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第2章《 实数》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则b的值为（ ）
A．8 B． C．4 D．
3．若最简二次根式能与合并，则可以是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．14
4．若，则代数式的值是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．
5．的结果应在（ ）
A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
6．如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为宽为的矩形．若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
7．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．计算：的值为（ ）
A．2024 B．1012 C．1 D．
9．已知，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积．这个公式便是海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公式”．若，，，则此三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．当时，二次根式的值是 ．
12．在实数中，其中无理数有 个．
13．实数在数轴上的位置如图，化简 ．
14．化简的结果是 ，化简的结果是 ．
15．若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ．
16．（3分）若，则 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）解方程：
(1)； (2)．
18．（6分）计算：
(1)； (2)．
19．（8分）已知：，，分别求下列代数式的值：
(1)； (2)
20．（8分）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．
（2）若的算术平方根是5，求的平方根．
21．（10分）观察与思考：
①；②；③；…
(1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式；
(2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证．
22．（10分）如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为．
(1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
23．（12分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)求的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．
24．（12分）阅读下列解题过程：
解：．
(1)请在横线上直接写出化简的结果：
① ；② ．
(2)求（为正整数）化简的结果（需要写出推理步骤）．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，要使表达式有意义，需满足根号内的值非负且分母不为零，由此列式求解即可．
【详解】解：根据题意，，，
∴的取值范围为，
故选：C．
2．B
【分析】根据立方根的定义判断答案．
【详解】
故选B．
3．C
【分析】本题考查最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质等知识，先由，再由是最简二次根式，可得即可确定答案，熟记最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质是解决问题的关键．
【详解】解：，是最简二次根式，且最简二次根式能与合并，
，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：C
5．B
【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可．
【详解】解：原式=
∵
∴
故选B．
6．D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据题意得出圆的周长，进而求得圆的半径．
【详解】解：这根铁丝的周长为，
∴将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则半径为，
故选D．
7．D
【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可．
【详解】解：若是“最美实数”，
则有或，
若，解得，
若，解得，
综上，a的值为或，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故选C．
9．D
【分析】本题考查了化简二次根式．
由已知条件且可知，和均为负数，逐一分析各选项即可．
【详解】解：∵，
∴和均为负数，
A：，选项A错误；
B：当和均为负数时，和在实数范围内无意义，等式不成立，选项B错误；
C：左边结果为负数，右边为正数，等式不成立，选项C错误；
D：，等式成立，选项D正确；
故选：D．
10．A
【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
则三角形的面积
．
故选：A
二．填空题
11．3
【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可．
【详解】解：当时，
．
故答案为：3．
12．2
【分析】本题考查无理数以及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【详解】解：在实数中，其中无理数有：，，一共2个，
故答案为：2．
13．
【分析】本题考查了根据数轴判断正负，化简二次根式．
根据数轴可知，得到，化简即可．
【详解】解：由数轴可知，
∴，
∴
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式化简的步骤．
利用二次根式化简的步骤进行化简即可．
【详解】解：；
；
故答案为：，．
15．
【分析】本题考查算术平方根与立方算，根据算术平方根的意义可得；根据立方根的意义可得，进而得出结果．掌握算术平方根和立方根的定义是关键．
【详解】解：∵是的算术平方根，
∴，
∵是的立方根，
∴，
∴，
即的值为．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值推出，进而可得．
【详解】解；∵要有意义，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：，
，
∴或；
（2）解：，
，
，
．
18．（1）解：
；
（2）解：
．
19．（1）解：∵，，
∴，，
；
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
20．解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的立方根为；
（2）根据题意得，
∴，
∴
∵n的算术平方根是5，
∴，
∴的平方根为．
21．（1）解：∵①；
②；
③；…
∴写出第④个等式为：；
（2）解：
（的整数）
证明如下：
．
22．（1）解：由题意得，长方形空地的周长为：
．
（2）解：由题意，得，
，
，
（元）．
答：销售收入为3780元．
23．（1）解：由题意得，
∴，
∴，
∴
；
（2）解：∵与互为相反数，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
24．（1）解：；
，
故答案为：；；
（2）解：．

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