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2024-2025 学年四川省资阳市安岳中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数 ( ) = 2 1，当自变量 由 1 变到 1.1 时，函数的平均变化率是( )
A. 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 12.1
2 .已知 1， ， ， 4 成等差数列， 1， ， ， ， 4 成等比数列，则 =( )
A. 1 1 1 1 14 B. 2 C. 2 D. 2或 2
3.已知函数 ( ) = 2 + 2 ′(1) ，则曲线 = ( )在 = 1 处的切线斜率为( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
4 3 +7 .设等差数列{ }，{ }的前 项和分别是 ， ，若 = ，则 6 =( ) 2 6
A. 20 B. 20 C. 17 D. 1717 11 22 12
5.如图为并排的 4 块地，现对 4 种不同的农作物进行种植试验，要求每块地种
植 1 种农作物，相邻地块不能种植同一种农作物且 4 块地全部种上农作物，则
至少同时种植 3 种不同农作物的种植方法种数为( )
A. 24 B. 80 C. 72 D. 96
6.已知函数 ( )的导函数为 ′( ) = 2 2 ，若 < 0，则函数 ( )的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.已知数列{ }满足 1 = 2， +1 = ( + 1) ，数列{ }满足 1 = 2， 2 = 4，且数列{ }是等比数列.设
数列{ }的前 项和为 ，则满足不等式 ≥ 99 2 +2 + 2 成立的整数 的最小值为( )
A. 99 B. 100 C. 199 D. 200
8
( ) ( )
.已知函数 ( ) =
2， ∈ (0, + ∞)，当 2 > 1时，不等式 1 2 < 0 恒成立，则实数 的取值2 1
范围为( )
2 2
A. ( ∞, 12 ] B. ( ∞,

12 ) C. . ( ∞, 2 ) D. . ( ∞,

2 ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
第 1页，共 7页
A. = 1 1 ( , 为正整数且 > > 1)
2
B.满足方程 16 = 5 516 的 值可能为 = 1 或 = 3
C.甲、乙、丙等 5 人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有 36 种排法
D.把 6 个相同的小球分到 3 个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有 10 种
10.首项为正数，公差不为 0 的等差数列{ }，其前 项和为 ，则下列 4 个命题中正确的有( )
A.若 10 = 0，则 5 > 0， 6 < 0
B.若 4 = 12，则使 > 0 的最大的 为 15
C.若 15 > 0， 16 < 0，则{ }中 7最大
D.若 8 < 9，则 7 < 8
, < 1
11.已知函数 ( ) = , ≥ 1 ，函数 ( ) = ( )，下列选项正确的是( ) 3
A.点(0,0)是函数 ( )的零点
B. 1 ∈ (0,1)， 2 ∈ (1,3)，使 ( 1) > ( 2)
2
C. 2 若关于 的方程 ( ) 2 = 0 有一个根，则实数 的取值范围是( 2 , 8 ) ∪ ( 2 , + ∞)
D.函数 ( )的值域为[ 1, + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.从 0，1，2，3，4，5 共 6 个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被 5 整除的三位数的个
数为______．
13.已知定义在 上的函数 ( )满足 (1) = 2， ′( ) < 1，则不等式 ( 2) < 2 + 1 的解集为______．
14
3
.若函数 ( ) = 23 2 + 4 + 1 在区间(1,4)上不单调，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ， 1 = 2， 5 = 20．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) 1若等比数列{ }的公比为 = 2，且满足 4 + 4 = 9，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
现有大小相同的 8 个球，其中 4 个不同的黑球，2 个不同的红球，2 个不同的黄球．
(1)将这 8 个球排成一列，要求黑球排在一起，2 个红球相邻，2 个黄球不相邻，求排法种数；
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(2)从这 8 个球中取出 4 个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；
(3)将这 8 个球分成三堆，每堆至少 2 个球，求分堆种数．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 1 22 2 ，其导函数为 ′( )，且 ′( 1) = 0．
(Ⅰ)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数 ( )在[ 1,1]上的最大值和最小值．
18.(本小题 17 分)
{ } + 已知数列 的前 项和为 ，且 = 2 ．
(1)若数列{ + }是等比数列，求 的取值；
(2)求数列{ }的通项公式；
(3)记 =
1 1
+ ，求数列{ }的前 项和 ． +1 +1
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (2 1) 1 2 ( ∈ )．
(1) = 0 时，求函数 ( )的极值；
(2) ≠ 0 时，讨论函数 ( )的单调区间；
(3)若对任意的 ∈ [ 2, 1)，当 1， 2 ∈ [1, ]时恒有( 2 )
1
+ 2 ≥ | ( 1) ( 2)|成立，求实数
的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.36
13.( ∞, 1) ∪ (1, + ∞)
14.(4,5)
15.解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
又因为 =
( 1)
1 + 2 ，且 1 = 2，
所以 5 = 10 + 10 = 20，故 = 1．
所以 = + 1．
(2)由(1)可知， 4 = 5，又 4 + 4 = 9，所以 4 = 4．
因为 = 12，可得 1 =
4
3 = 32，
所以， = ( 1 1) + ( 2 2) + + ( ) = ( 1 + 2 + + ) ( 1 + 2 + + )
= ( 1+ ) 1(1
) = ( +3)2 1 2 + 2
6 64．
16.解：(1)先将 4 个不同的黑球全排列，有 44种方法；再将 2 个不同的红球全排列，有 22种方法；
接着将 4 个黑球看成是 1 个元素连同整体红球共 2 个元素全排列，有 22种方法；
最后将 2 个黄球排在 2 个大元素形成的三个空位上，有 23种方法．
所以总的排法数为 4 2 2 24 2 2 3 = 576；
(2)从这 8 个球中取出 4 个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是 1，1，2，
所以取法种数为 1 1 24 2 2 + 1 2 14 2 2 + 2 1 14 2 2 = 40；
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(3)将这 8 个球分成三堆，每堆至少 2 个球，有两类：2，2，4；2，3，3；
2 2+ 2 3
所以分堆种数为 8 6 8 62 = 210 + 280 = 490． 2
17.解：(Ⅰ) 1函数 ( ) = 3 + 22 2 ，
可得 ′( ) = 3 2 + 2，
∵ ′( 1) = 0，∴ 3 1 2 = 0，解得 = 1，
∴ ( ) = 3 + 12
2 2 ， ′( ) = 3 2 + 2，
∴ (1) = 12， ′(1) = 2．
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 4 2 5 = 0．
(Ⅱ) 2由(Ⅰ)，当 ′( ) = 0 时，解得 = 1 或 = 3，
当 变化时， ( )， ′( )的变化情况如下表：
2 2 2[ 1,3 ) 3 (3 , 1]
′( ) 0 +
( ) 单调递减 极小值 单调递增
∴ ( ) ( 2 22的极小值为 3 ) = 27，又 ( 1) =
3
2， (1) =
1
2，
∴ ( ) = ( 1) =
3 ( ) = ( 2 ) = 222， 3 27．
18. +1 +1解：(1)由 1 11 = 2 = 2 ，得 1 = 1，
当 > 1 时， = 1 = 2 2 1 + ( 1)，即 = 2 1 + 1，
所以 2 = 3， 3 = 7，
依题意，(3 + )2 = (1 + ) × (7 + )，
解得 = 1．
(2)有(2)知 = 2 1 + 1，
所以 + 1 = 2( 1 + 1)，又因为 1 + 1 = 2，
所以数列{ +1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 + 1 = 2 × 2 1 = 2 ，
所以 = 2 1．
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(3)由(2) 1 1 +1 2 1 1知， = + = = +1 +1 +1 (2 1)(2 +1 1)
= 2 1 2 +1 1
则 =
1 1 1 1 1
2 1 22 1 + 22 1 23 1 + … + 2 1
1 1
2 +1 1 = 1 2 +1 1．
19.解：(1)当 = 0 时， ( ) = 1 ， ∈ (0, + ∞)，
∴ 1 1 1 ′( ) = + 2 = 2 ，
令 ′( ) = 0 得， = 1，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
∴函数 ( )的极大值 (1) = 1，无极小值；
(2) ≠ 0 时，函数 ( ) = (2 1) 1 2 ， ∈ (0, + ∞)，
( ) = 2 1 1 2
2+(2 1) +1 (2 +1)(1 )
′ + 2 2 = 2 = 2 ，
①当 > 0 时，2 + 1 > 0，
令 ′( ) = 0，得 = 1，
∴当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
②当 < 0 时，令 ′( ) = 0 1，得 = 1 或 = 2 ，
( )若 < 1 12，则 0 < 2 < 1，
∴当 ∈ (0, 1 12 )时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；当 ∈ ( 2 , 1)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
2
( )若 = 12时，则 ′( ) =
(1 )
2 ≥ 0 恒成立，
∴函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
( ) 1 1若 2 < < 0，则 2 > 1，
∴当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0，函数 ( ) 1单调递增；当 ∈ (1, 2 )时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减；
∈ ( 1当 2 , + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
(3)当 ∈ [ 2, 1)时，由(2)可知，函数 ( )在[1, ]上单调递增，
∴ | ( 1) ( 2)| ≤ ( ) (1) = 4 2
1
，
∵ ( 2 ) 1 + 2 ≥ | ( 1) ( 2)|对任意的 ∈ [ 2, 1)，当 1， 2 ∈ [1, ]时恒成立，
第 6页，共 7页
∴ ( 2 ) 1 + 2 ≥ 4 2
1
对任意的 ∈ [ 2, 1)恒成立，
即 ≤ 4 2 对任意的 ∈ [ 2, 1)恒成立，
∵当 2 ≤ < 1 时，(4 2 ) = 5，
∴ ≤ 5，
故实数 的取值范围为：( ∞,5]．
第 7页，共 7页

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