资源简介

2024-2025 学年江西省赣州市定南中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{ }的通项公式为 = 25 2 ，在下列各数中，不是{ }的项的是( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 2

2.设函数 ( ) → 0 ( 满足 0 ) ( 0)3 = 1，则 ′( 0) =( )
A. 13 B. 3 C.
1
3 D. 3
3.记等差数列{ }的前 项和为 ，若 1 = 7， 3 = 12，则 7 =( )
A. 12 B. 21 C. 28 D. 36
4.函数 ( ) = 2 ′(1) + 2，则 ′(1)等于( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
5 3 .设等差数列{ }，{ }的前 项和分别是 ， ，若 =
6
2 +8
，则 =( )6
A. 11 4 1110 B. 17 C. 17 D.
9
10
6.已知函数 = 13
3 2 3 + , ∈ 在区间( 4, + 4)上有最大值，则实数 的取值范围是( )
A. ( 5,1) B. ( 5,1] C. ( 5,3) D. ( 5,3]
7.某泡沫双面胶加工车间的某一环节就是将一段长 3 、厚 1 的泡沫双面胶绕在一个直径为 60 的空
盘芯上(盘芯厚度忽略不计)，则这段双面胶全部绕在空盘芯上时可以绕的圈数(满圈)为( )(以双面胶外侧
为准计算半径)
A. 30
B. 31
C. 32
D. 33
8.关于 的不等式 2 + > 0( > 0) 的整数解个数为 ( ∈ )时， ∈ [ , )，设 为数列{ ln( +2) }
的前 项和，则 100 =( )
A. 1 100 25 1012 B. 101 C. 51 D. 102
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导不正确的是( )
第 1页，共 7页
A. ( 2 )′ = 2 B. ( )′ =
C. (3 )′ = 3 3 D. ( 1+ )′ = 2
3 + 1, 为奇数
10.已知数列{ }的通项公式为 = ，则( )
2 2 , 为偶数
A. 6 = 19 B. 7 > 6 C. 5 = 22 D. 6 > 5
11.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + 2) = (2 )， ′( )为 ( )的导函数，且对于任意的 ∈ ，都有
( 2) ′( ) ≤ 0，则( )
A. (0) < (4) B. ( 1) = (5)
C. ∈ ， ( ) ≤ (2) D. ∈ ， ( ) ≥ (2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 1 3 23 的极大值为______．
13.设曲线 = 3 + 1 在 = 0 处的切线方程为______．
14.若数列{ }满足 1 = 0， 2 = 1， +2 = + 2 +1，则称{ }为佩尔数列.在佩尔数列{ }中，
199 (1 2) 198 × 200 (1+ 2) 199 (1 2) (1+ 2) = ______．99 98 99 98
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列{ }满足： 2 = 3， 7 = 13， 为其前 项和， ∈ ．
(1)求数列{ }的通项公式 、前 项和 ；
(2)令 = 2 ，求 的最大值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 9 + 1．
(1)求函数 ( )的单调区间．
(2)求函数 ( )的极值．
17.(本小题 15 分)
已知数列{ }中， 1 = 1， = 2 1 + 1( ≥ 2)；数列{ }为等差数列，且满足： 1 = 1， 8 + 2 = 5．
(1)求证：数列{ + 1}为等比数列，并写出数列{ }的通项公式；
(2)令 = 2( + 1) ，若数列{ }为严格减数列，求实数 的取值范围．
第 2页，共 7页
18.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = 2
2 (1 + ) + ( ∈ )．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)当 < 0 时 ( ) ≤ ln( ) 恒成立，求实数 的最小值．
(3)当 = 2 时，方程 2( ) + ( ) ( ) = 2 + 2 有 5 个解，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知集合 = { 1, 2, , , }， = { 1, 2, , , }，{ }是公比为 2 的等比数列且 2 + 3， 3 + 1， 4 3
构成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设{ }是等差数列，将集合 ∪ 的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为{ }.
①若 = 5 1，数列{ }的前 项和为 ，求使 ≤ 2024 成立的 的最大值；
②若 ∩ = ，数列{ }的前 5 项构成等比数列，且 1 = 1， 9 = 8，试写出所有满足条件的数列{ }.
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0
13.3 + 2 = 0
14.1 2
15.(1)由等差数列{ }满足： 2 = 3， 7 = 13，
设公差为 ，可得 1 + = 3， 1 + 6 = 13，
解得 1 = 1， = 2，
则 = 1 + 2( 1) = 2 1．
1 2 = 2 (1 + 2 1) = ；
2
(2) = 2 ，
2 2
≥
( 1)
1得到2 ≥ 2 1 ，
2 2 ≥ +1得到2 ≥
( +1)
2 +1 ，
2 4 + 2 ≤ 0
合并得到 2 ， 2 1 ≥ 0
所以 1 + 2 ≤ ≤ 2 + 2， ∈ ，所以 = 3．
即有 = =
9
3 8．
16.解：(1)定义域为 ，
令 ′( ) = 3 2 6 9 = 3( + 1)( 3) = 0，得 = 1 或 3，
第 4页，共 7页
′( ) < 0 1 < < 3， ′( ) > 0 < 1 或 > 3，
所以 ( )的递减区间为( 1,3)，递增区间为( ∞, 1)，(3, + ∞)；
(2)结合(1)知，当 变化时， ′( )， ( )变化如下：
( ∞, 1) 1 ( 1,3) 3 (3, + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 递增 ( 1) = 4 递减 (3) = 26 递增
所以 ( )的极小值为 26，极大值为 4．
17.(1)证明：当 ≥ 2 时， = 2 1 + 1，即 + 1 = 2( 1 + 1)，
又 1 + 1 = 2 ≠ 0，故 + 1 ≠ 0

，故
+1
+1 = 2， 1
故{ + 1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
所以 + 1 = 2 × 2 1 = 2 ，所以 = 2 1．
(2)数列{ }中， 1 = 1， 8 + 2 = 5，
则 1 + 7 + 2 = 25 1 解得 = 4，
所以{ }的通项公式为 = 1 + 4( 1) = 4 3，
= ( + 1) = 2 2 2 (4 3) = 4 2 + 3 ．
已知数列{ }为严格减数列，则 +1 < 对任意正整数 都成立，
即 ( + 1) 4( + 1)2 + 3( + 1) < 4 2 + 3
化简得 < 8 + 1 对任意正整数 都成立，
所以 < 9，即实数 的取值范围是( ∞,9)．
18.(1) ( )的定义域为(0, + ∞)，导函数 ′( ) = (1 + ) + 1 = ( 1)( 1) ，
当 ≤ 0 时，由 ′( ) < 0，得 > 1；由 ′( ) > 0，得 0 < < 1，
因此 ( )在(1, + ∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
当 0 < < 1 时，由 ′( ) < 0，得 1 < < 1 1 ，由 ′( ) > 0，得 0 < < 1 或 > ，
因此 ( ) 1在(1, )
1
上单调递减，在(0,1), ( , + ∞)上单调递增，
当 = 1 时， ′( ) ≥ 0 恒成立， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > 1 1 1时，由 ′( ) < 0，得 < < 1，由 ′( ) > 0，得 0 < < 或 > 1，
( ) ( 1因此 在 , 1)
1
上单调递减，在(0, ), (1, + ∞)上单调递增，
当 ≤ 0 时， ( )在(1, + ∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
第 5页，共 7页
当 0 < < 1 时， ( )在(1, 1 )
1
上单调递减，在(0,1), ( , + ∞)上单调递增，
当 = 1 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
1 1
当 > 1 时， ( )在( , 1)上单调递减，在(0, ), (1, + ∞)上单调递增．
(2)由(1)知当 < 0 时，函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
则 ( ) = (1) = 1

2，
依题意， ln( ) ≥ 1 2，即 ≥ ln( ) 1 +

2恒成立，
( ) = ln( ) 1 + ( < 0) ( ) = 1 + 1 +2令函数 2 ，求导得 ′ 2 = 2 ，
当 < 2 时， ′( ) > 0，当 2 < < 0 时， ′( ) < 0，
所以函数 ( )在( ∞, 2)上递增，在( 2,0)上递减，
即 ( ) = ( 2) = 2 2，因此 ≥ 2 2，
所以 的最小值为 2 2．
(3)由方程 2( ) + ( ) ( ) = 2 + 2 ( ( ) 1)( ( ) + 2) = 0，
所以 ( ) = + 1 或 ( ) = 2
当 = 2 时，由 ′( ) > 0 1 1，得 0 < < 2或 > 1；由 ′( ) < 0，得2 < < 1，
函数 ( )在(0, 12 ), (1, + ∞)
1
上单调递增，在( 2 , 1)上单调递减，
因为 ( ) = 2 3 + ，所以 (1) = 2， ( 12 ) =
5
4 2，
当 → 0 时， ( ) = 2 3 + → ∞，
当 →+∞时， ( ) = 2 3 + →+ ∞，
则当 ( ) = 2 时，由上可得此时方程 ( ) = 2 有两个解，
为了使得方程 2( ) + ( ) ( ) = 2 + 2 有 5 个解，
5 9
则 2 < + 1 < 4 2，解得 ∈ ( 3, 4 2).
19.解：(1)由{ }是公比为 2 的等比数列且 2 + 3， 3 + 1， 4 3 构成等比数列，
可得( 2 + 3)( 4 3) = ( 3 + 1)2，
即(4 1 + 1)2 = (2 1 + 3)(8 1 3)，
解得 1 = 1，
所以数列{ }的通项公式为 = 2 1；
(2)①由 = 2 1 ， = 5 1，可得 3 = 1， 7 = 13；
第 6页，共 7页
所以 33 = 1 + 2 + … + 27 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6 + =
1
8 2 (4 + 5 × 27 1) × 27 + 1 + 2 + 8 + 16 +
32 + 128 = 2050 > 2024，
而 32 = 33 27 = 2050 134 = 1916 < 2024，
所以 的最大值为 32；
②由已知， 1 = 1 = 1， 2， 3， 4 = 8 = 9共四项在{ }前 9 项中，
所以 1， 2， 3， 4， 5在前 9 项中，而 6不在．
考虑在 1， 2之间 的项，
10若 1， 2之间无 的项，则 1 = 2，公比比为 2. 4 = 8 为第四项与已知矛盾；
20若 1， 2之间有一项 ，则 1， 1， 2成等比数列，所以公比为 2满足条件，
此时 = 2 ， 5 = 5 2 < 8， 6 = 6 2 > 8；
30若 1， 2之间至少有 中的两项 1. 2，则 的公差 = 2 1 < 1，
此时 6 = 1 + 5 < 2 + 5 = 2 + 5 < 8 与已知矛盾．
综上， = 2 ( ∈ )满足条件．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑