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2024-2025 学年云南省文山一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量 服从两点分布， ( ) = 0.6，则其成功概率为( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
2.生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量
与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数
5
据，计算得到的回归方程为： = 2 + 44，但由于保存不妥，丢失了一个数据(表中用字母 代替)，则( )
温度 (℃) 6 8 10
病毒数量 (万个) 30 22
A. = 19 B. = 20
C. = 21 D. 的值暂时无法确定
3.已知曲线 ( ) = 1 22 2 上一点(1, 0)，记 ′( )为函数 ( )的导数，则 (1) + ′(1) =( )
A. 3 B. 3 C. 1 12 2 2 D. 2
4.如图，给编号为 1，2，3，…，6 的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻
两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域(如区域 1 与区域 4)所涂颜色相
同.若有 5 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有( )
A. 60 种 B. 80 种 C. 100 种 D. 125 种
5.无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标.普宙 2000 系列是我国生产
的一款民用无人机，其飞行的最大距离 (千米)服从正态分布 ～ (15, 2)，记 ( > 15 ) = ， (15
< < 15) = ，当 变小时，则( )
A. 变大 B. 变小 C. + 不变 D. 变小
6.关于二项式( 2 )(1 + )
6，若展开式中含 3的项的系数为 21，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 1
7.设曲线 = 在点(0,1)处的切线与直线 + 2 = 0 垂直，则 的值是( )
A. 1 12 B. 2 C. 2 D. 2
8.现有 1 位老师，2 位女同学， 位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位
男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有 184
种，则 的值为( )
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A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项展开式(1 )2025 = 0 + 1 + 2 + + 20252 2025 ，则( )
A. 0 = 1 B. 1 + 2 + + 2025 = 0
C. 1 + 2024 = 0 D. + + + + = 220240 2 4 2024
10.已知随机变量 ， 分别服从正态分布和二项分布，即 ～ (3,2) 1， ～ (9, 3 )，则下列选项正确的是( )
A. ( ≤ 3) = 12 B. ( ) = ( ) C. ( ) = ( ) D. ( = 1) =
1
3
3 2
11 ( ) = + + 10.已知函数 3 2 3， ∈ ，下列说法正确的是( )
A.函数 ( )有两个极值点，则 < 0
B.当 < 0 时，函数 ( )在(0, + ∞)上有最小值
C.当 = 2 时，函数 ( )有一个零点
D.当 > 0 时，函数 ( )在( ∞,0)上单调递增
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12.已知随机变量 的概率分布为 ( = ) = 2+ ( ∈ , = 1,2,3)，则 = ______．
13.某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如表
所示，其中 ∈ ，且 < 16，若有 90%的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则 的值是
______．
对工作满 对工作不
意 满意
男 5 5
女 4 6
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2
≥ ) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010
0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
14.为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与
一次.游戏规则如下：
第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上 7 枚黑棋；
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第二步，学生自行选择空格放上 2 枚白棋；
最终，每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线.若未连成线，则获安慰奖；连成一、
二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况．
现在小明和小红都可参与一次游戏.小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放上白棋，则他获二
等奖的方法数有______种；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有
4 枚在第一列”的条件下，她获一等奖的方法有______种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某市统计了 2024 年 4 月每一天的空气质量指数( )，将其分为[0,50]、(50,100]、(100,150]、(150,200]
的 4 组，画出频率分布直方图如图所示.若 ≤ 100，称当天空气质量达标；若 > 100，称当天空气质
量不达标．
(1)从 4 月的 30 天中任取 2 天，求至少有 1 天空气质量达标的概率；
(2)若 2024 年 6 月的 30 天中有 8 天空气质量达标，请完成下面 2 × 2 列联表，根据小概率值 = 0.1 的独
立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？
空气质量
月份 合计
达标 不达标
4 月
6 月
合计
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
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16.(本小题 15 分)
某 公司为了解用户对于公司手机 软件使用的满意情况，在五个不同地区随机抽取用户进行调研，调查
结果如下表：
地区 区 Ⅱ区 Ⅲ区 Ⅳ区 区
调研用户(人数) 250 100 200 50 35
满意率 0.5 0.3 0.7 0.6 0.5
(某区满意率是指：该区调研用户中满意人数与该区调研用户总人数的比值)
假设用户是否满意相互独立．
(1)从所有的调研用户中随机抽取 1 人，求这个用户满意的概率；
(2)用上表数据中每地区使用软件的满意率估计该地区某用户使用软件满意的概率.从Ⅰ区所有使用该软件的
用户和Ⅱ区所有使用该软件的用户中各随机抽取 1 人，设其中满意的人数为 ，求 的分布列和期望；
17.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = +1 2 ．
(1)当 = 0 时，求曲线 = ( )在点( 1, ( 1))处的切线方程；
(2)若 ( )在区间[ 1, + ∞)上单调递增，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根
据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如表所示．
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.5 0.3 0.2
球队胜率 0.6 0.8 0.7
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(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能的出场位置．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + ( + 1)( ∈ )．
(1)当 = 3 时，求 ( )的单调区间；
(2)若 ( )仅有一个极值点，求 的取值范围；
(3)若 ( )在(0,2)上存在唯一零点，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.43
13.14 或 15
14.4 54
15.(1)( + 0.006 + 0.01 + ) × 50 = 1，解得 = 0.002，
因此 4 月份的空气质量达标的天数为 50 × (0.002 + 0.006) × 30 = 12，
因此 4 月份的空气质量不达标的天数为 30 12 = 18，
2 94
因此从 4 月的 30 天中任取 2 天，至少有 1 天空气质量达标的概率为 1 182 = ． 30 145
(2)
空气质量
月份 合计
达标 不达标
4 月 12 18 30
6 月 8 22 30
合计 20 40 60
60(12×22 8×18)2
零假设 0：空气质量是否达标与月份无关，因此 2 = 20×40×30×30 = 1.2 < 0.1，
因此根据小概率值 = 0.1，没有充分理由推断 0不成立，
因此不能认为空气质量是否达标与月份有关联．
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16.解：(1)样本中五个地区的回访用户的总数是：
250 + 100 + 200 + 500 + 350 = 1400，
满意的用户人数 250 × 0.5 + 100 × 0.3 + 200 × 0.7 + 500 × 0.6 + 350 × 0.5 = 770，
770 11
故从所有的调研用户中随机抽取 1 人，则这个用户满意的概率为1400 = 20．
(2)由题意可得 的所有可能取值为 0，1，2．
设事件 为“从 区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”，
事件 为“从 区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”，且 、 为独立事件．
根据题意， ( )的估计为 0.5， ( )的估计为 0.3．

则 ( = 0) = ( ) = (1 ( ))(1 ( )) = 0.5 × 0.7 = 0.35；

( = 1) = ( + ) = ( ) + ( ) = ( )(1 ( )) + (1 ( )) ( )
= 0.5 × 0.7 + 0.5 × 0.3 = 0.5；
( = 2) = ( ) = ( ) ( ) = 0.5 × 0.3 = 0.15．
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2
0.35 0.5 0.15
( ) = 0 × 0.35 + 1 × 0.5 + 2 × 0.15 = 0.8．
17.(1)当 = 0 时， ( ) = +1 2， ′( ) = +1 2 ，
则 ′( 1) = 3， ( 1) = 0，
所以曲线 = ( )在点( 1, ( 1))处的切线方程为 = 3 + 3．
(2) ′( ) = +1 2 ，由题意得， ∈ [ 1, + ∞)， ′( ) ≥ 0 恒成立．
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = +1 2，且 ′( )在[ 1, + ∞)单调递增，
令 ′( ) = 0，解得 = 2 1 > 1，
所以当 ∈ ( 1, 2 1)时， ′( ) < 0，故 F( )单调递减；
当 ∈ ( 2 1, + ∞)时， ′( ) > 0，故 F( )单调递增；
所以 ( ) = ( 2 1) = 4 2 2 ，
又 ′( ) ≥ 0，当且仅当 ( ) ≥ 0，故 ≤ 4 2 2，
所以 的范围为{ | ≤ 4 2 2}．
18.(1)记事件 1 =“球员甲出任边锋”，事件 2 =“球员甲出任前卫”，事件 3 =“球员甲出任中场”，
事件 =“球队获胜”，
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则 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) + ( 3) ( | 3) = 0.5 × 0.6 + 0.3 × 0.8 + 0.2 × 0.7 = 0.68，

故球队输球的概率 ( ) = 1 ( ) = 1 0.68 = 0.32；
(2) ( | ) = ( 2 ) = ( 2) ( | 2) 0.3×0.8 62 ( ) ( ) = 0.68 = 17；
(3) ∵ ( | ) = ( 1 ) = ( 1) ( | 2) = 0.5×0.6 151 ( ) ( ) 0.68 = 34，
( | ) = ( 3 ) = ( 3) ( | 3)3 ( ) ( ) =
0.2×0.7 7
0.68 = 34，
∴ ( 1| ) > ( 2| ) > ( 3| )，故多安排球员甲打边锋，球队相对更易获胜．
19.解：(1)当 = 3 时， ( ) = 2 + ( + 1) = 2 + 3 ( + 1)，
3 2( +
1)2+5
因为 ′( ) = 2 + 2 2 +1 = +1 > 0， > 1，
所以 ( )在( 1, + ∞)上单调递增．
2
(2) ( )的定义域为( 1, + ∞) ， ′( ) = 2 + +1 =
2 +2 +
1+ ，
设 ( ) = 2 2 + 2 + ，
则 ( )在( 1, + ∞)上仅有一个变号零点，
= 4 8 > 0
根据二次函数的性质可得， ( 1) = 2 + 2 ≤ 0，
解得 ≤ 0，即 的取值范围为( ∞,0]．
(3)由(2)，知当 = 4 8 ≤ 0 ≥ 1，即 2时， ′( ) ≥ 0， ( )在( 1, + ∞)上单调递增，
又 (0) = 0，所以 ( )在(0,2)上无零点，不符合题意；
当 = 4 8 > 0 < 1 1 1，即 2时， ( 2 ) = 2 < 0, ( ) = 2
2 + 2 + 1在( 2 , + ∞)上单调递增，
若 (0) = ≥ 0 1，即 0 ≤ < 2时，
当 ∈ (0,2)时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0， ( )在(0,2)上单调递增，又 (0) = 0，不合题意；
(0) = < 0
若 (2) = 12 + ≤ 0，即 ≤ 12 时，
当 ∈ (0,2)时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0， ( )在(0,2)上单调递减，又 (0) = 0，不合题意；
(0) = < 0
若 (2) = 12 + > 0，即 12 < < 0 时，
存在 0 ∈ (0,2)，使得 ( 0) = 0，
当 ∈ (0, 0)时， ( ) < 0， ′( ) < 0， ∈ ( 0, 2)时， ( ) > 0， ′( ) > 0，
故 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, 2)上单调递增， ( 0) < 0，
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当 (2) > 0，即 4 + 3 > 0，即 > 4 3时，存在唯一的 0′ ∈ ( 0, 2)，使得 ( 0′) = 0，
故函数 ( )在(0,2)上存在唯一零点时，
4
所以 的取值范围为( 3 , 0)．
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