资源简介

1.4.2　充要条件
1.“x2＋（y－2）2＝0”是“x（y－2）＝0”的（　　）
A.必要不充分条件　
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“x＜2”是“＜0”的（　　）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.集合A，B之间的关系如图所示，p：a∈ UB，q：a∈A，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知x∈R，则“x2＝x＋6”成立的　　　　条件是“x＝”（　　）
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
6.（多选）使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是（　　）
A.x≥0 B.x＜0或x＞2
C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2
7.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的　　　　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
8.对于集合A，B及元素x，若A B，则x∈B是x∈（A∪B）的　　　　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
9.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空.
（1）“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的　　　　；
（2）“x＜5”是“x＜3”的　　　　.
10.指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
（1）p：x＝1，q：x－1＝；
（2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
（3）p：x＋2≠y，q：（x＋2）2≠y2；
（4）p：a是自然数，q：a是正数.
11.实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是（　　）
A.ab＝0 B.ab＞0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0
12.（多选）设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是（　　）
13.设U＝R，A＝{x｜mx2＋4x＋2＝0}.若 UA＝U，则m的取值范围为　　　　，集合A中有两个元素的充要条件是　　　　.
14.已知集合A＝{x｜2a－1＜x＜a＋1}，B＝{x｜0≤x≤1}.
（1）若x∈A是x∈ RB的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）若x∈A的一个充分不必要条件是x∈B，求实数a的取值范围.
15.若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a（a2＋b2）＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空：
（1）“使a，b都为0”的必要条件是　　　　；
（2）“使a，b都不为0”的充分条件是　　　　；
（3）“使a，b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.
16.求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.
1.4.2　充要条件
1.B　由x2＋（y－2）2＝0，得x＝0且y＝2，x（y－2）＝0.反之，x（y－2）＝0，即x＝0或y＝2，x2＋（y－2）2＝0不一定成立.故选B.
2.A　由＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件.
3.B　由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件.故选B.
4.B　由图可知A是B的补集的真子集，则p是q的必要不充分条件.
5.A　该命题等价于“x＝”是“x2＝x＋6”的什么条件？由x＝ x2＝x＋6，但x2＝x＋6x＝.因此“x＝”是“x2＝x＋6”成立的充分不必要条件.故选A.
6.BC　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意，选项A为题干成立的既不充分也不必要条件，D为题干成立的充要条件.
7.必要不充分　解析：由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1 ∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
8.充要　解析：由x∈B，可得x∈（A∪B）；反之，因为A B，A∪B＝B，所以由x∈（A∪B）可得x∈B，故x∈B是x∈（A∪B）的充要条件.
9.（1）充要条件　（2）必要不充分条件
解析：（1）设A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件.
（2）设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＜3}，因为B A，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件.
10.解：（1）当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
所以p是q的充分不必要条件.
（2）因为－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
所以p是q的充要条件.
（3）由q：（x＋2）2≠y2，
得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分条件.
（4）0是自然数，但0不是正数，故pq；是正数，但不是自然数，故qp.故p是q的既不充分也不必要条件.
11.D　由“a，b中至少有一个不为零”可知，a，b都不为0，或a，b中有一个为0.选项A中，由ab＝0，可得a＝0或b＝0或a，b均为0，不满足条件.选项B中，由ab＞0，可得a，b都不为0，不满足条件.选项C中，由a2＋b2＝0，可得a＝b＝0，不满足条件.选项D中，a2＋b2＞0 a，b中至少有一个不为零，满足条件.故选D.
12.BD　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选B、D.
13.{m｜m＞2}　m＜2且m≠0
解析：由题意得A＝ ，即mx2＋4x＋2＝0无解，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m＜0，解得m＞2.综上可知，m的取值范围为{m｜m＞2}.集合A中有两个元素，即mx2＋4x＋2＝0有两个不等的实数根，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m＞0，解得m＜2.因此集合A中有两个元素的充要条件是m＜2且m≠0.
14.解：（1）∵B＝{x｜0≤x≤1}，∴ RB＝{x｜x＜0或x＞1}，又∵x∈A是x∈ RB的充分不必要条件，∴A RB且A≠ ，
∴或
解得a≤－1或1≤a＜2.
∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或1≤a＜2}.
（2）∵x∈A的一个充分不必要条件是x∈B，
∴B A，∴解得0＜a＜，
∴实数a的取值范围是{a｜0＜a＜}.
15.（1）①②③　（2）④　（3）①
解析：①ab＝0 a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；
②a＋b＝0 a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；
③a（a2＋b2）＝0 a＝0或
④ab＞0 或则a，b都不为0.
16.证明：（1）充分性：当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝－1，只有一个负实数根；
当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根是x＝－；
当a＜0时，方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4a＞0，
且x1x2＝＜0，方程有一正实数根和一负实数根.
所以当a＝1或a≤0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根.
（2）必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根，则
①当a＝0时，x＝－，符合题意.
②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1；
当a＝1时，方程的解为－1，符合题意；
当a＜1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根，
则x1x2＝＜0，即a＜0.
所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时，a＝1或a≤0.
综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.
2 / 21.4.2　充要条件
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.
【问题】　（1）张三为什么走了？
（2）李四为什么走了？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点一　逆命题
　将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
知识点二　充要条件
命题真假 “若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题
推出关系 既有p q，又有q p，记作　　　
条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件
名称 p是q的　　　　　　条件，简称为　　条件
提醒　符号“ ”表示“等价”，如“A B”指的是“如果A，那么B”，同时有“如果B，那么A”，或者说“从A推出B”，同时可“从B推出A”.
【想一想】
　“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的（　　）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2.在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.点P（x，y）是第二象限的点的充要条件是（　　）
A.x＜0，y＜0 B.x＜0，y＞0
C.x＞0，y＞0 D.x＞0，y＜0
题型一 充要条件的判断
【例1】　判断下列各题中，p是 q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.
（1）p：｜x｜＝｜y｜，q：x3＝y3；
（2）p：△ABC中，AB＞AC，q：△ABC中，∠C＞∠B；
（3）p：A B，q：A∪B＝B；
（4）p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等.
通性通法
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
（1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假；
（2）集合法：即利用集合的包含关系判断；
（3）等价法：即利用p q的等价关系判断.
【跟踪训练】
　以下选项中，p是q的充要条件的是（　　）
A.p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B.p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C.p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D.p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解
题型二 充要条件的证明
【例2】　求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.（这里a，b，c是△ABC的三边边长）
通性通法
充要条件的证明策略
（1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真；
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的.
提醒　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
【跟踪训练】
　证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0.
题型三 充分、必要及充要条件的应用
【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【母题探究】
1.（变条件）若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
2.（变设问）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
通性通法
充分条件与必要条件的应用
（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；
（2）求解步骤：先把p，q等价转化，建立相对应的集合，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.
【跟踪训练】
1.“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范围为（　　）
A.a＞3　　　　　　　 B.a＜2
C.a≤2 D.a≥0
2.设p：m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）；q：1≤x≤3.若q是p的充分条件，则实数m的取值范围为　　　　.
1.“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知p：“x＝2”，q：“x－2＝”，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.“a＜b”是“＜1”的（　　）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是　　　　.
1.4.2　充要条件
【基础知识·重落实】
知识点二
p q　充分必要　充要
想一想
　提示：（1）p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.（2）p的充要条件是q，说明q是条件，p是结论.
自我诊断
1.A　由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件，故选A.
2.A　当B＝90°或C＝90°时，△ABC为直角三角形，但不能推出AB2＋AC2＝BC2，故选A.
3.B　第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点P（x，y）是第二象限的点的充要条件是x＜0，y＞0.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）因为｜x｜＝｜y｜时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有｜x｜＝｜y｜，所以p是q的必要不充分条件.
（2）由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件.
（3）若A B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A B，故p是q的充要条件.
（4）若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等（只需高和底边的乘积相等即可），却不一定有两三角形全等，故p是q的充分不必要条件.
跟踪训练
　D　对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p q，但q p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p q，但q p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q p，所以p是q的充要条件，故选D.
【例2】　证明：必要性：因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c，
所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立；
充分性：由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，
2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立.
综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
跟踪训练
　证明：充分性：因为ac＜0，
所以Δ＝b2－4ac＞0，＜0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根.
设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，
则x1x2＝＜0，
所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根.
必要性：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0，
所以ac＜0.
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0.
【例3】　解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x｜1－m≤x≤1＋m} {x｜－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}.
母题探究
1.解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
因为p是q的充分不必要条件，
设p表示的集合为A，q表示的集合为B，
所以A B.
所以或
解得m≥9，
即实数m的取值范围为{m｜m≥9}.
2.解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
若p是q的充要条件，则方程组无解.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
跟踪训练
1.B　由题意得，{x｜x≥2}是{x｜x≥a}的真子集，故a＜2.故选B.
2.－≤m≤0　解析：p所对应集合为：{x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，q所对应集合为：{x｜1≤x≤3}，因q是p的充分条件，则必有{x｜1≤x≤3} {x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，于是得解得－≤m≤0，所以实数m的取值范围为－≤m≤0.
随堂检测
1.C　因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件.
2.C　由q：“x－2＝”，解得x＝1（舍去）或x＝2，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立.所以p是q的充要条件，故选C.
3.D　a＜b＜1，如a＝－2，b＝－1.＜1a＜b，如a＝1，b＝－2，故“a＜b”是“＜1”的既不充分也不必要条件.
4.m＝－2　解析：函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则y＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称.
2 / 3(共57张PPT)
1.4.2　充要条件
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、
李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听
了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声
不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听
了大怒，拂袖而去.
【问题】　（1）张三为什么走了？
（2）李四为什么走了？

知识点一　逆命题
　将命题“若 p ，则 q ”中的条件 p 和结论 q 互换，就得到一个新的命
题“若 q ，则 p ”，称这个命题为原命题的逆命题.
知识点二　充要条件
命题真假 “若 p ，则 q ”和它的逆命题“若 q ，则 p ”均是真命
题
推出关系 既有 p q ，又有 q p ，记作
条件关系 p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件
名称 p 是 q 的 条件，简称为 条件
p q 　
充分必要　
充要　
提醒　符号“ ”表示“等价”，如“ A B ”指的是“如果 A ，那
么 B ”，同时有“如果 B ，那么 A ”，或者说“从 A 推出 B ”，同时
可“从 B 推出 A ”.
【想一想】
　“ p 是 q 的充要条件”与“ p 的充要条件是 q ”的区别在哪里？
提示： p 是 q 的充要条件说明 p 是条件， q 是结论.（2） p 的充要
条件是 q ，说明 q 是条件， p 是结论.
1. “ x ＝1”是“ x2－2 x ＋1＝0”的（　　）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 　由 x2－2 x ＋1＝0，解得 x ＝1，所以“ x ＝1”是“ x2－2
x ＋1＝0”的充要条件，故选A.
2. 在△ ABC 中， AB2＋ AC2＝ BC2是△ ABC 为直角三角形的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 　当 B ＝90°或 C ＝90°时，△ ABC 为直角三角形，但不
能推出 AB2＋ AC2＝ BC2，故选A.
3. 点 P （ x ， y ）是第二象限的点的充要条件是（　　）
A. x ＜0， y ＜0 B. x ＜0， y ＞0
C. x ＞0， y ＞0 D. x ＞0， y ＜0
解析： 　第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点 P
（ x ， y ）是第二象限的点的充要条件是 x ＜0， y ＞0.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 充要条件的判断
【例1】　判断下列各题中， p 是 q 的什么条件（在“充分不必要条
件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中
选出一种作答）.
（1） p ：｜ x ｜＝｜ y ｜， q ： x3＝ y3；
解： 因为｜ x ｜＝｜ y ｜时， x ＝± y ，不一定有 x3＝ y3，
而 x3＝ y3时一定有 x ＝ y ，必有｜ x ｜＝｜ y ｜，所以 p 是 q 的必
要不充分条件.
（2） p ：△ ABC 中， AB ＞ AC ， q ：△ ABC 中，∠ C ＞∠ B ；
解： 由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知 p 是
q 的充要条件.
（3） p ： A B ， q ： A ∪ B ＝ B ；
解： 若 A B ，则一定有 A ∪ B ＝ B ，反之，若 A ∪ B ＝
B ，则一定有 A B ，故 p 是 q 的充要条件.
（4） p ：两个三角形全等， q ：两个三角形面积相等.
解： 若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积
相等（只需高和底边的乘积相等即可），却不一定有两三角形
全等，故 p 是 q 的充分不必要条件.
通性通法
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
（1）定义法：直接判断“若 p ，则 q ”以及“若 q ，则 p ”的真假；
（2）集合法：即利用集合的包含关系判断；
（3）等价法：即利用 p q 的等价关系判断.
【跟踪训练】
　以下选项中， p 是 q 的充要条件的是（　　）
A. p ：3 x ＋2＞5， q ：－2 x －3＞－5
B. p ： a ＞2， b ＜2， q ： a ＞ b
C. p ：四边形的两条对角线互相垂直平分， q ：四边形是正方形
D. p ： a ≠0， q ：关于 x 的方程 ax ＝1有唯一解
解析： 　对于A， p ： x ＞1， q ： x ＜1，所以 p 是 q 的既不充分也不
必要条件；对于B， p q ，但 q p ，所以 p 是 q 的充分不必要条件；
对于C， p q ，但 q p ，所以 p 是 q 的必要不充分条件；对于D，显
然 q p ，所以 p 是 q 的充要条件，故选D.
题型二 充要条件的证明
【例2】　求证：△ ABC 是等边三角形的充要条件是 a2＋ b2＋ c2＝ ab
＋ ac ＋ bc .（这里 a ， b ， c 是△ ABC 的三边边长）
证明：必要性：因为△ ABC 是等边三角形，所以 a ＝ b ＝ c ，
所以 ab ＋ ac ＋ bc ＝ a2＋ b2＋ c2，所以必要性成立；
充分性：由 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc 两边同时乘2得，
2 a2＋2 b2＋2 c2＝2 ab ＋2 ac ＋2 bc ，即（ a － b ）2＋（ b － c ）2＋（ c
－ a ）2＝0，所以 a ＝ b ＝ c ，所以△ ABC 是等边三角形，所以充分性
成立.
综上，△ ABC 是等边三角形的充要条件是 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc .
通性通法
充要条件的证明策略
（1）要证明 p 是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向
进行，即证明两个命题“若 p ，则 q ”为真且“若 q ，则 p ”
为真；
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的
解集是相同的.
提醒　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
【跟踪训练】
　证明：一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个负根的充要
条件是 ac ＜0.
证明：充分性：因为 ac ＜0，
所以Δ＝ b2－4 ac ＞0， ＜0.
所以方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有两个实数根.
设方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个根分别为 x1， x2，
则 x1 x2＝ ＜0，
所以一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个负根.
必要性：因为一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个负根，
所以Δ＝ b2－4 ac ＞0， x1 x2＝ ＜0，
所以 ac ＜0.
故一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是
ac ＜0.
题型三 充分、必要及充要条件的应用
【例3】　已知 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0），若
p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.
解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
因为 p 是 q 的必要不充分条件，
所以 q 是 p 的充分不必要条件，
即{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m } { x ｜－2≤ x ≤10}，
故有或
解得 m ≤3.
又 m ＞0，所以实数 m 的取值范围为{ m ｜0＜ m ≤3}.
【母题探究】
1. （变条件）若本例中“ p 是 q 的必要不充分条件”改为“ p 是 q 的充
分不必要条件”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围.
解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
因为 p 是 q 的充分不必要条件，
设 p 表示的集合为 A ， q 表示的集合为 B ，
所以 A B .
所以或
解得 m ≥9，
即实数 m 的取值范围为{ m ｜ m ≥9}.
2. （变设问）本例中 p ， q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条
件？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.
解：因为 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
若 p 是 q 的充要条件，则方程组无解.
故不存在实数 m ，使得 p 是 q 的充要条件.
通性通法
充分条件与必要条件的应用
（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求
参数的值或取值范围问题；
（2）求解步骤：先把 p ， q 等价转化，建立相对应的集合，利用充分
条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式
（组）进行求解.
【跟踪训练】
1. “ x ≥ a ”是“ x ≥2”的必要不充分条件，则 a 的取值范围为
（　　）
A. a ＞3 B. a ＜2
C. a ≤2 D. a ≥0
解析：B　由题意得，{ x ｜ x ≥2}是{ x ｜ x ≥ a }的真子集，故 a ＜
2.故选B.
2. 设 p ： m ＋1≤ x ≤2 m ＋4（ m ∈R）； q ：1≤ x ≤3.若 q 是 p 的充分
条件，则实数 m 的取值范围为 .
解析： p 所对应集合为：{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m ＋4（ m ∈R）}， q 所
对应集合为：{ x ｜1≤ x ≤3}，因 q 是 p 的充分条件，则必有{ x ｜
1≤ x ≤3} { x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m ＋4（ m ∈R）}，于是得
解得－ ≤ m ≤0，所以实数 m 的取值范围为－ ≤
m ≤0.
－ ≤ m ≤0　
1. “三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 　因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等
边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三
条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角
形”的充要条件.
2. 已知 p ：“ x ＝2”， q ：“ x －2＝ ”，则 p 是 q 的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 　由 q ：“ x －2＝ ”，解得 x ＝1（舍去）或 x ＝
2，由 p 可推出 q ，充分性成立，反之，由 q 可推出 p ，即必要性成
立.所以 p 是 q 的充要条件，故选C.
3. “ a ＜ b ”是“ ＜1”的（　　）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 　 a ＜ b ＜1，如 a ＝－2， b ＝－1. ＜1 a ＜ b ，如 a
＝1， b ＝－2，故“ a ＜ b ”是“ ＜1”的既不充分也不必要条件.
4. 函数 y ＝ x2＋ mx ＋1的图象关于直线 x ＝1对称的充要条件是
.
解析：函数 y ＝ x2＋ mx ＋1的图象关于直线 x ＝1对称，则－ ＝
1，即 m ＝－2；反之，若 m ＝－2，则 y ＝ x2－2 x ＋1的图象关于直
线 x ＝1对称.
m ＝
－2　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. “ x2＋（ y －2）2＝0”是“ x （ y －2）＝0”的（　　）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 　由 x2＋（ y －2）2＝0，得 x ＝0且 y ＝2， x （ y －2）＝0.
反之， x （ y －2）＝0，即 x ＝0或 y ＝2， x2＋（ y －2）2＝0不一定
成立.故选B.
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2. “ x ＜2”是“ ＜0”的（　　）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 　由 ＜0，得 x －2＜0， x ＜2，即“ x ＜2”是“ ＜
0”的充要条件.
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3. 设 A ， B ， C 是三个集合，则“ A ∩ B ＝ A ∩ C ”是“ B ＝ C ”的
（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 　由 A ∩ B ＝ A ∩ C ，不一定有 B ＝ C ，反之，由 B ＝ C ，
一定可得 A ∩ B ＝ A ∩ C . ∴“ A ∩ B ＝ A ∩ C ”是“ B ＝ C ”的必
要不充分条件.故选B.
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4. 集合 A ， B 之间的关系如图所示， p ： a ∈ UB ， q ： a ∈ A ，则 p
是 q 的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 　由图可知 A 是 B 的补集的真子集，则 p 是 q 的必要不充分
条件.
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5. 已知 x ∈R，则“ x2＝ x ＋6”成立的 　　条件是“ x ＝ ”
（　　）
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
解析： 　该命题等价于“ x ＝ ”是“ x2＝ x ＋6”的什么条
件？由 x ＝ x2＝ x ＋6，但 x2＝ x ＋6 x ＝ .因此“ x
＝ ”是“ x2＝ x ＋6”成立的充分不必要条件.故选A.
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6. （多选）使“ x ∈{ x ｜ x ≤0或 x ＞2}”成立的充分不必要条件是
（　　）
A. x ≥0 B. x ＜0或 x ＞2
C. x ∈{－1，3，5} D. x ≤0或 x ＞2
解析： 　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子
集，只有B，C满足题意，选项A为题干成立的既不充分也不必要条
件，D为题干成立的充要条件.
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7. 已知△ ABC ，△ A1 B1 C1，两三角形对应角相等是△ ABC ≌△ A1 B1
C1的 条件.（填“充分不必要”“必要不充
分”“充要”或“既不充分也不必要”）
解析：由两三角形对应角相等 △ ABC ≌△ A1 B1 C1；反之由△ ABC
≌△ A1 B1 C1 ∠ A ＝∠ A1，∠ B ＝∠ B1，∠ C ＝∠ C1.
必要不充分　
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8. 对于集合 A ， B 及元素 x ，若 A B ，则 x ∈ B 是 x ∈（ A ∪ B ）
的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或
“既不充分也不必要”）
解析：由 x ∈ B ，可得 x ∈（ A ∪ B ）；反之，因为 A B ， A ∪ B
＝ B ，所以由 x ∈（ A ∪ B ）可得 x ∈ B ，故 x ∈ B 是 x ∈（ A ∪ B ）
的充要条件.
充要　
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9. 从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充
分也不必要条件”中选一个合适的填空.
（1）“ x2－1＝0”是“｜ x ｜－1＝0”的 ；
解析： 设 A ＝{ x ｜ x2－1＝0}＝{－1，1}， B ＝{ x ｜｜
x ｜－1＝0}＝{－1，1}，所以 A ＝ B ，即“ x2－1＝0”是
“｜ x ｜－1＝0”的充要条件.
（2）“ x ＜5”是“ x ＜3”的 .
解析： 设 A ＝{ x ｜ x ＜5}， B ＝{ x ｜ x ＜3}，因为 B
A ，所以“ x ＜5”是“ x ＜3”的必要不充分条件.
充要条件　
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10. 指出下列各组命题中， p 是 q 的什么条件：
（1） p ： x ＝1， q ： x －1＝ ；
解： 当 x ＝1时， x －1＝ 成立；
当 x －1＝ 时， x ＝1或 x ＝2.
所以 p 是 q 的充分不必要条件.
（2） p ：－1≤ x ≤5， q ： x ≥－1且 x ≤5；
解： 因为－1≤ x ≤5 x ≥－1且 x ≤5，
所以 p 是 q 的充要条件.
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（3） p ： x ＋2≠ y ， q ：（ x ＋2）2≠ y2；
解： 由 q ：（ x ＋2）2≠ y2，
得 x ＋2≠ y ，且 x ＋2≠－ y ，又 p ： x ＋2≠ y ，
故 p 是 q 的必要不充分条件.
（4） p ： a 是自然数， q ： a 是正数.
解： 0是自然数，但0不是正数，故 p q ； 是正数，但 不
是自然数，故 q p .故 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
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11. 实数 a ， b 中至少有一个不为零的充要条件是（　　）
A. ab ＝0 B. ab ＞0
C. a2＋ b2＝0 D. a2＋ b2＞0
解析：D　由“ a ， b 中至少有一个不为零”可知， a ， b 都不为
0，或 a ， b 中有一个为0.选项A中，由 ab ＝0，可得 a ＝0或 b ＝0
或 a ， b 均为0，不满足条件.选项B中，由 ab ＞0，可得 a ， b 都不
为0，不满足条件.选项C中，由 a2＋ b2＝0，可得 a ＝ b ＝0，不满
足条件.选项D中， a2＋ b2＞0 a ， b 中至少有一个不为零，满足
条件.故选D.
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12. （多选）设计如图所示的四个电路图，若 p ：开关S闭合， q ：灯
泡L亮，则 p 是 q 的充要条件的电路图是（　　）
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解析： 　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡
L亮开关S不一定闭合，故A中 p 是 q 的充分不必要条件；电路图B
中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B
中 p 是 q 的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，
灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中 p 是 q 的必要不充分条件；电路
图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，
故D中 p 是 q 的充要条件.故选B、D.
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13. 设 U ＝R， A ＝{ x ｜ mx2＋4 x ＋2＝0}.若 UA ＝ U ，则 m 的取值范
围为 ，集合 A 中有两个元素的充要条件是
.
解析：由题意得 A ＝ ，即 mx2＋4 x ＋2＝0无解，当 m ＝0时，不
成立；当 m ≠0时，Δ＝16－8 m ＜0，解得 m ＞2.综上可知， m 的
取值范围为{ m ｜ m ＞2}.集合 A 中有两个元素，即 mx2＋4 x ＋2＝
0有两个不等的实数根，当 m ＝0时，不成立；当 m ≠0时，Δ＝16
－8 m ＞0，解得 m ＜2.因此集合 A 中有两个元素的充要条件是 m
＜2且 m ≠0.
{ m ｜ m ＞2}　
m ＜
2且 m ≠0　
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14. 已知集合 A ＝{ x ｜2 a －1＜ x ＜ a ＋1}， B ＝{ x ｜0≤ x ≤1}.
（1）若 x ∈ A 是 x ∈ R B 的充分不必要条件，求实数 a 的取值
范围；
解： ∵ B ＝{ x ｜0≤ x ≤1}，∴ R B ＝{ x ｜ x ＜0或 x ＞
1}，又∵ x ∈ A 是 x ∈ R B 的充分不必要条件，∴ A R B 且
A ≠ ，∴或
解得 a ≤－1或1≤ a ＜2.
∴实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤－1或1≤ a ＜2}.
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（2）若 x ∈ A 的一个充分不必要条件是 x ∈ B ，求实数 a 的取
值范围.
解： ∵ x ∈ A 的一个充分不必要条件是 x ∈ B ，
∴ B A ，∴解得0＜ a ＜ ，
∴实数 a 的取值范围是{ a ｜0＜ a ＜ }.
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15. 若 a ， b 都是实数，试从① ab ＝0；② a ＋ b ＝0；③ a （ a2＋ b2）
＝0；④ ab ＞0中选出适合的条件，用序号填空：
（1）“使 a ， b 都为0”的必要条件是 ；
（2）“使 a ， b 都不为0”的充分条件是 ；
（3）“使 a ， b 至少有一个为0”的充要条件是 .
解析：① ab ＝0 a ＝0或 b ＝0，即 a ， b 至少有一个为0；
② a ＋ b ＝0 a ， b 互为相反数，则 a ， b 可能均为0，也可
能为一正一负；
③ a （ a2＋ b2）＝0 a ＝0或
①②③　
④　
①　
④ ab ＞0 或则 a ， b 都不为0.
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16. 求证：关于 x 的方程 ax2＋2 x ＋1＝0只有一个负实数根的充要条件
是 a ＝1或 a ≤0.
证明：（1）充分性：当 a ＝1时，方程 ax2＋2 x ＋1＝0的实根是 x1
＝ x2＝－1，只有一个负实数根；
当 a ＝0时，方程 ax2＋2 x ＋1＝0只有一个负实数根是 x ＝－ ；
当 a ＜0时，方程 ax2＋2 x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4 a ＞0，
且 x1 x2＝ ＜0，方程有一正实数根和一负实数根.
所以当 a ＝1或 a ≤0时，关于 x 的方程 ax2＋2 x ＋1＝0只有一个负
实数根.
（2）必要性：若方程 ax2＋2 x ＋1＝0只有一个负实数根，则
①当 a ＝0时， x ＝－ ，符合题意.
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②当 a ≠0时，方程 ax2＋2 x ＋1＝0有实根，Δ＝4－4 a ≥0，解得 a
≤1；
当 a ＝1时，方程的解为－1，符合题意；
当 a ＜1且 a ≠0时，方程有两个不相等的实数根 x1， x2，若方程只
有一个负实数根，
则 x1 x2＝ ＜0，即 a ＜0.
所以当关于 x 的方程 ax2＋2 x ＋1＝0只有一个负实数根时， a ＝1或
a ≤0.
综上，关于 x 的方程 ax2＋2 x ＋1＝0只有一个负实数根的充要条件
是 a ＝1或 a ≤0.
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