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人教版2025年八年级上册13.3 《三角形的内角和外角》同步练习
一、选择题
1．如图，x的值是（ ）
A．33 B．34 C．67 D．69
2．如图，在中，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，点D在的延长线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一副三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，平分，．，．则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
7．在图中，（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，平分，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，为边上的高，，，则的度数是（ ）
A． B．或 C．或 D．
10．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，，，则 ．
12．如图，图中的等于 ．
13．如图，在中，于点是的平分线，交于点 ，则的度数为 ．
14．如图，，，，则 度．
15．如图，在中，平分，若，则的度数为 ．
16．如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则 ．
17．如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 ．
三、解答题
18．如图，已知，求的度数．
19．如图，在中，于点，平分交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数．
20．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点．
(1) ；
(2)若．求证：为“智慧三角形”；
(3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数．
21．如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D．
(1)求的度数；
(2)当中有两个相等的角时，求的度数．
22．如图所示的图形，像我们常见的符号 箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．
(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由；
(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______；
如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数．
23．【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由；
【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示）
24．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，．
初探：
（1）如图1，若点P在线段上，且，则________；
（2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________；
（3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________．
再探：
（4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由．
（5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A D D A C C A
1．A
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形内角和是，由此即可计算，关键是掌握三角形内角和定理．
【详解】解：由三角形内角和定理得：，
∴．
故选：A．
2．C
【分析】根据三角形的内角和定理计算解答即可．
本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵中，，，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查三角形外角的定义.根据三角形外角的定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选C．
4．A
【分析】根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．
【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意；
B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意；
C、由及可得，，是直角三角形，故不符合题意；
D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键．
5．D
【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．如图，由题意知，，由三角形外角的性质得到，求出，由对顶角的定义得到，再根据三角形内角和定理得到，最后由对顶角的定义即可得到结果．
【详解】解：如图，由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了与角平分线的三角形内角和性质，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平分，得，根据，则，再把数值代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
解得，
故选：D
7．A
【分析】根据三角形外角的性质解答即可．
本题考查了三角形外角的性质．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查平行的性质、平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键，根据，可得，再由平分，得到，最后利用三角形内角和定理即可求得的度数．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：如图，当为锐角三角形时，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴；
如图，当为钝角三角形时，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴；
综上，的度数是或，
故选：．
10．A
【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理．
通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数．
【详解】由题知：
，
，
，
，
故选：A．
11．
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得答案.
【详解】解：由题意可得：，
故答案为：
13．
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线及高线性质，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系．利用内角和定理分别求出与，由角平分线定义得，即可求出．
【详解】解： ，
．
，，
．
是的平分线，
．
．
故答案为：．
14．140
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义求解即可．
【详解】解：，
，
，，
，
，即，
故答案为：140．
15．
【分析】由三角形的内角和定理可求解的度数，结合角平分线的定义可得的度数，利用垂直的定义以及三角形外角性质得，最后运用三角形内角和性质列式计算，即可作答．本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
16．/10度
【分析】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由三角形外角的性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
17．/度
【分析】此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，掌握以上知识是解题的关键．根据，分别为的内、外角平分线分别设，，再根据，分别为的内，外角平分线，得到和 ，最后根据 和 求出 即可．
【详解】解： ，分别为的内、外角平分线，
，，
设，，
，，
又 ，分别为的内，外角平分线，
，，
，，
又，
，
又，
，
，
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余得到，，再由平角即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．
（1）先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，则，根据即可解题；
（2）仿照（1）的步骤求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20．(1)50
(2)为“智慧三角形”
(3)的度数为或或或
【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）求出的度数，得到，据此即可证明；
（3）由可得，再分，，，，和六种情况解答即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：50；
（2）证明：∵，，
∴
∴
∴为“智慧三角形”
（3）解：分情况讨论：①当时，，，
∴；
②当时，，，故舍去；
③当时，，故舍去；
④当时，，
∴；
⑤当时，，；
⑥当时，，
∴；
综上所述，的度数为或或或
21．(1)
(2)或
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论．
（1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出；
（2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算．
【详解】（1）解：，平分，
，
，
；
（2）解：，，
∴，
当时，
；
当时，
，
，
；
或．
22．(1)，理由见解析；
(2) ； ．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据三角形的内角和定理即可求解；
（）根据（）中结论即可求解；
设，，根据（）中结论即可求解．
【详解】（1）解：，理由：
连接，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：由（）得，
∵，，
∴，
故答案为：；
如图，设，，
由（）可知，，
∴，
∵，
∴．
23．（1）见解析 （2）30° （3）
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等，利用类比的思想解答是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理，对顶角相等，即可求证；
（2），得，再由角平分线的定义，得到 ，即可求解；
（3）利用（1）的结论及（2）的思路得、；结合、，推出、；代入得到含、、的两个等式①②；对①式乘后与②式相加，消去、，整理得 。
【详解】解：（1）和，
，．
，
（2）分别平分，
，
由（1）可知：
由①+②可得，
，即，
，，
．
（3）直接写出结论：．
由（1）可知：，
，
，，
，，
①，
②，
由①②得：
，
．
24．（1）130
（2）
（3）
（4），理由见解析
（5）或，图见解析，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键．
（1）如图1所示，连接，证明即可得到答案；
（2）只需要证明即可得到答案；
（3）利用三角形外角的性质求解即可；
（4）利用三角形外角的性质求解即可；
（5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图1所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴
故答案为：；
（3）解：设与交于F，
∵，，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴；
（5）解：如图5-1所示，
∵，
∴
如图5-2所示，
∵，
∴

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