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2024-2025 学年重庆市沙坪坝区西藏中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知曲线 = ( )在 = 5 处的切线方程是 = 2 + 8，则 (5)与 ′(5)分别为( )
A. 3，3 B. 3， 1 C. 1，3 D. 2， 2
2.一个袋子中装有 3 个红球和 3 个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，
设 =“第一次摸到黑球”， =“第二次摸到红球”，则 与 的关系为( )
A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等
3 2.在二项式( )
5的展开式中，含 项的二项式系数为( )
A. 10 B. 5 C. 10 D. 40
4.国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了 6 个志愿服务小组，分配到 4 个大门进行行李
搬运志愿服务，若每个大门至少分配 1 个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在 1 个大门进行服务，则
不同的分配方法种数为( )
A. 65 B. 125 C. 780 D. 1560
5.设 0 < < 2，随机变量 的分布列为
0 2
1 1 1

2 3 6
当随机变量 的方差 ( )取得最小值时， =( )
A. 1 B. 13 2 C.
2
3 D.
3
4
6.( 2 + 1)( 2)10 = ( 1)12 + ( 1)110 1 + … + 11( 1)1 + 12，则 0 + 1 + … + 11的值为( )
A. 2 B. 0 C. 2 D. 4
7.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比
2 1
赛甲队获胜的概率为3，乙队获胜的概率为3，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为( )
A. 14 B. 1 C. 1781 3 81 D.
16
81
8 .对于函数 ( ) = ，下列说法错误的是( )
A. ( )在 = 1处取得极大值 B. ( )有两个不同的零点
C. (2) < ( ) < (3) D.若 ( ) < 1 在(0, + ∞)上恒成立，则 > 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下面几种概率是条件概率的是( )
A.甲、乙两人投篮命中率分别为 0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B.猎人打猎时，有一猎物在 100 米处，第一次击中的概率是 50%，在第一次没有击中的情况下，猎物逃跑
到 150 米处，第二次击中的概率
C.一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，则这个家庭在有一个小孩是女孩的条件下，另一个是
男孩的概率
D. 2小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是5，小明在一次上学路上遇到红灯的概率
10.下列说法正确的是( )
A.设随机变量 等可能取 1，2，3， ， ，如果 ( < 4) = 0.3，则 = 10
B. 3若随机变量 的概率分布为 ( = ) = ( +1) ( = 1,2,3,4)，且 是常数，则 = 4
C.已知 3 = 4 ，则 = 27
D. 1已知随机变量 ～ (4, 4 )，则 (2 + 3) = 5
11 2 .对于函数 ( ) = 2 ，下列说法正确的有( )
A. ( ) = 1在 处取得极大值
B. ( )只有一个零点
C. ( ) > (2)
D. ( ) < 1若 2在(0, + ∞)上恒成立，则 >
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = 3 2 ，那么 ( )在点(1, (1))处的切线方程为 ．
13.在(3 3 ) 的二项式中，所有的二项式系数之和为 256，则常数项等于______．
14.已知随机变量 的分布列为：

1
3
其中 > 0， > 0 1 1，若 ( ) = 1，则 + 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
有 4 名男生和 2 名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？
(Ⅰ)男生甲不站排头和排尾．
(Ⅱ)两名女生必须相邻．
(Ⅲ)甲、乙、丙三名同学两两不相邻．
(Ⅳ)甲不站排头，乙不站排尾．
16.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = ．
(1)当 = 0 1时，求函数 ( )在[ 2 , 2]上的极值；
(2)当 = 2 时，求函数 ( )的单调区间．
17.(本小题 15 分)
在一个盒子中有大小与质地相同的 10 个球，其中 5 个红球，5 个白球，两人依次不放回地各摸个 1 球，求：
(1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率；
(2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率．
18.(本小题 17 分)
某学校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有
合格和优秀两个等次，若某志愿者考核我合格，授予 1 个学分；考核为优秀，授予 2 个学分，假设该校志
4 2
愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为5 , 3 ,
2
3，他们考核所得的等次相互独立．
(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1 ( ∈ )．
(1)若 = 2，求 ( )在[ 1 , ]上的最大值和最小值；
(2)若 = 1，当 > 1 时，证明： > ( )恒成立；
(3)若函数 ( )在 = 1 处的切线与直线 ： = 1 垂直，且 ( ) + + > 1 对任意的 ∈ (1, +
∞)恒成立，求 的最大整数值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = 0
13.252
14.1 + 2 23
15.解：(Ⅰ) ∵甲不站排头也不站排尾，
∴甲要站在除去排头和排尾的四个位置，
余下的五个位置使五个元素全排列，
根据分步计数原理知共有 1 54 5 = 480 种；
(Ⅱ)两名女生必须相邻，利用捆绑法，有 2 52 5 = 240 种；
(Ⅲ) ∵甲、乙、丙不相邻，
∴可以采用甲，乙和丙插空法，
首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有 33种结果，
再在三个元素形成的四个空中排列 3 个元素，共有 34，
根据分步计数原理知共有 3 33 4 = 144 种．
(Ⅳ)甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法，可得有 66 2 55 + 44 = 504 种．

16.(1)因为函数 ( ) = ，

所以，当 = 0 时，函数 ( ) = [ 1 , 2] ( ) = ( 1) ，其定义域为 2 ，则 ′ 2 (
1
2 ≤ ≤ 2)，
令 ′( ) = 0，解得 = 1，
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1
当2 < < 1 时， ′( ) < 0，当 1 < < 2 时， ′( ) > 0，
1
所以 ( )在( 2 , 1)单调递减，在(1,2)单调递增，
所以 ( ) 1在[ 2 , 2]上的极小值为 (1) = ，无极大值；
(2) 2当 = 2 时，函数 ( ) = 2 ，其定义域为(0, + ∞)，
( ) = (
2)( 1)
则 ′ 2 ，
( 2)( 1)
令 ′( ) = 2 = 0，解得 = 2 或 = 1，
当 0 < < 2， ′( ) > 0， ( )在(0, 2)上单调递增，
当 2 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在( 2,1)上单调递减，
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
综上： ( )的单调递增区间为(0, 2)，(1, + ∞)，单调递减区间为( 2,1)．
17.解：(1)设事件 表示：第一个人摸出红球， 表示：第二个人摸出白球，
第一个人摸出 1 个红球后，盒子中还有 9 个球，其中 4 个红球，5 个白球，
5
故在第一个人摸出 1 个红球的条件下，第二个人摸出 1 个白球的概率 ( | ) = 9；
(2)设事件 表示：第一个人摸出红球， 表示：第二个人摸出白球，
事件：第一个人摸出 1 个红球，且第二个人摸出 1 个白球即事件 ，
15
15 5
所以 ( ) = 2 = ． 10 18
18.解：(1)记“甲考核为优秀”为事件 ，“乙考核为优秀”为事件 ，
“丙考核为优秀”为事件 ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件 ．

则 ( ) = 1 ( ) = 1 ( ) ( ) ( )
1 1 1
= 1 5 × 3 × 3
= 4445．
(2)由题意，得 的可能取值是 3，4，5，6．

因为 ( = 3) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = 145，

( = 4) = ( ) + ( ) + ( ) = 845，
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( = 5) = ( ) + ( ) + ( ) = 49，
( = 6) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = 1645，
所以 的分布列为：
3 4 5 6
1 8 4 16
45 45 9 45
( ) = 3 × 1 8 4 16 7745 + 4 × 45 + 5 × 9+ 6 × 45 = 15．
19.(1)解：当 = 2 时， ( ) = 2 1 ， 2 1′( ) = ( > 0)，
当 ∈ (0, 12 )时， ′( ) < 0， ( )在(0,
1
2 )单调递减；
当 ∈ ( 12 , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )在(
1
2 , + ∞)单调递增；
故 ( ) 1 1 1 1在[ , ]上的递减区间为[ , 2 ]，递增区间为[ 2 , ]，
函数 ( ) 1的极小值 ( 2 ) = 2 是唯一的极小值，无极大值．
( 1 ) = 2又 , ( ) = 2 2 > (
1
)，
∴ ( )在[ 1 , ]上的最大值是 2 2，最小值是 2；
(2)证明：当 = 1 时，令 ( ) = ( ) = + + 1，
′( ) = + 1 ( > 0)．
当 > 1 时， ′( ) > 0，则 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
∴当 > 1 时， ( ) > (1) = 0，∴ > ( )恒成立．
(3)解：∵函数 ( )的图象在 = 1 处的切线与直线 ： = 1 垂直，
∴ ′(1) = 0，即 1 = 0，解得 = 1，
∴ ( ) = 1 ．
∵对 ∈ (1, + ∞)， ( ) + + ≥ 1 恒成立，
∴对 ∈ (1, + ∞)， ( 1) + > 0 恒成立．
设 ( ) = ( 1) + ，则 ′( ) = + 2 ，
令 ′( ) = 0，得 = 2．
当 2 ≤ 1，即 ≤ 2 时， ∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增，
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∴ ( ) > (1) = 1 > 0，符合题意．
当 2 > 1，即 > 2 时，
由 ′( ) < 0，得 1 < < 2；由 ′( ) > 0，得 > 2，
∴函数 ( )在区间(1, 2)上单调递减，在区间( 2, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) 2 = ( ) = 2，需 2 > 0，得 > 2．
当 = 3 时，3 > ，成立；当 = 4 时，4 > 2，不成立；当 ≥ 5 时， > 2都不成立，
∴实数 的最大整数值为 3．
综上，实数 的最大整数值为 3．
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