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第2章 有理数的运算
一、选择题
1．﹣1的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．“珍爱地球，人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题，旨在倡导公众保护自然资源．全市现有自然湿地28700公顷，人工湿地13100公顷，这两类湿地共有（　　）
A．4.18×105公顷 B．4.18×104公顷
C．4.18×103公顷 D．41.8×102公顷
3．a为有理数，定义运算符号▽：当a＞﹣2时，▽a＝﹣a，当a＜﹣2时，▽a＝a；当a＝﹣2时，▽a＝0．根据这种运算，则▽[4+▽（2﹣5）]的值为（　　）
A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1
4．已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第①幅图中★的个数为a1，第②幅图中★的个数为a2，第③幅图中★的个数为a3…，以此类推，第幅图中★的个数为an，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．下列情景描述的结果与25相符的是 　 　 （填写所有正确选项的序号）
①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数；
②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数；
③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数．
7．如果|﹣m|＝3，n2＝49，|m﹣n|＝n﹣m，那么代数式m+n＝　 　 ．
8．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是117，则m的值是 　 　 ．
三、解答题
9．计算：
（1）；
（2）．
10．某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨．该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：将其中60吨蔬菜进行精加工，其余粗加工，能否在规定时间内加工完成，如果能，作为可行方案．
方案三：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
11．阅读材料，并回答问题：
对于某种满足交换律的运算，如果存在一个确定的有理数n，使得任意有理数a和它进行这种运算后的结果都等于a本身，那么n叫做这种运算下的单位元．如果两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元，那么这两个有理数互为逆元．
由上述材料可知：
（1）有理数在加法运算下的单位元是 　 　 ，在乘法运算下的单位元是 　 　 ；在加法运算下，3的逆元是 　 　 ，在乘法运算下，某个数没有逆元，这个数是 　 　 ．
（2）在有理数范围内，我们定义一种新的运算：x*y＝x+y﹣xy，例如3*2＝3+2﹣3×2＝﹣1．
①求在这种新的运算下的单位元；
②在这种新的运算下，求有理数2023的逆元．
第2章 有理数的运算
参考答案与试题解析
一、选择题
1．﹣1的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此解答即可．
【解答】解：﹣1的倒数是．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2．“珍爱地球，人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题，旨在倡导公众保护自然资源．全市现有自然湿地28700公顷，人工湿地13100公顷，这两类湿地共有（　　）
A．4.18×105公顷 B．4.18×104公顷
C．4.18×103公顷 D．41.8×102公顷
【答案】B
【分析】利用科学记数法把大数表示为a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式．
【解答】解：28700+13100＝4.18×104．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，做题关键要掌握用科学记数法表示大数．
3．a为有理数，定义运算符号▽：当a＞﹣2时，▽a＝﹣a，当a＜﹣2时，▽a＝a；当a＝﹣2时，▽a＝0．根据这种运算，则▽[4+▽（2﹣5）]的值为（　　）
A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1
【答案】D
【分析】根据符号▽的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出算式▽[4+▽（2﹣5）]的值是多少即可．
【解答】解：▽[4+▽（2﹣5）]
＝▽[4+▽（﹣3）]
＝▽[4+（﹣3）]
＝▽1
＝﹣1
故选：D．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
4．已知a、b是有理数，|a|＝﹣a，|b|＝b，且|a|＞|b|＞0，用数轴上的点来表示a，b，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由绝对值的定义确定a、b的符号以及绝对值，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由于|a|＝﹣a，|b|＝b，即a为非正数，b为非负数，
又∵|a|＞|b|＞0，
∴a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
在数轴上表示a、b大致如下：
故选：C．
【点评】本题考查绝对值，数轴表示数，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的前提．
5．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第①幅图中★的个数为a1，第②幅图中★的个数为a2，第③幅图中★的个数为a3…，以此类推，第幅图中★的个数为an，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形分别写出相应的a1，a2，a3，…，不难发现其规律，再利用规律求解即可．
【解答】解：由题意得：a1＝2＝1×2，
a2＝6＝2×3，
a3＝12＝3×4，
a4＝20＝4×5，
…，
则an＝n（n+1），
则
＝n（）
＝n（1）
．
故选：D．
【点评】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是则所给的图形分析清楚所存在的规律．
二、填空题
6．下列情景描述的结果与25相符的是 　②③　 （填写所有正确选项的序号）
①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数；
②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数；
③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意分别计算各个选项的结果即可得出结论．
【解答】解：①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数为1+2+4+8+16＝31条，故①不符合题意；
②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数为25，故②符合题意；
③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数为25，故③符合题意；
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数乘方的知识是解题的关键．
7．如果|﹣m|＝3，n2＝49，|m﹣n|＝n﹣m，那么代数式m+n＝　10或4　 ．
【答案】10或4．
【分析】先根据题意分析出m与n的值，再代入式子进行计算即可．
【解答】解：由题可知，m＝±3，n＝±7，
又知|m﹣n|＝n﹣m，
则m﹣n为负数，
故m＝±3，n＝7，
则m+n＝10或4．
故答案为：10或4．
【点评】本题考查有理数的乘方和绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
8．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是117，则m的值是 　11　 ．
【答案】11．
【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数117的是从3开始的第58个数，然后确定出58所在的范围即可得解．
【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3“分裂“成m个奇数，
∴到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m，
∵2n+1＝117，n＝58，
∴奇数117是从3开始的第58个奇数，
∵54，65，
∴第58个奇数是底数为11的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了数字变化规律，有理数的混合运算，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．
三、解答题
9．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）﹣1．
【分析】（1）将原式变形后逆用乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方并把最后一项利用乘法分配律展开，再算绝对值，然后算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：（1）原式
＝（）
；
（2）原式＝﹣|﹣16|﹣（﹣8）﹣（242424）
＝﹣16+8﹣（8﹣18+3）
＝﹣16+8﹣（﹣7）
＝﹣16+8+7
＝﹣1．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10．某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨．该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：将其中60吨蔬菜进行精加工，其余粗加工，能否在规定时间内加工完成，如果能，作为可行方案．
方案三：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接出售．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
【答案】见试题解答内容
【分析】要判定哪一种方案获利最多，只要求出每种方案获利多少，再进行比较就可以解决问题．
【解答】解：选择第二种方案获利最多．
方案一：因为每天粗加工6吨，140吨可以在15天内加工完．
总利润W1＝4500×140＝630000（元）
方案二：因为精加工60吨蔬菜需要60÷6＝10天，（140﹣60）÷16＝5天，刚好能在规定时间内加工完成．
总利润W2＝60×7500+80×4500＝810000（元）
方案三：因为每天精加工6吨，15天可以加工90吨，其余50吨直接销售．
总利润W3＝90×7500+50×1000＝725000（元）
综合以上三种方案的利润情况，知W1＜W3＜W2，所以第二种方案获利最多．
【点评】考查了有理数的混合运算，选择获利最多方案，用到的关系式为每吨获利×吨数＝总获利，注意精加工和粗加工每吨获利不同．
11．阅读材料，并回答问题：
对于某种满足交换律的运算，如果存在一个确定的有理数n，使得任意有理数a和它进行这种运算后的结果都等于a本身，那么n叫做这种运算下的单位元．如果两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元，那么这两个有理数互为逆元．
由上述材料可知：
（1）有理数在加法运算下的单位元是 　0　 ，在乘法运算下的单位元是 　1　 ；在加法运算下，3的逆元是 　﹣3　 ，在乘法运算下，某个数没有逆元，这个数是 　0　 ．
（2）在有理数范围内，我们定义一种新的运算：x*y＝x+y﹣xy，例如3*2＝3+2﹣3×2＝﹣1．
①求在这种新的运算下的单位元；
②在这种新的运算下，求有理数2023的逆元．
【答案】（1）0、1、﹣3、0；
（2）①0；
②．
【分析】（1）根据阅读材料中的定义解答问题；
（2）①根据新定义，列出等式，解出即可；
②在①的基础上求出有理数m的逆元，即可求出有理数2023的逆元．
【解答】解：（1）∵0加任何数都等与它本身，
∴有理数在加法运算下的单位元是0，
∵1乘以任何数都等与它本身，
∴乘法运算下的单位元是1，
∴在加法运算下，3的逆元是﹣3，
在乘法运算下，某个数没有逆元，这个数是0，
故答案为：0、1、﹣3、0；
（2）①设a是新的运算下的单位元，
根据题意，得x*a＝x+a﹣ax＝x，
解得a＝0，
∴在这种新的运算下的单位元是0；
②设m的逆元是n，
m*n＝m+n﹣mn＝0，
解得n（m≠1），
∴任意有理数m的逆元是n（m≠1）
∴有理数2023的逆元是．
【点评】本题考查新定义理解，有理数的运算，整式运算，分式运算，理解新定义是解题的关键．
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