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2024-2025学年江西省萍乡市芦溪中学高一（下）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 225° cos( 480°)的值为( )
A. 3 1 1 32 B. 2 C. 2 D. 2
2 3.设扇形的弧长为 18，圆心角为2，则该扇形的面积为( )
A. 108 B. 18 C. 180 D. 108
3.若复数( 2 3 + 2) + ( 2 4 + 3) 是纯虚数，则实数 的值为( )
A. 1 或 3 B. 1 或 2 C. 1 D. 2
4.在△ 中，| | | + | = 0，则△ 的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.已知在“斜二测”画法下，△ 的直观图是一个边长为 4 的正三角形，则△ 的面积为( )
A. 6 B. 8 6 C. 16 6 D. 4 3
6.已知复数 1 = 1 + 2 ， 2 = + 4 ( ∈ , 为虚数单位)，则“ = 2”是“| 1 + 2| = | 1| + | 2|”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且( + )：( + )：( + ) = 6：
7：9，则 =( )
A. 37 B. 1340 20 C.
5 3
16 D. 8
8.如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则∠ + ∠ + ∠ + ∠ =( )
A. B. 6 4 C.

3 D.

2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( 4,3)， = (7,1)，下列说法正确的是( )
A. | | = 5| + | B. ( + ) ⊥
C. 3 1， 的夹角为 4 D.向量 在向量
上的投影向量为 2

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10.数学上，高斯符号( )是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域.定义在数学特别
是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部
分，因而引入高斯符号.设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数.比如：
[1] = 1，[0] = 0，[ 1] = 1，[ 1.2] = 2，[1.3] = 1… [ ]，已知函数 ( ) = ( > 0)，则下列说法不正
确的是( )
A. ( )的值域为[0,1) B. ( )在(1, + ∞)为减函数
C.方程 ( ) = 1 72无实根 D.方程 ( ) = 12仅有一个实根
11.如图，在△ 中， ⊥ ，∠ = 30°， = 1， 是 的中点， 是以 为圆心， 为半径的圆
上任意一点，则 的值可能为( )
A. 12
B. 1
C. 52
D. 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 5.已知角 的终边经过点 ( , 10)，且 = 12，则 = ______．
13.函数 = + | |的值域是______．
14.已知复数 21 = + (4 ) ( ∈ )， 2 = 2 + ( + 3 ) ( , ∈ )，并且 1 = 2，则 的取值范
围______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知| | = 1，| | = 2．
(1)若 , = 60°，求| + |；
(2)若 与 垂直，求当 为何值时，( ) ⊥ ( + 2 )？
16.(本小题 15 分)
已知复数 3 + 3 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个复数根．
(1)求 ， 的值；
(2) + 1若 21 + 3 3 ( ∈ )为纯虚数，求 的值．
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17.(本小题 15 分)
在△ 中， ， ， 为角 ， ， 对应的边， 为△ 的面积.且 2 = 2 (1 )．
(1)求 ；
(2)若 = 2，求△ 内切圆半径的最大值．
18.(本小题 17 分)
对任意复数 = + ( , ∈ )，定义 ( ) = 2 ( + )．
(1)若 ( ) = 8，求相应的复数 ；
(2) ( 证明： 1) ( ) = ( 1 2)；2
(3)若 = + ( , ∈ )中的 为常数，令 ( ) = ( )，对任意 ，是否一定有常数 ( ≠ 0)使得 ( + ) =
( )？若有，这样的 是否唯一？说明理由．
19.(本小题 17 分)
设平面内两个非零向量 ， 的夹角为 ，定义一种运算“ ”： = | || | .试求解下列问题：
(1)已知向量 ， 满足| | = 10，| | = 3，( ) ⊥ ，求 的值；
(2)若向量 ， 满足 = ( 2 2 2 21, 1)( 1 + 1 ≠ 0)， = ( 2, 2)( 2 + 2 ≠ 0)，求证： = | 1 2 2 1|；
(3)已知向量 = ( 1 1 3 1 3 , sin )，
= ( sin , cos )， ∈ (0, 2 )，求
的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 24
13.[ 2, 2]
14.[ 916 , 7]
15.解：(1) = | | | | cos , = 1，| + | = ( + )2 = | |2 + 2 + | |2 = 7，
所以| + | = 7；
(2)因为 与 垂直，
所以( ) = 0，即| |2 = 0，
解得 = 1，
当( ) ⊥ ( + 2 )时，( ) ( + 2 ) = 0，
即 | |2 + (2 1) 2| |2 = 0，
解得 = 3，
所以当 = 3 时，( ) ⊥ ( + 2 )．
16.(1)由题意，( 3 + 3 )2 + ( 3 + 3 ) + = 0，即 6 3 + + ( 3 6 3) = 0，
则 6 3 + = 0， 3 6 3 = 0，解得 = 6， = 12；
(2) 6+12 1由题意， + 21 3 3 =
(6+12 )(1+ ) 1 2
(1 )(1+ ) + 3 3 =
1 2
3 3 + (9 3 ) ，
1
则 23 3 = 0 且 9 3 ≠ 0，解得 = 3．
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17. 解：(1)在△ 中，因为 2 = 2 (1 )，
可得 2 = 2 × 12 (1

)，整理可得 = ，
由正弦定理可得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2
由余弦定理可得 = 2 =

2 =
1
2，
因为 ∈ (0, )，
所以 = 3；
(2)因为 = 2，
所以由(1)及余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，即 4 = 2 + 2 ，
所以( + )2 = 4 + 3 ，
又 ≤ ( + 2 )
2，当且仅当 = 时等号成立，
所以( + )2 ≤ 4+ 3( + 2 )
2，解得 + ≤ 4，当且仅当 = 时等号成立，
又 + > ，
所以 2 < + ≤ 4，当且仅当 = 时等号成立，
因为△ 内切圆半径 ，
= 1所以 △ 2 ( + + ) =
1
2 ，即(2 + + ) =
3
2 ，
1[( + )2 4]
所以 = 3 × 3 3 3 32 2+ + = 2 × 2+ + = 6 ( + 2) ∈ (0, 3 ].
所以△ 3内切圆半径 的最大值为 3 ．
18.解：(1)因为 ( ) = 8，
所以由题中新定义得： ( ) = 2 ( + ) = 2 + (2 ) = 8，
2 = 8
所以由复数相等的概念可得： 2 = 0，
由2 > 0，得 = 0，从而 = 1，2 = 8，解得 = 3，此时 = 2 ， ∈ ；
所以 = + = 3 + 2 ， ∈ ．
(2)证明：设 1 = 1 + 1 ， 2 = 2 + 2 ( 1, 1, 2, 2 ∈ )，
( ) 2 1 = 1( 1+ 1) 1 2 ( 1+ 1)( 2 )所以 2 ( 2) 2 2( 2+ )
= 2
2 ( 2+ 2)( 2 2)
= 2 1 2[( 1 2 + 1 2) + ( 1 2 1 2)]
= 2 1 2[cos( 1 2) + ( 1 2)]
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又因为 1 2 = ( 1 2) + ( 1 2) ，
所以 ( 1 2) = 2 1 2[cos( 1 2) + ( 1 2)]，
(
所以 1
)
( ) = ( 1 2)．2
(3)证明：因为 = + ( , ∈ )中的 为常数，令 ( ) = ( )，
所以 ( ) = ( ) = 2 ( + )，
因为 cos(2 + ) = ，sin(2 + ) = ， ∈ ，
所以 (2 + ) = 2 [cos(2 + ) + (2 + )] = 2 ( + ) = ( )，
所以令 = 2 ， ∈ ， ≠ 0，则有 ( + ) = ( )，
当 取不同值时， 也有相应的不同值，故存在这样的 ，但 不唯一．
2
19.解：(1)由| | = 10，| | = 3, ( ) ⊥ ，得( ) = = 9 = 0，

解得 = 9, cos , = 3 2 1
| ||
= 10 sin , = 1 cos , = ，| 10
= | || |sin , = 10 × 3 × 1所以 10 = 3．
(2)证明：由 = ( 1, 1)， = ( 2, 2)，得| | = 21 + 21，| | = 2 + 22 2，

则 = 1 2+ 1 2
| | |
= ，
| 2+ 21 1
2 2
2+ 2
( 1 2 2 1)2
= 1 ( 1 2+ 1 2 )2 = = | 1 2 2 1| ，
2+ 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 2+ 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2+ 2
所以 = | || | = | 1 2 2 1|．
(3)由(2)得 = | 1 2 2 1|，而 = (
1 , 1 3 13 sin )， = ( sin , cos )，
1 3 1 1 9
于是 = | 3 2 sin2 | = 3 ( cos2 + sin2 ), ∈ (0, 2 )，
1 9 2 2 2 2
cos2 + sin2 = (
1 9 2 2 sin 9 sin 9
cos2 + sin2 )(cos + sin ) = 10 + cos2 + sin2 ≥ 10 + 2 cos2 sin2 = 16，
sin2 9 2
当且仅当 16cos2 = sin2 ，即 = 3时取等号；所以 的最小值是 3．
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