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第1章 有理数
一、选择题
1．下列各数中，正整数是（　　）
A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2
2．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
3．有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（）+（）；④﹣3÷（）＝9，其中，正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（　　）
A．4.59×107 B．45.9×108 C．4.59×108 D．0.459×109
5．用四舍五入法取近似值，将数0.158精确到0.01的结果是（　　）
A．0.15 B．0.16 C．0.10 D．0.20
6．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：dBm），则下列信号最强的是（　　）
A．﹣80 B．﹣60 C．﹣50 D．﹣30
7．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．bc＞0
二、填空题
8．某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货8件应记作 　 　 ．
9．已知a，b都是实数．若|a+1|+（b﹣2）2＝0，则a﹣b＝ 　 　 ．
10．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃．有一座海拔为2750米的山，在这座山上海拔为250米的地方测得气温是8℃，则此时山顶的气温约为 　 　 ℃．
三、解答题
11．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．
【基础设问】
（1）若a＝﹣3，则数a的绝对值，相反数与倒数的和等于 　 　 ．
（2）若c＝3，把数c对应的点向右移动3个单位长度，与数d对应的点重合，则d＝　 　 ；把数c对应的点向左移动3个单位长度，与数b对应的点重合，则b＝　 　 ．
【能力设问】
（3）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是最小的正整数，求a+b+c的值．
（4）若a＝﹣4.5，d＝5.4，先写出大于﹣4.5且小于5.4的所有整数，再计算出它们的和．
（5）若|a|＝5，b2＝4，求a+b的值．
（6）如果a是不等于0的有理数，求的值．
（7）请你在数轴上任意找一个点为原点，则数a，b，c，d的大小顺序是什么？改变原点的位置，则这4个数的大小顺序会改变吗？这说明了数轴的什么性质？
（8）给出下列4个推断：①如果ad＞0，那么一定会有bc＞0；②如果ad＜0，那么一定会有bc＜0；③如果bc＞0，那么一定会有ad＞0；④如果bc＜0，那么一定会有ad＜0．所有合理推断的序号是 　 　 ，并说明理由．
【拓展设问】
（9）将图中数轴看作一条笔直的公路，且路边有三个村庄A，B，C（点A，B，C分别与数a，b，c所在的点重合）．村庄A在村庄B左侧3km处，村庄C在村庄B右侧3km处，现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到村庄A，B，C总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
12．素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示：
柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤
与标准重量的差值（单位：千克） 0.1 ﹣0.3 0 ﹣0.1 0.2
素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式：
纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱
可容纳袋数（袋/个） 2 4
重量（千克/个） 0.4 0.7
价格（元/个） 3 5
方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出．
方案二：　 　 ．
【任务1】求这5袋柿子饼的总重量．
【任务2】求方案一所需要的费用．
【任务3】请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用．
第1章 有理数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列各数中，正整数是（　　）
A．3 B．2.1 C．0 D．﹣2
【答案】A
【分析】整数和分数统称为有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数，据此进行判断即可．
【解答】解：A．3是正整数，
则A符合题意；
B．2.1是有限小数，即为分数，
则B不符合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，
则C不符合题意；
D．﹣2是负整数，
则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的分类，其相关定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【分析】根据数轴得出A点表示的数，根据相反数的定义即可求解．
【解答】解：∵A点表示的数为﹣1，
∴数轴上点A所表示的数的相反数是1．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义，在数轴上表示有理数，数形结合是解题的关键．
3．有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（）+（）；④﹣3÷（）＝9，其中，正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据有理数的混合运算法则，有理数的乘方等运算法则进行逐项分析计算即可．
【解答】解：①（﹣5）+（+3）＝﹣2，原来的计算错误；
②﹣（﹣2）3＝8，原来的计算错误；
③，原来的计算正确；
④，原来的计算正确．
正确的有2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，有理数的加法、除法等运算法则，关键在于正确的进行计算．
4．2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（　　）
A．4.59×107 B．45.9×108 C．4.59×108 D．0.459×109
【答案】C
【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：4.59亿＝459000000＝4.59×108．
故选：C．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
5．用四舍五入法取近似值，将数0.158精确到0.01的结果是（　　）
A．0.15 B．0.16 C．0.10 D．0.20
【答案】B
【分析】根据四舍五入法，从千分位开始四舍五入取近似值即可；
【解答】解：0.158≈0.16，
故选：B．
【点评】本题主要考查了近似数和有效数字，正确利用四舍五入法取近似值是解题的关键．
6．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：dBm），则下列信号最强的是（　　）
A．﹣80 B．﹣60 C．﹣50 D．﹣30
【答案】D
【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．
【解答】解：∵|﹣30|＜|﹣50|＜|﹣60|＜|﹣80|，
则信号最强的是﹣30，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答．
7．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．bc＞0
【答案】C
【分析】根据所给数轴得出a，b，c的正负及它们绝对值的大小，据此可解决问题．
【解答】解：由所给数轴可知，
a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，
所以b+c＜0，
即﹣c＞b．
故A选项错误．
a+c＜0，
即a＜﹣c．
故B选项错误．
a﹣b＜0，
则|a﹣b|＝b﹣a．
故C选项正确．
bc＜0，
故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示的数的特征及绝对值的性质是解题的关键．
二、填空题
8．某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货8件应记作 　﹣8　 ．
【答案】﹣8．
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解答】解：∵进货10件记作+10，
∴出货8件应记作﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．已知a，b都是实数．若|a+1|+（b﹣2）2＝0，则a﹣b＝ 　﹣3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，可得a+1＝0，b﹣2＝0，据此可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，|a+1|≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
∴a﹣b＝﹣1﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
10．“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃．有一座海拔为2750米的山，在这座山上海拔为250米的地方测得气温是8℃，则此时山顶的气温约为 　﹣7　 ℃．
【答案】﹣7．
【分析】根据题意，可以列出算式8﹣（2750﹣250）÷100×0.6，然后计算即可．
【解答】解：8﹣（2750﹣250）÷100×0.6
＝8﹣2500÷100×0.6
＝8﹣15
＝﹣7（℃），
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
三、解答题
11．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．
【基础设问】
（1）若a＝﹣3，则数a的绝对值，相反数与倒数的和等于 　5　 ．
（2）若c＝3，把数c对应的点向右移动3个单位长度，与数d对应的点重合，则d＝　6　 ；把数c对应的点向左移动3个单位长度，与数b对应的点重合，则b＝　0　 ．
【能力设问】
（3）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是最小的正整数，求a+b+c的值．
（4）若a＝﹣4.5，d＝5.4，先写出大于﹣4.5且小于5.4的所有整数，再计算出它们的和．
（5）若|a|＝5，b2＝4，求a+b的值．
（6）如果a是不等于0的有理数，求的值．
（7）请你在数轴上任意找一个点为原点，则数a，b，c，d的大小顺序是什么？改变原点的位置，则这4个数的大小顺序会改变吗？这说明了数轴的什么性质？
（8）给出下列4个推断：①如果ad＞0，那么一定会有bc＞0；②如果ad＜0，那么一定会有bc＜0；③如果bc＞0，那么一定会有ad＞0；④如果bc＜0，那么一定会有ad＜0．所有合理推断的序号是 　①④　 ，并说明理由．
【拓展设问】
（9）将图中数轴看作一条笔直的公路，且路边有三个村庄A，B，C（点A，B，C分别与数a，b，c所在的点重合）．村庄A在村庄B左侧3km处，村庄C在村庄B右侧3km处，现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到村庄A，B，C总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
【答案】（1）5；（2）6；0；（3）0；（4）5；（5）﹣3或﹣7；（6）0或1；（7）a＜b＜c＜d；这4个数的大小顺序不会改变，因为数轴上的点表示的数，左边的总是小于右边的；（8）①④；（9）当P在B处时，PA+PB+PC最短，最短路程为6km．
【分析】（1）依据题意，由a＝﹣3，从而a的绝对值为3，a的相反数为3，a的倒数为，进而计算可以得解；
（2）依据题意，由c＝3，可得d＝3+3＝6，b＝3﹣3＝0，进而得解；
（3）依据题意，可得a＝﹣1，b＝0，c＝1，进而计算可以得解；
（4）依据题意，首先找出大于﹣4.5且小于5.4的所有整数，然后相加计算可以得解；
（5）依据题意，根据|a|＝5，b2＝4，结合a＜b，求出a，b后计算可以得解；
（6）依据题意，分a＞0和a＜0两种情形分析讨论后计算可以得解；
（7）依据题意，由数轴上的点表示的数，左边的总是小于右边的，进而可以判断得解；
（8）依据题意，结合数轴上的点的特征逐个判断分析可以得解；
（9）依据题意，结合数轴分P在A左侧、P在AC中间、P在C右侧三种情形分析判断可以得解．
【解答】解：（1）∵a＝﹣3，
∴a的绝对值为3，a的相反数为3，a的倒数为．
∴3+3+（）＝65．
故答案为：5．
（2）∵c＝3，把数c对应的点向右移动3个单位长度，与数d对应的点重合，
∴d＝3+3＝6．
又把数c对应的点向左移动3个单位长度，与数b对应的点重合，
∴b＝3﹣3＝0．
故答案为：6；0．
（3）a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是最小的正整数，
∴a＝﹣1，b＝0，c＝1．
∴a+b+c＝﹣1+0+1＝0．
（4）∵a＝﹣4.5，d＝5.4，
∴大于﹣4.5且小于5.4的所有整数有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5．
∴﹣4+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4+5＝5．
（5）∵|a|＝5，
∴a＝±5．
∵b2＝4，
∴b＝±2．
又结合数轴，a＜b，
∴当a＝﹣5，b＝2时，a+b＝（﹣5）+2＝﹣3；当a＝﹣5，b＝﹣2时，a+b＝（﹣5）+（﹣2）＝﹣7．
综上，a+b＝﹣3或﹣7．
（6）由题意，a≠0，
∴a＞0或a＜0．
①当a＞0时，|a|＝a，
∴原式0．
②当a＜0时，|a|＝﹣a，
∴原式1．
综上，的值为0或1．
（7）由题意，如图，
∵数轴上的点表示的数，左边的总是小于右边的，
∴a＜b＜c＜d．
改变原点的位置，则这4个数的大小顺序不会改变，因为数轴上的点表示的数，左边的总是小于右边的．
（8）由题意，①如果ad＞0，
∴a，d同号．
又a＜b＜c＜d，
∴a，b，c，d同号．
∴一定会有bc＞0，故①正确．
②如果ad＜0，
∵a＜b＜c＜d，
∴d＞0，a＜0，b，c符号不确定，故②错误．
③如果bc＞0，
∴b，c同号．
又∵a＜b＜c＜d，
∴a，d符号不确定，故③错误．
④如果bc＜0，
又∵a＜b＜c＜d，
∴b＜0，c＞0，a＜0，d＞0．
∴ad＜0，故④正确．
综上，正确的有①④．
故答案为：①④．
（9）由题意，如图，，
当P在A左侧，PA+PB+PC＞AB+BC；
当P在AC中间，PA+PB+PC＝AB+BC+PB≥AC，当且仅当P在B时等号成立．
当P在C右侧，PA+PB+PC＞AB+BC，
综上，当P在B处时，PA+PB+PC最短，最短路程为AB+BC＝6km．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小、数轴、绝对值、有理数大小比较、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意，列出关系式是关键．
12．素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示：
柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤
与标准重量的差值（单位：千克） 0.1 ﹣0.3 0 ﹣0.1 0.2
素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式：
纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱
可容纳袋数（袋/个） 2 4
重量（千克/个） 0.4 0.7
价格（元/个） 3 5
方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出．
方案二：　方案Ⅰ：
购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出，
费用为：①、②、④、⑤打包后重量：0.1+（﹣0.3）+（﹣0.1）+0.2+4×3+0.7＝12.6（kg）；
①、②、④、⑤费用：15+10×2+5＝40（元），③15元；共计55元；
方案Ⅱ：购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，
费用为：①④打包后重量0.1+（﹣0.1）+2×3+0.4＝6.4（kg），
②⑤打包后重量（﹣0.3）+0.2+2×3+0.4＝6.3（kg），
①④费用：15+4×2+3＝26（元），
②⑤费用：15+4×2+3＝26（元），
③15元；共计67元；
方案Ⅲ：购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，
费用为：①⑤打包后重量0.1+0.2+2×3+0.4＝6.7（kg）；
②④打包后重量：（﹣0.3）+（﹣0.1）+2×3+0.4＝6（kg）；
①⑤费用：15+4×2+3＝26（元），
②④费用：15+3×2+3＝24（元），
③15元共计65元；答案不唯一，　 ．
【任务1】求这5袋柿子饼的总重量．
【任务2】求方案一所需要的费用．
【任务3】请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用．
【答案】【任务1】14.9kg．
【任务2】73.4元．
【任务3】见解析．
【分析】【任务1】根据题意列式计算即可．
【任务2】根据题意列式计算即可．
【任务3】根据题意设计的方案二的费用低于方案一即可．
【解答】解：【任务1】0.1+（﹣0.3）+0+（﹣0.1）+0.2＝﹣0.1
5×3+（﹣0.1）＝14.9（kg）；
【任务2】②、④打包后重量：（﹣0.3）+（﹣0.1）+2×3+0.4＝6（kg），
②、④15+3×2+3＝24（元），③15.4元，①15+2＝17元，⑤15+2＝17元
答：方案一所需要的费用为73.4元；
【任务3】方案Ⅰ：
购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出，
费用为：①、②、④、⑤打包后重量：0.1+（﹣0.3）+（﹣0.1）+0.2+4×3+0.7＝12.6（kg）；
①、②、④、⑤费用：15+10×2+5＝40（元），③15元；共计55元；
方案Ⅱ：购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，
费用为：①④打包后重量0.1+（﹣0.1）+2×3+0.4＝6.4（kg），
②⑤打包后重量（﹣0.3）+0.2+2×3+0.4＝6.3（kg），
①④费用：15+4×2+3＝26（元），
②⑤费用：15+4×2+3＝26（元），
③15元；共计67元；
方案Ⅲ：购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，
费用为：①⑤打包后重量0.1+0.2+2×3+0.4＝6.7（kg）；
②④打包后重量：（﹣0.3）+（﹣0.1）+2×3+0.4＝6（kg）；
①⑤费用：15+4×2+3＝26（元），
②④费用：15+3×2+3＝24（元），
③15元共计65元；
故答案为：方案Ⅰ：
购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出，
费用为：①、②、④、⑤打包后重量：0.1+（﹣0.3）+（﹣0.1）+0.2+4×3+0.7＝12.6（kg）；
①、②、④、⑤费用：15+10×2+5＝40（元），③15元；共计55元；
方案Ⅱ：购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出，
费用为：①④打包后重量0.1+（﹣0.1）+2×3+0.4＝6.4（kg），
②⑤打包后重量（﹣0.3）+0.2+2×3+0.4＝6.3（kg），
①④费用：15+4×2+3＝26（元），
②⑤费用：15+4×2+3＝26（元），
③15元；共计67元；
方案Ⅲ：购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出，
费用为：①⑤打包后重量0.1+0.2+2×3+0.4＝6.7（kg）；
②④打包后重量：（﹣0.3）+（﹣0.1）+2×3+0.4＝6（kg）；
①⑤费用：15+4×2+3＝26（元），
②④费用：15+3×2+3＝24（元），
③15元共计65元；答案不唯一．
【点评】本题考查正负数的概念，关键是理解正负数的实际意义．
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