资源简介

1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
1.下列命题中是存在量词命题的是（　　）
A. x∈R，x2＞0
B. x∈R，x2≤0
C.平行四边形的对边平行
D.矩形的任一组对边相等
2.设非空集合P，Q满足P Q，则下列表述正确的是（　　）
A. x∈Q，有x∈P B. x∈P，有x∈Q
C. x Q，使得x∈P D. x∈P，使得x Q
3.下列命题中的假命题是（　　）
A. x∈R，｜x｜＝0　　　B. x∈R，2x－10＝1
C. x∈R，x3＞0 D. x∈R，x2＋1＞0
4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　）
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使＞2
5.（多选）下列命题中是真命题的是（　　）
A. x∈R，｜x＋1｜＞0
B. x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0
C. x∈N，使≤x
D.不存在x∈N*，使x为29的约数
6.（多选）下列命题是真命题的是（　　）
A. n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B. n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C. n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D. n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
7.命题“有些负实数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“ ”或“ ”可表述为　　　　.
8.下列命题中正确的序号是　　　　.
① x∈R，x≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③ x∈{x｜x是无理数}，x＋5是无理数.
9.若命题“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　.
10.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假：
（1） x∈N，2x＋1是奇数；
（2）对任意实数a，｜a｜＞0；
（3）有一个实数x，使得x2－x－2＝0.
11.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是（　　）
A.{a｜a≥－3} B.{a｜a＞－3}
C.{a｜a≤－3} D.{a｜a＜－3}
12.（多选）下列命题正确的是（　　）
A.存在x＜0，使｜x｜＞x
B.对于一切x＜0，都有｜x｜＞x
C.不存在实数x，使x2＋2x＋2＝0
D.已知A＝{a｜a＝2n}，B＝{b｜b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝
13.已知下列命题：① x∈R，x2＋2＞0；② x∈N，x4≥1；③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.其中真命题的个数为　　　　.
14.已知M＝{x｜a≤x≤a＋1}.
（1）“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；
（2）“ x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围.
15.已知“ x∈{x｜0≤x≤2}，m＞x”和“ x∈{x｜0≤x≤2}，n＞x”均为真命题，那么m，n的取值范围分别是（　　）
A.m＞0，n＞0 B.m＞0，n＞2
C.m＞2，n＞0 D.m＞2，n＞2
16.已知a∈R，p： x∈{x｜1≤x≤2}，a≤x2，q： x0∈R，＋2ax0－（a－2）＝0.
（1）若p是真命题，求a的最大值；
（2）若p，q中一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围.
1.5.1　全称量词与存在量词
1.B　A含有全称量词 ，为全称量词命题；B含有存在量词 ，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有的，为全称量词命题；D省略了全称量词所有的，为全称量词命题，故选B.
2.B　因为P Q，则由子集的定义，知P中的任何一个元素都在Q中.
3.C　当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题.
4.B　A是全称量词命题.B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确.因为＋（－）＝0，所以C为假命题.对于任意一个负数x，都有＜0，所以D错误.故选B.
5.BC　 x∈R，｜x＋1｜＞0，因为当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，故A错误； x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0，即x＞－，故B正确； x∈N，使≤x，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误.故选B、C.
6.CD　当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确.故选C、D.
7. x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0
解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述.
8.①②③　解析：① x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③ x∈{x｜x是无理数}，x＋5是无理数，正确，例如x＝π.综上可得①②③都正确.
9.a｜a＞　解析：由题意，“二次函数y＝x2－3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题，根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝（－3）2－4×9a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围是a｜a＞.
10.解：（1）是全称量词命题.因为 x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.
（2）是全称量词命题.因为｜0｜＝0，所以｜a｜＞0不都成立，因此，该命题是假命题.
（3）是存在量词命题.因为当x＝2时，x2－x－2＝0成立，所以该命题是真命题.
11.D　因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对 a∈M，都有a A，所以a＜－3.故选D.
12.ABC　A、B显然为真命题，故A、B正确；由于对于 x∈R，x2＋2x＋2＝＋1＞0恒成立，故C为真命题；已知A＝{a｜a＝2n}，B＝{b｜b＝3n}，如n＝2，3时，6∈（A∩B），故D为假命题.
13.1　解析：①由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0，所以命题“ x∈R，x2＋2＞0”是真命题.②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“ x∈N，x4≥1”是假命题.③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
14.解：（1）“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1，
所以实数a的取值范围是a＞－1.
（2）“ x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2，
所以实数a的取值范围是a＞－2.
15.C　由“ x∈{x｜0≤x≤2}，m＞x”是真命题，可得m＞2；由“ x∈{x｜0≤x≤2}，n＞x”是真命题，可得n＞0.
16.解：（1）若p： x∈{x｜1≤x≤2}，a≤x2为真命题，则a≤（x2）min（1≤x≤2），
所以a≤1，所以a的最大值为1.
（2）因为p与q一真一假，所以当q是真命题时，
Δ＝4a2－4（2－a）≥0，解得a≤－2或a≥1.
当p是真命题，q是假命题时，有解得－2＜a＜1；
当p是假命题，q是真命题时，有解得a＞1.
综上，a的取值范围是{a｜a＞1或－2＜a＜1}.
2 / 21.5　全称量词与存在量词
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象、逻辑推理
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
1.5.1　全称量词与存在量词
　　学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演.这1 000名学生符合下列条件：
（1）所有学生都来自高一年级；
（2）至少有30名学生来自高一（1）班；
（3）每一个学生都有固定表演路线.
【问题】　上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称做什么命题？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点一　全称量词与全称量词命题
全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等
符号
全称量词命题 含有　　　　的命题
形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“　　　　”
提醒　（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题；（2）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
知识点二　存在量词与存在量词命题
存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等
符号
存在量词命题 含有　　　　的命题
形式 “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“　　　　”
提醒　（1）从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题；（2）有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
1.下列命题中为存在量词命题的是（　　）
A.所有的整数都是有理数
B.每个三角形至少有两个锐角
C.有些三角形是等腰三角形
D.正方形都是菱形
2.将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为　　　　.
3.给出下列命题：①有些不相似的三角形面积相等；② x∈R，x2＋1＝0；③有一个实数的倒数是它本身.其中真命题的个数为　　　　.
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【例1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
（1）自然数的平方大于或等于零；
（2）存在实数x，满足x2≥2；
（3）有些平行四边形的对角线不互相垂直；
（4）存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大.
通性通法
　　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒　对省略量词的命题，可先将量词补充完整再做判断.
【跟踪训练】
　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
（1）凸多边形的外角和等于360°；
（2）矩形的对角线不相等；
（3）有些实数a，b能使｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜；
（4）方程2x－3y＝10有整数解.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例2】　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：
（1）有的集合中存在两个相同的元素；
（2） a，b∈R，（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3；
（3）存在一个x∈R，使＝0；
（4）对任意直角三角形中的两个锐角A，B都有sin A＝cos B.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
（1）全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证 p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p（x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）；
（2）存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p（x0）成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题.
【跟踪训练】
　（多选）下列命题判断为真的是（　　）
A.在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P
B.每一条线段的长度都能用正有理数来表示
C.至少有一个直角三角形不是等腰三角形
D.存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立
题型三 由含量词命题的真假求参数范围
【例3】　已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ ，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
【母题探究】
1.（变条件）把本例中命题p改为“ x∈A，x∈B”，求m的取值范围.
2.（变设问）把本例中的命题p改为“ x∈A，x∈B”，是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.
通性通法
依据含量词命题的真假求参数范围的方法
（1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意；
（2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围.
【跟踪训练】
　若命题“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围.
1.下列命题是“ x∈R，x2＞3”的另一种表述方法的是（　　）
A.存在一个实数x，使得x2＞3成立
B.有些实数x，使得x2＞3成立
C.对于任意实数x，都有x2＞3成立
D.至少存在一个实数x，使得x2＞3成立
2.（多选）下列命题中是真命题的是（　　）
A. x∈R，x3＝3
B. x∈R，3x＋1是整数
C. x∈R，｜x｜＞3
D. x∈Q，x2∈Z
3.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对（a，b）为　　　　.
4.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：
（1）存在一个实数，使等式x2＋2x－3＝0成立；
（2）每个二次函数的图象都与x轴相交.
1.5.1　全称量词与存在量词
【基础知识·重落实】
知识点一
　全称量词　 x∈M，p（x）
知识点二
　存在量词　 x∈M，p（x）
自我诊断
1.C　A、B、D为全称量词命题，C中含有存在量词“有些”，故为存在量词命题.
2.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立.
3.2　解析：只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似，故①为真命题；对 x∈R，x2＋1≠0，故②为假命题；1和－1的倒数是它本身，所以1和－1都满足条件，故③为真命题.故真命题的个数为2.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）是全称量词命题，表示为 x∈N，x2≥0.
（2）是存在量词命题，表示为 x∈R，x2≥2.
（3）是存在量词命题，表示为 平行四边形，其对角线不互相垂直.
（4）是存在量词命题， a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大.
跟踪训练
　解：（1）可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题.
（2）可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题.
（3）含存在量词“有些”，故为存在量词命题.
（4）可改写为存在整数x，y，使2x－3y＝10成立.故为存在量词命题.
【例2】　解：（1）是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题.
（2）是全称量词命题， a，b∈R，（a＋b）·（a2－ab＋b2）＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题.
（3）是存在量词命题，因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题.
（4）是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B都有sin A＝cos B，是真命题.
跟踪训练
　AC　A是真命题.B是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示.C是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形.D是假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31＜0，故方程无实数根.
【例3】　解：由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，因为B≠ ，
所以
解得2≤m≤3.
即m的取值范围为{m｜2≤m≤3}.
母题探究
1.解：p为真，则A∩B≠ ，因为B≠ ，所以m≥2.
所以或
解得2≤m≤4.
2.解：由于命题p：“ x∈A，x∈B”是真命题，
所以A B，B≠ ，
所以无解，
所以不存在实数m，使命题p是真命题.
跟踪训练
　解：∵命题“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，
则Δ＝（－4）2－4a≥0，解得 a≤4.
即实数a的取值范围为{a｜a≤4}.
随堂检测
1.C　“ x∈R，x2＞3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词.
2.AB　A是真命题，由x3＝3得x＝，所以选项A为真命题；B是真命题，当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题，如x＝2时，｜x｜＜3；D是假命题，如x＝，x2 Z.
3.（，）（答案不唯一）
解析：由题意可知（，），（，），（，）等等都符合题意.
4.解：（1）存在量词命题.因为x2＋2x－3＝0，所以x1＝－3，x2＝1，即存在－3或1，使等式x2＋2x－3＝0成立.所以该命题为真命题.
（2）全称量词命题.如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题.
4 / 4(共55张PPT)
1.5　
全称量词与存在量词
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量
词的意义 数学抽象、逻辑
推理
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
1.5.1　
全称量词与存在量词
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开
幕式团体操表演.这1 000名学生符合下列条件：
（1）所有学生都来自高一年级；
（2）至少有30名学生来自高一（1）班；
（3）每一个学生都有固定表演路线.
【问题】　上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和
“每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命
题称做什么命题？

知识点一　全称量词与全称量词命题
全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”
等
符号
全称量词命
题 含有 的命题
形式 “对 M 中任意一个 x ， p （ x ）成立”，可用符号简记
为“ ”
全称量词　
x ∈ M ， p （ x ）　
提醒　（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有
元素都具有某种性质的命题；
（2）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补
充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解
为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
知识点二　存在量词与存在量词命题
存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一
个”“对某些”“有的”等
符号
存在量 词命题 含有 的命题
形式 “存在 M 中的元素 x ， p （ x ）成立”，可用符号简记
为“ ”
存在量词　
x ∈ M ， p （ x ）　
提醒　（1）从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存
在一些或至少一个元素具有某种性质的命题；（2）有些命题可能没
有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都
是存在量词命题.
1. 下列命题中为存在量词命题的是（　　）
A. 所有的整数都是有理数
B. 每个三角形至少有两个锐角
C. 有些三角形是等腰三角形
D. 正方形都是菱形
解析： 　A、B、D为全称量词命题，C中含有存在量词“有
些”，故为存在量词命题.
2. 将命题“ x2＋ y2≥2 xy ”改写为全称量词命题为
.
解析：命题“ x2＋ y2≥2 xy ”是指对任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2
xy 成立，故命题“ x2＋ y2≥2 xy ”改写成全称量词命题为：对任意
x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy 成立.
对任意 x ， y
∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy 成立　
3. 给出下列命题：①有些不相似的三角形面积相等；② x ∈R， x2＋
1＝0；③有一个实数的倒数是它本身.其中真命题的个数为 .
解析：只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相
似，故①为真命题；对 x ∈R， x2＋1≠0，故②为假命题；1和－1
的倒数是它本身，所以1和－1都满足条件，故③为真命题.故真命
题的个数为2.
2　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【例1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符
号“ ”或“ ”表示下列命题：
（1）自然数的平方大于或等于零；
解： 是全称量词命题，表示为 x ∈N， x2≥0.
（2）存在实数 x ，满足 x2≥2；
解： 是存在量词命题，表示为 x ∈R， x2≥2.
（3）有些平行四边形的对角线不互相垂直；
解： 是存在量词命题，表示为 平行四边形，其对角线不
互相垂直.
（4）存在实数 a ，使函数 y ＝ ax ＋ b 的值随 x 的增大而增大.
解： 是存在量词命题， a ∈R，使函数 y ＝ ax ＋ b 的值随 x
的增大而增大.
通性通法
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒　对省略量词的命题，可先将量词补充完整再做判断.
【跟踪训练】
　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
（1）凸多边形的外角和等于360°；
解： 可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为
全称量词命题.
（2）矩形的对角线不相等；
解： 可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量
词命题.
（3）有些实数 a ， b 能使｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜；
解： 含存在量词“有些”，故为存在量词命题.
（4）方程2 x －3 y ＝10有整数解.
解： 可改写为存在整数 x ， y ，使2 x －3 y ＝10成立.故为存
在量词命题.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例2】　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词
命题，并判断真假：
（1）有的集合中存在两个相同的元素；
解： 是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命
题是假命题.
（2） a ， b ∈R，（ a ＋ b ）（ a2－ ab ＋ b2）＝ a3＋ b3；
解： 是全称量词命题， a ， b ∈R，（ a ＋ b ）（ a2－ ab
＋ b2）＝ a3－ a2 b ＋ ab2＋ a2 b － ab2＋ b3＝ a3＋ b3是真命题.
（3）存在一个 x ∈R，使 ＝0；
解： 是存在量词命题，因为不存在 x ∈R，使 ＝0成
立，所以该命题是假命题.
（4）对任意直角三角形中的两个锐角 A ， B 都有 sin A ＝ cos B .
解： 是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可
知，对任意直角三角形的两个锐角 A ， B 都有 sin A ＝ cos
B ，是真命题.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
（1）全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命
题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p （ x ）成立；但要
判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合 M 中的一个
x0，使得 p （ x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反
例”）；
（2）存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命
题，只要在限定集合 M 中，找到一个 x0，使 p （ x0）成立即可；
否则，这一存在量词命题就是假命题.
【跟踪训练】
（多选）下列命题判断为真的是（　　）
A. 在平面直角坐标系中，任意有序实数对（ x ， y ）都对应一点 P
B. 每一条线段的长度都能用正有理数来表示
C. 至少有一个直角三角形不是等腰三角形
D. 存在一个实数 x ，使得方程 x2＋ x ＋8＝0成立
解析： 　A是真命题.B是假命题，如边长为1的正方形，对角线长
度为 ，就不能用正有理数表示.C是真命题，如有一个内角为30°
的直角三角形就不是等腰三角形.D是假命题，方程 x2＋ x ＋8＝0的判
别式Δ＝－31＜0，故方程无实数根.
题型三 由含量词命题的真假求参数范围
【例3】　已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m
－1}，且 B ≠ ，若命题 p ：“ x ∈ B ， x ∈ A ”是真命题，求 m 的取
值范围.
解：由于命题 p ：“ x ∈ B ， x ∈ A ”是真命题，
所以 B A ，因为 B ≠ ，所以
解得2≤ m ≤3.即 m 的取值范围为{ m ｜2≤ m ≤3}.
【母题探究】
1. （变条件）把本例中命题 p 改为“ x ∈ A ， x ∈ B ”，求 m 的取值
范围.
解： p 为真，则 A ∩ B ≠ ，因为 B ≠ ，所以 m ≥2.
所以或
解得2≤ m ≤4.
2. （变设问）把本例中的命题 p 改为“ x ∈ A ， x ∈ B ”，是否存在
实数 m ，使命题 p 是真命题？若存在，求出实数 m 的取值范围；若
不存在，说明理由.
解：由于命题 p ：“ x ∈ A ， x ∈ B ”是真命题，
所以 A B ， B ≠ ，
所以无解，
所以不存在实数 m ，使命题 p 是真命题.
通性通法
依据含量词命题的真假求参数范围的方法
（1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意；
（2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的
关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求
参数的取值范围.
【跟踪训练】
　若命题“ x ∈R， x2－4 x ＋ a ＝0”为真命题，求实数 a 的取值
范围.
解：∵命题“ x ∈R， x2－4 x ＋ a ＝0”为真命题，
∴方程 x2－4 x ＋ a ＝0存在实数根，
则Δ＝（－4）2－4 a ≥0，解得 a ≤4.
即实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ≤4}.
1. 下列命题是“ x ∈R， x2＞3”的另一种表述方法的是（　　）
A. 存在一个实数 x ，使得 x2＞3成立
B. 有些实数 x ，使得 x2＞3成立
C. 对于任意实数 x ，都有 x2＞3成立
D. 至少存在一个实数 x ，使得 x2＞3成立
解析： 　“ x ∈R， x2＞3”是全称量词命题，改写时应使用全
称量词.
2. （多选）下列命题中是真命题的是（　　）
A. x ∈R， x3＝3
B. x ∈R，3 x ＋1是整数
C. x ∈R，｜ x ｜＞3
D. x ∈Q， x2∈Z
解析： 　A是真命题，由 x3＝3得 x ＝ ，所以选项A为真命
题；B是真命题，当 x ＝1时，3 x ＋1＝4是整数；C是假命题，如 x
＝2时，｜ x ｜＜3；D是假命题，如 x ＝ ， x2 Z.

解析：由题意可知（ ， ），（ ， ），（ ， ）等等都符
合题意.
（ ， ）（答案不唯一）　
4. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并
判断真假：
（1）存在一个实数，使等式 x2＋2 x －3＝0成立；
解： 存在量词命题.因为 x2＋2 x －3＝0，所以 x1＝－3，
x2＝1，即存在－3或1，使等式 x2＋2 x －3＝0成立.所以该命
题为真命题.
（2）每个二次函数的图象都与 x 轴相交.
解： 全称量词命题.如函数 y ＝ x2＋1的图象与 x 轴不相
交，所以该命题为假命题.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 下列命题中是存在量词命题的是（　　）
A. x ∈R， x2＞0 B. x ∈R， x2≤0
C. 平行四边形的对边平行 D. 矩形的任一组对边相等
解析： 　A含有全称量词 ，为全称量词命题；B含有存在量词
，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有的，为全
称量词命题；D省略了全称量词所有的，为全称量词命题，故选B.
2. 设非空集合 P ， Q 满足 P Q ，则下列表述正确的是（　　）
A. x ∈ Q ，有 x ∈ P
B. x ∈ P ，有 x ∈ Q
C. x Q ，使得 x ∈ P
D. x ∈ P ，使得 x Q
解析： 　因为 P Q ，则由子集的定义，知 P 中的任何一个元素
都在 Q 中.
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3. 下列命题中的假命题是（　　）
A. x ∈R，｜ x ｜＝0 B. x ∈R，2 x －10＝1
C. x ∈R， x3＞0 D. x ∈R， x2＋1＞0
解析： 　当 x ＝0时， x3＝0，故选项C为假命题.
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4. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　）
A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角
B. 至少有一个实数 x ，使 x2≤0
C. 两个无理数的和必是无理数
解析： 　A是全称量词命题.B为存在量词命题，当 x ＝0时， x2＝
0成立，所以B正确.因为 ＋（－ ）＝0，所以C为假命题.对
于任意一个负数 x ，都有 ＜0，所以D错误.故选B.
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5. （多选）下列命题中是真命题的是（　　）
A. x ∈R，｜ x ＋1｜＞0
B. x ∈{1，－1，0}，2 x ＋3＞0
D. 不存在 x ∈N*，使 x 为29的约数
解析： 　 x ∈R，｜ x ＋1｜＞0，因为当 x ＝－1时，｜ x ＋1｜
＝0，故A错误； x ∈{1，－1，0}，2 x ＋3＞0，即 x ＞－ ，故B
正确； x ∈N，使 ≤ x ，取 x ＝4∈N，有 ≤4成立，故C正
确；1，29都是29的约数，故D错误.故选B、C.
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6. （多选）下列命题是真命题的是（　　）
A. n ∈N*，2 n2＋5 n ＋2能被2整除是真命题
B. n ∈N*，2 n2＋5 n ＋2不能被2整除是真命题
C. n ∈N*，2 n2＋5 n ＋2不能被2整除是真命题
D. n ∈N*，2 n2＋5 n ＋2能被2整除是真命题
解析： 　当 n ＝1时，2 n2＋5 n ＋2不能被2整除，当 n ＝2时，2 n2
＋5 n ＋2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确.故选C、D.
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7. 命题“有些负实数满足不等式（1＋ x ）（1－9 x ）＞0”用“ ”或
“ ”可表述为 .
解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述.
x ＜0，（1＋ x ）（1－9 x ）＞0　
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8. 下列命题中正确的序号是 .
① x ∈R， x ≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③ x ∈{ x ｜ x 是无理数}， x ＋5是无理数.
解析：① x ∈R， x ≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合
数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③ x ∈{ x ｜ x 是无理
数}， x ＋5是无理数，正确，例如 x ＝π.综上可得①②③都正确.
①②③　
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解析：由题意，“二次函数 y ＝ x2－3 x ＋9 a 的图象恒在 x 轴上方”
为真命题，根据二次函数的图象与性质，可得Δ＝（－3）2－4×9 a
＜0，解得 a ＞ ，即实数 a 的取值范围是 a ｜ a ＞ .
{ a ｜ a ＞ }　
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10. 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的
真假：
（1） x ∈N，2 x ＋1是奇数；
解： 是全称量词命题.因为 x ∈N，2 x ＋1都是奇数，
所以该命题是真命题.
（2）对任意实数 a ，｜ a ｜＞0；
解： 是全称量词命题.因为｜0｜＝0，所以｜ a ｜＞0
不都成立，因此，该命题是假命题.
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（3）有一个实数 x ，使得 x2－ x －2＝0.
解： 是存在量词命题.因为当 x ＝2时， x2－ x －2＝0成
立，所以该命题是真命题.
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11. 已知不等式 x ＋3≥0的解集是 A ，则使命题“ a ∈ M ， a A ”为
真命题的集合 M 是（　　）
A. { a ｜ a ≥－3} B. { a ｜ a ＞－3}
C. { a ｜ a ≤－3} D. { a ｜ a ＜－3}
解析： 　因为 x ＋3≥0，所以 A ＝{ x ｜ x ≥－3}.又因为对 a ∈
M ，都有 a A ，所以 a ＜－3.故选D.
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12. （多选）下列命题正确的是（　　）
A. 存在 x ＜0，使｜ x ｜＞ x
B. 对于一切 x ＜0，都有｜ x ｜＞ x
C. 不存在实数 x ，使 x2＋2 x ＋2＝0
D. 已知 A ＝{ a ｜ a ＝2 n }， B ＝{ b ｜ b ＝3 n }，对于任意 n ∈N*，都有 A ∩ B ＝
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解析： 　A、B显然为真命题，故A、B正确；由于对于 x
∈R， x2＋2 x ＋2＝ ＋1＞0恒成立，故C为真命题；已知
A ＝{ a ｜ a ＝2 n }， B ＝{ b ｜ b ＝3 n }，如 n ＝2，3时，6∈（ A ∩
B ），故D为假命题.
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13. 已知下列命题：① x ∈R， x2＋2＞0；② x ∈N， x4≥1；③对任
意 x ， y ，都有 x2＋ y2≠0.其中真命题的个数为 .
解析：①由于 x ∈R，都有 x2≥0，因而有 x2＋2≥2＞0，即 x2＋2
＞0，所以命题“ x ∈R， x2＋2＞0”是真命题.②由于0∈N，当
x ＝0时， x4≥1不成立，所以命题“ x ∈N， x4≥1”是假命题.③
当 x ＝ y ＝0时， x2＋ y2＝0，所以是假命题.
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14. 已知 M ＝{ x ｜ a ≤ x ≤ a ＋1}.
（1）“ x ∈ M ， x ＋1＞0”是真命题，求实数 a 的取值范围；
解： “ x ∈ M ， x ＋1＞0”是真命题，即 a ＋1＞0，
解得 a ＞－1，
所以实数 a 的取值范围是 a ＞－1.
（2）“ x ∈ M ， x ＋1＞0”成立，求实数 a 的取值范围.
解： “ x ∈ M ， x ＋1＞0”成立，即 a ＋1＋1＞0，解
得 a ＞－2，
所以实数 a 的取值范围是 a ＞－2.
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15. 已知“ x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}， m ＞ x ”和“ x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}，
n ＞ x ”均为真命题，那么 m ， n 的取值范围分别是（　　）
A. m ＞0， n ＞0 B. m ＞0， n ＞2
C. m ＞2， n ＞0 D. m ＞2， n ＞2
解析： 　由“ x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}， m ＞ x ”是真命题，可得 m
＞2；由“ x ∈{ x ｜0≤ x ≤2}， n ＞ x ”是真命题，可得 n ＞0.
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16. 已知 a ∈R， p ： x ∈{ x ｜1≤ x ≤2}， a ≤ x2， q ： x0∈R，
＋2 ax0－（ a －2）＝0.
（1）若 p 是真命题，求 a 的最大值；
解： 若 p ： x ∈{ x ｜1≤ x ≤2}， a ≤ x2为真命题，则
a ≤（ x2）min（1≤ x ≤2），
所以 a ≤1，所以 a 的最大值为1.
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（2）若 p ， q 中一个是真命题，一个是假命题，求 a 的取值范围.
解： 因为 p 与 q 一真一假，所以当 q 是真命题时，
Δ＝4 a2－4（2－ a ）≥0，解得 a ≤－2或 a ≥1.
当 p 是真命题， q 是假命题时，有解得－2＜
a ＜1；
当 p 是假命题， q 是真命题时，有解得 a
＞1.
综上， a 的取值范围是{ a ｜ a ＞1或－2＜ a ＜1}.
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谢 谢 观 看！
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