资源简介

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
1.命题“任意x∈A，2x∈B”的否定为（　　）
A.任意x∈A，2x B B.任意x A，2x B
C.存在x A，2x∈B D.存在x∈A，2x B
2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（　　）
A. x∈R，｜x｜＞0 B. x0∈R，｜x0｜＞0
C. x∈R，｜x｜≤0 D. x0∈R，｜x0｜≤0
3.下列命题的否定是真命题的是（　　）
A.p1：每一个合数都是偶数
B.p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C.p3：全等三角形的周长相等
D.p4：所有的无理数都是实数
4.已知命题p： x∈R，x＜｜x｜＜x3，命题q： x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（　　）
A.p，q B. p，q
C.p， q D. p， q
5.（多选）关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　　）
A. p： x∈R，x2＋1＝0
B. p： x∈R，x2＋1＝0
C.p是真命题， p是假命题
D.p是假命题， p是真命题
6.（多选）下列说法正确的有（　　）
A.命题“ x∈R，1＜y≤2”的否定是“ x∈R，y≤1或y＞2”
B.“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题
C.“ x∈R，x－2＞”是真命题
D.“ x∈R，x2＞0”的否定是真命题
7.“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是　　　　命题（填“真”或“假”）.
8.某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围.乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？　　　　.（填“是”或“否”）
9.已知命题p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是　　　　.
10.写出下列命题的否定，并判断否定后命题的真假：
（1）所有的四边形都有外接圆；
（2）若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；
（3）若ab＝0，则a＝0或b＝0.
11.已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A.{a｜a＜1} B.{a｜a≤1}
C.{a｜a＞1} D.{a｜a≥1}
12.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.命题“ x∈R，x2＞－1”的否定是“ x∈R，x2＜－1”
B.命题“ x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“ x∈{x｜x＞－3}，x2＞9”
C.“x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件
D.“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件
13.下列命题是真命题的是　　　　（填序号）.
①方程3x－2y＝10有整数解；
② x∈R，x≤0的否定为 x R，x＞0；
③ n∈N*，使得n能被11整除；
④ x∈N，x2≥1的否定是 x∈R，x2＜1.
14.已知命题p： 1≤x≤3，都有m≥x，命题q： 1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围.
15.（多选）甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中有一人获奖；
丁说：乙的猜测是对的.
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知有两人获奖，则获奖的是（　　）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
16.在① x∈R，x2＋2x＋4a＝0；② A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a}，使得A∩B＝ ，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
问题：已知命题p： 1≤x≤2，x2－a≥0，命题q：　　　　.
若p，q都是真命题，求实数a的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
1.D　命题“任意x∈A，2x∈B”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x∈A，2x B”，故选D.
2.C　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，再否定命题结论.故选C.
3.A　若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可，它们的真假性始终相反.因为p1为全称量词命题，且是假命题，所以 p1是真命题.命题p2，p3，p4均为真命题，即 p2， p3， p4均为假命题.
4.B　对于命题p，采用特殊值法，取x＝1，可知p为假命题，则 p为真命题；命题q：当x0＝1时，－5x0＋4＝0成立，故q为真命题，则 q为假命题，故选B.
5.AC　命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题， p是假命题.
6.ACD　由存在量词命题的否定是全称量词命题，故选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2＞，即7＞3成立，故选项C中说法正确；命题“ x∈R，x2＞0”的否定是“ x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确.故选A、C、D.
7.假　解析：原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题.
8.是　解析：因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的.
9.5　解析：当x≥3时，2x≥6 2x－1≥5，因为“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5.
10.解：（1）原命题的否定为：存在一个四边形没有外接圆.真命题.
（2）原命题的否定为：若a＋b≥2，则a，b都小于1.假命题.
（3）若ab＝0，则a≠0且b≠0.假命题.
11.D　∵p为假命题，∴ p为真命题，即 x＞0，x＋a－1≠0，即 x＞0，x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴实数a的取值范围是{a｜a≥1}.故选D.
12.BD　命题“ x∈R，x2＞－1”的否定是“ x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“ x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“ x∈{x｜x＞－3}，x2＞9”，B正确；x2＞y2 ｜x｜＞｜y｜，｜x｜＞｜y｜不能推出x＞y，x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根 m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确，故选B、D.
13.①③　解析：对于①，在3x－2y＝10中，令x＝0，则y＝－5，即3x－2y＝10存在整数解x＝0，y＝－5，故①为真命题；对于②， x∈R，x≤0的否定为 x∈R，x＞0，故②为假命题；对于③，当n＝11，22，33，…时，n均能被11整除，所以 n∈N*，使得n能被11整除，故③为真命题；对于④， x∈N，x2≥1的否定是 x∈N，x2＜1，故④为假命题.
14.解：因为 q为假命题，所以q为真命题，
命题p： 1≤x≤3，都有m≥x， 为真命题，则m≥xmax，即m≥3.
命题q： 1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1.
因为命题p，q同时为真命题，所以解得m≥3，
故实数m的取值范围是m≥3.
15.BD　易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是乙和丁，故选B、D.
16.解：由命题p为真，可得不等式x2－a≥0对于1≤x≤2恒成立.
因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，所以a≤1.
选条件①.
若命题q为真，则关于x的方程x2＋2x＋4a＝0有解，
所以Δ＝22－16a≥0，解得a≤.
又p，q都是真命题，所以a≤，
所以实数a的取值范围是{a｜a≤}.
选条件②.
对于命题q，
当B＝ ，即a≤0时，A∩B＝ ，命题q为真命题；
当a＞0时，由A∩B＝ 得a≥4或3a≤2，所以0＜a≤或a≥4.
综上，a≤或a≥4.
又p，q都是真命题，所以a≤，
所以实数a的取值范围是.
2 / 21.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
　　
　　一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸.”
【问题】　请问探险家该如何保命？
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
知识点一　全称量词命题的否定
　对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题： x∈M，p（x），它的否定：　　　　　　.也就是说，　　　　　　命题的否定是存在量词命题.
提醒　常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n－1）个
小于 不小于 至多有n个 至少有（n＋1）个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
知识点二 　存在量词命题的否定
　对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题： x∈M，p（x），它的否定：　　　　　　.也就是说，存在量词命题的否定是　　　　　　命题.
提醒　对全称量词命和存在量词命题进行否定，总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对量词改变且对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假.
1.命题“ x∈Z，x2＜2”的否定是（　　）
A. x∈Z，x2≥2 B. x∈Z，x2≤2
C. x∈Z，x2＞2 D. x∈Z，x2≥2
2.命题“ x∈R，x2＋1＞0”的否定形式是（　　）
A. x∈R，x2＋1＞0 B. x∈R，x2＋1≤0
C. x∈R，x2＋1＜0 D. x∈R，x2＋1≤0
3.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是　　　　.
题型一 全称量词命题的否定
【例1】　写出下列全称量词命题的否定：
（1）任何一个平行四边形的对边都平行；
（2） a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；
（3） a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
（4）可以被5整除的整数，末位数是0.
通性通法
全称量词命题否定的关注点
（1）全称量词命题： x∈M，p（x），它的否定： x∈M， p（x）；
（2）全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
【跟踪训练】
　写出下列命题的否定并判断真假：
（1）等圆的面积相等；
（2）对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
（3）平面内与同一条直线垂直的两条直线平行.
题型二 存在量词命题的否定
【例2】　写出下列命题的否定并判断真假：
（1）p： a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点；
（2）q：有的有理数没有倒数；
（3）s：有些三角形是锐角三角形.
通性通法
存在量词命题否定的关注点
（1）存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即 x∈M，p（x），它的否定： x∈M， p（x）；
（2）存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定.
【跟踪训练】
　（多选）对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有（　　）
A. x∈R，x2－x＋＝0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R，｜x｜＋2≤0
D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0
题型三 根据命题的否定求参数范围
【例3】　命题“存在x＞1，使得2x＋a＜3”是假命题，求实数a的取值范围.
【母题探究】
（变条件）若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围.
通性通法
由命题的否定求参数范围的两个关注点
（1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化；
（2）求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围.
【跟踪训练】
　已知命题p： x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且 p是假命题，求实数a的取值范围.
1. 命题“ x＞1，x2－x＞0”的否定为（　　）
A. x＞1，x2－x≤0
B. x0＞1，－x0≤0
C. x≤1，x2－x≤0
D. x0≤1，－x0≤0
2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）
A.任意一个无理数，它的平方不是有理数
B.任意一个无理数，它的平方是有理数
C.存在一个无理数，它的平方是有理数
D.存在一个无理数，它的平方不是有理数
3.命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为　　　　，此命题的否定是　　　　（填“真”或“假”）命题.
4.写出下列命题的否定，并判断真假：
（1） x，y∈Z，使得x＋y＝3；
（2）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除.
1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
【基础知识·重落实】
知识点一
x∈M， p（x）　全称量词
知识点二
x∈M， p（x）　全称量词
自我诊断
1.D　命题“ x∈Z，x2＜2”的否定是“ x∈Z，x2≥2”.
2.D　因为命题“ x∈R，x2＋1＞0”是全称量词命题，所以它的否定是“ x∈R，x2＋1≤0”.
3.存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：原命题是全称量词命题，其否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
（2） a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根.
（3） a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.
（4）存在被5整除的整数，末位数不是0.
跟踪训练
　解：（1）该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题.
（2）该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题.
（3）命题省略了全称量词“任意”，即“平面内任意两条与同一条直线垂直的直线平行”，因此其否定为“平面内存在两条与同一条直线垂直的直线不平行”，是假命题.
【例2】　解：（1） p： a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以 p是假命题.
（2） q：所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有倒数，所以 q为假命题.
（3） s：所有三角形都不是锐角三角形（或任意三角形都不是锐角三角形），假命题.
跟踪训练
　AC　命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命题，故排除B选项.命题的否定为真命题，则原命题为假命题.又选项A、C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选A、C.
【例3】　解：命题“存在x＞1，使得2x＋a＜3”是假命题，
所以此命题的否定“任意x＞1，使得2x＋a≥3”是真命题，
因为对任意x＞1，都有2x＋a＞2＋a，
所以2＋a≥3，
所以a≥1.
母题探究
　解：由题意知“存在x＞1，使得x＜”是真命题，故有＞1，所以a＜1.
跟踪训练
　解： p是假命题即p是真命题，
即 x∈{x｜－3≤x≤2}，x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立，
所以
解得－3≤a≤1，
所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}.
随堂检测
1.B　命题“ x＞1，x2－x＞0”的否定是“ x0＞1，－x0≤0”，故选B.
2.A　命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选A.
3. x，y∈R，x＋y＞1　假
解析：此命题用符号表示为 x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是 x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题.
4.解：（1）命题的否定：“ x，y∈Z，都有x＋y≠3”.
因为当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
所以原命题为真，原命题的否定为假命题.
（2）命题的否定：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题.
3 / 3(共55张PPT)
1.5.2　
全称量词命题和存在量词命题的否定
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被
烧死，说假话，将被五马分尸.”
【问题】　请问探险家该如何保命？





知识点一　全称量词命题的否定
　对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量
词命题： x ∈ M ， p （ x ），它的否定： .也
就是说， 命题的否定是存在量词命题.
提醒　常见词语的否定形式
x ∈ M ， p （ x ）　
全称量词　
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 n 个 至多有（ n －
1）个
小于 不小于 至多有 n 个 至少有（ n ＋
1）个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
知识点二 　存在量词命题的否定
　对含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词
命题： x ∈ M ， p （ x ），它的否定： .也就
是说，存在量词命题的否定是 命题.
提醒　对全称量词命和存在量词命题进行否定，总结起来八个字“改
变量词，否定结论”，从集合的角度来看， x 的范围没有变，只是对
量词改变且对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，
也不能同时为假，只能一真一假.
x ∈ M ， p （ x ）　
全称量词　
1. 命题“ x ∈Z， x2＜2”的否定是（　　）
A. x ∈Z， x2≥2 B. x ∈Z， x2≤2
C. x ∈Z， x2＞2 D. x ∈Z， x2≥2
解析：D　命题“ x ∈Z， x2＜2”的否定是“ x ∈Z， x2≥2”.
2. 命题“ x ∈R， x2＋1＞0”的否定形式是（　　）
A. x ∈R， x2＋1＞0 B. x ∈R， x2＋1≤0
C. x ∈R， x2＋1＜0 D. x ∈R， x2＋1≤0
解析：D　因为命题“ x ∈R， x2＋1＞0”是全称量词命题，所以
它的否定是“ x ∈R， x2＋1≤0”.
3. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是
.
解析：原命题是全称量词命题，其否定是存在一个能被2整除的整
数不是偶数.
存在一个能被2
整除的整数不是偶数　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题
型
一 全称量词命题的否定
【例1】　写出下列全称量词命题的否定：
（1）任何一个平行四边形的对边都平行；
解：（1）存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
（2） a ∈R，方程 x2＋ ax ＋2＝0有实数根；
解：（2） a ∈R，方程 x2＋ ax ＋2＝0没有实数根.
（3） a ， b ∈R，方程 ax ＝ b 都有唯一解；
解：（3） a ， b ∈R，使方程 ax ＝ b 的解不唯一或不存在.
（4）可以被5整除的整数，末位数是0.
解：（4）存在被5整除的整数，末位数不是0.
通性通法
全称量词命题否定的关注点
（1）全称量词命题： x ∈ M ， p （ x ），它的否定： x ∈ M ， p
（ x ）；
（2）全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称
量词命题可补上量词后进行否定.
【跟踪训练】
　写出下列命题的否定并判断真假：
（1）等圆的面积相等；
解：（1）该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定
是“存在一对等圆，其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的
否定是假命题.
（2）对任意 x ∈Z， x2的个位数字不等于3；
解：（2）该命题的否定：至少存在一个 x ∈Z， x2的个位数等于
3，因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝
36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题.
（3）平面内与同一条直线垂直的两条直线平行.
解：（3）命题省略了全称量词“任意”，即“平面内任意两条
与同一条直线垂直的直线平行”，因此其否定为“平面内存在
两条与同一条直线垂直的直线不平行”，是假命题.
题
型
二 存在量词命题的否定
【例2】　写出下列命题的否定并判断真假：
（1） p ： a ∈R，一次函数 y ＝ x ＋ a 的图象经过原点；
解：（1） p ： a ∈R，一次函数 y ＝ x ＋ a 的图象不经过原
点.因为当 a ＝0时，一次函数 y ＝ x ＋ a 的图象经过原点，所以
p 是假命题.
（2） q ：有的有理数没有倒数；
解：（2） q ：所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有
倒数，所以 q 为假命题.
（3） s ：有些三角形是锐角三角形.
解：（3） s ：所有三角形都不是锐角三角形（或任意三角形
都不是锐角三角形），假命题.
通性通法
存在量词命题否定的关注点
（1）存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别
改变其中的量词和判断词.即 x ∈ M ， p （ x ），它的否定： x
∈ M ， p （ x ）；
（2）存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在
量词命题可补上量词后进行否定.
【跟踪训练】
　（多选）对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为
真命题的有（　　）
A. x ∈R， x2－ x ＋ ＝0
B. 所有的正方形都是矩形
C. x ∈R，｜ x ｜＋2≤0
D. 至少有一个实数 x ，使 x3＋1＝0
解析：AC　命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命
题，故排除B选项.命题的否定为真命题，则原命题为假命题.又选项
A、C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选A、C.
题
型
三 根据命题的否定求参数范围
【例3】　命题“存在 x ＞1，使得2 x ＋ a ＜3”是假命题，求实数 a 的
取值范围.
解：命题“存在 x ＞1，使得2 x ＋ a ＜3”是假命题，
所以此命题的否定“任意 x ＞1，使得2 x ＋ a ≥3”是真命题，
因为对任意 x ＞1，都有2 x ＋ a ＞2＋ a ，
所以2＋ a ≥3，
所以 a ≥1.
【母题探究】
（变条件）若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数 a 的取
值范围.
解：由题意知“存在 x ＞1，使得 x ＜ ”是真命题，故有 ＞1，
所以 a ＜1.
通性通法
由命题的否定求参数范围的两个关注点
（1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互
转化；
（2）求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题
的意义列不等式求范围.
【跟踪训练】
　已知命题 p ： x ∈{ x ｜－3≤ x ≤2}，都有 x ∈{ x ｜ a －4≤ x ≤ a ＋
5}，且 p 是假命题，求实数 a 的取值范围.
解： p 是假命题即 p 是真命题，
即 x ∈{ x ｜－3≤ x ≤2}， x ∈{ x ｜ a －4≤ x ≤ a ＋5}成立，
所以
解得－3≤ a ≤1，
所以实数 a 的取值范围为{ a ｜－3≤ a ≤1}.
1. 命题“ x ＞1， x2－ x ＞0”的否定为（　　）
A. x ＞1， x2－ x ≤0 B. x0＞1， － x0≤0
C. x ≤1， x2－ x ≤0 D. x0≤1， － x0≤0
解析：B　命题“ x ＞1， x2－ x ＞0”的否定是“ x0＞1， －
x0≤0”，故选B.
2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）
A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数
B. 任意一个无理数，它的平方是有理数
C. 存在一个无理数，它的平方是有理数
D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：A　命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为
“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选A.
3. 命题“存在实数 x ， y ，使得 x ＋ y ＞1”，用符号表示为
，此命题的否定是 （填“真”或“假”）
命题.
解析：此命题用符号表示为 x ， y ∈R， x ＋ y ＞1，此命题的否定
是 x ， y ∈R， x ＋ y ≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题.
x ， y
∈R， x ＋ y ＞1　
假　
4. 写出下列命题的否定，并判断真假：
（1） x ， y ∈Z，使得 x ＋ y ＝3；
解： 命题的否定：“ x ， y ∈Z，都有 x ＋ y ≠3”.
因为当 x ＝0， y ＝3时， x ＋ y ＝3，
所以原命题为真，原命题的否定为假命题.
（2）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除.
解： 命题的否定：存在末位数字是0或5的整数不能被5
整除，是假命题.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 命题“任意 x ∈ A ，2 x ∈ B ”的否定为（　　）
A. 任意 x ∈ A ，2 x B B. 任意 x A ，2 x B
C. 存在 x A ，2 x ∈ B D. 存在 x ∈ A ，2 x B
解析： 　命题“任意 x ∈ A ，2 x ∈ B ”是一个全称量词命题，其
命题的否定为“存在 x ∈ A ，2 x B ”，故选D.
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2. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（　　）
A. x ∈R，｜ x ｜＞0 B. x0∈R，｜ x0｜＞0
C. x ∈R，｜ x ｜≤0 D. x0∈R，｜ x0｜≤0
解析： 　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为
全称量词命题，再否定命题结论.故选C.
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3. 下列命题的否定是真命题的是（　　）
A. p1：每一个合数都是偶数
B. p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C. p3：全等三角形的周长相等
D. p4：所有的无理数都是实数
解析： 　若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假
即可，它们的真假性始终相反.因为 p1为全称量词命题，且是假命
题，所以 p1是真命题.命题 p2， p3， p4均为真命题，即 p2，
p3， p4均为假命题.
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4. 已知命题 p ： x ∈R， x ＜｜ x ｜＜ x3，命题 q ： x ∈R， x2－5 x ＋
4＝0，则下列命题中为真命题的是（　　）
A. p ， q B. p ， q
C. p ， q D. p ， q
解析： 　对于命题 p ，采用特殊值法，取 x ＝1，可知 p 为假命
题，则 p 为真命题；命题 q ：当 x0＝1时， －5 x0＋4＝0成立，
故 q 为真命题，则 q 为假命题，故选B.
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5. （多选）关于命题 p ：“ x ∈R， x2＋1≠0”的叙述，正确的是
（　　）
A. p ： x ∈R， x2＋1＝0
B. p ： x ∈R， x2＋1＝0
C. p 是真命题， p 是假命题
D. p 是假命题， p 是真命题
解析： 　命题 p ：“ x ∈R， x2＋1≠0”的否定是“ x ∈R， x2
＋1＝0”.所以 p 是真命题， p 是假命题.
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6. （多选）下列说法正确的有（　　）
A. 命题“ x ∈R，1＜ y ≤2”的否定是“ x ∈R， y ≤1或 y ＞2”
B. “至少有一个 x 使 x2＋2 x ＋1＝0成立”是全称量词命题
C. “ x ∈R， x －2＞ ”是真命题
D. “ x ∈R， x2＞0”的否定是真命题
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解析： 　由存在量词命题的否定是全称量词命题，故选项A中
说法正确；“至少有一个 x 使 x2＋2 x ＋1＝0成立”是存在量词命
题，故选项B中说法错误；当 x ＝9时， x －2＞ ，即7＞3成立，
故选项C中说法正确；命题“ x ∈R， x2＞0”的否定是“ x
∈R， x2≤0”，当 x ＝0时， x2≤0成立，故选项D中说法正确.故选
A、C、D.
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7. “有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是 命题
（填“真”或“假”）.
解析：原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题.
假　
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8. 某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学
出题如下：若命题“ x ∈R， x2＋2 x ＋ m ≤0”是假命题，求 m 的
取值范围.乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“ x ∈R， x2
＋2 x ＋ m ＞0”是真命题，求 m 的取值范围.你认为，两位同学题
中 m 的取值范围是否一致？ .（填“是”或“否”）
解析：因为命题“ x ∈R， x2＋2 x ＋ m ≤0”的否定是“ x ∈R，
x2＋2 x ＋ m ＞0”，而命题“ x ∈R， x2＋2 x ＋ m ≤0”是假命题，
则其否定“ x ∈R， x2＋2 x ＋ m ＞0”为真命题，所以两位同学题
中 m 的取值范围是一致的.
是　
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9. 已知命题 p ：“ x ≥3，使得2 x －1≥ m ”是真命题，则实数 m 的
最大值是 .
解析：当 x ≥3时，2 x ≥6 2 x －1≥5，因为“ x ≥3，使得2 x －
1≥ m ”是真命题，所以 m ≤5.
5　
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10. 写出下列命题的否定，并判断否定后命题的真假：
（1）所有的四边形都有外接圆；
解： 原命题的否定为：存在一个四边形没有外接圆.真
命题.
（2）若 a ＋ b ≥2，则 a ， b 中至少有一个不小于1；
解： 原命题的否定为：若 a ＋ b ≥2，则 a ， b 都小于1.
假命题.
（3）若 ab ＝0，则 a ＝0或 b ＝0.
解： 若 ab ＝0，则 a ≠0且 b ≠0.假命题.
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11. 已知命题 p ： x ＞0， x ＋ a －1＝0，若 p 为假命题，则实数 a 的取
值范围是（　　）
A. { a ｜ a ＜1} B. { a ｜ a ≤1}
C. { a ｜ a ＞1} D. { a ｜ a ≥1}
解析： 　∵ p 为假命题，∴ p 为真命题，即 x ＞0， x ＋ a －
1≠0，即 x ＞0， x ≠1－ a ，∴1－ a ≤0，则 a ≥1.∴实数 a 的取
值范围是{ a ｜ a ≥1}.故选D.
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12. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 命题“ x ∈R， x2＞－1”的否定是“ x ∈R， x2＜－1”
B. 命题“ x ∈{ x ｜ x ＞－3}， x2≤9”的否定是“ x ∈{ x ｜ x ＞－3}， x2＞9”
C. “ x2＞ y2”是“ x ＞ y ”的必要不充分条件
D. “ m ＜0”是“关于 x 的方程 x2－2 x ＋ m ＝0有一正根一负根”的充要条件
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解析： 　命题“ x ∈R， x2＞－1”的否定是“ x ∈R， x2≤
－1”，故A错误；命题“ x ∈{ x ｜ x ＞－3}， x2≤9”的否定是
“ x ∈{ x ｜ x ＞－3}， x2＞9”，B正确； x2＞ y2 ｜ x ｜＞｜
y ｜，｜ x ｜＞｜ y ｜不能推出 x ＞ y ， x ＞ y 也不能推出｜ x ｜＞｜
y ｜，所以“ x2＞ y2”是“ x ＞ y ”的既不充分也不必要条件，故C
错误；关于 x 的方程 x2－2 x ＋ m ＝0有一正根一负根
m ＜0，所以“ m ＜0”是“关于 x 的方程 x2－
2 x ＋ m ＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确，故选B、D.
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13. 下列命题是真命题的是 （填序号）.
①方程3 x －2 y ＝10有整数解；
② x ∈R， x ≤0的否定为 x R， x ＞0；
③ n ∈N*，使得 n 能被11整除；
④ x ∈N， x2≥1的否定是 x ∈R， x2＜1.
①③　
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解析：对于①，在3 x －2 y ＝10中，令 x ＝0，则 y ＝－5，即3 x －2
y ＝10存在整数解 x ＝0， y ＝－5，故①为真命题；对于②， x
∈R， x ≤0的否定为 x ∈R， x ＞0，故②为假命题；对于③，当
n ＝11，22，33，…时， n 均能被11整除，所以 n ∈N*，使得 n 能
被11整除，故③为真命题；对于④， x ∈N， x2≥1的否定是 x
∈N， x2＜1，故④为假命题.
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14. 已知命题 p ： 1≤ x ≤3，都有 m ≥ x ，命题 q ： 1≤ x ≤3，使 m
≥ x ，若命题 p 为真命题，命题 q 的否定为假命题，求实数 m 的取
值范围.
解：因为 q 为假命题，所以 q 为真命题，
命题 p ： 1≤ x ≤3，都有 m ≥ x ， 为真命题，则 m ≥ xmax，即 m
≥3.
命题 q ： 1≤ x ≤3，使 m ≥ x ，为真命题，则 m ≥ xmin，即 m ≥1.
因为命题 p ， q 同时为真命题，所以解得 m ≥3，
故实数 m 的取值范围是 m ≥3.
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15. （多选）甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布
前做出了如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中有一人获奖；
丁说：乙的猜测是对的.
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的
预测与结果不相符.已知有两人获奖，则获奖的是（　　）
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
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解析： 　易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与
结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结
果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是
乙和丁，故选B、D.
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16. 在① x ∈R， x2＋2 x ＋4 a ＝0；② A ＝{ x ｜2＜ x ＜4}， B ＝
{ x ｜ a ＜ x ＜3 a }，使得 A ∩ B ＝ ，这2个条件中任选一个，补充
在下面问题中，并求解.
问题：已知命题 p ： 1≤ x ≤2， x2－ a ≥0，命题 q ： 　　.
若 p ， q 都是真命题，求实数 a 的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：由命题 p 为真，可得不等式 x2－ a ≥0对于1≤ x ≤2恒成立.
因为1≤ x ≤2，所以1≤ x2≤4，所以 a ≤1.
选条件①.
若命题 q 为真，则关于 x 的方程 x2＋2 x ＋4 a ＝0有解，
所以Δ＝22－16 a ≥0，解得 a ≤ .
又 p ， q 都是真命题，所以 a ≤ ，
所以实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤ }.
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选条件②.
对于命题 q ，
当 B ＝ ，即 a ≤0时， A ∩ B ＝ ，命题 q 为真命题；
当 a ＞0时，由 A ∩ B ＝ 得 a ≥4或3 a ≤2，所以0＜ a ≤ 或 a ≥4.
综上， a ≤ 或 a ≥4.
又 p ， q 都是真命题，所以 a ≤ ，
所以实数 a 的取值范围是 .
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谢 谢 观 看！

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