 × 10 × 85 + 0.020 × 10 × 75 + 0.030 × 10 × 65
+0.020 × 10 × 55 + 0.015 × 10 × 45 = 65.5；
设本次学生参赛成绩的 70%分位数为 ，
因此由 0.015 × 10 + 0.020 × 10 + 0.030 × 10 = 0.65 < 0.70，
0.015 × 10 + 0.020 × 10 + 0.030 × 10 + 0.020 × 10 = 0.85 > 0.70，
因此 70%分位数位于[70,80)之间，
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80 70 0.85 0.65
因此有 70 = 0.70 0.65，解得 = 72.5；
(3)容易知这 6 名学生中参赛成绩在[80,90)的有 4 人，设这四人分别为 、 、 、 ，
这 6 名学生中参赛成绩在[90,100]的有 2 人，设这两人人分别为 、 ，
因此从抽取的这 6 名学生中随机抽取 2 名学生的不同情况有： 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 15 种，
其中这 2 名学生的参赛成绩都在[80,90)内情况有：
、 、 、 、 、 ，共 6 种；
因此这 2 名学生的参赛成绩都在[80,90) 6 2内的概率为15 = 5．
19.(1) 2 4证明： 2 = ( 3 )
2 = 29 ( +
2 2 cos 2 3 ) =
4
3
2，
2
∠ = 32 =

6，则
2 = 2 + 2 2 cos 6
= 43
2 + 2 3 × 2 3 1 23 = 3 ，
则 2 + 2 = 1 2 + 2 = 4 2 = 23 3 ，所以 ⊥ ，
由 1 ⊥平面 ， 1// 1，则 1 ⊥平面 ，
又 、 平面 ，所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
又 = 1，则 = 1，所以四边形 1 1为正方形，则 1 ⊥ 1 ，
又 1 ∩ = ， 1、 平面 1 1 ，所以 ⊥平面 1 1 ，
又 1 平面 1 1 ，所以 ⊥ 1，
又 ∩ 1 = ， 、 1 平面 1 ，所以 1 ⊥平面 1 ．
(2)解：过点 作 ⊥ 1 于点 ，过点 作 ⊥ 1 ，交 于点 ，
则∠ 即为二面角 1 的平面角，
由 2 21 = + 1 2 =
1 2 + 2 23 =
7
3
2 21，则 1 = 3 ，
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sin∠ = = 1 = 则 1 ，则有 =
2 3
21 =
14 ，
1 1
3
3 7
1
cos∠ = = =
2
3
2
= = 21 ，则有 21 21 ，1 1
3
21
tan∠ = =
1 1
，则有 = =
21 7
2 3 = 14 ，
3
21 7
sin∠ = 1 1 3 14 3 = ，则有 = = = 6 ，1 1
3
cos∠ = =
3 1
2 3 = ，
3
2
则 = 2 + 2 2 cos∠ = 12 ，
2+ 2 2 (
14)27 +(
7)2 1
所以 cos∠ = 2 =
14 4 = 214 7 4 ，2× 7 ×14
即二面角 1
2
的余弦值为 4 ．
(3)解：取线段 1 上靠近点 1的三等分点 ，连接 ，连接 ，
由 = 3 ，则 1// ，由(1)知 1 ⊥平面 1 ，
所以直线 1与平面 1 所成角即为∠ ，
由 平面 1 ，则 ⊥ ，
= 12 1
1
3 1 =
1 2
6 1 = 6 ，
= 2 + 2 = 306 ，
2
则 tan∠ = = 6 15 30 = ，
6
15
2 2 1
则 sin∠ = sin ∠ tan ∠ 15 1sin2∠ +cos2∠ = tan2∠ +1 = 1 = ，
15+1 4
1
即直线 1与平面 1 所成的角的正弦值为4．
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