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章末检测（一）　集合与常用逻辑用语
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题 p为（　　）
A.某班至多有一个男生爱踢足球 B.某班至少有一个男生不爱踢足球
C.某班所有的男生都不爱踢足球 D.某班所有的女生都爱踢足球
2.设集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，则满足A∪B＝{0，1，2}的集合B的个数是（　　）
A.1 B.3 C.4 D.6
3.集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{x｜x＜1}，则A∩（ RB）＝（　　）
A.{x｜x＞1} B.{x｜x≥1} C.{x｜1＜x≤2} D.{x｜1≤x≤2}
4.“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的（　　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（　　）
A.{3} B.{1，4，5，6} C.{2，3，7，8} D.{2，7，8}
6.下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（　　）
A.所有能被2整除的正整数都是偶数 B.存在三角形的一个内角，其余弦值为
C. m∈R，x2＋mx＋1＝0无解 D. x∈N，x3＞x2
7.若命题“存在x∈R，x2－2x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（　　）
A.m≤－1 B.m≥－1 C.－1≤m≤1 D.m＞－1
8.定义集合的商集运算为＝{x｜x＝，m∈A，n∈B}，已知集合S＝{4，6}，T＝x｜x＝－1，k∈S，则集合∪T中的元素个数为（　　）
A.5 B.6 C.7 D.8
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.命题“ x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充分条件可以是（　　）
A.a≤4 B.a≥4 C.a≤5 D.a≥5
10.下列说法中正确的是（　　）
A.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B.命题p： x∈R，x2＞0，则 p： x∈R，x2＜0
C.命题“若a＞b＞0则＜”的否定是假命题 D.“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件
11.定义集合运算：A B＝{z｜z＝（x＋y）×（x－y），x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则（　　）
A.当x＝，y＝时，z＝1
B.x可取两个值，y可取两个值，z＝（x＋y）×（x－y）对应4个式子
C.A B中有4个元素
D.A B的真子集有7个
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.命题“同位角相等”的否定为　　　　　　　　.
13.已知集合A＝{0，｜a｜}，集合B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝　　　　.
14.已知集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－1＜x＜m＋1}，若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假：
（1）有一个奇数不能被3整除；
（2） x∈Z，x2与3的和不等于0；
（3）三角形的三个内角都为60°；
（4）存在一个实数x，使＞2.
16.（本小题满分15分）已知集合A＝{x｜－1≤x≤3}，集合B＝{x｜m－2≤x≤m＋2，m∈R}.
（1）若A∩B＝{x｜0≤x≤3}，求实数m的值；
（2）若A RB，求实数m的取值范围.
17.（本小题满分15分）从给出的三个条件①a＝1；②a＝2；③a＝3，中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答.
已知集合A＝{0，a＋2}，B＝{0，1，a2}.
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值；
（2）已知　　　　，若集合C含有两个元素且满足C A∪B，求集合C.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.（本小题满分17分）设x，y∈R，求证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立的充要条件是xy≥0.
19.（本小题满分17分）对于集合A，B，我们把集合{（a，b）｜a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有：A×B＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}，B×A＝{（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}，A×A＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，B×B＝{（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）}.据此，试回答下列问题：
（1）已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；
（2）已知A×B＝{（1，2），（2，2）}，求集合A，B；
（3）已知A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素.
章末检测（一）　集合与常用逻辑用语
1.B　命题p：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命题 p为“某班至少有一个男生不爱踢足球”.
2.C　易知A＝{1，2}，又A∪B＝{0，1，2}，所以集合B可以是{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，共4个.
3.D　由题意可知 RB＝{x｜x≥1}，∴A∩（ RB）＝{x｜1≤x≤2}.
4.B　∵｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜，∴两边同时平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2｜ab｜＋b2，即｜ab｜＝－ab，∴ab≤0.故“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的必要不充分条件.
5.C　因为M＝{1，3，6}，P＝{3，4，5}，所以M∩P＝{3}，M∪P＝{1，3，4，5，6}.因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以 U（M∪P）＝{2，7，8}.由Venn图易知，Venn图中阴影部分表示的集合是[ U（M∪P）]∪（M∩P），故Venn图中阴影部分表示的集合是{2，3，7，8}.
6.D　对于A，所有能被2整除的正整数都是偶数，是全称量词命题，但为真命题，不合题意；对于B，不是全称量词命题，不合题意；对于C，“ m∈R，x2＋mx＋1＝0无解”为存在量词命题，不合题意；对于D， x∈N，x3＞x2，是全称量词命题，当x＝1或0时，x3＝x2，故为假命题，符合题意.故选D.
7.B　由题意知方程x2－2x－m＝0有实数解，∴Δ＝（－2）2－4×（－m）≥0，解得m≥－1.
8.A　因为T＝＝{1，2}，所以＝{2，3，4，6}，所以∪T＝{1，2，3，4，6}.所以集合∪T中元素的个数为5.故选A.
9.BD　命题“ x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，即当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，可转化为a≥（x2）max，∵1≤x≤2，∴1≤x2≤4，因此（x2）max＝4，故a≥4.∵a≥4 a≥4，a≥5 a≥4，∴B、D正确.
10.AC　对于选项A，a＞1，b＞1时，易得ab＞1，故A正确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p： x∈R，x2＞0的否定为 p： x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a＞b＞0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a＞b”并不能推出“a2＞b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误.
11.BD　当x＝，y＝时，z＝（＋）×（－）＝0，故A错误；x可取，，y可取1，，则z可取（＋1）×（－1）＝1，（＋）×（－）＝0，（＋1）×（－1）＝2，（＋）×（－）＝1，4个式子，选项B正确；A B＝{0，1，2}，共3个元素，选项C错误；A B的真子集有23－1＝7（个），选项D正确.
12.有的同位角不相等　解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.
13.－1　解析：∵A＝{0，｜a｜}，B＝{1，a}，A∩B＝{1}，∴｜a｜＝1，a≠1，解得a＝－1.
14.m＞1　解析：由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，得A B，即即m＞1.
15.解：（1）是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题.
（2）是全称量词命题，否定为： x∈Z，x2与3的和等于0，假命题.
（3）是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题.
（4）是存在量词命题，否定为：任意一个实数x，都满足≤2，假命题.
16.解：（1）因为A∩B＝{x｜0≤x≤3}，
所以解得m＝2.
（2） RB＝{x｜x＜m－2，或x＞m＋2，m∈R}，
因为A RB，所以m－2＞3或m＋2＜－1，
所以m＞5或m＜－3.
17.解：（1）因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，当a＋2＝1，即a＝－1时，得B＝{0，1，1}，不符合题意；当a＋2＝a2，即a＝－1（舍去），或a＝2时，故a＝2，此时A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，满足题意.所以a＝2.
（2）根据题意，若选择条件①，则B＝{0，1，1}，不符合题意，故可选择条件②或③.
若选择条件②，A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，所以A∪B＝{0，1，4}，所以C＝{0，1}或C＝{0，4}或C＝{1，4}.
若选择条件③，A＝{0，5}，B＝{0，1，9}，所以A∪B＝{0，1，5，9}，所以C＝{0，1}或C＝{0，5}或C＝{0，9}或C＝{1，5}或C＝{1，9}或C＝{5，9}.
18.证明：充分性：如果xy＝0，那么，①x＝0，y≠0，②x≠0，y＝0，③x＝0，y＝0.总有｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，显然成立.
如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
当x＞0，y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜，
当x＜0，y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜，
总之，当xy≥0时，｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立.
必要性：由｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜及x，y∈R，得（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜xy｜＋y2，
故｜xy｜＝xy，所以xy≥0，故必要性成立，
综上，原命题成立.
19.解：（1）C×D＝{（a，1），（a，2），（a，3）}.
（2）因为A×B＝{（1，2），（2，2）}，所以A＝{1，2}，b＝{2}.
（3）从以上解题过程可以看出，A×B中元素的个数与集合A和集合B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与集合B中的每一个元素对应结合，得到集合A×B中的一个新元素，若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A×B中的元素应为（m×n）个，所以若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则集合A×B中有3×4＝12（个）元素.
1 / 3(共30张PPT)
章末检测（一）　
集合与常用逻辑用语
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知命题 p ：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题 p 为
（　　）
A. 某班至多有一个男生爱踢足球
B. 某班至少有一个男生不爱踢足球
C. 某班所有的男生都不爱踢足球
D. 某班所有的女生都爱踢足球
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解析： 　命题 p ：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量
词命题，它的否定是一个存在量词命题，即命题 p 为“某班至少
有一个男生不爱踢足球”.
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2. 设集合 A ＝{ x ｜ x2－3 x ＋2＝0}，则满足 A ∪ B ＝{0，1，2}的集合
B 的个数是（　　）
A. 1 B. 3
C. 4 D. 6
解析： 　易知 A ＝{1，2}，又 A ∪ B ＝{0，1，2}，所以集合 B 可
以是{0}，{0，1}，{0，2}，{0，1，2}，共4个.
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3. 集合 A ＝{ x ｜－1≤ x ≤2}， B ＝{ x ｜ x ＜1}，则 A ∩（ R B ）＝
（　　）
A. { x ｜ x ＞1} B. { x ｜ x ≥1}
C. { x ｜1＜ x ≤2} D. { x ｜1≤ x ≤2}
解析： 　由题意可知 R B ＝{ x ｜ x ≥1}，∴ A ∩（ R B ）＝{ x ｜
1≤ x ≤2}.
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4. “｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜”是“ ab ＜0”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 　∵｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜，∴两边同时平方得 a2－
2 ab ＋ b2＝ a2＋2｜ ab ｜＋ b2，即｜ ab ｜＝－ ab ，∴ ab ≤0.故
“｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜”是“ ab ＜0”的必要不充分条件.
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5. 已知全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合 M ＝{1，3，6}，
P ＝{3，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（　　）
A. {3} B. {1，4，5，6}
C. {2，3，7，8} D. {2，7，8}
解析： 　因为 M ＝{1，3，6}， P ＝{3，4，5}，所以 M ∩ P ＝
{3}， M ∪ P ＝{1，3，4，5，6}.因为 U ＝{1，2，3，4，5，6，
7，8}，所以 U （ M ∪ P ）＝{2，7，8}.由Venn图易知，Venn图中
阴影部分表示的集合是[ U （ M ∪ P ）]∪（ M ∩ P ），故Venn图
中阴影部分表示的集合是{2，3，7，8}.
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6. 下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是（　　）
A. 所有能被2整除的正整数都是偶数
B. 存在三角形的一个内角，其余弦值为
C. m ∈R， x2＋ mx ＋1＝0无解
D. x ∈N， x3＞ x2
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解析： 　对于A，所有能被2整除的正整数都是偶数，是全称量词
命题，但为真命题，不合题意；对于B，不是全称量词命题，不合
题意；对于C，“ m ∈R， x2＋ mx ＋1＝0无解”为存在量词命
题，不合题意；对于D， x ∈N， x3＞ x2，是全称量词命题，当 x
＝1或0时， x3＝ x2，故为假命题，符合题意.故选D.
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7. 若命题“存在 x ∈R， x2－2 x － m ＝0”是真命题，则实数 m 的取值
范围是（　　）
A. m ≤－1 B. m ≥－1
C. －1≤ m ≤1 D. m ＞－1
解析： 　由题意知方程 x2－2 x － m ＝0有实数解，∴Δ＝（－2）2
－4×（－ m ）≥0，解得 m ≥－1.
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8. 定义集合的商集运算为 ＝{ x ｜ x ＝ ， m ∈ A ， n ∈ B }，已知集
合 S ＝{4，6}， T ＝ x ｜ x ＝ －1， k ∈ S ，则集合 ∪ T 中的元素
个数为（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 　因为 T ＝ ＝{1，2}，所以 ＝{2，
3，4，6}，所以 ∪ T ＝{1，2，3，4，6}.所以集合 ∪ T 中元素的
个数为5.故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 命题“ x ∈{ x ｜1≤ x ≤2}， x2－ a ≤0”为真命题的充分条件可以
是（　　）
A. a ≤4 B. a ≥4
C. a ≤5 D. a ≥5
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解析： 　命题“ x ∈{ x ｜1≤ x ≤2}， x2－ a ≤0”为真命题，
即当1≤ x ≤2时， a ≥ x2恒成立，可转化为 a ≥（ x2）max，∵1≤ x
≤2，∴1≤ x2≤4，因此（ x2）max＝4，故 a ≥4.∵ a ≥4 a ≥4， a
≥5 a ≥4，∴B、D正确.
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10. 下列说法中正确的是（　　）
A. “ a ＞1， b ＞1”是“ ab ＞1”成立的充分条件
B. 命题 p ： x ∈R， x2＞0，则 p ： x ∈R， x2＜0
C. 命题“若 a ＞ b ＞0则 ＜ ”的否定是假命题
D. “ a ＞ b ”是“ a2＞ b2”成立的充分不必要条件
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解析： 　对于选项A， a ＞1， b ＞1时，易得 ab ＞1，故A正
确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命
题 p ： x ∈R， x2＞0的否定为 p ： x ∈R， x2≤0，故B错误；
对于选项C，其否定为“若 a ＞ b ＞0，则 ≥ ”，当 a ＝2， b ＝
1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“ a ＞ b ”并不能
推出“ a2＞ b2”，如 a ＝1， b ＝－1，故D错误.
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11. 定义集合运算： A B ＝{ z ｜ z ＝（ x ＋ y ）×（ x － y ）， x ∈
A ， y ∈ B }，设 A ＝{ ， }， B ＝{1， }，则（　　）
A. 当 x ＝ ， y ＝ 时， z ＝1
B. x 可取两个值， y 可取两个值， z ＝（ x ＋ y ）×（ x － y ）对应4个
式子
C. A B 中有4个元素
D. A B 的真子集有7个
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解析： 　当 x ＝ ， y ＝ 时， z ＝（ ＋ ）×（ －
）＝0，故A错误； x 可取 ， ， y 可取1， ，则 z 可取
（ ＋1）×（ －1）＝1，（ ＋ ）×（ － ）＝
0，（ ＋1）×（ －1）＝2，（ ＋ ）×（ － ）
＝1，4个式子，选项B正确； A B ＝{0，1，2}，共3个元素，选
项C错误； A B 的真子集有23－1＝7（个），选项D正确.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 命题“同位角相等”的否定为 .
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.
有的同位角不相等　
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13. 已知集合 A ＝{0，｜ a ｜}，集合 B ＝{1， a }，若 A ∩ B ＝{1}，则
a ＝ .
解析：∵ A ＝{0，｜ a ｜}， B ＝{1， a }， A ∩ B ＝{1}，∴｜ a ｜
＝1， a ≠1，解得 a ＝－1.
－1　
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14. 已知集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜2}， B ＝{ x ｜－1＜ x ＜ m ＋1}，若 x
∈ A 是 x ∈ B 成立的一个充分不必要条件，则实数 m 的取值范围
是 .
解析：由 x ∈ A 是 x ∈ B 成立的一个充分不必要条件，得 A B ，
即即 m ＞1.
m ＞1　
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词
命题，并写出这些命题的否定，判断其真假：
（1）有一个奇数不能被3整除；
解： 是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整
除，假命题.
（2） x ∈Z， x2与3的和不等于0；
解： 是全称量词命题，否定为： x ∈Z， x2与3的和等
于0，假命题.
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（3）三角形的三个内角都为60°；
解： 是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三
个内角不都为60°，真命题.
（4）存在一个实数 x ，使 ＞2.
解： 是存在量词命题，否定为：任意一个实数 x ，都
满足 ≤2，假命题.
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16. （本小题满分15分）已知集合 A ＝{ x ｜－1≤ x ≤3}，集合 B ＝
{ x ｜ m －2≤ x ≤ m ＋2， m ∈R}.
（1）若 A ∩ B ＝{ x ｜0≤ x ≤3}，求实数 m 的值；
解： 因为 A ∩ B ＝{ x ｜0≤ x ≤3}，
所以解得 m ＝2.
（2）若 A R B ，求实数 m 的取值范围.
解： R B ＝{ x ｜ x ＜ m －2，或 x ＞ m ＋2， m ∈R}，
因为 A R B ，所以 m －2＞3或 m ＋2＜－1，
所以 m ＞5或 m ＜－3.
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17. （本小题满分15分）从给出的三个条件① a ＝1；② a ＝2；③ a ＝
3，中选出一个合适的条件，补充在下面问题中，并完成解答.
已知集合 A ＝{0， a ＋2}， B ＝{0，1， a2}.
（1）若“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的充分不必要条件，求实数 a
的值；
解： 因为“ x ∈ A ”是“ x ∈ B ”的充分不必要条件，
所以 A B ，当 a ＋2＝1，即 a ＝－1时，得 B ＝{0，1，1}，
不符合题意；当 a ＋2＝ a2，即 a ＝－1（舍去），或 a ＝2
时，故 a ＝2，此时 A ＝{0，4}， B ＝{0，1，4}，满足题意.
所以 a ＝2.
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（2）已知 　　，若集合 C 含有两个元素且满足 C A ∪ B ，求集
合 C .
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解： 据题意，若选择条件①，则 B ＝{0，1，1}，不
符合题意，故可选择条件②或③.
若选择条件②， A ＝{0，4}， B ＝{0，1，4}，所以 A ∪ B ＝
{0，1，4}，所以 C ＝{0，1}或 C ＝{0，4}或 C ＝{1，4}.
若选择条件③， A ＝{0，5}， B ＝{0，1，9}，所以 A ∪ B ＝
{0，1，5，9}，所以 C ＝{0，1}或 C ＝{0，5}或 C ＝{0，9}
或 C ＝{1，5}或 C ＝{1，9}或 C ＝{5，9}.
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18. （本小题满分17分）设 x ， y ∈R，求证：｜ x ＋ y ｜＝｜ x ｜＋｜
y ｜成立的充要条件是 xy ≥0.
证明：充分性：如果 xy ＝0，那么，① x ＝0， y ≠0，② x
≠0， y ＝0，③ x ＝0， y ＝0.总有｜ x ＋ y ｜＝｜ x ｜＋｜
y ｜，显然成立.
如果 xy ＞0，即 x ＞0， y ＞0或 x ＜0， y ＜0，
当 x ＞0， y ＞0时，｜ x ＋ y ｜＝ x ＋ y ＝｜ x ｜＋｜ y ｜，
当 x ＜0， y ＜0时，｜ x ＋ y ｜＝－ x － y ＝（－ x ）＋（－
y ）＝｜ x ｜＋｜ y ｜，
总之，当 xy ≥0时，｜ x ＋ y ｜＝｜ x ｜＋｜ y ｜成立.
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必要性：由｜ x ＋ y ｜＝｜ x ｜＋｜ y ｜及 x ， y ∈R，得（ x ＋ y ）
2＝（｜ x ｜＋｜ y ｜）2，
即 x2＋2 xy ＋ y2＝ x2＋2｜ xy ｜＋ y2，
故｜ xy ｜＝ xy ，所以 xy ≥0，故必要性成立，
综上，原命题成立.
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19. （本小题满分17分）对于集合 A ， B ，我们把集合{（ a ， b ）｜ a
∈ A ， b ∈ B }记作 A × B . 例如， A ＝{1，2}， B ＝{3，4}，则
有： A × B ＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4）}， B
× A ＝{（3，1），（3，2），（4，1），（4，2）}， A × A ＝
{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}， B × B ＝{（3，
3），（3，4），（4，3），（4，4）}.据此，试回答下列问题：
（1）已知 C ＝{ a }， D ＝{1，2，3}，求 C × D ；
解： C × D ＝{（ a ，1），（ a ，2），（ a ，3）}.
（2）已知 A × B ＝{（1，2），（2，2）}，求集合 A ， B ；
解： 因为 A × B ＝{（1，2），（2，2）}，所以 A ＝
{1，2}， b ＝{2}.
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（3）已知 A 有3个元素， B 有4个元素，试确定 A × B 有几个元素.
解： 从以上解题过程可以看出， A × B 中元素的个数
与集合 A 和集合 B 中的元素个数有关，即集合 A 中的任何一
个元素与集合 B 中的每一个元素对应结合，得到集合 A × B
中的一个新元素，若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个
元素，则集合 A × B 中的元素应为（ m × n ）个，所以若集
合 A 中有3个元素，集合 B 中有4个元素，则集合 A × B 中有
3×4＝12（个）元素.
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