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2024-2025学年湖南省娄底三中高二（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 1表示变量 与 之间的相关系数， 2表示变量 与 之间的相关系数，且 1 = 0.836， 2 = 0.958，
则( )
A.变量 与 之间呈正相关关系，且 与 之间的相关性强于 与 之间的相关性
B.变量 与 之间呈负相关关系，且 与 之间的相关性强于 与 之间的相关性
C.变量 与 之间呈负相关关系，且 与 之间的相关性弱于 与 之间的相关性
D.变量 与 之间呈正相关关系，且 与 之间的相关性弱于 与 之间的相关性
2.已知{ }为公差不为 0 的等差数列，若 = 10 5 + 3，则 =( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
3.已知向量 ， 为单位向量，| + | = | |( ≠ 0)，则 与 的夹角为( )
A. 6 B.

3 C.
2
2 D. 3
2
4.已知函数 ( ) = ，则 ′( ) =( )
A. 1 B. 2 C. D. 2
5.设等比数列{ }的公比 = 2，前

项和为 3 ，则 =( )2
A. 3 B. 4 C. 7 D. 132 2
6.学校举办篮球赛，将 6 支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为( )
A. 15 B.
2 C. 35 5 D.
4
5
7.已知函数 ( ) = + 2， 0是函数的极值点，下列结论中正确的是( )
A. 10 > B. ( 0) > 0
C. ( 0) + 0 > 0 D. ( 0) + 2
1
0 > 10
8.红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量
0.05
一位体温为 36.9℃的人时，显示体温 服从正态分布 (36.9, )，若 的值在(36.6,37.2)内的概率约为
0.9973，则 的值约为( )
(参考数据：若 ～ ( , 2)，则 (| | < 3 ) ≈ 0.9973. )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知随机变量 ～ (2, 2)，若 ( ≤ 0) = 0.1，则( )
A. ( ≤ 2) = 0.5 B. ( ≤ 4) = 0.9
C. (2 ≤ ≤ 4) = 0.3 D. (2 + 2) = 4 2
10.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 、 、 分别为 、 1、 1
的中点，点 为线段 1 上的动点，则下列选项正确的是( )
A. 1 ⊥
B.三棱锥 的体积为定值
C.平面 截正方体所得的截面面积为 9
D.存在实数 、 使得 1 = +
11.设函数 ( ) = ，则( )
A. ( )的极小值点为 1
B. ( )在( ∞, 1]上为增函数
C.直线 = 是曲线 = ( )的切线
D.方程 ( ) = 1恰有一个解当且仅当 =
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若数列{ }是各项均为正数的等比数列，数列{ }满足 = ，且 3 = 18， 6 = 12，则数列{ }的前
项和为 = ______．
13.已知(2 1)4 = 4 4 + 3 23 + 2 + 1 + 0，则 2 = ______．
2 214.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别为 1， 2，过点 2的直线与 的右支交于两点 ，
，且| 2|：| 2|：| 1| = 1：2：3，若△ 1的周长为 20，则 的实轴长为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2 6
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长为 2 3且离心率为 3 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)不经过原点 的直线 ： = + 与椭圆 交于 ， 两点，求△ 的面积最大时直线 的方程．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 | |为偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)求函数 ( )的单调区间和极值．
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17.(本小题 15 分)
A、 两队进行围棋比赛， 队有甲、乙、丙三位棋手， 队只有丁一位棋手.比赛规则如下： 队的三位棋手
分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘(负一盘)或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连
2 1 1
胜，则两队打平.已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为3、2、3，且各盘比赛相互独立.丁连胜两盘、
负一盘的概率为 1，连胜三盘的概率为 2．
(1)若 队按甲、乙、丙的出场顺序与 队进行比赛，求 1 2；
(2)若 队按甲、乙、丙的出场顺序与 队进行比赛，求 、 两队打平的概率；
(3)通过计算判断 队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义．
18.(本小题 17 分)
在△ 中， = = 2，∠ = 120°，若平面 外的点 和线段 上的点 ，满足 = ， = ，
21
四面体 的体积为 6 ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数 ( )， ( )
的导数 ′( )， ′( )都存在，且 ′( ) ≠ 0，如果 → ( 是常数)时， ( ) → ∞或+∞， ( ) → ∞或+∞，
′( )
且 = ( 是常数)，则 → ( )时 ( ) → ． ′( )
已知函数 ( ) = 1 ， ( ) = + 1, ∈ ．
(1)证明： = 1 时曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线与曲线 = ( )也相切；
(2)若函数 ( )有两个零点 1， 2( 1 < 2)，函数 ( )有两个零点 3， 4( 3 < 4).
①指出 1， 2， 3， 4的大致范围(不必说明理由)，并求出 的取值范围；
②试探究 1 + 2与 3 + 4的大小关系．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23 2
13.24
14.4
15.(1)根据已知 2 = 2 3，即 = 3．
又根据 = 6，可得 = √ 2，因此 2 = 2 2 = 1，3
2
那么椭圆 为
3 +
2 = 1．
(2)根据题直线 与椭圆 有两个交点 和 ，设 ( 2, 2)， ( 1, 1)，
= + 2
联立直线 和椭圆方程 2 2 2+ 2 ，得 + ( + ) = 14，即= 1 4 + 6 + 3
2 3 = 0，
3
3
2 3
所以根的判别式 = (6 )2 16(3 2 3) > 0，根据韦达定理可得 = 3 31 2 ， + = ，4 1 2 2
根据直线 不过原点可得 2 < < 2 且 ≠ 0．
2
那么| | = 1 + 12 ( + )2 4 = 2 ( 3 )2 4 3 31 2 1 2 2 4
= 2 3 3 24 =
6 2，
2 4
且点 | |到直线 的距离 = 2．
= 1 | | = 1 | |所以 2 2 2
6
2 4
2 = 34 | | 4
2 = 34
2(4 2)
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3 2+4 2≤ = 3，4 2 2
当且仅当 2 = 4 2，即 =± 2，此时 ： = ± 2．
16.(1)依题意，得 ( ) = ( )，即( )2 2 | | = 2 2 | | = 2 + 2 | |，
化简为 2 = 0，由于 ≠ 0，
故 = 0；
(2)由(1)知函数的解析式为 ( ) = 2 2 | |( ≠ 0)，
2 2( +1)( 1)
当 > 0 时， ( ) = 2 2 ， ′( ) = 2 = ，
令 ′( ) < 0，0 < < 1，令 ′( ) > 0， > 1；
此时函数 ( )，在(0,1)上单调递减，(1, + ∞)上单调递增，
令 ′( ) = 0，因为 > 0，所以 = 1，
根据单调性可知函数在 = 1 处取极小值 (1) = 1；
又 ( ) = ( )，故 ( )为偶函数，
所以， ( )在( ∞, 1)上单调递减，在( 1,0)上单调递增，
所以函数在 = 1 处取极小值 ( 1) = 1．
17.(1)根据题意，若 队按甲、乙、丙的出场顺序与 队进行比赛，
2
丁连胜两盘、负一盘的概率为 1，则 1 = (1 3 ) × (1
1 ) × 1 + 2 × (1 1 ) × (1 12 3 3 2 3 ) =
5
18，
= (1 2 )(1 1 )(1 1 1丁连胜三盘的概率为 1，则 2 3 2 3 ) = 9，
= 5 1故 1 2 18 9 =
1
6；
(2)根据题意，设 、 两队打平的概率为 0．
记事件 ：第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜．
记事件 ：第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，
易得事件 与 为互斥事件，
则 0 = ( ∪ ) = ( ) + ( ) =
2
3 × (1
1 1 2 1 1 2
2 ) × 3 + (1 3 ) × 2 × (1 3 ) = 9．
(3)根据题意，设丁获胜的概率为 ．
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若 队按甲、乙、丙的出场顺序与 队进行比赛，则 = + 71 2 = 18．
同理，若 队按丙、乙、甲的出场顺序与 队进行比赛，则 = 718．
若 队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与 队进行比赛，
= 1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 2则 2 3 3 2 3 3 +
1 × 1 2 52 3 × 3 = 18．
若 队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与 队进行比赛，
= 1 × 2 2 1 2 1 1 2 1 8 4则 2 3 × 3 + 2 × 3 × 3 + 2 × 3 × 3 = 18 = 9．
4
因为9 >
7 > 518 18，所以 队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与 队进行比赛时对丁最有利．
因为丁连胜三盘的概率与顺序无关，所以丁连胜两盘、负一盘，
其中第二盘必胜，第二盘的对手实力越强，
连胜两盘的概率越小，第二盘的对手实力越弱，连胜两盘的概率越大，
根据已知丙的实力最弱，故 A 队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与 队进行比赛时对丁最有利．
18.(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
由 = ， = ，
得 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)设点 到平面 的距离为 ，直线 与平面 所成角为 ，
则四面体 的体积为1 1 1 3 33 △ = ，3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 3
因为四面体 的体积为 21，
6
所以 3 = 21，3 6
解得 = 7，2
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所以 = = 7， 4
即直线 与平面 所成角的正弦值为 7．
4
19.(1)证明： = 1 时， ( ) = 1 ， ( ) = + 1 1( > 0)，
′( ) = 1 1， ′( ) = 1 1 2 ( > 0)，
又 (1) = 0， ′(1) = 0，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程是 0 = 0 × ( 1)，即 = 0．
因为 ( ) = 0， ′( ) = 0，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程是 0 = 0 × ( 1)，即 = 0．
所以 = 1 时曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线 = 0 与曲线 = ( )也相切．
(2)①0 < 1 < 1 < 2，0 < 3 < 1 < 4 < ．
由 ( ) = 0 ，得 = 0； ( ) = 0，得 (1 ) = 0，
令 ( ) = , ( ) = (1 ) ，则 ( )与 ( )的零点相同， ( )与 ( )的零点相同，
又 ′( ) = (1 ) , ′( ) = ，
> 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减； < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
> 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
所以 ( )和 ( )在(1, + ∞)上都是减函数，在(0,1)上都是增函数，
所以 0 < < 1 时， = (0) < ( ) < (1) = 1 ， > 1 时， < ( ) < (1) = 1 ，
因为 ( )有两个零点，即 ( )有两个零点，
0 < < 1 < < 0,所以 1 2，且 1 > 0,解得 0 < < 1．
当 0 < < 1 时， (1) = 1 > 0， ( ) = < 0，
1
又 → 0 ( )′时 1 = ( )′ 1
= → 0，
2

根据洛必达法则可知， → 0 时， = 1 → 0, (1 ) = → ，

所以 → 0 时 ( ) < 0，
所以 0 < < 1 时， ( )在区间(0,1)和(1, )上各有一个零点，
所以 0 < 3 < 1 < 4 < ，
因此，若函数 ( )， ( )各有两个零点， 的取值范围是(0,1)．
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( ) = ( ) ( )②令 ，
则 ( )与 ( )的零点相同， ( )与 ( )的零点相同，
( )在区间(0,1)上是增函数，
(1 )+
( ) = = + 1，
1 ′( ) = + = ，
令 ( ) = ( > 0)，则 ′( ) = ( > 0)，
> 1 时 ′( ) > 0， ( )单调递增；0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
所以 > 0 时 ( ) ≥ (1) = 0，
于是 > 0 时 ′( ) ≥ 0 等号仅当 = 1 时成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上是增函数．
所以 0 < < 1 时， ( ) < (1) = 0， ( ) ( ) < 0，即 0 < < 1 时， ( ) < ( )；
> 1 时， ( ) > (1) = 0， ( ) ( ) > 0，即 > 1 时 ( ) > ( )；
由①知 0 < 1 < 1 < 2，0 < 3 < 1 < 4 < ，
所以 0 = ( 1) < ( 1)，
又 ( 1) = 0， ( 3) = 0，
所以 ( 1) > ( 3)，
又 ( )在区间(0,1)上是增函数，且 1， 3 ∈ (0,1)，
所以 0 < 3 < 1 < 1.同理可证 1 < 4 < 2，
于是 1 + 2 > 3 + 4．
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