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第2章 有理数
一、选择题（每题2分共20分）
1．（2分）﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．±3
2．（2分）下面是一款床单的标签，显示的规格为230×245，“245”“230”分别表示这款长方形床单的长和宽．结合生活实际判断这两个数的单位是（　　）
A．毫米 B．厘米 C．分米 D．米
3．（2分）一名同学画了四条数轴，只有一个正确，你认为正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2分）下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1）
C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1
5．（2分）利用数学知识进行分析，下列叙述合理的是（　　）
A．学生椅的高度是20分米
B．小林爸爸4月28日出差，4月31日回家
C．正常成年人步行速度约为80米/分
D．一个乒乓球重2千克
6．（2分）下列说法正确的是（　　）
A．所有的整数都是正数
B．整数和分数统称有理数
C．0是最小的有理数
D．零既可以是正整数，也可以是负整数
7．（2分）以下四个数在数轴上所表示的点中，与表示﹣2的点距离最近的是（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．1
8．（2分）下列关于有理数a的结论中，一定正确的是（　　）
A．﹣a是负数 B．|a|是非负数 C．a2是正数 D．2a＞a
9．（2分）若a、b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，那么a、b、﹣a、﹣b的大小关系是（　　）
A．b＜﹣a＜﹣b＜a B．b＜﹣b＜﹣a＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣a＜﹣b＜b＜a
10．（2分）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（　　）
A．6 B．2 C．3或5 D．2或6
二、填空题（每空2分共26分）
11．（4分）的相反数是 　 　 ；的绝对值是 　 　 ．
12．（4分）用“＞”、“＜”、“＝”号填空：
（1）﹣0.02 　 　 1；
（2） 　 　 ；
（3）﹣（） 　 　 ﹣[+（﹣0.75）]；
（4） 　 　 ﹣3.14．
13．（2分）某粮店出售的两种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 　 　 kg．
14．（2分）在+8，0，，，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 　 　 个．
15．（4分）当a＝　 　 时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是 　 　 ．
16．（2分）已知|x﹣4|+|5﹣y|＝0，则x+y的值为 　 　 ．
17．（2分）在纸上画一条数轴，点A，B，C在数轴上，如图所示，现将该纸沿过点B的一条直线对折，使得数轴上在点B左右两侧的部分重合，此时数轴上点A恰与点C重合，原点O与数轴上另一点P重合，再将白纸重新展平，此时点P与原点O的距离等于点P与点C的距离，若点C表示的数是，则点A表示的数是 　 　 ．
18．（2分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如上长方形，若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长是 　 　 ．
三、解答题（共54分）
19．（10分）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来：
﹣|﹣3|，+1，﹣（﹣2），+（﹣1.5），5，0．
20．若|a|＝3，|b|＝5，且a＞b，求a，b的值．
21．把下列各数填在粒应的大括号内：
﹣4；﹣3.5；0；；10%；；2021；2.030030003；+6；0.75；﹣3；．
正分数集合：{ 　 　 …}；
负整数集合：{ 　 　 …}；
整数集合：{ 　 　 …}；
有理数集合：{ 　 　 …}；
负数集合：{ 　 　 …}；
非负整数集合：{ 　 　 …}．
22．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）
+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？
（2）在练习过程中，守门员离开球门最远距离是多少米？
（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？
23．某一食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单位：g） ﹣5 ﹣2 0 1 3 6
袋数 1 4 3 4 5 3
这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？
24．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是最大的负整数，n是最小的正整数，求m﹣cd+a+b+n的值．
25．小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求1+2+3+…+100．小明于是对从1开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子：
第1个等式：1＝12；第2个等式：1+3＝22；第3个等式：1+3+5＝32
探索以上等式的规律，解决下列问题：
（1）1+3+5+…+49＝　 　 2；
（2）完成第n个等式的填空：1+3+5+…+（ 　 　 ）＝n2；
（3）利用上述结论，计算51+53+55+…+109．
26．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2．已知点A、B是数轴上的点，完成下列各题：
（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 　 　 ，A、B两点间的距离是 　 　 ．
（2）如果点A表示数是3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 　 　 ，A、B两点间的距离是 　 　 ．
（3）一般地，如果点A表示数为a，将点A向右移动b个单位长度，再向左移动c个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是 　 　 ，A、B两点间的距离是 　 　 ．
第2章 有理数
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分共20分）
1．（2分）﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C．0 D．±3
【答案】A
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣（﹣3）＝3，
故﹣3的相反数是3．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（2分）下面是一款床单的标签，显示的规格为230×245，“245”“230”分别表示这款长方形床单的长和宽．结合生活实际判断这两个数的单位是（　　）
A．毫米 B．厘米 C．分米 D．米
【答案】B
【分析】230×245表示的是长度，所以应该是长度单位，根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答．
【解答】解：结合生活实际判断这两个数的单位是厘米．
故选：B．
【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择．
3．（2分）一名同学画了四条数轴，只有一个正确，你认为正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的概念进行逐一辨别即可．
【解答】解：∵选项A该数轴没有单位长度，选项B中单位长度1，2，3顺序颠倒，选项D中1，﹣1位置颠倒∴
选项A、B、D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了对数轴概念的考查能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4．（2分）下列各对数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1）
C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣1
【答案】B
【分析】先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可．
【解答】解：A、﹣（+1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意；
B、﹣（﹣1）＝1，+（﹣1）＝﹣1，是相反数，故此选项符合题意；
C、﹣（+1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意；
D、+（﹣1）＝﹣1，不是相反数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了相反数．先化简再求值是解题的关键．
5．（2分）利用数学知识进行分析，下列叙述合理的是（　　）
A．学生椅的高度是20分米
B．小林爸爸4月28日出差，4月31日回家
C．正常成年人步行速度约为80米/分
D．一个乒乓球重2千克
【答案】C
【分析】根据生活常识逐项分析判断即可．
【解答】解：A、学生椅的高度是40厘米，选项不符合题意；
B、4月没有31号，选项不符合题意；
C、正常成年人步行速度约为80米/分，正确，符合题意；
D、一个乒乓球重2克，选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了数学常识，善于在实际中观察思考是解答本题的关键．
6．（2分）下列说法正确的是（　　）
A．所有的整数都是正数
B．整数和分数统称有理数
C．0是最小的有理数
D．零既可以是正整数，也可以是负整数
【答案】B
【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、所有的整数不都是正整数，还有负整数和0，故A不符合题意；
B、整数和分数统称有理数，故B符合题意；
C、0是绝对值最小的有理数，故C不符合题意；
D、零既不是正整数，也不是负整数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
7．（2分）以下四个数在数轴上所表示的点中，与表示﹣2的点距离最近的是（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．1
【答案】B
【分析】分别计算表示﹣5、﹣3、0、1的点到表示﹣2的点的距离，然后比较即可得出结果．
【解答】解：﹣5到﹣2的距离为：﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3；
﹣3到﹣2的距离为：﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1；
0到﹣2的距离为：0﹣（﹣2）＝0+2＝2；
1到﹣2的距离为：1﹣（﹣2）＝1+2＝3；
∵1＜2＜3，
∴与表示﹣2的点距离最近的是﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握两点之间的距离公式是解题的关键．
8．（2分）下列关于有理数a的结论中，一定正确的是（　　）
A．﹣a是负数 B．|a|是非负数 C．a2是正数 D．2a＞a
【答案】B
【分析】根据正数和负数，绝对值及偶次幂的非负性进行判断即可．
【解答】解：当a＜0时，﹣a是正数，则A不符合题意；
|a|是非负数，则B符合题意；
a2是正数或0，则C不符合题意；
当a＜0时，2a＜a，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查正数和负数，绝对值及偶次幂的非负性，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9．（2分）若a、b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，那么a、b、﹣a、﹣b的大小关系是（　　）
A．b＜﹣a＜﹣b＜a B．b＜﹣b＜﹣a＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣a＜﹣b＜b＜a
【答案】C
【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再比较即可．
【解答】解：从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
所以b＜﹣a＜a＜﹣b，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的大小比较，数轴，相反数等知识点，能根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键．
10．（2分）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（　　）
A．6 B．2 C．3或5 D．2或6
【答案】D
【分析】要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．
【解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．
点A、B表示的数分别为﹣3、1，
AB＝4．
第一种情况：在线段AB外，
AC＝4+2＝6；
第二种情况：在线段AB内，
AC＝4﹣2＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了数轴，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，解题的关键是分类讨论．
二、填空题（每空2分共26分）
11．（4分）的相反数是 　　 ；的绝对值是 　　 ．
【答案】，．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：的相反数是；的绝对值是，
故答案为：，．
【点评】本题考查了倒数，相反数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
12．（4分）用“＞”、“＜”、“＝”号填空：
（1）﹣0.02 　＜　 1；
（2） 　＞　 ；
（3）﹣（） 　＝　 ﹣[+（﹣0.75）]；
（4） 　＜　 ﹣3.14．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）负数小于正数，
（2）通分比较即可，
（3）计算比较，
（4）化为小数比较即可．
【解答】解：（1）﹣0.02＜1；
（2）；
（3）﹣（）＝﹣[+（﹣0.75）]；
（4）3.14．
故答案为：＜，＞，＝，＜．
【点评】本题主要考查了有理数大小比较，解题的关键利用有理数大小比较方法比较．
13．（2分）某粮店出售的两种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 　0.4　 kg．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题中给出面粉的波动范围，求出其中两袋相差最大的数．
【解答】解：依题可得，面粉最重的为（25+0.2）kg，面粉最轻的为（25﹣0.2）kg，
∴质量最多相差：0.2﹣（﹣0.2）＝0.4（kg），
故答案为：0.4．
【点评】考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
14．（2分）在+8，0，，，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 　3　 个．
【答案】见试题解答内容
【分析】非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案．
【解答】解：+8，0，2023是非负整数，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
15．（4分）当a＝　1　 时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是 　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据非负数的性质求出a的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵|1﹣a|≥0，
∴当1﹣a＝0时，|1﹣a|+2会有最小值，
∴当a＝1时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是2．
故答案为：1，2．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知任何数的绝对值都是非负数是解答此题的关键．
16．（2分）已知|x﹣4|+|5﹣y|＝0，则x+y的值为 　9　 ．
【答案】9．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|x﹣4|+|5﹣y|＝0，
∴x﹣4＝0，5﹣y＝0，
∴x＝4，y＝5，
∴x+y＝9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
17．（2分）在纸上画一条数轴，点A，B，C在数轴上，如图所示，现将该纸沿过点B的一条直线对折，使得数轴上在点B左右两侧的部分重合，此时数轴上点A恰与点C重合，原点O与数轴上另一点P重合，再将白纸重新展平，此时点P与原点O的距离等于点P与点C的距离，若点C表示的数是，则点A表示的数是 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出点P所表示的数，再求出点B所表示的数，进而可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点P与原点O的距离等于点P与点C的距离，
且点C表示的数是，
所以点P表示的数是．
又因为折叠后原点O与点P重合，
且，
所以点B表示的数是．
又因为折叠后点A恰好与点C重合，
且，
所以点A表示的数是．
故答案为：．
【点评】本题考查数轴，能根据题意求出折点所表示的数是解题的关键．
18．（2分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如上长方形，若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长是 　110　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图示规律，依次写出相应序号的矩形的宽与长，便不难发现，下一个矩形的宽是上一个矩形的长，长是上一个矩形的长与宽的和，然后写到序号为⑧的矩形宽与长，再根据矩形的周长公式计算即可得解．
【解答】解：由图可知，序号为①的矩形的宽为1，长为2，
序号为②的矩形的宽为2，长为3，3＝1+2，
序号为③的矩形的宽为3，长为5，5＝2+3，
序号为④的矩形的宽为5，长为8，8＝3+5，
序号为⑤的矩形的宽为8，长为13，13＝5+8，
序号为⑥的矩形的宽为13，长为21，21＝8+13，
序号为⑦的矩形的宽为21，长为34，34＝13+21，
所以，序号为⑦的矩形周长＝2（34+21）＝2×55＝110．
故答案为：110．
【点评】考查了图形的变化类问题，要想得到长方形的周长规律，应先找长方形长、宽的变换规律．分析图形中的长和宽，然后结合图表中长方形的周长即可得出长方形周长的变换规律．
三、解答题（共54分）
19．（10分）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来：
﹣|﹣3|，+1，﹣（﹣2），+（﹣1.5），5，0．
【答案】﹣|﹣3|＜+（﹣1.5）＜0＜+1＜﹣（﹣2）＜5．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣2）＝2，+（﹣1.5）＝﹣1.5，
|﹣3|＝3，|﹣1.5|＝1.5，
3＞1.5，
在数轴上表示为：
∴﹣|﹣3|＜+（﹣1.5）＜0＜+1＜﹣（﹣2）＜5．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
20．若|a|＝3，|b|＝5，且a＞b，求a，b的值．
【答案】a＝3或a＝﹣3，b＝﹣5．
【分析】先根据绝对值的性质分别解出a，b，然后根据a＞b，解出a，b的值．
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝3或a＝﹣3，b＝5或b＝﹣5．
又∵a＞b，
∴a＝3或a＝﹣3，b＝﹣5．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，能够由绝对值的值求出这个数，并正确进行讨论．
21．把下列各数填在粒应的大括号内：
﹣4；﹣3.5；0；；10%；；2021；2.030030003；+6；0.75；﹣3；．
正分数集合：{ 　10%，2.030030003，0.75，　 …}；
负整数集合：{ 　﹣4，﹣3　 …}；
整数集合：{ 　﹣4，0，2021，+6，﹣3　 …}；
有理数集合：{ 　﹣4，﹣3.5，0，10%，，2021，2.030030003，+6，0.75，﹣3，　 …}；
负数集合：{ 　﹣4，﹣3.5，，﹣3　 …}；
非负整数集合：{ 　0，2021，+6　 …}．
【答案】见解答．
【分析】利用有理数的分类解答．
【解答】解：正分数集合：{10%，2.030030003，0.75，...}；
故答案为：10%，2.030030003，0.75，；
负整数：{﹣4，﹣3……}；
故答案为：﹣4，﹣3；
整数集合：{﹣4，0，2021，+6，﹣3……}；
故答案为：﹣4，0，2021，+6，﹣3；
有理数集合：{﹣4，﹣3.5，0，10%，，2021，2.030030003，+6，0.75，﹣3，}．
故答案为：﹣4，﹣3.5，0，10%，，2021，2.030030003，+6，0.75，﹣3，；
负数集合：{﹣4，﹣3.5，，﹣3…}；
故答案为：﹣4，﹣3.5，，﹣3；
非负整数集合：{ 0，2021，+6…}．
故答案为：0，2021，+6．
【点评】本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的概念，进行有理数的分类．
22．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）
+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？
（2）在练习过程中，守门员离开球门最远距离是多少米？
（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将所有记录数据相加，即可求出守门员离球门线的位置；
（2）观察记录的数据，取绝对值最大的作为守门员离开球门线最远距离；
（3）将所有记录数据取绝对值，再相加即可．
【解答】解：（1）（+5）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（﹣6）+（+12）+（﹣10）
＝（5+10+12）﹣（3+8+6+10）
＝27﹣27
＝0，
答：守门员最后回到了球门线的位置；
（2）由观察可知：5﹣3+10＝12（米）
答：在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是12米．
（3）|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|
＝5+3+10+8+6+12+10
＝54（米）；
答：守门员全部练习结束后，他共跑了54米．
【点评】本题考查了正数和负数，根据题意，正确列出算式是解题的关键．
23．某一食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值（单位：g） ﹣5 ﹣2 0 1 3 6
袋数 1 4 3 4 5 3
这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格中的数据计算与标准质量的差值的总数，再除以20，如果是正数，即多，如果是负数，即少；根据标准质量结合前边的结论进行计算抽样检测的总质量．
【解答】解：与标准质量的差值的和为﹣5×1+（﹣2）×4+0×3+1×4+3×5+6×3＝24，其平均数为24÷20＝1.2，即这批样品的平均质量比标准质量多，多1.2克．
则抽样检测的总质量是（450+1.2）×20＝9024（克）．
【点评】此题要理解统计图，会计算加权平，另外计算时要细心．
24．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是最大的负整数，n是最小的正整数，求m﹣cd+a+b+n的值．
【答案】﹣1．
【分析】根据题意可知：a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，n＝1，然后代入求值即可．
【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是最大的负整数，n是最小的正整数，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，n＝1．
∴原式＝﹣1﹣1+0+1＝﹣1．
【点评】本题主要考查的是有理数的混合运算，求代数式的值，求得a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，n＝1是解题的关键．
25．小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求1+2+3+…+100．小明于是对从1开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子：
第1个等式：1＝12；第2个等式：1+3＝22；第3个等式：1+3+5＝32
探索以上等式的规律，解决下列问题：
（1）1+3+5+…+49＝　25　 2；
（2）完成第n个等式的填空：1+3+5+…+（ 　2n﹣1　 ）＝n2；
（3）利用上述结论，计算51+53+55+…+109．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目中的例子可以得到所求式子的结果；
（2）根据题目中的例子，可以写出题目中式子中需要填写的数据；
（3）根据（2）中的结果，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）1+3+5+…+49＝（）2＝252，
故答案为：25；
（2）由题意可得，
1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，
故答案为：2n﹣1；
（3）51+53+55+…+109
＝（1+3+…+109）﹣（1+3+…+49）
＝552﹣252
＝（55+25）×（55﹣25）
＝80×30
＝2400．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点和式子的变化特点，求出所求式子的值．
26．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2．已知点A、B是数轴上的点，完成下列各题：
（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 　4　 ，A、B两点间的距离是 　7　 ．
（2）如果点A表示数是3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 　1　 ，A、B两点间的距离是 　2　 ．
（3）一般地，如果点A表示数为a，将点A向右移动b个单位长度，再向左移动c个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是 　a+b﹣c　 ，A、B两点间的距离是 　|b﹣c|　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）（2）根据图形可直接的得出结论；
（3）先求出B点表示的数，然后由数轴上两点间的距离公式：两点间的距离是两点所表示的数差的绝对值，计算即可．
【解答】解：（1）由图可知，点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是4，
A、B两点间的距离是|﹣3﹣4|＝7；
故答案为：4，7；
（2）如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，则点A表示3﹣7＝﹣4，
再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是﹣4+5＝1，
A、B两点间的距离是|3﹣1|＝2；
故答案为：1，2；
（3）点A表示数为a，将点A向右移动b个单位长度，则点A表示a+b，再向左移动c个单位长度，那么终点B表示的数是a+b﹣c，
A、B两点间的距离是|a+b﹣c﹣a|＝|b﹣c|．
故答案为：a+b﹣c，|b﹣c|．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
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