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第6章 图形的初步知识
一、选择题
1．下列数学语言，不正确的是（　　）
A．画直线MN，在直线MN上任取一点P
B．以点M为端点画射线MA
C．直线a，b相交于点m
D．延长线段MN到点P，使NP＝MN
2．如图，已知，，且∠COD＝10°，则∠AOB等于（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
3．如图，在A、B两处观测到C处的方位角分别是（　　）
A．北偏东65°，北偏西40°
B．北偏东65°，北偏西50°
C．北偏东25°，北偏西40°
D．北偏东35°，北偏西50°
4．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点C，则∠ACE+∠BCD等于（　　）
A．120° B．145° C．175° D．180°
5．已知点A、B、C位于直线l上，其中线段AB＝4，且2BC＝3AB，若点M是线段AC的中点，则线段BM的长为（　　）
A．1 B．3 C．5或1 D．1或4
6．如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、填空题
7．某工程队在修建高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直以缩短路程，这样做用到的几何学的原理是　 　 ．
8．如图，点B与点D在线段AC上，且，点E，点F分别是AB，CD的中点，若CD＝24，则EF＝　 　 ．
9．如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠BFC′比∠1多9°，则∠AEF为　 　 ．
10．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝60°，一直角三角尺EOF的直角顶点与点O重合，OE平分∠AOC，现将三角尺EOF以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线CD也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（t＜40），当CD平分∠EOF时，t的值为 　 　 ．
三、解答题
11．如图所示，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠AOD＝96°，∠MON＝68°，求∠BOC的大小．
12．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　 ；
（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．
第6章 图形的初步知识
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列数学语言，不正确的是（　　）
A．画直线MN，在直线MN上任取一点P
B．以点M为端点画射线MA
C．直线a，b相交于点m
D．延长线段MN到点P，使NP＝MN
【答案】C
【分析】根据直线，射线，线段的定义即可得到结论．
【解答】解：A、画直线MN，在直线MN上任取一点P，正确；
B、以点M为端点画射线MA，正确；
C、直线a，b相交于点M，点应该用大写的英文字母表示，故错误；
D、延长线段MN到点P，使NP＝MN，正确；
故选：C．
【点评】本题考查了直线，射线，线段，熟记定义是解题的关键．
2．如图，已知，，且∠COD＝10°，则∠AOB等于（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】B
【分析】找到题中∠COD的度数是∠AOB的度数的几分之几，再根据∠COD＝10°，用分数除法求出结果．
【解答】解：∵，，
∴∠COD＝（）∠AOB∠AOB，
∴∠AOB＝10120°，
故选：B．
【点评】本题考查了角的计算，解题的关键是找到角之间的数量关系再解答．
3．如图，在A、B两处观测到C处的方位角分别是（　　）
A．北偏东65°，北偏西40°
B．北偏东65°，北偏西50°
C．北偏东25°，北偏西40°
D．北偏东35°，北偏西50°
【答案】B
【分析】根据方向角的定义即可判断．
【解答】解：A处观测到的C处的方向角是：北偏东65°，
B处观测到的C处的方向角是：北偏西50°．
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
4．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点C，则∠ACE+∠BCD等于（　　）
A．120° B．145° C．175° D．180°
【答案】D
【分析】由题意可知∠ACB＝∠DCE＝90°，根据补角的定义可得∠ACE+∠BCD等于180°．
【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝∠DCE+（∠ACD+∠BCD）＝∠DCE+∠ACB＝180°．
故选：D．
【点评】本题考查了补角，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
5．已知点A、B、C位于直线l上，其中线段AB＝4，且2BC＝3AB，若点M是线段AC的中点，则线段BM的长为（　　）
A．1 B．3 C．5或1 D．1或4
【答案】C
【分析】分两种情况：当点C在点B的右侧时和当点C在点B的左侧时，根据题意，画出图形，再根据线段之间的数量关系，计算即可．
【解答】解：如图，当点C在点B的右侧时，
∵AB＝4，且2BC＝3AB，
∴BC＝6，
∴AC＝AB+BC＝4+6＝10，
∵点M是线段AC的中点，
∴，
∴BM＝AM﹣AB＝5﹣4＝1，
如图，当点C在点B的左侧时，
∵AB＝4，且2BC＝3AB，
∴BC＝6，
∴AC＝BC﹣AB＝6﹣4＝2，
∵点M是线段AC的中点，
∴，
∴BM＝AB+AM＝4+1＝5，
综上所述，线段BM的长为5或1．
故选：C．
【点评】本题考查了线段之间的数量关系，掌握数形结合和分类讨论思想是关键．
6．如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义得到∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC，则∠MON＝∠MOC﹣∠NOC（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB，然后把∠AOB的度数代入计算即可．
【解答】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC（∠AOB+∠BOC﹣∠BOC）∠AOB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠MON90°＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的定义，做这类题时学生总会认为条件不够，其实只要把这些等量关系合并化简即可求出角的度数，所以学生做题时有是不要急于计算，而是要先化简后再合并，属于基础题．
二、填空题
7．某工程队在修建高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直以缩短路程，这样做用到的几何学的原理是　两点之间，线段最短　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短定理．
【解答】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】此题主要考查了两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题关键．
8．如图，点B与点D在线段AC上，且，点E，点F分别是AB，CD的中点，若CD＝24，则EF＝　15　 ．
【答案】15．
【分析】先根据和CD的长分别求出BD、AB和AC的长，然后根据点E，点F分别是AB，CD的中点求出AE和CF的长，最后用AC减去AE和CF就是EF的长．
【解答】解：∵，CD＝24，
∴BDCD＝6，
∴AB＝3BD＝18，
∴AC＝AB+CD﹣BD＝18+24﹣6＝36，
∵点E，点F分别是AB，CD的中点，
∴AEAB＝9，CFCD＝12，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝36﹣9﹣12＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查线段的计算和线段中点定义，熟练掌握线段的和差倍分的计算方法是解决问题的关键．
9．如图，把一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若∠BFC′比∠1多9°，则∠AEF为　123°　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】∠EFC＝x，∠1＝y，则∠BFC′＝x﹣y，根据“∠BFC′比∠1多9°、∠1与∠EFC互补”得出关于x、y的方程组，解之求得x的值，再根据AD∥BC可得∠AEF＝∠EFC．
【解答】解：设∠EFC＝x，∠1＝y，则∠BFC′＝x﹣y，
∵∠BFC′比∠1多9°，
∴x﹣2y＝9，
∵x+y＝180°，
可得x＝123°，即∠1＝123°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝123°，
故答案为：123°．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及折叠问题，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题及平行线的性质．
10．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝60°，一直角三角尺EOF的直角顶点与点O重合，OE平分∠AOC，现将三角尺EOF以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线CD也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（t＜40），当CD平分∠EOF时，t的值为 　2.5或32.5　 ．
【答案】2.5或32.5．
【分析】分两种情况进行讨论：当OC平分∠EOF时，∠COE＝45°；当OD平分∠EOF 时，∠DOE＝45°，分别依据角的和差关系进行列方程即可得到t的值．
【解答】解：∵∠AOC＝60°，OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝30°，
CD平分∠EOF，分两种情况：
①当OC平分∠EOF时，∠COE＝45°，
∴∠AOC﹣∠AOE＝45°，
即（60°+9°t）﹣（30°+3°t）＝45°，
解得t＝2.5；
②当OD平分∠EOF时，∠DOE＝45°，
∴∠AOC'+∠C'OD﹣∠AOE＝45°，
即9°t﹣（180°﹣60°）﹣（30°+3°t）＝45°，
解得t＝32.5．
综上所述，当CD平分∠EOF时，t的值为2.5或32.5．
故答案为：2.5或32.5．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，解题的关键是应用方程的思想解决问题．
三、解答题
11．如图所示，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠AOD＝96°，∠MON＝68°，求∠BOC的大小．
【答案】见试题解答内容
【分析】由OM平分∠AOB，ON平分∠DOC可知∠AOM＝∠BOM，∠DON＝∠CON，可知∠BOM+∠CON＝∠AOM+∠DON＝∠AOD﹣∠MON，又知∠BOC＝∠MON﹣（∠BOM+∠CON），故可得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠DOC，
∴∠AOM＝∠BOM，∠DON＝∠CON，
∴∠BOM+∠CON＝∠AOM+∠DON＝∠AOD﹣∠MON＝96°﹣68°＝28°，
∴∠BOC＝∠MON﹣（∠BOM+∠CON）＝68°﹣28°＝40°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及角的和差与运算；熟练掌握角平分线的定义，弄清各个角之间的关系是解决问题的突破口．
12．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．
（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　4　 ；
（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答；
（2）根据已知AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP；
（3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系．
【解答】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQAC，CPBC，
∵点C恰好在线段AB中点，
∴AC＝BCAB，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CQ+CPACBCABABAB6＝4；
故答案为：4；
（2）①点C在线段AB上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQAC，CPBC，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CQ+CPACBC（AC+BC）ABm；
②点C在线段BA的延长线上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQAC，CPBC，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CP﹣CQBCAC（BC﹣AC）ABm；
③点C在线段AB的延长线上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQAC，CPBC，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CQ﹣CPACBC（AC﹣BC）ABm；
故PQ是一个常数，即是常数m；
（3）如图：
∵CQ＝2AQ，
∴2AP+CQ﹣2PQ
＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）
＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ
＝CQ﹣2AQ
＝2AQ﹣2AQ
＝0，
∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．
【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．
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