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1.3　集合的基本运算
第1课时　并集与交集
1.若集合A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜x＜－1，或x＞3}，则A∩B＝（　　）
A.{x｜－2＜x＜－1} B.{x｜－2＜x＜3}
C.{x｜－1＜x＜1} D.{x｜1＜x＜3}
2.已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（　　）
A.{0，1，2，x} B.{0，1，2}
C.{0，2} D.{1，2}
3.设集合A＝{（x，y）｜x－2y＝1}，B＝{（x，y）｜x＋y＝2}，则A∩B＝（　　）
A. B.
C. D.
4.已知集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，C＝{x｜x＞－1}，则（A∩B）∪C＝（　　）
A.{x｜－1＜x＜0} B.{x｜x＞－1}
C.{x｜－2＜x＜0} D.{x｜x＞－2}
5.（多选）若集合M N，则下列结论正确的是（　　）
A.M∩N＝N B.M∪N＝N
C.（M∩N） N D.N （M∩N）
6.（多选）已知集合A＝{x｜x2＝x}，集合B中有两个元素，且满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B可以是（　　）
A.{0，1} B.{0，2}
C.{0，3} D.{1，2}
7.已知集合A＝{x｜－≤x≤3}，B＝{x∈Z｜x≤2}，则A∩B＝　　　　.
8.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝　　　　.
9.已知集合M＝{x｜－1≤x≤3}，N＝{x｜x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有　　　　个.
10.设集合A＝{x｜x2＋ax＋12＝0}，B＝{x｜x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}.
（1）求a，b的值及A，B；
（2）求（A∪B）∩C.
11.已知a∈R，集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}.若M∪N有三个元素，则M∩N＝（　　）
A.{0，1} B.{0，－1}
C.{0} D.{1}
12.（多选）设集合M＝{x｜a＜x＜3＋a}，N＝{x｜x＜2或x＞4}，则下列结论中正确的是（　　）
A.若a＜－1，则M N
B.若a＞4，则M N
C.若M∪N＝R，则1＜a＜2
D.若M∩N≠ ，则1＜a＜2
13.已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是　　　　.
14.已知集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜m＜x＜m＋9}.
（1）若A∪B＝B，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B≠ ，求实数m的取值范围.
15.已知集合A＝{x｜0＜x＜2}，集合B＝{x｜－1＜x＜1}，集合C＝{x｜mx＋1＞0}，若（A∪B） C，则实数m的取值范围为（　　）
A.{m｜－2≤m≤1} B.{m｜－≤m≤1}
C.{m｜－1≤m≤} D.{m｜－≤m≤}
16.已知集合A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x｜x2－5x＋6＝0}，C＝{x｜x2＋2x－8＝0}.
（1）若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
（2）若 A∩B，A∩C＝ ，求实数a的值.
第1课时　并集与交集
1.A　因为A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜x＜－1，或x＞3}，所以A∩B＝{x｜－2＜x＜－1}.故选A.
2.B　∵M∩N＝{2}，∴2∈M，而M＝{0，x}，则x＝2，∴M＝{0，2}，∴M∪N＝{0，1，2}.
3.C　由得所以A∩B＝.故选C.
4.D　由A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，得A∩B＝{x｜－2＜x＜0}，所以（A∩B）∪C＝{x｜x＞－2}，故选D.
5.BC　∵M N，∴M∩N＝M，M∪N＝N，（M∩N） N，故选B、C.
6.BD　集合A＝{0，1}，因为B中有两个元素，且A∪B＝{0，1，2}，所以B可以为{0，2}，{1，2}.故选B、D.
7.{0，1，2}　解析：因为A＝{x｜－≤x≤3}，B＝{x∈Z｜x≤2}，所以A∩B＝{x∈Z｜－≤x≤2}，所以A∩B＝{0，1，2}.
8.0或3　解析：∵A∪B＝A，∴B A.又A＝{1，3，}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝，由m＝得m＝0或m＝1，但m＝1不满足集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3.
9.2　解析：M＝{x｜－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素.
10.解：（1）因为A∩B＝{2}，
所以4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0，
即a＝－8，b＝－5，
所以A＝{x｜x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，
B＝{x｜x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}.
（2）因为A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}，
所以（A∪B）∩C＝{2}.
11.C　因为集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}，若M∪N有三个元素，则a2＝a且a≠±1，解得a＝0.此时M∩N＝{0}，故选C.
12.ABC　对于A，若a＜－1，则3＋a＜2，则M N，故A正确；对于B，若a＞4，显然对于任意x∈M，x＞4，则x∈N，故M N，故B正确；对于C，若M∪N＝R，则解得1＜a＜2，故C正确；对于D，若M∩N＝ ，则不等式无解，故若M∩N≠ ，则a∈R，故D错误.故选A、B、C.
13.　解析：因为A∩B＝ ，所以可分两种情况讨论：B＝ 和B≠ .当B＝ 时，a≥3a，解得a≤0；当B≠ 时，解得a≥4或0＜a≤.综上，得实数a的取值范围是{a｜a≤或a≥4}.
14.解：（1）∵A∪B＝B，∴A B，∴
解得－6≤m≤－2，
∴实数m的取值范围是{m｜－6≤m≤－2}.
（2）当A∩B＝ 时，3≤m或m＋9≤－2，
解得m≥3或m≤－11，
∴A∩B≠ 时，－11＜m＜3，
∴实数m的取值范围是{m｜－11＜m＜3}.
15.B　易得A∪B＝{x｜－1＜x＜2}.①当m＜0时，集合C＝{x｜x＜－}，若（A∪B） C，则－≥2，解得－≤m＜0.②当m＝0时，集合C＝R，满足题意.③当m＞0时，集合C＝{x｜x＞－}，若（A∪B） C，则－≤－1，解得0＜m≤1.综上所述，实数m的取值范围是{m｜－≤m≤1}.故选B.
16.解：由已知，得B＝{2，3}，C＝{2，－4}.
（1）因为A∩B＝A∪B，所以A＝B.
于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由根与系数的关系知解得a＝5.
（2）由A∩B A∩B≠ ，又A∩C＝ ，得3∈A，2 A，－4 A.
由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2.
当a＝5时，A＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，与2 A矛盾；
当a＝－2时，A＝{x｜x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意.所以a＝－2.
2 / 21.3　集合的基本运算 第1课时　并集与交集
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 数学抽象、数学运算
2.在具体情境中，了解全集的含义 数学抽象
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 数学抽象、数学运算
4.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 数学运算、直观想象
第1课时　并集与交集
　　某学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：①中考数学成绩不低于110分；②中考理综成绩不低于110分.
如果满足条件①的同学组成的集合记为A，满足条件②的同学组成的集合记为B，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为C.
【问题】　（1）满足①或满足②的同学能成为集合C的元素吗？
（2）集合A，B，C的关系是什么？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点一　并集
　
提醒　（1）A∪B仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
【想一想】
集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？
知识点二　交集
　
提醒　（1）A∩B仍是一个集合；（2）自然语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B；（3）如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝ .
1.已知集合A＝{1，6}，B＝{5，6，8}，则A∪B＝（　　）
A.{1，6，5，6，8} B.{1，5，6，8}
C.{6，6} D.{6}
2.已知集合A＝{x｜x＞－1}，B＝{x｜x＜2}，则A∩B＝（　　）
A.{x｜x＞－1} B.{x｜x＜2}
C.{x｜－1＜x＜2} D.
3.满足{1}∪B＝{1，2}的集合B可能等于　　　.
　　
题型一 并集
【例1】　（1）设集合M＝{x｜x2＋2x＝0}，N＝{x｜x2－2x＝0}，则M∪N＝（　　）
A.{0} B.{0，2}
C.{－2，0} D.{－2，0，2}
（2）设集合A＝{x｜1＜x＜3}，B＝{x｜－1＜x＜2}，则A∪B＝　　　　.
通性通法
求集合并集的2种基本方法
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解.
【跟踪训练】
1.已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（　　）
A.{－1，0，1} B.{－1，0，1，2}
C.{－1，0，2} D.{0，1}
2.已知集合M＝{x｜－3＜x≤5}，N＝{x｜x＜－5或x＞5}，则M∪N＝（　　）
A.{x｜x＜－5或x＞－3}
B.{x｜－5＜x＜5}
C.{x｜－3＜x＜5}
D.{x｜x＜－3或x＞5}
题型二 交集
【例2】　（1）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
A.{3} B.{－3，2}
C.{2} D.{－2，3}
（2）（2022·新高考Ⅰ卷1题）若集合M＝{x｜＜4}，N＝{x｜3x≥1}，则M∩N＝（　　）
A.{x｜0≤x＜2} B.
C.{x｜3≤x＜16} D.
通性通法
求两集合交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共部分，要注意端点值的取舍.
【跟踪训练】
1.（2021·新高考Ⅰ卷1题）设集合A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A.{2} B.{2，3}
C.{3，4} D.{2，3，4}
2.已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜x＜3或x＞5}，则A∩B＝　　　　.
题型三 根据并集与交集运算求参数范围
【例3】　已知集合A＝{x｜x≤－1或x≥3}，B＝{x｜a＜x＜4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（　　）
A.3≤a＜4 B.－1＜a＜4
C.a≤－1 D.a＜－1
【母题探究】
1.（变条件）将本例中A∪B＝R变成A∪B＝A，求实数a的取值范围.
2.（变条件）将本例中的集合B变为B＝{x｜a＜x≤4－a}，且A∪B＝R变为A∩B＝ ，求实数a的取值范围.
通性通法
　　利用集合间的关系求参数范围的一般步骤
（1）若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系；
（2）将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围；
（3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围.
【跟踪训练】
　设集合M＝{x｜－2＜x＜5}，N＝{x｜2－t＜x＜2t＋1，t∈R}.若M∩N＝N，则实数t的取值范围为　　　　.
1.（2022·全国甲卷1题）设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，则A∩B＝（　　）
A.{0，1，2} B.{－2，－1，0}
C.{0，1} D.{1，2}
2.（多选）满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是（　　）
A.{5} B.{1，5}
C.{1，3} D.{1，3，5}
3.若集合A＝{x｜－3＜x＜4}，B＝{x｜x＞2}，则A∪B＝　　　　，A∩B＝　　　　.
4.已知集合A＝，集合B＝{x｜2x－1＜3}，求A∩B，A∪B.
第1课时　并集与交集
【基础知识·重落实】
知识点一
或　A∪B　{x｜x∈A，或x∈B}
想一想
　提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和.
知识点二
且　A∩B　{x｜x∈A，且x∈B}
自我诊断
1.B
2.C　在数轴上标出集合A，B，如图所示，故A∩B＝{x｜－1＜x＜2}，故选C.
3.{2}或{1，2}　解析：∵{1}∪B＝{1，2}，∴B可能为{2}或{1，2}.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）D　（2）{x｜－1＜x＜3}
解析：（1）M＝{x｜x2＋2x＝0}＝{0，－2}，N＝{x｜x2－2x＝0}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故选D.
（2）在同一条数轴上分别作出集合A，B.
由图可知A∪B＝{x｜－1＜x＜3}.
跟踪训练
1.B　M∪N＝{－1，0，1}∪{0，1，2}＝{－1，0，1，2}.
2.A　在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x｜x＜－5或x＞－3}.故选A.
【例2】　（1）C　（2）D　解析：（1）根据题意，图中阴影部分表示集合A，B的公共部分，即A∩B.因为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，所以A∩B＝{2}.
（2）法一（直接法）　因为M＝{x｜＜4}，所以M＝{x｜0≤x＜16}；因为N＝{x｜3x≥1}，所以N＝.所以M∩N＝，故选D.
法二（特例法）　观察选项进行特取，取x＝4，则4∈M，4∈N，所以4∈（M∩N），排除A、B；取x＝1，则1∈M，1∈N，所以1∈（M∩N），排除C.故选D.
跟踪训练
1.B　因为A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3}，故选B.
2.{x｜2＜x＜3}　解析：集合A，B画在数轴上，如图，由图可知A∩B＝{x｜2＜x＜3}.
【例3】　C　利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.
母题探究
1.解：当a≥4时，集合B为空集，满足题意；当a＜4时，若要满足A∪B＝A，必有a≥3.综上实数a的取值范围是a≥3.
2.解：当a≥2时，集合B为空集，满足题意；当a＜2时，则有a≥－1且4－a＜3，故有1＜a＜2，综上，实数a的取值范围是a＞1.
跟踪训练
　{t｜t≤2}　解析：由M∩N＝N，得N M.故当N＝ ，即2t＋1≤2－t，即t≤时，M∩N＝N成立；当N≠ 时，由图得解得＜t≤2.综上可知，所求实数t的取值范围为{t｜t≤2}.
随堂检测
1.A　因为集合B＝{x｜0≤x＜}，所以集合B中的整数有0，1，2，所以A∩B＝{0，1，2}.
2.ABD　由{1，3}∪A＝{1，3，5}，知A {1，3，5}，且A中至少有1个元素5，故选A、B、D.
3.{x｜x＞－3}　{x｜2＜x＜4}
解析：如图，A∪B＝{x｜x＞－3}，A∩B＝{x｜2＜x＜4}.
4.解：解不等式组得－2＜x＜3，
即A＝{x｜－2＜x＜3}.
解不等式2x－1＜3，得x＜2，即B＝{x｜x＜2}，
在数轴上分别表示集合A，B，如图所示.
则A∩B＝{x｜－2＜x＜2}，A∪B＝{x｜x＜3}.
4 / 4(共55张PPT)
1.3　集合的基本运算
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个
集合的并集与交集 数学抽象、
数学运算
2.在具体情境中，了解全集的含义 数学抽象
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能
求给定子集的补集 数学抽象、
数学运算
4.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形
对理解抽象概念的作用 数学运算、
直观想象
第1课时　并集与交集
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　某学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求：
①中考数学成绩不低于110分；②中考理综成绩不低于110分.
如果满足条件①的同学组成的集合记为 A ，满足条件②的同学组
成的集合记为 B ，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为
C .
【问题】　（1）满足①或满足②的同学能成为集合 C 的元素吗？
（2）集合 A ， B ， C 的关系是什么？

知识点一　并集
提醒　（1） A ∪ B 仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包
含三种情况：① x ∈ A 且 x B ；② x ∈ A 且 x ∈ B ；③ x A 且 x ∈ B .
【想一想】
集合 A ∪ B 的元素个数是否等于集合 A 与集合 B 的元素个数之和？
提示：不一定， A ∪ B 的元素个数小于或等于集合 A 与集合 B 的元素
个数之和.
知识点二　交集
提醒　（1） A ∩ B 仍是一个集合；（2）自然语言中“所有”的含
义： A ∩ B 中任一元素都是 A 与 B 的公共元素， A 与 B 的公共元素都属
于 A ∩ B ；（3）如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交
集，而是 A ∩ B ＝ .
1. 已知集合 A ＝{1，6}， B ＝{5，6，8}，则 A ∪ B ＝（　　）
A. {1，6，5，6，8} B. {1，5，6，8}
C. {6，6} D. {6}
2. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞－1}， B ＝{ x ｜ x ＜2}，则 A ∩ B ＝（　）
A. { x ｜ x ＞－1} B. { x ｜ x ＜2}
C. { x ｜－1＜ x ＜2} D.
解析： 　在数轴上标出集合 A ， B ，如图所
示，故 A ∩ B ＝{ x ｜－1＜ x ＜2}，故选C.
3. 满足{1}∪ B ＝{1，2}的集合 B 可能等于 .
解析：∵{1}∪ B ＝{1，2}，∴ B 可能为{2}或{1，2}.
{2}或{1，2}　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 并集
【例1】　（1）设集合 M ＝{ x ｜ x2＋2 x ＝0}， N ＝{ x ｜ x2－2 x ＝
0}，则 M ∪ N ＝（　D　）
A. {0} B. {0，2}
C. {－2，0} D. {－2，0，2}
解析： M ＝{ x ｜ x2＋2 x ＝0}＝{0，－2}， N ＝{ x ｜ x2－2
x ＝0}＝{0，2}，故 M ∪ N ＝{－2，0，2}，故选D.
（2）设集合 A ＝{ x ｜1＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜－1＜ x ＜2}，则 A ∪ B
＝ .
解析： 在同一条数轴上分别作出集合 A ，B .
由图可知 A ∪ B ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}.
{ x ｜－1＜ x ＜3}　
通性通法
求集合并集的2种基本方法
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义
求解；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则
可以借助数轴分析求解.
【跟踪训练】
1. 已知集合 M ＝{－1，0，1}， N ＝{0，1，2}，则 M ∪ N ＝（　　）
A. {－1，0，1} B. {－1，0，1，2}
C. {－1，0，2} D. {0，1}
解析： 　 M ∪ N ＝{－1，0，1}∪{0，1，2}＝{－1，0，1，2}.
2. 已知集合 M ＝{ x ｜－3＜ x ≤5}， N ＝{ x ｜ x ＜－5或 x ＞5}，则 M
∪ N ＝（　　）
A. { x ｜ x ＜－5或 x ＞－3} B. { x ｜－5＜ x ＜5}
C. { x ｜－3＜ x ＜5} D. { x ｜ x ＜－3或 x ＞5}
解析： 　在数轴上表示集合 M ， N ，可知 M ∪ N ＝{ x ｜ x ＜－5
或 x ＞－3}.故选A.
题型二 交集
【例2】　（1）已知集合 A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{－3，2}，则图
中阴影部分表示的集合为（　C　）
A. {3} B. {－3，2}
C. {2} D. {－2，3}
解析： 根据题意，图中阴影部分表示集合 A ， B 的公共部
分，即 A ∩ B . 因为集合 A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{－3，2}，
所以 A ∩ B ＝{2}.
（2）（2022·新高考Ⅰ卷1题）若集合 M ＝{ x ｜ ＜4}， N ＝{ x ｜3 x
≥1}，则 M ∩ N ＝（　D　）
A. { x ｜0≤ x ＜2}
C. { x ｜3≤ x ＜16}
解析：法一（直接法）　因为 M ＝{ x ｜ ＜4}，所以 M ＝{ x ｜
0≤ x ＜16}；因为 N ＝{ x ｜3 x ≥1}，所以 N ＝ .所以
M ∩ N ＝ ，故选D.
法二（特例法）　观察选项进行特取，取 x ＝4，则4∈ M ，4∈
N ，所以4∈（ M ∩ N ），排除A、B；取 x ＝1，则1∈ M ，1∈
N ，所以1∈（ M ∩ N ），排除C. 故选D.
通性通法
求两集合交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即
可；
（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的
交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共部分，要
注意端点值的取舍.
【跟踪训练】
1. （2021·新高考Ⅰ卷1题）设集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}， B ＝{2，3，
4，5}，则 A ∩ B ＝（　　）
A. {2} B. {2，3}
C. {3，4} D. {2，3，4}
解析： 　因为 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}， B ＝{2，3，4，5}，所以 A
∩ B ＝{2，3}，故选B.
2. 已知集合 A ＝{ x ｜2＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x ＜3或 x ＞5}，则 A ∩ B
＝ .
解析：集合 A ， B 画在数轴上，如图，由
图可知 A ∩ B ＝{ x ｜2＜ x ＜3}.
{ x ｜2＜ x ＜3}　
题型三 根据并集与交集运算求参数范围
【例3】　已知集合 A ＝{ x ｜ x ≤－1或 x ≥3}， B ＝{ x ｜ a ＜ x ＜4}，
若 A ∪ B ＝R，则实数 a 的取值范围是（　　）
A. 3≤ a ＜4 B. －1＜ a ＜4
C. a ≤－1 D. a ＜－1
解析： 　利用数轴，若 A ∪ B ＝R，则 a ≤－1.
【母题探究】
1. （变条件）将本例中 A ∪ B ＝R变成 A ∪ B ＝ A ，求实数 a 的取
值范围.
解：当 a ≥4时，集合 B 为空集，满足题意；当 a ＜4时，若要满足
A ∪ B ＝ A ，必有 a ≥3.综上实数 a 的取值范围是 a ≥3.
2. （变条件）将本例中的集合 B 变为 B ＝{ x ｜ a ＜ x ≤4－ a }，且 A ∪
B ＝R变为 A ∩ B ＝ ，求实数 a 的取值范围.
解：当 a ≥2时，集合 B 为空集，满足题意；当 a ＜2时，则有 a ≥
－1且4－ a ＜3，故有1＜ a ＜2，综上，实数 a 的取值范围是 a ＞1.
通性通法
　　利用集合间的关系求参数范围的一般步骤
（1）若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素
之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间
的关系；
（2）将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值
范围；
（3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围.
【跟踪训练】
　设集合 M ＝{ x ｜－2＜ x ＜5}， N ＝{ x ｜2－ t ＜ x ＜2 t ＋1， t ∈R}.
若 M ∩ N ＝ N ，则实数 t 的取值范围为 .
解析：由 M ∩ N ＝ N ，得 N M . 故当 N ＝ ，即2 t ＋1≤2－ t ，即 t ≤
时， M ∩ N ＝ N 成立；当 N ≠ 时，由图得解得
＜ t ≤2.综上可知，所求实数 t 的取值范围为{ t ｜ t ≤2}.
{ t ｜ t ≤2}　
1. （2022·全国甲卷1题）设集合 A ＝{－2，－1，0，1，2}， B ＝
，则 A ∩ B ＝（　　）
A. {0，1，2} B. {－2，－1，0}
C. {0，1} D. {1，2}
解析： 　因为集合 B ＝{ x ｜0≤ x ＜ }，所以集合 B 中的整数有
0，1，2，所以 A ∩ B ＝{0，1，2}.
2. （多选）满足{1，3}∪ A ＝{1，3，5}的集合 A 可能是（　　）
A. {5} B. {1，5}
C. {1，3} D. {1，3，5}
解析： 　由{1，3}∪ A ＝{1，3，5}，知 A {1，3，5}，且 A
中至少有1个元素5，故选A、B、D.
3. 若集合 A ＝{ x ｜－3＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x ＞2}，则 A ∪ B ＝
， A ∩ B ＝ .
解析：如图， A ∪ B ＝{ x ｜ x ＞－3}， A ∩ B ＝
{ x ｜2＜ x ＜4}.
{ x ｜
x ＞－3}　
{ x ｜2＜ x ＜4}　
4. 已知集合 A ＝，集合 B ＝{ x ｜2 x －1＜3}，求 A ∩
B ， A ∪ B .
解：解不等式组得－2＜ x ＜3，
即 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜3}.
解不等式2 x －1＜3，得 x ＜2，即 B ＝{ x ｜ x ＜2}，
在数轴上分别表示集合 A ， B ，如图所示.
则 A ∩ B ＝{ x ｜－2＜ x ＜2}， A ∪ B ＝{ x ｜ x
＜3}.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜1}， B ＝{ x ｜ x ＜－1，或 x ＞3}，则 A
∩ B ＝（　　）
A. { x ｜－2＜ x ＜－1} B. { x ｜－2＜ x ＜3}
C. { x ｜－1＜ x ＜1} D. { x ｜1＜ x ＜3}
解析： 　因为 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜1}， B ＝{ x ｜ x ＜－1，或 x ＞
3}，所以 A ∩ B ＝{ x ｜－2＜ x ＜－1}.故选A.
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2. 已知集合 M ＝{0， x }， N ＝{1，2}，若 M ∩ N ＝{2}，则 M ∪ N ＝
（　　）
A. {0，1，2， x } B. {0，1，2}
C. {0，2} D. {1，2}
解析： 　∵ M ∩ N ＝{2}，∴2∈ M ，而 M ＝{0， x }，则 x ＝2，
∴ M ＝{0，2}，∴ M ∪ N ＝{0，1，2}.
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3. 设集合 A ＝{（ x ， y ）｜ x －2 y ＝1}， B ＝{（ x ， y ）｜ x ＋ y ＝
2}，则 A ∩ B ＝（　　）
A.
解析： 　由得所以 A ∩ B ＝ .故
选C.
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4. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＜0}， B ＝{ x ｜ x ＞－2}， C ＝{ x ｜ x ＞－
1}，则（ A ∩ B ）∪ C ＝（　　）
A. { x ｜－1＜ x ＜0} B. { x ｜ x ＞－1}
C. { x ｜－2＜ x ＜0} D. { x ｜ x ＞－2}
解析： 由 A ＝{ x ｜ x ＜0}， B ＝{ x ｜ x ＞－2}，得 A ∩ B ＝
{ x ｜－2＜ x ＜0}，所以（ A ∩ B ）∪ C ＝{ x ｜ x ＞－2}，故选D.
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5. （多选）若集合 M N ，则下列结论正确的是（　　）
A. M ∩ N ＝ N B. M ∪ N ＝ N
C. （ M ∩ N ） N D. N （ M ∩ N ）
解析： 　∵ M N ，∴ M ∩ N ＝ M ， M ∪ N ＝ N ，（ M ∩ N ）
N ，故选B、C.
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6. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ x2＝ x }，集合 B 中有两个元素，且满足
A ∪ B ＝{0，1，2}，则集合 B 可以是（　　）
A. {0，1} B. {0，2}
C. {0，3} D. {1，2}
解析： 　集合 A ＝{0，1}，因为 B 中有两个元素，且 A ∪ B ＝
{0，1，2}，所以 B 可以为{0，2}，{1，2}.故选B、D.
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7. 已知集合 A ＝{ x ｜－ ≤ x ≤3}， B ＝{ x ∈Z｜ x ≤2}，则 A ∩ B
＝ .
解析：因为 A ＝{ x ｜－ ≤ x ≤3}， B ＝{ x ∈Z｜ x ≤2}，所以 A ∩
B ＝{ x ∈Z｜－ ≤ x ≤2}，所以 A ∩ B ＝{0，1，2}.
{0，1，2}　
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8. 已知集合 A ＝{1，3， }， B ＝{1， m }， A ∪ B ＝ A ，则 m ＝
.
解析：∵ A ∪ B ＝ A ，∴ B A . 又 A ＝{1，3， }， B ＝{1，
m }，∴ m ＝3或 m ＝ ，由 m ＝ 得 m ＝0或 m ＝1，但 m ＝1不
满足集合中元素的互异性，故舍去，故 m ＝0或 m ＝3.
0
或3　
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9. 已知集合 M ＝{ x ｜－1≤ x ≤3}， N ＝{ x ｜ x ＝2 k －1， k ∈N*}，
Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有 个.
解析： M ＝{ x ｜－1≤ x ≤3}，集合 N 是全体正奇数组成的集合，
则阴影部分所表示的集合为 M ∩ N ＝{1，3}，即阴影部分所表示的
集合共有2个元素.
2　
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10. 设集合 A ＝{ x ｜ x2＋ ax ＋12＝0}， B ＝{ x ｜ x2＋3 x ＋2 b ＝0}， A
∩ B ＝{2}， C ＝{2，－3}.
（1）求 a ， b 的值及 A ， B ；
解： 因为 A ∩ B ＝{2}，
所以4＋2 a ＋12＝0，4＋6＋2 b ＝0，
即 a ＝－8， b ＝－5，
所以 A ＝{ x ｜ x2－8 x ＋12＝0}＝{2，6}，
B ＝{ x ｜ x2＋3 x －10＝0}＝{2，－5}.
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（2）求（ A ∪ B ）∩ C .
解： 因为 A ∪ B ＝{－5，2，6}， C ＝{2，－3}，
所以（ A ∪ B ）∩ C ＝{2}.
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11. 已知 a ∈R，集合 M ＝{1， a2}， N ＝{ a ，－1}.若 M ∪ N 有三个
元素，则 M ∩ N ＝（　　）
A. {0，1} B. {0，－1}
C. {0} D. {1}
解析： 　因为集合 M ＝{1， a2}， N ＝{ a ，－1}，若 M ∪ N
有三个元素，则 a2＝ a 且 a ≠±1，解得 a ＝0.此时 M ∩ N ＝
{0}，故选C.
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12. （多选）设集合 M ＝{ x ｜ a ＜ x ＜3＋ a }， N ＝{ x ｜ x ＜2或 x ＞
4}，则下列结论中正确的是（　　）
A. 若 a ＜－1，则 M N
B. 若 a ＞4，则 M N
C. 若 M ∪ N ＝R，则1＜ a ＜2
D. 若 M ∩ N ≠ ，则1＜ a ＜2
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解析： 　对于A，若 a ＜－1，则3＋ a ＜2，则 M N ，故A正
确；对于B，若 a ＞4，显然对于任意 x ∈ M ， x ＞4，则 x ∈ N ，故
M N ，故B正确；对于C，若 M ∪ N ＝R，则解得1
＜ a ＜2，故C正确；对于D，若 M ∩ N ＝ ，则不等
式无解，故若 M ∩ N ≠ ，则 a ∈R，故D错误.故选A、B、C.
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解析：因为 A ∩ B ＝ ，所以可分两种情况讨论： B ＝ 和 B ≠ .
当 B ＝ 时， a ≥3 a ，解得 a ≤0；当 B ≠ 时，
解得 a ≥4或0＜ a ≤ .综上，得实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤ 或
a ≥4}.
　
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14. 已知集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ m ＜ x ＜ m ＋9}.
（1）若 A ∪ B ＝ B ，求实数 m 的取值范围；
解： ∵ A ∪ B ＝ B ，∴ A B ，∴
解得－6≤ m ≤－2，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜－6≤ m ≤－2}.
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（2）若 A ∩ B ≠ ，求实数 m 的取值范围.
解： 当 A ∩ B ＝ 时，3≤ m 或 m ＋9≤－2，
解得 m ≥3或 m ≤－11，
∴ A ∩ B ≠ 时，－11＜ m ＜3，
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜－11＜ m ＜3}.
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15. 已知集合 A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}，集合 B ＝{ x ｜－1＜ x ＜1}，集合 C
＝{ x ｜ mx ＋1＞0}，若（ A ∪ B ） C ，则实数 m 的取值范围为
（　　）
A. { m ｜－2≤ m ≤1}
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解析： 　易得 A ∪ B ＝{ x ｜－1＜ x ＜2}.①当 m ＜0时，集合 C
＝{ x ｜ x ＜－ }，若（ A ∪ B ） C ，则－ ≥2，解得－ ≤ m
＜0.②当 m ＝0时，集合 C ＝R，满足题意.③当 m ＞0时，集合 C
＝{ x ｜ x ＞－ }，若（ A ∪ B ） C ，则－ ≤－1，解得0＜ m
≤1.综上所述，实数 m 的取值范围是{ m ｜－ ≤ m ≤1}.故选B.
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16. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ a2－19＝0}， B ＝{ x ｜ x2－5 x ＋6＝
0}， C ＝{ x ｜ x2＋2 x －8＝0}.
（1）若 A ∩ B ＝ A ∪ B ，求实数 a 的值；
（1）因为 A ∩ B ＝ A ∪ B ，所以 A ＝ B .
于是2，3是一元二次方程 x2－ ax ＋ a2－19＝0的两个根，由
根与系数的关系知解得 a ＝5.
解：由已知，得 B ＝{2，3}， C ＝{2，－4}.
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解：由 A ∩ B A ∩ B ≠ ，又 A ∩ C ＝ ，得3∈
A ，2 A ，－4 A .
由3∈ A ，得32－3 a ＋ a2－19＝0，解得 a ＝5或 a ＝－2.
当 a ＝5时， A ＝{ x ｜ x2－5 x ＋6＝0}＝{2，3}，与2 A
矛盾；
当 a ＝－2时， A ＝{ x ｜ x2＋2 x －15＝0}＝{3，－5}，
符合题意.所以 a ＝－2.
（2）若 A ∩ B ， A ∩ C ＝ ，求实数 a 的值.
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