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第一章《勾股定理》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．5，8，10 C．5，12，13 D．6，6，12
2．如图，点A表示的数为（ ）
A．1.414 B． C． D．
3．如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（ ）米
A．15 B．12 C．10 D．6
4．如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图是“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么小正方形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
9．如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点D B．点A、点C、点G
C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E
10．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为 ．
12．如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通．
13．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点，连接，若，则的值为 ．
14．如图，点D、E分别为的边、上的点，连接、，过点E作，连接，若，，，，则的度数为 ．
15．如图，在矩形中， ，M 是线段上一动点，连接，沿 翻折 点C 的对应点为点 N，连接，当的长度最小时，的长是 ．
16．如图，某港口位于南北方向的海岸线上．甲，乙两舰艇同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲舰艇每小时航行16海里，乙舰艇每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后分别位于点P，Q处，且相距30海里．已知甲舰艇沿北偏东方向航行，则乙舰艇的航行方向是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．（6分）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点．
(1)在网格中画一个长为的线段；
(2)证明你画的线段为．
19．（8分）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，．
(1)求的长；
(2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
20．（8分）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米．
(1)求城镇A，B之间的距离；
(2)现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站应修建在离点M多远处？
21．（10分）某单位有一块四边形的空地，，量得个边的长度米，米，米，米，现计划在空地内种草．

(1)连接，证明：是直角三角形；
(2)若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？
22．（10分）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段铺设2段水管；
八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管；
(1)求证：；
(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
23．（12分）观察下列等式：
第1个等式
第2个等式
第3个等式
第4个等式
．．．．．． ．．．．．．
（1）补充上述表格．
发现：
（2）请用含（为正整数，且）的等式表示上述规律：______．
应用：
（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查了勾股数的定义．
根据勾股数的定义，勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的一组正整数，逐一验证各选项是否符合条件即可．
【详解】解：A． ，而，不满足勾股定理，不是勾股数；
B． ，而，不满足勾股定理，不是勾股数；
C． ，而，满足勾股定理，且均为正整数，是勾股数；
D． ，而，不满足勾股定理，不是勾股数；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理可得，再根据数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，
∴点A表示的数为，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：梯子顶端离地面的距离为：（米），
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键．
先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长．
【详解】在中，，，，
，
由翻折的性质知，，
．
故选：B．
5．C
【分析】此题考查勾股定理的证明，关键是直角三角形中勾股定理的运用．
根据勾股定理求得，进而求得的值即可．
【详解】解：∵，，，，，是四个全等的直角三角形，
∴，
，
∵、、和是四个全等的直角三角形，
∴，
，
∴小正方形的面积是4
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了矩形与折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等．由折叠的性质得，，可得，再设，，在中利用勾股定理列出方程，解出x，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有：
，，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
在中，，
即，
解得．
∴；
∴．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理．
先求出，，，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图所示：
∵正方形和正方形的面积分别是49和25，
∴，，，
∵M，A，B在同一条直线上，
∴，
在中，
由勾股定理得：．
故选：D．
9．C
【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【详解】解：A、，不可以构成直角三角形，不符合题意；
B、，不可以构成直角三角形，不符合题意；
C、，可以构成直角三角形，符合题意；
D、，不可以构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
10．B
【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，；由于，得到；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
故A选项不符合题意；
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故B选项符合题意；
∵，
∴，
故C选项不符合题意；
∵，
∴设，，
∵，
∵，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
过作于，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故D选项不符合题意；
故选：B．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理结合正方形的面积，即可求解．
【详解】解：由题意可知，，
那么，
所以正方形的边长为．
故答案为：．
12．18
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：，，，
，
（天)，
即需要18天才能将隧道凿通，
故答案为：18．
13．3
【分析】本题考查作图—基本作图、勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则．设，则，在中，由勾股定理得代入求出x的值即可．
【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
∴．
设，
则，
在中，由勾股定理得
即，
解得，
∴．
故答案为：3．
14．
【分析】本题考查了三角形外角的性质，勾股定理逆定理，平行线的性质，利用勾股定理证明出是直角三角形是解题关键．由三角形外角的性质，得出，再结合平行线的性质，得到，利用勾股定理逆定理，得出，即可求出的度数．
【详解】解：是的外角，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
15．3
【分析】该题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是确定当点共线时，最小，是解题的关键．根据勾股定理求出，根据折叠可得，得出当点共线时，最小，此时，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
在矩形中， ，
∴，
根据折叠可得，
∵，
故当点共线时，最小，此时，
∵，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：3．
16．南偏东
【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．直接得出海里，海里，海里，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．
【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∵甲舰艇沿北偏东方向航行，
∴，
∴乙舰艇的航行方向是南偏东．
故答案为：南偏东．
三．解答题
17．（1））证明：平分，
∴，
又∵，，
∴，
，
；
（2）解：，
．
在中，由勾股定理可得，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
∴．
解得，即的长为．
18．（1）解：线段即为边长为的线段；
（2）解：∵为直角三角形，，，
∴．
19．（1）解：∵，，，
在中，由勾股定理得：，
答：的长为；
（2）解：地毯长为：，
已知楼梯宽，每平方米地毯35元，
∴地毯的面积为，
∴需要花费（元），
答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶．
20．（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
21．（1）证明：连接，在中，
，
在中，
，
∴，
∴是直角三角形；
（2）（平方米），
∴所需费用为（元）．
22．（1）证明：由题意得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，
理由如下：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度，
∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案．
23．解：（1）补充上述表格，，
故答案为：；
（2）用含（ 为正整数，且 ）的等式表示上述规律：，
故答案为：；
（3）由（2）中规律，
则存在以、为直角边，为斜边的直角三角形，
当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得，解得，
直角三角形的另一个直角边是，
则这个直角三角形的面积为．
24．（1）解：∵在△ABC中，，，，
∴BC=；
（2）解：由题意可知，分两种情况：①；②，
设BP=3tcm，∠B≠90°：
①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴；
②当∠PAB=90°时，如下图所示：
∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，
综上所述：当为直角三角形时，t=1或；
（3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③，
①当时，如图所示：
；
②当时，如图所示：
根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线，
，
；
③当时，如图所示：
设，则，
在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得，
，
，
综上所述：t=或2或．

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