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第4章 代数式
一、选择题
1．下列判断中正确的是（　　）
A．是多项式
B．，都是单项式
C．是一次多项式，项数为2
D．单项式的次数是6
2．下列计算正确的是（　　）
A．
B．（a+b2）+（﹣a2﹣b）＝0
C．a2b﹣2ab2﹣a2b+2ab2＝0
D．﹣2（a+b）+（2b+a）＝﹣b
3．张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b）；回来后，根据市场行情，他将这两种小商品都以每件元的价格出售，在这次买卖中，张师傅是（　　）
A．赚钱 B．赔钱
C．不赚不赔 D．无法确定赚和赔
4．若有理数a，b，c在数轴上的对应点A，B，C位置如图，化简|c|﹣|c﹣b|+|a+b|＝（　　）
A．a B．2b+a C．2c+a D．﹣a
5．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，第五行的数是（　　）
A．109 B．91 C．78 D．73
二、填空题
6．已知5xm+2y3与是同类项，则（﹣m）3+n等于　 　 ．
7．已知关于x的多项式﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3）的取值不含x2项，那么a的值是 　 　 ．
8．我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数m是否是“大吉数”，可以用m的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为F（m），如果F（m）是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则F（253448）＝448﹣253＝195，因为195÷13＝15，所以F（253448）是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若p，q均为“大吉数”，且p＝1010+110x，q＝4060+101y+z（0≤x≤8，1≤y≤6，0≤z≤3，且x、y、z均为整数），则F（p+q）的最大值为 　 　 ．
9．大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n＝？经过研究，这个问题的结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）＝？观察下面三个特殊的等式：
，
，
，
将这三个等式的两边相加，可以得到．
根据上述规律，请你计算：1×2+2×3+…+n（n+1）＝　 　 ；1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）＝　 　 ．
三、解答题
10．（1）已知a﹣3b＝2，m+2n＝4，求代数式2a﹣6b﹣m﹣2n的值；
（2）已知：|x+1|+（y﹣5）2＝0，求代数式3x2y﹣[5xy2﹣2（4xy2﹣3）+2x2y]的值．
11．如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为x、y，请你计算：
（1）第3个正方形的边长＝　 　 ；第5个正方形的边长＝　 　 ；
（2）求第10个正方形的边长；（用含x、y的代数式表示）
（3）当x＝2时，求第9个正方形的面积．
第4章 代数式
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列判断中正确的是（　　）
A．是多项式
B．，都是单项式
C．是一次多项式，项数为2
D．单项式的次数是6
【答案】C
【分析】根据单项式以及多项式的概念逐项判断即可得到结果．
【解答】解：A、中不是整式，故不是多项式，故该选项错误；
B、，都不是整式，故不是单项式，故该选项错误；
C、，故是一次多项式，项数为2，故该选项正确；
D、单项式的次数是4，故该选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了单项式以及多项式的判断、单项式以及多项式的项和次数，熟练运用概念是解题的关键．
2．下列计算正确的是（　　）
A．
B．（a+b2）+（﹣a2﹣b）＝0
C．a2b﹣2ab2﹣a2b+2ab2＝0
D．﹣2（a+b）+（2b+a）＝﹣b
【答案】C
【分析】根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项．
【解答】解：A、，故A错误；
B、（a+b2）+（﹣a2﹣b）＝a﹣a2+b2﹣b≠0，故B错误；
C、a2b﹣2ab2﹣a2b+2ab2＝0，故C正确；
D、﹣2（a+b）+（2b+a）＝﹣a≠﹣b，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3．张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b）；回来后，根据市场行情，他将这两种小商品都以每件元的价格出售，在这次买卖中，张师傅是（　　）
A．赚钱 B．赔钱
C．不赚不赔 D．无法确定赚和赔
【答案】A
【分析】应该比较他的总进价和总售价．分别表示出总进价为：20a+30b，总售价为（20+30）＝25a+25b，通过作差法比较总进价和总售价的大小，判断他是赔是赚．
【解答】解：根据题意可知：
总进价为20a+30b，总售价为（20+30）＝25a+25b
∴25a+25b﹣（20a+30b）＝5a﹣5b，
∵a＞b，
∴5a﹣5b＞0，那么售价＞进价，
∴他赚了．
故选：A．
【点评】列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系．本题要注意应该比较他的总进价和总售价．
4．若有理数a，b，c在数轴上的对应点A，B，C位置如图，化简|c|﹣|c﹣b|+|a+b|＝（　　）
A．a B．2b+a C．2c+a D．﹣a
【答案】D
【分析】根据数轴判断c、c﹣b、a+b与0的大小关系．
【解答】解：由数轴可知c＞0，c﹣b＞0，a+b＜0，
∴原式＝c﹣（c﹣b）﹣（a+b）
＝c﹣c+b﹣a﹣b
＝﹣a
故选：D．
【点评】本题考查绝对值的性质，解题的关键是正确理解绝对值的性质，本题属于基础题型．
5．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21…，第五行的数是（　　）
A．109 B．91 C．78 D．73
【答案】C
【分析】观察根据排列的规律得到第一行为0，第二行为0加6个数即为6，第三行为从6开始加15个数得到21，第四行为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一行加的数多9，由此得到第五行的数．
【解答】解：∵第一行为0，
第二行为0+6＝6，
第三行为0+6+15＝21，
第四行为0+6+15+24＝45，
第五行为0+6+15+24+33＝78，
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
二、填空题
6．已知5xm+2y3与是同类项，则（﹣m）3+n等于　﹣3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用同类项的定义得出m，n的值进而得出答案．
【解答】解：∵5xm+2y3与是同类项，
∴m+2＝3，3＝﹣n+1，
解得：m＝1，n＝﹣2，
∴（﹣m）3+n＝﹣1﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．
7．已知关于x的多项式﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3）的取值不含x2项，那么a的值是 　2　 ．
【答案】2．
【分析】先去括号、合并同类项化简，然后根据题意令x2的系数为0即可求出a的值．
【解答】解：﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3）
＝﹣2x3+6x2+9x+1﹣3ax2+5x﹣3
＝﹣2x3+（6﹣3a）x2+14x﹣2，
∵关于x的多项式﹣2x3+6x2+9x+1﹣（3ax2﹣5x+3）的取值不含x2项，
∴6﹣3a＝0，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查的是整式的加减，掌握去括号法则、合并同类项法则，不含某项即化简后令其系数为0是解决此题的关键．
8．我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数m是否是“大吉数”，可以用m的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为F（m），如果F（m）是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则F（253448）＝448﹣253＝195，因为195÷13＝15，所以F（253448）是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若p，q均为“大吉数”，且p＝1010+110x，q＝4060+101y+z（0≤x≤8，1≤y≤6，0≤z≤3，且x、y、z均为整数），则F（p+q）的最大值为 　819　 ．
【答案】819．
【分析】根据“大吉数的”的定义可分别表示F（q）和F（p），再根据“大吉数”的定义可得出p，q的值，进而可得出结论．
【解答】解：∵p为“大吉数”，p＝1010+110x，（0≤x≤8，1≤y≤6，0≤z≤3，且x、y、z均为整数），
∴F（p）＝100x+10（x+1）﹣1＝110x+9＝13×8x+6x+9，
∴6x+9为13的倍数，
∴x＝5，
∴p＝1560；
∵q均为“大吉数”，q＝4060+101y+z，
∴当1≤y≤3时，F（q）＝100y+60+y+z﹣4＝104y+52﹣3y+4+z，
∴﹣3y+4+z是13的倍数，
∴当y＝2时，z＝2，此时q＝4264；
当y＝6时，z＝1；此时q＝4667；
∴p+q＝1560+4264＝5824或p+q＝1560+4667＝6227，
∴F（p+q）＝824﹣5＝819；或F（p+q）＝227﹣6＝221，
∴F（p+q）的最大值为819．
故答案为：819．
【点评】本题考查新定义的运算及整除问题，解题的关键是正确理解新定义，求出p，q的值是解题关键．
9．大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n＝？经过研究，这个问题的结论是，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）＝？观察下面三个特殊的等式：
，
，
，
将这三个等式的两边相加，可以得到．
根据上述规律，请你计算：1×2+2×3+…+n（n+1）＝　　 ；1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察已知的三个等式，得出一般性的规律，根据得出的规律表示出1×2+2×3+…+n（n+1）的每一项，抵消合并后即可得到结果；依此类推得到1×2×3（1×2×3×4﹣0×1×2×3），2×3×4（2×3×4×5﹣1×2×3×4），
总结出一般性规律，将各项变形后，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据阅读材料中的例子得：1×2+2×3+…+n（n+1）
（1×2×3﹣0×1×2）（2×3×4﹣1×2×3）[n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]
n（n+1）（n+2）；
依此类推：1×2×3（1×2×3×4﹣0×1×2×3），2×3×4（2×3×4×5﹣1×2×3×4），
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
（1×2×3×4﹣0×1×2×3）（2×3×4×5﹣1×2×3×4）[（n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：n（n+1）（n+2）；n（n+1）（n+2）（n+3）
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，其中弄清题意，得出一般性的规律是解本题的关键．
三、解答题
10．（1）已知a﹣3b＝2，m+2n＝4，求代数式2a﹣6b﹣m﹣2n的值；
（2）已知：|x+1|+（y﹣5）2＝0，求代数式3x2y﹣[5xy2﹣2（4xy2﹣3）+2x2y]的值．
【答案】（1）0；
（2）x2y+3xy2﹣6，﹣76．
【分析】（1）先变形，再整体代入，即可求出答案；
（2）根据绝对值和偶次方的非负性求出x、y的值，再根据整式的加减法法则合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）a﹣3b＝2，m+2n＝4，
∴2a﹣6b﹣m﹣2n
＝2（a﹣3b）﹣（m+2n）
＝2×2﹣4
＝4﹣4
＝0；
（2）∵|x+1|+（y﹣5）2＝0，
∴x+1＝0且y﹣5＝0，
解得：x＝﹣1，y＝5，
3x2y﹣[5xy2﹣2（4xy2﹣3）+2x2y]
＝3x2y﹣[5xy2﹣8xy2+6+2x2y]
＝3x2y﹣5xy2+8xy2﹣6﹣2x2y
＝x2y+3xy2﹣6，
当x＝﹣1，y＝5时，原式＝（﹣1）2×5+3×（﹣1）×52﹣6
＝1×5﹣3×25﹣6
＝5﹣75﹣6
＝﹣76．
【点评】本题考查了绝对值、偶次方的非负性和整式的化简求值，能正确根据整式的加减法法则进行化简是解此题的关键．
11．如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为x、y，请你计算：
（1）第3个正方形的边长＝　x+y　 ；第5个正方形的边长＝　x+3y　 ；
（2）求第10个正方形的边长；（用含x、y的代数式表示）
（3）当x＝2时，求第9个正方形的面积．
【答案】（1）x+y；x+3y；
（2）3y﹣3x；
（3）10．
【分析】（1）根据各个正方形的边的和差关系分别表示出第3和第5个正方形的边长即可；
（2）根据各个正方形的边的和差关系分别表示出第10个正方形的边长即可；
（3）根据各个正方形的边的和差关系分别表示出第9个正方形的边长，然后代入求解即可．
【解答】解：（1）∵标注1、2的正方形边长分别为x、y，
∴第3个正方形的边长为x+y；
∴第4个正方形的边长为x+y+y＝x+2y；
∴第5个正方形的边长为x+y+y+y＝x+3y；
故答案为：x+y；x+3y；
（2）根据题意可得，
∴第6个正方形的边长为x+3y+y﹣x＝4y；
∴第7个正方形的边长为4y﹣x；
∴第10个正方形的边长为4y﹣x﹣x﹣（x+y）＝4y﹣2x﹣x﹣y＝3y﹣3x；
（3）根据题意可得，
∴第9个正方形的边长为x+y+x+2y﹣（3y﹣3x）＝2x+3y﹣3y+3x＝5x，
∴当x＝2时，5x＝5×2＝10，
∴当x＝2时，求第9个正方形的面积为10．
【点评】本题考查了图形的变化规律，整式的加减运算，代数式求值；结合图形找到各正方形的边长关系是解题关键．
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