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第2课时　补集及综合应用
1.设U＝{x∈N｜1≤x≤6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}，则 UA＝（　　）
A.{4，5} B.{1，2，3，4}
C.{1，4，5，6} D.{1，6}
2.已知集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}， AB＝{1，3，5}，则集合B＝（　　）
A.{2，4} B.{0，2，4}
C.{0，1，3} D.{2，3，4}
3.设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（ RS）∪T＝（　　）
A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜x≤－4}
C.{x｜x≤1} D.{x｜x≥1}
4.已知集合A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜x≤2}，则集合{x｜x≤－2或x≥1}＝（　　）
A.A∪B B.A∩B
C. R（A∪B） D. R（A∩B）
5.已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　）
A.{x｜0≤x＜1} B.{x｜0＜x≤3}
C.{x｜0＜x≤1} D.{x｜1≤x≤3}
6.（多选）可以推出A B的是（　　）
A.A∩B＝B B.A∩（ UB）＝
C.A∪B＝B D.（ UB） （ UA）
7.已知全集U＝{x｜－2＜x≤5}，集合M＝{t｜－1≤t≤3}，则 UM＝　　　　.
8.设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，则（ UA）∩（ UB）＝　　　　.
9.已知全集为R，集合A＝{x｜2＜x＜6}，B＝{x｜a－4≤x≤a＋4}，且A RB，则实数a的取值范围是　　　　.
10.若集合A＝{x｜－2＜x＜－1或x＞1}，全集U＝R.
（1）求 UA；
（2）若B＝{x｜x≤a}，B UA，求a的取值范围.
11.已知U为全集，集合M，N是U的子集.若M∩N＝N，则（　　）
A.（ UM） （ UN） B.M （ UN）
C.（ UM） （ UN） D.M （ UN）
12.（多选）已知全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x｜2≤x＜5}，下列集合运算正确的是（　　）
A. UA＝{x｜x＜1或3＜x＜4或x＞6}
B. UB＝{x｜x＜2或x≥5}
C.A∩（ UB）＝{x｜1≤x＜2或5≤x＜6}
D.（ UA）∪B＝{x｜x＜1或2＜x＜5或x＞6}
13.全集U＝{x∈N*｜x＜10}，A U，B U，（ UB）∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，（ UA）∩（ UB）＝{4，6，7}，则集合A＝　　　　；B＝　　　　.
14.已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪（ AB）＝A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由.
15.设集合U＝{（x，y）｜x，y∈R}，M＝（x，y）｜＝1，N＝{（x，y）｜y≠x＋1}，则（ UM）∩（ UN）＝　　　　.
16.若集合A＝{x｜ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，求实数a的取值范围.
第2课时　补集及综合应用
1.C　U＝{x∈N｜1≤x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}＝{2，3}，所以 UA＝{1，4，5，6}，故选C.
2.B　根据题意，集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，若 AB＝{1，3，5}，则B＝ A（ AB）＝{0，2，4}.故选B.
3.C　因为S＝{x｜x＞－2}，所以 RS＝{x｜x≤－2}.又T＝{x｜－4≤x≤1}，所以（ RS）∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜x≤1}.故选C.
4.D　因为A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜x≤2}，所以A∪B＝{x｜x≤2}，A∩B＝{x｜－2＜x＜1}，所以 R（A∪B）＝{x｜x＞2}， R（A∩B）＝{x｜x≤－2或x≥1}.故选D.
5.C　因为A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，所以A∪B＝{x｜x＞1或x≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为 U（A∪B）＝{x｜0＜x≤1}，故选C.
6.BCD　对于A，因为A∩B＝B，所以B A，故错误；对于B，当A∩（ UB）＝ 时，有A B，反之也成立，故正确；对于C，当A∪B＝B时，有A B，反之也成立，故正确；对于D，若（ UB） （ UA），则A B，反之也成立，故正确.故选B、C、D.
7.{x｜－2＜x＜－1或3＜x≤5}
解析：∵M＝{t｜－1≤t≤3}，U＝{x｜－2＜x≤5}，∴ UM＝{x｜－2＜x＜－1或3＜x≤5}.
8.{x｜x是直角三角形}　解析：根据三角形的分类可知， UA＝{x｜x是直角三角形或钝角三角形}， UB＝{x｜x是直角三角形或锐角三角形}，所以（ UA）∩（ UB）＝{x｜x是直角三角形}.
9.{a｜a≤－2或a≥10}　解析：由题可知 RB＝{x｜x＜a－4或x＞a＋4}.因为A RB，所以6≤a－4或2≥a＋4，即a≥10或a≤－2.
10.解：（1）因为A＝{x｜－2＜x＜－1或x＞1}，
U＝R，所以 UA＝{x｜x≤－2或－1≤x≤1}.
（2）如图，当a≤－2时，B UA，
所以a≤－2.
11.C　∵M∩N＝N，∴N M，∴（ UM） （ UN）.
12.BC　依题意， UA＝{x｜x＜1或3＜x≤4或x≥6}，A不正确； UB＝{x｜x＜2或x≥5}，B正确；A∩（ UB）＝{x｜1≤x＜2或5≤x＜6}，C正确；（ UA）∪B＝{x｜x＜1或2≤x＜5或x≥6}，D不正确.
13.{1，3，9}　{2，3，5，8}　解析：法一　Venn图如图所示，由A∩B＝{3}，将3填入A，B两区域的交汇处，由（ UB）∩A＝{1，9}，将1，9填入A区域的左半边.由（ UA）∩（ UB）＝{4，6，7}可知4，6，7既不在A内又不在B内，将4，6，7填入A，B区域外，剩下2，5，8填入B区域的右半边，检查可知符合题意，因此A＝{1，3，9}，B＝{2，3，5，8}.
法二　∵（ UB）∩A＝{1，9}，（ UA）∩（ UB）＝{4，6，7}，∴ UB＝{1，4，6，7，9}.又U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴B＝{2，3，5，8}.∵（ UB）∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，∴A＝{1，3，9}.
14.解：假设存在x，使B∪（ AB）＝A，
∴B A.
（1）若x＋2＝3，则x＝1，符合题意.
（2）若x＋2＝－x，则x＝－1，不满足A或B中元素的互异性，不符合题意.
∴存在x＝1，使B∪（ AB）＝A，
此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}.
15.{（2，3）}　解析：法一　M＝（x，y）｜＝1＝{（x，y）｜y＝x＋1，且x≠2}，如图，
集合U表示坐标平面内的所有点，M表示直线y＝x＋1上除去点（2，3）的所有点，而N表示坐标平面内除去直线y＝x＋1上的点以外的所有点，从而M∪N表示坐标平面内除点（2，3）以外的所有点.所以（ UM）∩（ UN）＝ U（M∪N）＝{（2，3）}.
法二　因为M＝{（x，y）｜y＝x＋1，且x≠2}，所以 UM＝{（x，y）｜y≠x＋1}∪{（2，3）}.又N＝{（x，y）｜y≠x＋1}，所以 UN＝{（x，y）｜y＝x＋1}，所以（ UM）∩（ UN）＝{（2，3）}.
16.解：法一　假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则解得a＜且a≠0，则此时实数a的取值范围是a｜a＜且a≠0.
在全集U＝R中，集合a｜a＜且a≠0的补集是a｜a≥或a＝0.
所以满足题意的实数a的取值范围是a｜a≥或a＝0.
法二　当a＝0时，A＝满足题意；
当a≠0时，若Δ＝9－8a＜0，即a＞时，A＝ 满足题意，
若Δ＝9－8a＝0，即a＝时，A＝满足题意，
若Δ＝9－8a＞0，即a＜时，A中有两个元素不满足题意.
综上，满足题意的实数a的取值范围是{a｜a≥或a＝0}.
2 / 2第2课时　补集及综合应用
　　某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.
【问题】　没有获得金奖的学生有哪些？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点一　全集
1.概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的　　　　　　，那么就称这个集合为全集.
2.记法：通常记作　　　.
【想一想】
全集一定是实数集吗？
知识点二　补集
　
提醒　（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割；（2）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的.
1.设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，则 UA＝（　　）
A. B.{1，3，5}
C.{2，4} D.{0，1，3，5}
2.已知全集U＝{0，1，2}，且 UA＝{2}，则A＝　　　　.
3.若集合A＝{x｜x＞1}，则 RA＝　　　　.
题型一 补集
【例1】　（1）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则 UM＝（　　）
A.U B.{1，3，5}
C.{3，5，6} D.{2，4，6}
（2）若全集U＝{x∈R｜－2≤x≤2}，集合A＝{x∈R｜－2≤x≤0}，则 UA＝（　　）
A.{x∈R｜0＜x＜2}
B.{x∈R｜0≤x＜2}
C.{x∈R｜0＜x≤2}
D.{x∈R｜0≤x≤2}
通性通法
求集合补集的2种方法
（1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
（2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解.
【跟踪训练】
　若集合A＝{x｜－1≤x＜1}，当U分别取下列集合时，求 UA.
（1）U＝R；
（2）U＝{x｜x≤2}；
（3）U＝{x｜－4≤x≤1}.
题型二 集合交、并、补的综合运算
【例2】　（1）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪ UM＝（　　）
A.{2，3，5} B.{1，3，4}
C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5}
（2）设全集为R，A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，则 R（A∪B）＝　　　　，（ RA）∩B＝　　　　.
通性通法
解决集合交、并、补综合运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解；
（2）如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.
提醒　解答过程中要注意边界.
【跟踪训练】
　已知全集U＝R，A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜－1＜x≤3}，P＝{x｜x≤0或x≥}，求A∩B，（ UB）∪P，（A∩B）∩（ UP）.
题型三 与补集相关参数的求解
【例3】　设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且（ UA）∩B＝ ，求实数m的取值范围.
【母题探究】
（变条件）本例将条件“（ UA）∩B＝ ”改为“（ UB）∪A＝R”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？
通性通法
由集合的补集求参数的方法
（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数时，可利用补集定义求解；
（2）如果所给集合是无限集，求解与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析求解.
【跟踪训练】
1.已知全集U＝{3，4，a2－2a＋3}，集合A＝{3，4}， UA＝{6}，则实数a的值为　　　　.
2.已知全集U＝R，A＝{x｜1≤x＜b}， UA＝{x｜x＜1，或x≥2}，则实数b＝　　　　.
1.若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则 U（M∪N）＝（　　）
A.{1，2，3} B.{2}
C.{1，3，4} D.{4}
2.（2022·全国乙卷1题）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（　　）
A.2∈M B.3∈M
C.4 M D.5 M
3.已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≤5}，B＝{x｜x＞0}，则集合 U（A∩B）＝（　　）
A.{x｜x≤0} B.{x｜x＞5}
C. D.{x｜x≤0或x＞5}
4.已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}，求A∩B，（ UA）∪B，A∩（ UB）.
第2课时　补集及综合应用
【基础知识·重落实】
知识点一
1.所有元素　2.U
想一想
　提示：不一定.
知识点二
不属于集合A　 UA　{x｜x∈U，且x A}　U　A　U　
自我诊断
1.D　因为全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，所以 UA＝{0，1，3，5}.
2.{0，1}　解析：∵U＝{0，1，2}， UA＝{2}，∴A＝{0，1}.
3.{x｜x≤1}　解析：∵A＝{x｜x＞1}，∴ RA＝{x｜x≤1}.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）C　（2）C　解析：（1）因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知 UM＝{3，5，6}.
（2）借助数轴（如图）易得 UA＝{x∈R｜0＜x≤2}.
跟踪训练
　解：（1）把集合U和A表示在数轴上，如图①所示.
由图知 UA＝{x｜x＜－1或x≥1}.
（2）把集合U和A表示在数轴上，如图②所示.
由图知 UA＝{x｜x＜－1或1≤x≤2}.
（3）把集合U和A表示在数轴上，如图③所示.
由图知 UA＝{x｜－4≤x＜－1或x＝1}.
【例2】　（1）A　（2）{x｜x≤2，或x≥10}　{x｜2＜x＜3，或7≤x＜10}
解析：（1）由题意知， UM＝{2，3，5}，∴N∪ UM＝{2，3，5}.故选A.
（2）把全集R和集合A，B在数轴上表示如图，由图知，A∪B＝{x｜2＜x＜10}，所以 R（A∪B）＝{x｜x≤2，或x≥10}.因为 RA＝{x｜x＜3，或x≥7}，所以（ RA）∩B＝{x｜2＜x＜3，或7≤x＜10}.
跟踪训练
　解：将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示.
因为U＝R，A＝{x｜－4≤x＜2}，B＝{x｜－1＜x≤3}，
所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}， UB＝{x｜x≤－1或x＞3}.
又P＝x｜x≤0或x≥，
所以（ UB）∪P＝{x｜x≤0或x≥}.
又 UP＝{x｜0＜x＜}，
所以（A∩B）∩（ UP）
＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜0＜x＜}
＝{x｜0＜x＜2}.
【例3】　解：由已知A＝{x｜x≥－m}，
得 UA＝{x｜x＜－m}，
因为B＝{x｜－2＜x＜4}，（ UA）∩B＝ ，在数轴上画出 UA与B，如图，
所以－m≤－2，即m≥2，
所以实数m的取值范围是{m｜m≥2}.
母题探究
　解：由已知A＝{x｜x≥－m}， UB＝{x｜x≤－2或x≥4}.
又（ UB）∪A＝R，
所以－m≤－2，即m≥2.
故实数m的取值范围为{m｜m≥2}.
跟踪训练
1.－1或3　解析：由题意得a2－2a＋3＝6，解得a＝3或a＝－1，经检验都满足题意.故a＝－1或a＝3.
2.2　解析：因为 UA＝{x｜x＜1，或x≥2}，所以A＝{x｜1≤x＜2}.所以b＝2.
随堂检测
1.D　∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴ U（M∪N）＝{4}.故选D.
2.A　由题意知M＝{2，4，5}，故选A.
3.D　由已知A∩B＝{x｜0＜x≤5}，故 U（A∩B）＝{x｜x≤0或x＞5}.
4.解：如图，在数轴上表示集合A，B，U.
∵A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}，U＝{x｜x≤4}，
∴A∩B＝{x｜－2＜x≤2}， UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}， UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}.
∴（ UA）∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}，A∩（ UB）＝{x｜2＜x＜3}.
3 / 3(共51张PPT)
第2课时　
补集及综合应用
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某学习小组学生的集合为 U ＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为 P ＝{王明，曹勇，王亮，李
冰，张军}.
【问题】　没有获得金奖的学生有哪些？

知识点一　全集
1. 概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么
就称这个集合为全集.
2. 记法：通常记作 .
所有元素　
U 　
【想一想】
全集一定是实数集吗？
提示：不一定.
知识点二　补集
提醒　（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割；（2）补
集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合 A
的补集的前提是 A 为全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补
集也是不同的.
1. 设全集 U ＝{0，1，2，3，4，5}， A ＝{2，4}，则 UA ＝（　　）
A. B. {1，3，5}
C. {2，4} D. {0，1，3，5}
解析： 　因为全集 U ＝{0，1，2，3，4，5}， A ＝{2，4}，所以
UA ＝{0，1，3，5}.
2. 已知全集 U ＝{0，1，2}，且 UA ＝{2}，则 A ＝ .
解析：∵ U ＝{0，1，2}， UA ＝{2}，∴ A ＝{0，1}.
3. 若集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}，则 R A ＝ .
解析：∵ A ＝{ x ｜ x ＞1}，∴ R A ＝{ x ｜ x ≤1}.
{0，1}　
{ x ｜ x ≤1}　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 补集
【例1】　（1）设全集 U ＝{1，2，3，4，5，6}， M ＝{1，2，4}，
则 UM ＝（　　）
A. U B. {1，3，5}
C. {3，5，6} D. {2，4，6}
解析： 因为 U ＝{1，2，3，4，5，6}， M ＝{1，2，4}，
由补集的定义，可知 UM ＝{3，5，6}.
（2）若全集 U ＝{ x ∈R｜－2≤ x ≤2}，集合 A ＝{ x ∈R｜－2≤ x
≤0}，则 UA ＝（　　）
A. { x ∈R｜0＜ x ＜2} B. { x ∈R｜0≤ x ＜2}
C. { x ∈R｜0＜ x ≤2} D. { x ∈R｜0≤ x ≤2}
解析：借助数轴（如图）易得 UA ＝{ x
∈R｜0＜ x ≤2}.
通性通法
求集合补集的2种方法
（1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
（2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴
分析求解.
【跟踪训练】
　若集合 A ＝{ x ｜－1≤ x ＜1}，当 U 分别取下列集合时，求 UA .
（1） U ＝R；
解： 把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图①
所示.
由图知 UA ＝{ x ｜ x ＜－1或 x ≥1}.
（2） U ＝{ x ｜ x ≤2}；
解： 把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图②
所示.
由图知 UA ＝{ x ｜ x ＜－1或1≤ x ≤2}.
（3） U ＝{ x ｜－4≤ x ≤1}.
解： 把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图
③所示.
由图知 UA ＝{ x ｜－4≤ x ＜－1或 x ＝1}.
题型二 集合交、并、补的综合运算
【例2】　（1）（2023·全国甲卷1题）设全集 U ＝{1，2，3，4，5}，
集合 M ＝{1，4}， N ＝{2，5}，则 N ∪ UM ＝（　A　）
A. {2，3，5} B. {1，3，4}
C. {1，2，4，5} D. {2，3，4，5}
解析： 由题意知， UM ＝{2，3，5}，∴ N ∪ UM ＝{2，
3，5}.故选A.
（2）设全集为R， A ＝{ x ｜3≤ x ＜7}， B ＝{ x ｜2＜ x ＜10}，则 R
（ A ∪ B ）＝ ，（ R A ）∩ B
＝ .
解析： 把全集R和集合 A ， B 在数轴上
表示如图，由图知， A ∪ B ＝{ x ｜2＜ x ＜
10}，所以 R（ A ∪ B ）＝{ x ｜ x ≤2，或 x ≥10}.因为 R A ＝{ x ｜ x ＜3，或 x ≥7}，所以（ R A ）∩ B ＝{ x ｜2＜ x ＜3，或7≤ x ＜10}.
{ x ｜ x ≤2，或 x ≥10}　
{ x ｜2＜ x ＜3，或7≤ x ＜10}　
通性通法
解决集合交、并、补综合运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，
然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借
助于Venn图来求解；
（2）如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全
集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.
提醒　解答过程中要注意边界.
【跟踪训练】
　已知全集 U ＝R， A ＝{ x ｜－4≤ x ＜2}， B ＝{ x ｜－1＜ x ≤3}， P
＝{ x ｜ x ≤0或 x ≥ }，求 A ∩ B ，（ UB ）∪ P ，（ A ∩ B ）∩（ UP ）.
解：将集合 A ， B ， P 分别表示在数轴上，如图所示.
因为 U ＝R， A ＝{ x ｜－4≤ x ＜2}， B ＝{ x ｜－1＜
x ≤3}，
所以 A ∩ B ＝{ x ｜－1＜ x ＜2}， UB ＝{ x ｜ x ≤－1或 x ＞3}.
又 P ＝｛x ｜ x ≤0或 x ≥ ｝ ，
所以（ UB ）∪ P ＝{ x ｜ x ≤0或 x ≥ }.
又 UP ＝{ x ｜0＜ x ＜ }，所以（ A ∩ B ）∩（ UP ）
＝{ x ｜－1＜ x ＜2}∩{ x ｜0＜ x ＜ }
＝{ x ｜0＜ x ＜2}.
题型三 与补集相关参数的求解
【例3】　设集合 A ＝{ x ｜ x ＋ m ≥0}， B ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}，全集
U ＝R，且（ UA ）∩ B ＝ ，求实数 m 的取值范围.
解：由已知 A ＝{ x ｜ x ≥－ m }，
得 UA ＝{ x ｜ x ＜－ m }，
因为 B ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}，（ UA ）∩ B ＝ ，
在数轴上画出 UA 与 B ，如图，
所以－ m ≤－2，即 m ≥2，
所以实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥2}.
【母题探究】
（变条件）本例将条件“（ UA ）∩ B ＝ ”改为“（ UB ）∪ A ＝
R”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围又是什么？
解：由已知 A ＝{ x ｜ x ≥－ m }， UB ＝{ x ｜ x ≤－2或 x ≥4}.
又（ UB ）∪ A ＝R，
所以－ m ≤－2，即 m ≥2.
故实数 m 的取值范围为{ m ｜ m ≥2}.
通性通法
由集合的补集求参数的方法
（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数时，可利用补集定义
求解；
（2）如果所给集合是无限集，求解与集合交、并、补运算有关的参
数问题时，一般利用数轴分析求解.
【跟踪训练】
1. 已知全集 U ＝{3，4， a2－2 a ＋3}，集合 A ＝{3，4}， UA ＝{6}，
则实数 a 的值为 .
解析：由题意得 a2－2 a ＋3＝6，解得 a ＝3或 a ＝－1，经检验都满
足题意.故 a ＝－1或 a ＝3.
2. 已知全集 U ＝R， A ＝{ x ｜1≤ x ＜ b }， UA ＝{ x ｜ x ＜1，或 x
≥2}，则实数 b ＝ .
解析：因为 UA ＝{ x ｜ x ＜1，或 x ≥2}，所以 A ＝{ x ｜1≤ x ＜2}.
所以 b ＝2.
－1或3　
2　
1. 若全集 U ＝{1，2，3，4}，集合 M ＝{1，2}， N ＝{2，3}，则 U
（ M ∪ N ）＝（　　）
A. {1，2，3} B. {2}
C. {1，3，4} D. {4}
解析： 　∵全集 U ＝{1，2，3，4}，集合 M ＝{1，2}， N ＝{2，
3}，∴ M ∪ N ＝{1，2，3}，∴ U （ M ∪ N ）＝{4}.故选D.
2. （2022·全国乙卷1题）设全集 U ＝{1，2，3，4，5}，集合 M 满足
UM ＝{1，3}，则（　　）
A. 2∈ M B. 3∈ M
C. 4 M D. 5 M
解析： 由题意知 M ＝{2，4，5}，故选A.
3. 已知全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜ x ≤5}， B ＝{ x ｜ x ＞0}，则集合
U （ A ∩ B ）＝（　　）
A. { x ｜ x ≤0} B. { x ｜ x ＞5}
C. D. { x ｜ x ≤0或 x ＞5}
解析： 　由已知 A ∩ B ＝{ x ｜0＜ x ≤5}，故 U （ A ∩ B ）＝{ x ｜
x ≤0或 x ＞5}.
4. 已知全集 U ＝{ x ｜ x ≤4}，集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜
－3≤ x ≤2}，求 A ∩ B ，（ UA ）∪ B ， A ∩（ UB ）.
解：如图，在数轴上表示集合 A ， B ， U .
∵ A ＝{ x ｜－2＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜－3≤ x
≤2}， U ＝{ x ｜ x ≤4}，
∴ A ∩ B ＝{ x ｜－2＜ x ≤2}， UA ＝{ x ｜ x ≤－2，或3≤ x ≤4}， UB ＝{ x ｜ x ＜－3，或2＜ x ≤4}.
∴（ UA ）∪ B ＝{ x ｜ x ≤2，或3≤ x ≤4}， A ∩（ UB ）＝{ x ｜2＜ x ＜3}.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 U ＝{ x ∈N｜1≤ x ≤6}， A ＝{ x ｜（ x －2）（ x －3）＝0}，则
UA ＝（　　）
A. {4，5} B. {1，2，3，4}
C. {1，4，5，6} D. {1，6}
解析： 　 U ＝{ x ∈N｜1≤ x ≤6}＝{1，2，3，4，5，6}， A ＝
{ x ｜（ x －2）（ x －3）＝0}＝{2，3}，所以 UA ＝{1，4，5，
6}，故选C.
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2. 已知集合 A ＝{ x ∈N｜0≤ x ≤5}， AB ＝{1，3，5}，则集合 B ＝
（　　）
A. {2，4} B. {0，2，4}
C. {0，1，3} D. {2，3，4}
解析： 　根据题意，集合 A ＝{ x ∈N｜0≤ x ≤5}＝{0，1，2，
3，4，5}，若 AB ＝{1，3，5}，则 B ＝ A （ AB ）＝{0，2，4}.故
选B.
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3. 设集合 S ＝{ x ｜ x ＞－2}， T ＝{ x ｜－4≤ x ≤1}，则（ R S ）∪ T
＝（　　）
A. { x ｜－2＜ x ≤1} B. { x ｜ x ≤－4}
C. { x ｜ x ≤1} D. { x ｜ x ≥1}
解析： 　因为 S ＝{ x ｜ x ＞－2}，所以 R S ＝{ x ｜ x ≤－2}.又 T
＝{ x ｜－4≤ x ≤1}，所以（ R S ）∪ T ＝{ x ｜ x ≤－2}∪{ x ｜－
4≤ x ≤1}＝{ x ｜ x ≤1}.故选C.
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4. 已知集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜1}， B ＝{ x ｜ x ≤2}，则集合{ x ｜ x ≤
－2或 x ≥1}＝（　　）
A. A ∪ B B. A ∩ B
C. R（ A ∪ B ） D. R（ A ∩ B ）
解析： 　因为 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜1}， B ＝{ x ｜ x ≤2}，所以 A ∪
B ＝{ x ｜ x ≤2}， A ∩ B ＝{ x ｜－2＜ x ＜1}，所以 R（ A ∪ B ）＝
{ x ｜ x ＞2}， R（ A ∩ B ）＝{ x ｜ x ≤－2或 x ≥1}.故选D.
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5. 已知全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜ x ≥3或 x ≤0}， B ＝{ x ｜1＜ x
≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　）
A. { x ｜0≤ x ＜1} B. { x ｜0＜ x ≤3}
C. { x ｜0＜ x ≤1} D. { x ｜1≤ x ≤3}
解析： 　因为 A ＝{ x ｜ x ≥3或 x ≤0}， B ＝{ x ｜1＜ x ≤3}，所以
A ∪ B ＝{ x ｜ x ＞1或 x ≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为 U
（ A ∪ B ）＝{ x ｜0＜ x ≤1}，故选C.
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6. （多选）可以推出 A B 的是（　　）
A. A ∩ B ＝ B B. A ∩（ UB ）＝
C. A ∪ B ＝ B D. （ UB ） （ UA ）
解析： 　对于A，因为 A ∩ B ＝ B ，所以 B A ，故错误；
对于B，当 A ∩（ UB ）＝ 时，有 A B ，反之也成立，故正
确；对于C，当 A ∪ B ＝ B 时，有 A B ，反之也成立，故正
确；对于D，若（ UB ） （ UA ），则 A B ，反之也成立，
故正确.故选B、C、D.
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7. 已知全集 U ＝{ x ｜－2＜ x ≤5}，集合 M ＝{ t ｜－1≤ t ≤3}，则
UM ＝ .
解析：∵ M ＝{ t ｜－1≤ t ≤3}， U ＝{ x ｜－2＜ x ≤5}，∴ UM ＝
{ x ｜－2＜ x ＜－1或3＜ x ≤5}.
{ x ｜－2＜ x ＜－1或3＜ x ≤5}　
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8. 设全集 U ＝{ x ｜ x 是三角形}， A ＝{ x ｜ x 是锐角三角形}， B ＝
{ x ｜ x 是钝角三角形}，则（ UA ）∩（ UB ）＝
.
解析：根据三角形的分类可知， UA ＝{ x ｜ x 是直角三角形或钝角
三角形}， UB ＝{ x ｜ x 是直角三角形或锐角三角形}，所以（
UA ）∩（ UB ）＝{ x ｜ x 是直角三角形}.
{ x ｜ x 是直角三
角形}　
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9. 已知全集为R，集合 A ＝{ x ｜2＜ x ＜6}， B ＝{ x ｜ a －4≤ x ≤ a ＋
4}，且 A R B ，则实数 a 的取值范围是
.
解析：由题可知 R B ＝{ x ｜ x ＜ a －4或 x ＞ a ＋4}.因为 A R B ，
所以6≤ a －4或2≥ a ＋4，即 a ≥10或 a ≤－2.
{ a ｜ a ≤－2或 a
≥10}　
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10. 若集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜－1或 x ＞1}，全集 U ＝R.
（1）求 UA ；
解： 因为 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜－1或 x ＞1}，
U ＝R，所以 UA ＝{ x ｜ x ≤－2或－1≤ x ≤1}.
（2）若 B ＝{ x ｜ x ≤ a }， B UA ，求 a 的取值范围.
解： 如图，当 a ≤－2时， B UA ，
所以 a ≤－2.
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11. 已知 U 为全集，集合 M ， N 是 U 的子集.若 M ∩ N ＝ N ，则
（　　）
A. （ UM ） （ UN ） B. M （ UN ）
C. （ UM ） （ UN ） D. M （ UN ）
解析： 　∵ M ∩ N ＝ N ，∴ N M ，∴（ UM ） （ UN ）.
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12. （多选）已知全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3或4＜ x ＜6}，
集合 B ＝{ x ｜2≤ x ＜5}，下列集合运算正确的是（　　）
A. UA ＝{ x ｜ x ＜1或3＜ x ＜4或 x ＞6}
B. UB ＝{ x ｜ x ＜2或 x ≥5}
C. A ∩（ UB ）＝{ x ｜1≤ x ＜2或5≤ x ＜6}
D. （ UA ）∪ B ＝{ x ｜ x ＜1或2＜ x ＜5或 x ＞6}
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解析： 　依题意， UA ＝{ x ｜ x ＜1或3＜ x ≤4或 x ≥6}，A不
正确； UB ＝{ x ｜ x ＜2或 x ≥5}，B正确； A ∩（ UB ）＝{ x ｜
1≤ x ＜2或5≤ x ＜6}，C正确；（ UA ）∪ B ＝{ x ｜ x ＜1或2≤ x
＜5或 x ≥6}，D不正确.
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13. 全集 U ＝{ x ∈N*｜ x ＜10}， A U ， B U ，（ UB ）∩ A ＝{1，
9}， A ∩ B ＝{3}，（ UA ）∩（ UB ）＝{4，6，7}，则集合 A
＝ ； B ＝ .
解析：法一　Venn图如图所示，由 A ∩ B ＝
{3}，将3填入 A ， B 两区域的交汇处，由
（ UB ）∩ A ＝{1，9}，将1，9填入 A 区域
的左半边.由（ UA ）∩（ UB ）＝{4，6，7}可知4，6，7既不在 A 内又不在 B 内，将4，6，7填入 A ， B 区域外，剩下2，5，8填入 B 区域的右半边，检查可知符合题意，因此 A ＝{1，3，9}，
B ＝{2，3，5，8}.
{1，3，9}　
{2，3，5，8}　
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法二　∵（ UB ）∩ A ＝{1，9}，（ UA ）∩（ UB ）＝{4，6，7}，
∴ UB ＝{1，4，6，7，9}.又 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
∴ B ＝{2，3，5，8}.∵（ UB ）∩ A ＝{1，9}， A ∩ B ＝{3}，∴ A ＝
{1，3，9}.
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14. 已知集合 A ＝{1，3，－ x }， B ＝{1， x ＋2}，是否存在实数 x ，
使得 B ∪（ AB ）＝ A ？若存在，求出集合 A 和 B ；若不存在，说
明理由.
解：假设存在 x ，使 B ∪（ AB ）＝ A ，
∴ B A .
（1）若 x ＋2＝3，则 x ＝1，符合题意.
（2）若 x ＋2＝－ x ，则 x ＝－1，不满足 A 或 B 中元素的互异性，
不符合题意.
∴存在 x ＝1，使 B ∪（ AB ）＝ A ，
此时 A ＝{1，3，－1}， B ＝{1，3}.
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15. 设集合 U ＝{（ x ， y ）｜ x ， y ∈R}， M ＝ （ x ， y ）｜ ＝
1 ， N ＝{（ x ， y ）｜ y ≠ x ＋1}，则（ UM ）∩（ UN ）
＝ .
{（2，3）}　
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解析：法一　 M ＝ （ x ， y ）｜ ＝1 ＝
{（ x ， y ）｜ y ＝ x ＋1，且 x ≠2}，如图，集合
U 表示坐标平面内的所有点， M 表示直线 y ＝ x
＋1上除去点（2，3）的所有点，而 N 表示坐标平面内除去直线 y ＝ x ＋1上的点以外的所有点，从而 M ∪ N 表示坐标平面内除点（2，3）以外的所有点.所以（ UM ）∩（ UN ）＝ U （ M ∪
N ）＝{（2，3）}.
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法二　因为 M ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x ＋1，且 x ≠2}，所以 UM ＝
{（ x ， y ）｜ y ≠ x ＋1}∪{（2，3）}.又 N ＝{（ x ， y ）｜ y ≠ x ＋
1}，所以 UN ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x ＋1}，所以（ UM ）∩（ UN ）＝
{（2，3）}.
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解：法一　假设集合 A 中含有2个元素，即 ax2＋3 x ＋2＝0有两个
不相等的实数根，则解得 a ＜ 且 a ≠0，则此
时实数 a 的取值范围是 a ｜ a ＜ 且 a ≠0 .
在全集 U ＝R中，集合 a ｜ a ＜ 且 a ≠0 的补集是 a ｜ a ≥ 或 a
＝0 .
所以满足题意的实数 a 的取值范围是 a ｜ a ≥ 或 a ＝0 .
16. 若集合 A ＝{ x ｜ ax2＋3 x ＋2＝0}中至多有1个元素，求实数 a 的取
值范围.
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法二　当 a ＝0时， A ＝ 满足题意；
当 a ≠0时，若Δ＝9－8 a ＜0，即 a ＞ 时， A ＝ 满足题意，
若Δ＝9－8 a ＝0，即 a ＝ 时， A ＝ 满足题意，
若Δ＝9－8 a ＞0，即 a ＜ 时， A 中有两个元素不满足题意.
综上，满足题意的实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≥ 或 a ＝0}.
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