资源简介

　　
一、集合的基本概念
　　理解集合的有关概念，元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
【例1】　（1）设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B的真子集的个数是（　　）
A.31 B.32
C.63 D.64
（2）已知集合M＝{a，｜a｜，a－2}.若2∈M，则实数a的值为（　　）
A.－2 B.2
C.2或4 D.4
（3）设集合A＝{x｜3x－1＜m}，若1∈A且2 A，则实数m的取值范围为　　　　.
反思感悟
求解与集合中元素有关问题的关键点
（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；
（2）集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
二、集合的基本关系
　　能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值（范围）.
【例2】　（1）已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y｜y＝｜x｜－1，x∈A}，则下列关系正确的是（　　）
A.A＝B B.A B
C.B A D.A∩B＝
（2）已知集合A＝{x｜0＜x＜4}，B＝{x｜x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是（　　）
A.{a｜0＜a＜4} B.{a｜－8＜a＜4}
C.{a｜a≥4} D.{a｜a＞4}
反思感悟
破解集合间基本关系的方法
（1）若B A，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论；
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
三、集合的基本运算
　　集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
【例3】　（1）已知集合S＝{s｜s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t｜t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝（　　）
A. B.S
C.T D.Z
（2）已知全集U＝R，A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{y｜y＝}，则A∩（ UB）＝（　　）
A.{x｜－1＜x＜0} B.{x｜－1＜x≤0}
C.{x｜0＜x＜1} D.{x｜0≤x＜1}
（3）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围为　　　　.
反思感悟
求解集合基本运算的方法步骤
四、充分条件与必要条件
　　若p q，且q p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件.
【例4】　（1）设a∈R，则“a2＝a”成立的一个　　　　条件是“a＝1”（　　）
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
（2）设p：实数x满足A＝{x｜x≤3a或x≥a（a＜0）}.q：实数x满足B＝{x｜－4≤x＜－2}，且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
反思感悟
充分、必要、充要条件的常用判断方法
（1）定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；
（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
提醒　判断条件p，q之间的关系时要注意条件之间关系的方向，要注意“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”的区别，同时，还要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义.
五、全称量词与存在量词
1.含有量词的命题进行否定时，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时条件不能改变，只对结论进行否定，还要注意更改量词.
2.判断全称量词命题与存在量词命题的真假，可利用特值（例）法进行研判，也可利用原命题与其命题的否定真假性相反进行判断.
【例5】　（1）命题“ m∈R，方程x2＋x－m＝0没有实数根”的否定为（　　）
A. m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根
B. m∈R，方程x2＋x－m＝0没有实数根
C. m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根
D. m R，方程x2＋x－m＝0没有实数根
（2）（多选）下列命题中，是真命题的是（　　）
A. x∈Z，x2－2x－3＝0
B.至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C. x∈R，｜x｜≥0
D.所有的自然数都是正数
反思感悟
全称量词命题与存在量词命题问题的关注点
（1）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论；
（2）根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.
章末复习与总结
【例1】　（1）C　（2）A　（3）2＜m≤5
解析：（1）∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素，其真子集的个数为26－1＝63，故选C.
（2）由2∈M得a＝2或｜a｜＝2或a－2＝2，解得a＝±2或4，又由集合中元素的互异性，经检验得a＝－2.故选A.
（3）∵集合A＝{x｜3x－1＜m}，1∈A且2 A，∴3×1－1＜m且3×2－1≥m，解得2＜m≤5.
【例2】　（1）C　（2）C　解析：（1）由集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{y｜y＝｜x｜－1，x∈A}，得B＝{－1，0，1}，所以B A.故选C.
（2）在数轴上标出A，B两集合如图所示，结合数轴知，若A B，则a≥4.
【例3】　（1）C　（2）A　（3）{m｜m≤3}
解析：（1）法一（通解）　在集合T中，令n＝k（k∈Z），则t＝4n＋1＝2（2k）＋1（k∈Z），而集合S中，s＝2n＋1（n∈Z），所以必有T S，所以S∩T＝T，故选C.
法二（优解）　S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T S，所以S∩T＝T，故选C.
（2）因为B＝{y｜y＝}＝{y｜y≥0}，又由全集U＝R，所以 UB＝{y｜y＜0}，则A∩（ UB）＝{x｜－1＜x＜0}.故选A.
（3）∵A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，由A∪B＝A，∴B A，①当B＝ 时，满足B A，此时m＋1＞2m－1，∴m＜2；②当B≠ 时，∵B A，则解得2≤m≤3.综上，m的取值范围为{m｜m≤3}.
【例4】　（1）A　问题可转化为“a＝1”是“a2＝a”的什么条件？由a＝1可得a2＝a，但a2＝a得到的却是a＝1或a＝0，则“a＝1”是“a2＝a”的充分不必要条件，故选A.
（2）解：因为q是p的充分不必要条件，可得B A，所以有或解得a≤－4或－≤a＜0.
所以实数a的取值范围为{a｜－≤a＜0或a≤－4}.
【例5】　（1）C　（2）ABC　解析：（1）易知原命题的否定是“ m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根”，故选C.
（2）A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是真命题；D中，0是自然数但不是正数，所以D是假命题.故选A、B、C.
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章末复习与总结
一、集合的基本概念
　　理解集合的有关概念，元素与集合的表示方法、元素与集合之间
的关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
【例1】　（1）设集合 A ＝{1，2，4}，集合 B ＝{ x ｜ x ＝ a ＋ b ， a
∈ A ， b ∈ A }，则集合 B 的真子集的个数是（　C　）
A. 31 B. 32
C. 63 D. 64
解析： ∵ a ∈ A ， b ∈ A ， x ＝ a ＋ b ，∴ x ＝2，3，4，5，6，8，∴ B 中有6个元素，其真子集的个数为26－1＝63，故选C.
（2）已知集合 M ＝{ a ，｜ a ｜， a －2}.若2∈ M ，则实数 a 的值为
（　A　）
A. －2 B. 2
C. 2或4 D. 4
解析： 由2∈ M 得 a ＝2或｜ a ｜＝2或 a －2＝2，解得 a ＝
±2或4，又由集合中元素的互异性，经检验得 a ＝－2.故选A.
（3）设集合 A ＝{ x ｜3 x －1＜ m }，若1∈ A 且2 A ，则实数 m 的取值
范围为 .
解析： ∵集合 A ＝{ x ｜3 x －1＜ m }，1∈ A 且2 A ，
∴3×1－1＜ m 且3×2－1≥ m ，解得2＜ m ≤5.
2＜ m ≤5　
反思感悟
求解与集合中元素有关问题的关键点
（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再
看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他
类型的集合；
（2）集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含
有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素
是否满足互异性.
二、集合的基本关系
　　能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集
合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值（范围）.
【例2】　（1）已知集合 A ＝{－2，－1，0，1，2}， B ＝{ y ｜ y ＝｜
x ｜－1， x ∈ A }，则下列关系正确的是（　　）
A. A ＝ B B. A B
C. B A D. A ∩ B ＝
解析： 由集合 A ＝{－2，－1，0，1，2}， B ＝{ y ｜ y ＝｜
x ｜－1， x ∈ A }，得 B ＝{－1，0，1}，所以 B A . 故选C.
（2）已知集合 A ＝{ x ｜0＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x ＜ a }，若 A B ，则实
数 a 的取值范围是（　　）
A. { a ｜0＜ a ＜4} B. { a ｜－8＜ a ＜4}
C. { a ｜ a ≥4} D. { a ｜ a ＞4}
解析：在数轴上标出 A ， B 两集合如图所
示，结合数轴知，若 A B ，则 a ≥4.
反思感悟
破解集合间基本关系的方法
（1）若 B A ，应分 B ＝ 和 B ≠ 两种情况讨论；
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系
转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.
解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进
行求解.
三、集合的基本运算
　　集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.对于较抽象的集合
问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、
形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.
【例3】　（1）已知集合 S ＝{ s ｜ s ＝2 n ＋1， n ∈Z}， T ＝{ t ｜ t ＝4
n ＋1， n ∈Z}，则 S ∩ T ＝（　C　）
A. B. S
C. T D. Z
解析： 法一（通解）　在集合 T 中，令 n ＝ k （ k ∈Z），
则 t ＝4 n ＋1＝2（2 k ）＋1（ k ∈Z），而集合 S 中， s ＝2 n ＋1
（ n ∈Z），所以必有 T S ，所以 S ∩ T ＝ T ，故选C.
法二（优解）　 S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}， T ＝{…，
－3，1，5，…}，观察可知， T S ，所以 S ∩ T ＝ T ，故选C.
（2）已知全集 U ＝R， A ＝{ x ｜－1＜ x ＜1}， B ＝{ y ｜ y ＝
}，则 A ∩（ UB ）＝（　A　）
A. { x ｜－1＜ x ＜0} B. { x ｜－1＜ x ≤0}
C. { x ｜0＜ x ＜1} D. { x ｜0≤ x ＜1}
解析： 因为 B ＝{ y ｜ y ＝ }＝{ y ｜ y ≥0}，又由全
集 U ＝R，所以 UB ＝{ y ｜ y ＜0}，则 A ∩（ UB ）＝{ x ｜－1＜
x ＜0}.故选A.
（3）已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －
1}，若 A ∪ B ＝ A ，则实数 m 的取值范围为 .
解析： ∵ A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m
－1}，由 A ∪ B ＝ A ，∴ B A ，①当 B ＝ 时，满足 B A ，此
时 m ＋1＞2 m －1，∴ m ＜2；②当 B ≠ 时，∵ B A ，则
解得2≤ m ≤3.综上， m 的取值范围为{ m ｜
m ≤3}.
{ m ｜ m ≤3}　
反思感悟
求解集合基本运算的方法步骤
四、充分条件与必要条件
　　若 p q ，且 q p ，则 p 是 q 的充分不必要条件，同时 q 是 p 的必
要不充分条件；若 p q ，则 p 是 q 的充要条件，同时 q 是 p 的充要条
件.
【例4】　（1）设 a ∈R，则“ a2＝ a ”成立的一个 　　条件是“ a ＝
1”（　　）
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
解析： 　问题可转化为“ a ＝1”是“ a2＝ a ”的什么条
件？由 a ＝1可得 a2＝ a ，但 a2＝ a 得到的却是 a ＝1或 a ＝0，则
“ a ＝1”是“ a2＝ a ”的充分不必要条件，故选A.
（2）设 p ：实数 x 满足 A ＝{ x ｜ x ≤3 a 或 x ≥ a （ a ＜0）}. q ：实数 x
满足 B ＝{ x ｜－4≤ x ＜－2}，且 q 是 p 的充分不必要条件，求实
数 a 的取值范围.
解：因为 q 是 p 的充分不必要条件，可得 B A ，所以有
或解得 a ≤－4或－ ≤ a ＜0.
所以实数 a 的取值范围为{ a ｜－ ≤ a ＜0或 a ≤－4}.
反思感悟
充分、必要、充要条件的常用判断方法
（1）定义法：根据 p q ， q p 进行判断，适用于定义、定理判断性
问题；
（2）集合法：根据 p ， q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适
用于命题中涉及字母范围的推断问题.
提醒　判断条件 p ， q 之间的关系时要注意条件之间关系的方
向，要注意“ p 是 q 的充分不必要条件”与“ p 的充分不必要条
件是 q ”的区别，同时，还要正确理解“ p 的一个充分不必要条
件是 q ”的含义.
五、全称量词与存在量词
1. 含有量词的命题进行否定时，全称量词命题的否定是存在量词命
题，存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时条件不能改变，
只对结论进行否定，还要注意更改量词.
2. 判断全称量词命题与存在量词命题的真假，可利用特值（例）法进
行研判，也可利用原命题与其命题的否定真假性相反进行判断.
【例5】　（1）命题“ m ∈R，方程 x2＋ x － m ＝0没有实数根”
的否定为（　　）
A. m ∈R，方程 x2＋ x － m ＝0有实数根
B. m ∈R，方程 x2＋ x － m ＝0没有实数根
C. m ∈R，方程 x2＋ x － m ＝0有实数根
D. m R，方程 x2＋ x － m ＝0没有实数根
解析： 易知原命题的否定是“ m ∈R，方程 x2＋ x － m
＝0有实数根”，故选C.
（2）（多选）下列命题中，是真命题的是（　　）
A. x ∈Z， x2－2 x －3＝0
B. 至少有一个 x ∈Z，使 x 能同时被2和3整除
C. x ∈R，｜ x ｜≥0
D. 所有的自然数都是正数
解析： A中， x ＝－1时，满足 x2－2 x －3＝0，所以A是真命
题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；C中，因为
所有实数的绝对值非负，所以C是真命题；D中，0是自然数
但不是正数，所以D是假命题.故选A、B、C.
反思感悟
全称量词命题与存在量词命题问题的关注点
（1）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二
要否定结论；
（2）根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，
一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.
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