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2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第六讲 与三角形角有关的七大几何模型
模型一　角的“8”字模型
如图所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC.
结论:（1）∠A+∠D=∠B+∠C.
（2）AD+BC BD+AC
例1．如图，等于（ ）
A． B． C． D．
针对训练1
2．“字”的性质及应用：
(1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由；
(2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个；
(3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由．
3．【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：．
【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：．
4．【认识模型】
（1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果）
【应用模型】
（2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，求的度数．
5．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________；
探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________；
探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________．
【模型应用】
应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示
拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________．
6．【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②．
【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点．
(1)如图2，，，则的度数是多少呢？
易证，
请你完成后续的推理过程：
______
，分别是，的平分线
，
______
又，
______度．
(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______．
【类比应用】
(3)如图3，的平分线与的平分线交于点．
已知：，，则______．（用、表示）
7．（1）模型：如图1，，交于点．求证：．
（2）模型应用：如图2，和的平分线交于点．
①若，，则的度数是？
②直接写出与，之间的数量关系是：
（3）类比应用：如图3，的平分线与的平分线交于点．若，，（）．求的度数．（用含有，的式子表示）
模型二　角的燕尾模型
如图所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
例1．如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则 ．

针对训练2
2．如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．
（1）求证：；
（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数．
3．四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空：
(1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；
(2)当点、、三点不共线时，
①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由；
②如图③，__________；
(3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____；
(4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________．
4．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法．
方法一∶如图2，连接，则在中，， 即
，
又∵在中，，
∴，
即．
方法二∶如图3，连接并延长至F，
∵和分别是和的一个外角，
∴ ．
．
∵
∴
∴．
解答下列问题．
(1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程；
(2)如图1，当时，直接写出 °．
(3)应用：如图4，，直接写出 ．
5．探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”．
(1)观察图①，说明与之间的数量关系；
(2)请你利用以上结论，解决以下问题：
①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________．
②如图③，平分平分，若，求的度数；
③如图④，，求的度数．
模型三　角的折叠模型
折纸中的角度
如图,将一张三角形纸片沿DE折叠,设∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2.
结论:(1)如图①,2∠A=∠1+∠2;
(2)如图②,2∠A=∠1-∠2.
例1．如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
针对训练3
2．如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °．
3．如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则 ．
4．如图，在中，点D、点E分别是边、上的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 °．
5．如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分．
(1)若，求的度数：
(2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
6．把三角形纸片沿折叠．
(1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
(2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
模型四 双内角平分线模型
如图，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，
结论：∠BPC＝90°∠A；
例1．如图，的两条内角平分线相交于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
针对训练4
2．如图，在中，是高，、是两内角平分线，它们相交于点O， ，，则与的度数之和为 °．

3．如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
4．如图，点为的内角平分线与的交点，求证：．
模型五 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角模型
如图，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP交点，
结论：∠BPC∠A；
例1．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（ ）
A． B． C． D．
针对训练5
2．如图，中，为内角平分线，为外角平分线，交延长线于点，若，，则的度数为 ．
3．如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点P，根据下列条件求的度数．
(1)若，，则______；若，则______；
(2)若，则______；
(3)从以上的结果猜想与的关系是______；
(4)证明第（3）题中所猜想的结论．
4．如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点P，根据下列条件求的度数．
(1)若，，则 ，若，则 ；
(2)若，则 ；
(3)从以上的计算中，你能发现与的关系是 ；
(4)证明第（3）题中你所猜想的结论．
模型六 三角形两外角平分线夹角
如图，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，
结论：∠P＝90°∠A
1．如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ．
针对训练6
2．如图，是两外角平分线的交点，是的两外角平分线的交点，，在上，又，在上；如果，那么 度．
3．（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数；
（2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由．
4．如图1，点P是两外角平分线的交点．

(1)若，则 ；
(2)探究与的数量关系并说明理由；
(3)如图2，点P是四边形相邻两外角平分线的交点，请直接写出与，的数量关系．
模型七 角平分线与高线的夹角
如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，
结论∠DAE＝（∠C-∠B）
例1．如图，在中，是的高线，是的角平分线，若，求的度数．
针对训练7
2．在中，是的角平分线，是的高线，与交于点，过点作交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
3．在中，，是的高线，是的角平分线，
(1)如图1，若，，则的度数为______；
(2)如图2，若点是延长线上一点，于，，，请求出的度数．（用含，的代数式表示）
4．如图：的高线，角平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若平分，平分的外角，与交点F，请直接写出与的数量关系______
(3)在（2）的条件下，若平分，平分，与交点H，若，，，求的长．
2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第六讲 与三角形角有关的七大几何模型
模型一　角的“8”字模型（解析版）
如图所示,AC,BD相交于点O,连接AD,BC.
结论:（1）∠A+∠D=∠B+∠C.
（2）AD+BC BD+AC
例1．如图，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由三角形外角的性质得到，，继而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，
，，
，
故选：C．
针对训练1
2．“字”的性质及应用：
(1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由；
(2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个；
(3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由．
【答案】(1)理由见解析
(2)见解析
(3)理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答；
（2）根据题中给出的“字”的概念即可解答；
（3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可解答．
【详解】（1）解：，
∴，
∵，
．
（2）解：图中有个“字”分别是：、、、、．
（3）解：平分平分，
，
，
．
【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、对顶角相等等知识点，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
3．【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：．
【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了角平分线的定义．
（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）利用（1）中模型可得，再根据角平分线得到，，解答即可．
【详解】证明：（1）在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）同（1）中模型可得，在相交线中，有，
在相交线中，有，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∴．
4．【认识模型】
（1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是 ；（直接写结果）
【应用模型】
（2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，求的度数．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理可得，再由即可得到结论；
（2）由角平分线的定义可得，同（1）可得，，把两式相加即可得到结论；
（3）令的交点为O，连接，连接并延长交于点H，同（1）可得，再证明即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2），证明如下：
∵平分平分，
∴，
同（1）可得，，
∴
∴；
（3）如图，令的交点为O，连接，连接并延长交于点H，
同（1）可得，
∵（可把四边形的内角和看成两个三角形的内角和），
，
∴，
∵，
∴．
5．阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________；
探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________；
探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________．
【模型应用】
应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示
拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________．
【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二：
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】探索一：如图1，，，
，
故答案为；
探索二：如图2，、分别平分、，
，，
由（1）可得：，，
，
即，
，，
，
故答案为；
探索三：由①，
由②，
①②得：
．
．
故答案为：．
应用一：如图4，由题意知延长、，交于点，
，，，
，，
；
、分别平分、，
，，
，
，
故答案为：，；
应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，
，，，
，
平分，平分，
平分，平分，
由应用一得：，
故答案为：；
拓展一：如图6，由探索一可得：
，，
，，，，
，
，，
，，
，
，
故答案为：；
拓展二：如图7，
平分，平分的邻补角，
，，
由探索一得：①，②，
②得：③，
③①，得：，
，
故答案为：．
6．【数学模型】
“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②．
【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点．
(1)如图2，，，则的度数是多少呢？
易证，
请你完成后续的推理过程：
______
，分别是，的平分线
，
______
又，
______度．
(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______．
【类比应用】
(3)如图3，的平分线与的平分线交于点．
已知：，，则______．（用、表示）
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键．
（1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可；
（2）利用（1）的相关结论即可解答；
（3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答．
【详解】（1）解：如图2，∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
，
∴
故答案为：，，；
（2）解：由（1）可得，即
故答案为；
（3）解：如图3，延长交于F，
∵，
∴，
∵平分，平分,
∴，
∵，
∴
，
∵，，
∴．
故答案为．
7．（1）模型：如图1，，交于点．求证：．
（2）模型应用：如图2，和的平分线交于点．
①若，，则的度数是？
②直接写出与，之间的数量关系是：
（3）类比应用：如图3，的平分线与的平分线交于点．若，，（）．求的度数．（用含有，的式子表示）
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②，理由见解析；（3）
【分析】（1）利用三角形内角和为180度进行证明即可；
（2）①同（1）可得，进而推出，再根据角平分线的定义推出，由此即可得到结论；②同①求解即可；
（3）如图所示，延长交于F，利用三角形外角的性质得到，再由角平分线的定义得到，由（1）的结论得到，由此即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴；
（2）①由（1）得，
∴，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
同理得，，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，延长交于F，
∵，
∴，
∵的平分线与的平分线交于点，
∴，
∵，
∴
，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
模型二　角的燕尾模型
如图所示,有结论:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
例1．如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则 ．

【答案】
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，图形类规律探究，根据飞镖模型的结论结合角平分线的定义，推导出相应的规律，即可．
【详解】解：由题意，得：；
，
∵，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，，
，
∴；
故答案为：．
针对训练2
2．如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．
（1）求证：；
（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）240°
【分析】（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证，，运用角的等量转换即可证明．
（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证，，和是对顶角，可推出的度数等于2倍的度数，计算得出答案．
【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图：
∵是的外角，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴．
（2）解：∵和是对顶角，
∴．
由（1）的结论可知，
，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键．
3．四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空：
(1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；
(2)当点、、三点不共线时，
①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由；
②如图③，__________；
(3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____；
(4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________．
【答案】(1)180
(2)①，理由见解析；②360
(3)
(4)
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用；
（1）由三角形的内角和定理可得答案；
（2）①如图，作射线，利用三角形的内角和与平角的含义可得：，，再利用角的和差运算可得结论；②如图，连接，利用三角形的内角和定理可得答案；
（3）利用三角形的内角和定理与平角的含义可得答案；
（4）利用三角形的内角和定理可得，，再进一步可得结论．
【详解】（1）解：当点、、三点共线时，如图①，；
（2）解：①如图，作射线，
∵，，
∴，，
∴；
②如图，连接，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴；
（4）解：如图，记的交点为，
∵，，，
∴
4．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法．
方法一∶如图2，连接，则在中，， 即
，
又∵在中，，
∴，
即．
方法二∶如图3，连接并延长至F，
∵和分别是和的一个外角，
∴ ．
．
∵
∴
∴．
解答下列问题．
(1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程；
(2)如图1，当时，直接写出 °．
(3)应用：如图4，，直接写出 ．
【答案】(1)见详解
(2)50
(3)230°
【分析】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，新定义的运用，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键．
（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答．
（2）把代入，进行计算即可作答．
（3）连接，结合图1的结论，列式计算，整理式子，即可作答．
【详解】（1）解：如图3，连接并延长至F，
∵和分别是和的一个外角，
∴，
∵
∴
∴
（2）解：∵
∴把代入，
得
解得；
（3）解：连接，如图所示：
由方法一，在四边形中，得；
在四边形中，得；
∵
∴
即．
5．探究与发现：如图①所示的图形，像我们常见的飞镖，我们把这样的图形叫做“飞镖图”．
(1)观察图①，说明与之间的数量关系；
(2)请你利用以上结论，解决以下问题：
①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，若，则__________．
②如图③，平分平分，若，求的度数；
③如图④，，求的度数．
【答案】(1)
(2)① ②③
【分析】（1）连接并延长到点G，利用三角形的外角和定理，角的和证明即可．
（2）①根据题意，得，结合前面的结论，得根据，计算即可．
②根据题意，平分平分，得
根据前面的结论，得，，结合，求的度数即可．
③连接，两次运用结论，再求和计算即可．
本题考查了三角形外角性质，直角三角形的性质，角的平分线，熟练掌握外角性质，灵活运用基本结论是解题的关键．
【详解】（1）解：与之间的数量关系为：
．理由如下：
连接并延长到点G，
根据题意，得，
∵，
∴．
（2）解：①根据题意，得，结合前面的结论，得，
∵，
∴，
故答案为：．
②解：根据题意，平分平分，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
③连接，
根据题意，得，，
∴，
∴，
∵
∴．
模型三　角的折叠模型
折纸中的角度
如图,将一张三角形纸片沿DE折叠,设∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2.
结论:(1)如图①,2∠A=∠1+∠2;
(2)如图②,2∠A=∠1-∠2.
例1．如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再求出的度数即可得到答案；
【详解】解：，，，
，
故选：D．
针对训练3
2．如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °．
【答案】68
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得，，，根据三角形内角和，，求得，据此求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得，，，
根据对顶角相等，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：68．
3．如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点，均落于边上一点处，线段，为折痕．若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的折叠问题，平角的定义等知识点，根据三角形的内角和定理可得，再由折叠的性质可得,,从而得到,进而即可得解，熟练掌握三角形的内角和定理，图形的折叠的性质并能灵活运用是解决此题的关键．
【详解】解：,
，
由折叠的性质得：,
,
，
故答案为：．
4．如图，在中，点D、点E分别是边、上的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 °．
【答案】51
【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰．
设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：设，则，设，
由翻折可知，，，
，，
由，得，
在中，，
，
解得：，
又∵在中，②，
由得，
在中，，
．
故答案为：51．
5．如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分．
(1)若，求的度数：
(2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键．
（1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出；
（2）设，则，求出根据可得结论．
【详解】（1）解：如图，
，且
又平分，平分，
∴
∴
；
（2）解：设，则，
由折叠得，
∴
∴
而
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴．
6．把三角形纸片沿折叠．
(1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
(2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．
（1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，
根据翻折以及平角的意义可得，，，
，
，
整理得，；
（2）解：，理由如下：
如图：
根据翻折以及平角的意义可得，，，
，
，
整理得，．
模型四 双内角平分线模型
如图，点P为△ABC的内角平分线BP与CP的交点，
结论：∠BPC＝90°∠A；
例1．如图，的两条内角平分线相交于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线，由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵的两条内角平分线相交于点，
∴，
∴，
故选：．
针对训练4
2．如图，在中，是高，、是两内角平分线，它们相交于点O， ，，则与的度数之和为 °．

【答案】125
【分析】先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形中，求出；再根据角平分线定义可求、，可得的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，求出，即可求得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴，
又∵是高，
∴，
∴，
∵、是角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：125．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出、，再运用三角形外角性质求出．
3．如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，．
(1)求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由得到，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
平分，平分，
，
；
（2）解：，，
，
平分，
，
，
，
，
．
4．如图，点为的内角平分线与的交点，求证：．
【答案】见解析
【分析】由角平分线的定义求得，，再利用三角形的内角和定理即可证明．
【详解】证明：、是角平分线，
，，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
模型五 三角形一内角平分线和一外角平分线的夹角模型
如图，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP交点，
结论：∠BPC∠A；
例1．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……，如此进行下去，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等，找出其中规律是解题的关键；根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角性质可得，，联立化简可得：，进一步找出其中规律，即可求出；
【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，
∴，，
∵，
∴①，②，
②得：，
∴③，
由①和③得：，
∵，
∴，
同理：，，……，
∴，
∴，
故选：C；
针对训练5
2．如图，中，为内角平分线，为外角平分线，交延长线于点，若，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，根据题意，设，由此可得，在中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：设，则，
∵，则，
∴在中，，
∵，
∴，
如图所示，
∵在中，，
∴，
∵是外角平分线，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
故答案为： ．
3．如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点P，根据下列条件求的度数．
(1)若，，则______；若，则______；
(2)若，则______；
(3)从以上的结果猜想与的关系是______；
(4)证明第（3）题中所猜想的结论．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)；
(4)见解析．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线．
（1）①先得出，根据角平分线的定义得出，，则，
②先求出，根据角平分线的定义得出，，再根据，即可解答；
（2）根据角平分线的定义得出，，再根据，即可解答；
（3）根据（1）和（2）即可得出结论；
（4）根据角平分线的定义得出，，再根据，即可求证．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵，、平分、，
∴，，
∴，
②∵，
∴，
∵、平分、，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵、平分、，
∴，，
又∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：由（1）和（2）可知，，
故答案为：；
（4）证明：：∵、平分、，
∴，，
又∵，
∴，
即．
4．如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点P，根据下列条件求的度数．
(1)若，，则 ，若，则 ；
(2)若，则 ；
(3)从以上的计算中，你能发现与的关系是 ；
(4)证明第（3）题中你所猜想的结论．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质，即可；
（2）根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，即可；
（3）根据前两问的结果，即可求解；
（4）根据角平分线的定义和再由三角形外角的性质，即可．
【详解】（1）解：∵的内角平分线和外角平分线相交于点P，，，
∴，，
∵，
∴；
∵的内角平分线和外角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵的内角平分线和外角平分线相交于点P，
∴，
∴；
故答案为：
（3）解：从以上的计算中，能发现与的关系是
故答案为：
（4）解：∵的内角平分线和外角平分线相交于点P，
∴，
即与的关系是．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，有关角平分线的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
模型六 三角形两外角平分线夹角
如图，点P是△ABC的外角平分线BP与CP的交点，
结论：∠P＝90°∠A
1．如图，在中，的平分线交于点O，D是与平分线的交点，E是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
利用角平分线的定义可得，结合，可得出的度数，再利用三角形的外角性质求出即可．
【详解】解：∵的平分线交于点O，D是与平分线的交点，
∴，
∵，
∴
又∵，
．
∵，
，，
∴．
故答案为：．
针对训练6
2．如图，是两外角平分线的交点，是的两外角平分线的交点，，在上，又，在上；如果，那么 度．
【答案】66
【分析】利用角平分线的定义和三角形、四边形的内角和可求得：，，所以．
【详解】解：因为是两外角平分线的交点，
∴，
∵是两外角平分线的交点，
∴，
∴．
故答案为：66．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，结合图形熟练运用定理和性质进行求解是解题的关键．
3．（1）如图①，是的外角，平分，平分，且、交于点．如果，，求的度数；
（2）如图②，点是两外角平分线、的交点，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），见解析；
【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．
（1）根据外角的性质，可得，结合角平分线的定义可得，，，然后由求解即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质可得，，由三角形内角和定理可得，即有，然后结合，即可证明结论．
【详解】如图所示：
解：（1）根据外角的性质得，
平分，平分，
，，
，
；
（2）、是两外角的平分线，
，，
而，，
，，
，
，
即，
，
．
4．如图1，点P是两外角平分线的交点．

(1)若，则 ；
(2)探究与的数量关系并说明理由；
(3)如图2，点P是四边形相邻两外角平分线的交点，请直接写出与，的数量关系．
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义．
（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点P是两外角平分线的交点，
∴
，
在中，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：由（1）知；
（3）解：如图，

延长交于Q，
则，
∴．
∴
．
模型七 角平分线与高线的夹角
如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，
结论∠DAE＝（∠C-∠B）
例1．如图，在中，是的高线，是的角平分线，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了有关三角形的高线、角平分线的角度计算；设，，，由三角形内角和定理得，求出三个内角的度数，结合三角形平分线及高线，即可求解；能熟练利用三角形的高线、角平分线进行角度计算是解题的关键．
【详解】解：，
设，
，，
，
解得：，
，
，，
是的角平分线，
，
是的高线，
，
，
，
故的度数为．
针对训练7
2．在中，是的角平分线，是的高线，与交于点，过点作交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平行性质、角平分线定义，数形结合表示，代入即可得证；
（2）由三角形高线定义得到，再由三角形内角和定理，数形结合表示出即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的高线，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形中求证角度关系及求角度，涉及平行线性质、角平分线定义、三角形高的定义及三角形内角和定理，数形结合表示出角度是解决问题的关键．
3．在中，，是的高线，是的角平分线，
(1)如图1，若，，则的度数为______；
(2)如图2，若点是延长线上一点，于，，，请求出的度数．（用含，的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，余角的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）利用三角形内角和求出，利用角平分线和高线的定义得出和的度数，进而利用角的和差即可求解；
（2）根据垂直和高线得出两个直角三角形，利用对顶角相等和余角的性质即可得出，再利用（1）的解题思路即可表示出的度数．
【详解】（1）解：∵，，
，
∵是的角平分线，
，
∵是的高线，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：∵是的高线，于，
，
又，
，
∵，，
，
∵是的角平分线，
，
∵是的高线，
，
，
．
4．如图：的高线，角平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若平分，平分的外角，与交点F，请直接写出与的数量关系______
(3)在（2）的条件下，若平分，平分，与交点H，若，，，求的长．
【答案】(1)10°
(2)
(3)6
【分析】（1）由三角形的高线得出，由三角形的角平分线得出，再利用三角形内角和得出．，等量代换得出，进而根据角的和差关系即可求出
（2）根据角平分线的定义得到，进而得到，结合即可得到；
（3）根据角平分线的定义设，，
，，分别求出，，，根据已知条件得出，最后根据等面积法得出．
【详解】（1）解：∵为的高线，
∴，
∴，
又∵为的角平分线，
∴，
在中，
，
∴，
∴
∵，
∴
（2）．
证明：∵、分别平分和的外角，
∴，
∵是的外角，是的外角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）设与交于点K，
∵平分，平分，
∴设，，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义，直角三角形两锐角互余，三角形角平分线、高线的定义，综合性较强，
典例精讲1
典例精讲2
典例精讲3
典例精讲4
典例精讲5
典例精讲6
典例精讲7
典例精讲1
典例精讲2
典例精讲3
典例精讲4
典例精讲5
典例精讲6
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