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第二章《实数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式是二次根式的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．在实数0，，，3.1415926，，，，1.3470136…中，无理数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．
4．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图用6个完全相同的小长方形拼成一个无重叠的大长方形，已知小长方形的长为，宽为，下列对大长方形的判断不正确的是（ ）
A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为
C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为24
6．在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．1
7．代数式的最小值是（ ）
A．0 B．3 C． D．不存在
8．已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
10．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数（表示不大于m的最大整数），称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①；②；③若方程，则满足条件的x的整数值有4个；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中正确说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知，则 ．
12．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则 ；若与都是“完美实数”，则的平方根为 ．
13．计算： ．
14．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ．
15．计算的结果是 ．
16．求59319的立方根，解答如下：
①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算或化简：
(1) (2)
18．（6分）（1）已知，求代数式的值．
（2）已知实数满足，求的值．
19．（8分）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
20．（8分）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数，，，且，求m．
(3)已知，求的值．
21．（10分）阅读理解，观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
22．（10分）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米．
(1)求该长方形闲置区域的周长；
(2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1）
23．（12分）综合与实践
问题情境：如图1，有一条长为8个单位长度的纸条（宽度忽略不计），半径为1的圆上的一点与纸条上表示数字0的点重合，将圆沿着纸条向右滚动一周，重合点变为点，点表示的数为．
(1)的值为 ．（结果保留）
(2)求的平方根．
(3)“善思小组”将纸条进行如下操作．
①操作一：如图2，将纸条沿表示4的数的点对折，则表示数的点与表示数 的点重合．
②操作二：如图3，在操作一的条件下，将对折的纸条沿着点剪开，如图4，展开后的长为，则点表示的数为 ．
24．（12分）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，，
当即时，的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
(1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案．
【详解】解：二次根式有（1），（3），
故选：C．
2．B
【分析】本题考查无理数的识别，无理数是指无限不循环小数，包括π、非完全平方数的平方根、非完全立方数的立方根等，需逐一判断各数是否为无理数．
【详解】解：0是整数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
是分数，可化为无限循环小数，属于有理数；
3.1415926是有限小数，属于有理数；
中5不是完全立方数，其立方根为无限不循环小数，属于无理数；
是无限循环小数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
1.3470136…中省略号未标注循环节，视为无限不循环小数，属于无理数．
综上，无理数有π、、1.3470136…，一共3个．
故选：B．
3．B
【分析】根据程序写出代数式，再代入计算解答即可．
本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得程序式为，
∵，
∴
，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可．
【详解】解：若是“最美实数”，
则有或，
若，解得，
若，解得，
综上，a的值为或，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握二次根式的运算法则．
根据小长方形的长宽列式，依次计算，即可求解．
【详解】解：A、大长方形的长为：，故该选项正确，不符合题意，
B、大长方形的宽为：，故该选项正确，不符合题意，
C、大长方形的周长为：，故该选项不正确，符合题意，
D、大长方形的面积为：，故该选项正确，不符合题意，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可．
【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得，
8是有理数，再取立方根得，
2是有理数，再取算术平方根得，
由于是无理数，
所以输出的值是．
故选：A．
7．B
【分析】先根据二次根式有意义，求出x取值范围，再根据，，都随x的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．
【详解】解：若代数式++有意义，
则，
解得：x≥2，
∵由，，都随x的增大而增大，
∴当x＝2时，代数式的值最小，
即++＝1+0+2＝3．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可．
【详解】解： ，，
，
原式，
故选：C．
9．D
【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案．
【详解】解：由题意得：
，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可．
【详解】解：①：计算左边，，和为；右边，等式成立．故①正确．
②：，取反例，左边，右边，显然．故②错误．
③：方程，x为整数且．
逐一验证：
当时，左边分别为，满足条件；
其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误．
④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即，
第三次操作时：，则；
第二次操作时：，则，其中；
第一次操作时：，则．
排除提前终止的情况：
若，则，对应，但这些m在2次操作内即可终止，需排除；
若，则，对应；
若，则，对应；
∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为，
∴m的最大值为255，最小值为16，差值为．故④正确．
综上，正确说法为①④，共2个．
故选：B．
二．填空题
11．
【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
故答案为：．
12． 或 0或
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键．
根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可．
【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”，
∵的算术平方根是，的立方根是，
∴这个实数可以是，
∴当时，，
当时，，
∴或；
若与都是“完美实数”，
∴或或或，
解得，或或或，
∴对应的或或或，
∴对应的平方根为或或或，
综上所述，的平方根为或；
故答案为：①或；② 或．
13．45
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：45．
14．
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解．
【详解】解：∵长方形彩纸的长为，宽为，
∴长方形彩纸的面积为，
∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，
∴正方形彩纸的面积为．
故答案为： ．
15．
【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解．
【详解】解：
；
故答案为：．
16．68
【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答．
【详解】解：，
又，
，
∴能确定314432的立方根是个两位数．
314432的个位数是2，
又，
∴能确定314432的立方根的个位数是8．
划去314432后面的三位432得到数314，而，则，
可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6，
因此314432的立方根是68，
故答案为68．
三．解答题
17．（1）解：
（2）解：
18．解：∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴
；
（2）∵有意义，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为4，的小数部分为；
故答案为：4；；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分为2，小数部分为；
∵，
∴，
∴的整数部分为；
∴；
（3）（3）∵，
∴，
即的整数部分为11，小数部分为，
∴，
∴，
∵的相反数为，
∴的相反数为．
20．（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴．
21．（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则，
故答案为：．
（2）解：若与的值互为相反数，则，
解得：．
∴
22．（1）解：依题意，（米）．
答：该长方形闲置区域的周长为米
（2）解：
（平方米）．
∴其余的面积为平方米，
（元）．
答：购买红毯大约需要花费1350.7元．
23．（1）解：；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴原式，
∴4的平方根是；
（3）解：①如图所示，因为数到点A的距离等于点B到点A的距离，
所以，
则，
所以数的点与表示的数的点重合；
故答案为：；
②，
∴点B表示的数是．
故答案为：．
24．（1）解：当时，
∵，
∴当即时，的最小值为4；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴当，即时，的最大值为；
故答案为：4；；
（2）解：当时，
∵，
∴当，即时， 的最小值是：．
（3）解：设的面积为a，
∵，
∴，
∴．
∴四边形的面积：，
∵，
∴当，即时，四边形的面积的最小值为：．

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