资源简介

1.3 《勾股定理的应用》小节复习题
【题型1 判断汽车是否超速】
1.如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；
(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
2.已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速．
3.为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．

(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；
(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？
4.如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米．
(1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出） 并计算新路的长度．
(2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【题型2 判断是否受台风影响】
1.2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距．
(1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由．
(2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？
2.如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且．
(1)求两村的距离；
(2)为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁 请说明理由．
3.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：
(1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？
4.如图，公路和公路在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路上沿方向以每秒8米的速度行驶，假设消防车行驶时周围米以内有噪音影响．

(1)学校是否会受到影响？请说明理由．
(2)如果受到影响，则影响时间是多长？
【题型3 选址到两地距离相等】
1.如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（ ）

A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米
2.如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
3.如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米
4.如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离．
【题型4 解决航海问题】
1.如图，甲、乙两船同时从港出发，甲船的速度是15海里/时，航向是东北方向（射线方向），乙船比它每小时快5海里，航向是东南方向（射线方向），多少小时后两船相距100海里？
2.某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国海监船行驶的航程的长．
3.在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．

(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
4.如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【题型5 求河宽】
1.某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米．
2.在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
3.某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形，上面是半圆形，其中米，米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
4.直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则．
(1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答；
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值．
【题型6 求台阶上地毯长度】
1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点出发，沿着台阶面爬到点，最短线路是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在一个高为3米的楼梯表面铺地毯，地毯总长度为7米，则楼梯斜面长为（ ）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
3.如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜
4.如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路线的长是 cm.
【题型7 求旗杆高度】
1.如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，
并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）．
(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）；
(2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？
2.学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面还多出了一段，但这条绳子的长度未知．请你应用勾股定理提出一个解决这个问题的方案（画出图形，结合图形说明需要测量的数据，把这些数据用字母表示，并用这些字母表示旗杆的高度）．
3.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，周末王明和李华去放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们利用学过的“勾股定理”知识，进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为15米；
③牵线放风筝的王明放风筝时手离地面的距离为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果王明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，则他应该把线再放出 米．
4.为测量学校旗杆的高度，某中学数学兴趣小组的同学经过讨论，设计了以下两种方案：
方案一 方案二
测量工具 含角的教学用直角三角板、足够长的皮尺． 升旗用的绳子、足够长的皮尺．
测量方案示意图
实施方案及测量数据 一同学站在C点，双手水平托好直角三角板，恰好看到旗杆顶A点，测得旗杆底部B处与C点的距离，人的眼睛与地面的距离． 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②旗杆半径忽略不计． ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不动．
请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆的高度．
【题型8 求小鸟飞行距离】
1.如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？
2.姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树上的点B处，且，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
(1)请用含有x的整式表示线段的长为 m；
(2)求这棵树高有多少米？
3.如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
4.如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 求大树折断前高度】
1.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
2.如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
3.如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点B与地面的距离．

4.我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 ．
【题型10 求杯子中物体长度】
1.如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　）
A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米
3.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则芦苇长 尺．
4.如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm．
【题型11 求梯子滑落高度】
1.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米．
2.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（　　）．

A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
3.如图，在一宽度为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
4.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部C处与E处之间的距离为（ ）

A． B． C． D．
【题型12 求最短路径】
1.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为（ ）．（边缘部分的厚度忽略不计）
A．25 B． C．35 D．
2.如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
3.如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为
4.如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
参考答案
【题型1 判断汽车是否超速】
1.（1）解：过点作，交于点D．即是新路．
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
，
∴新路长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在中，，
由勾股定理得，
，
，
，
∵该车经过区间用时16秒，
∴该车的速度为，
，
∴该车没有超速．
2.解：汽车没有超速，理由如下：
依题意，由勾股定理可得：，，，
．
∴，
∴．
∴汽车没有超速．
3.（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下：
∵600米米，
∴报亭的人能听到广播宣传．
（2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．
由题意得，米，米，，

由勾股定理得米，米，
∴米．
∵ (分)，
∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传．
4.（1）解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴在中，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴新路长度是80米．
（2）解：该车没有超速．
理由：在中，，
由勾股定理得，
∴，，
∴，
∴，
该车经过区间用时，
∴该车的速度为，
∵．
∴该车没有超速．
【题型2 判断是否受台风影响】
1.（1）解：过点作于点，
∵，A，C之间相距，A，B之间相距．
∴，
根据题意，得，
∴，
∵，
∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响．
（2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴台风影响南通市持续时间为．
答：台风影响南通市持续时间为．
2.（1）解： 处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且，
，
答：两村的距离为米；
（2）解：没有危险不需要封锁，
理由如下：
过点作，如图所示：
利用面积相等得到，即，解得，
爆破点 周围半径750米范围内不得进入，，
在进行爆破时，公路段没有危险不需要封锁．
3.（1）解：A城市会受到这次台风的影响，理由如下：
如图1，过点A作于点D，
在中，千米，
∴千米，
∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为：（千米），
∵160千米千米，
∴A城市会受到这次台风的影响．
（2）解：如图2，以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，
∴台风影响该市持续的路程为：，
∴台风影响该市的持续时间（小时）．
（3）解：∵千米，
∴（级），
∴（级），
∴该城市受到这次台风最大风力为级．
4.（1）解：学校受到噪音影响．理由如下：
作于B，如图，
，，
，
而，
消防车在公路上沿方向行驶时，学校受到噪音影响；

（2）解：以点A为圆心，为半径作交于C、D，如图，
，
在中，，，
，
同理，,
，
消防车每秒8米的速度行驶，
（秒），
学校受影响的时间为20秒．
【题型3 选址到两地距离相等】
1.B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键．
设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可．
【详解】解：设，则，
，，，两村到候车点的距离相等，
，
，
，
解得：，
则候车点应距点．
故选：B．
2.解：∵C，D两村到E站的距离相等，
∴．
∵于A，于B，
∴，
∴，
∴，
设，则．
∵，，
∴，
解得：，
∴．
答：E站应建在离A站处．
3.解：根据题意得：，，
在直角三角形中，
米，米，
（米），
设米，则米，
在中，，
即，
解得：，
答：该超市C与车站D的距离是312.5米．
4.如图，设千米，则千米，
在中，根据勾股定理，，
在中，根据勾股定理，，
∵，
∴，即，
解得：，
即E到C的距离为千米．
【题型4 解决航海问题】
1.解：由题意，得，．
设小时后两船相距100海里，
根据题意得：，
解得：（舍去）或．
答：4小时后两船相距100海里．
2.（1）解：如图所示，点即为所求：连接，作线段的垂直平分线，交于点，
（2）解：连接，设海里，则海里
∵
∴在中，
即：
解得：
答：我国海监船行驶的航程的长为37海里．
3.（1）由题意，得：；
∴；
∵；
∴海里；
（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．

∵；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
则信号次数为（次）．
答：最多能收到29次信号．
4.解：根据题意，得
（海里），
（海里），
（海里），
，
即，
．
由“远航号”沿东北方向航行可知，，则，
即“海天”号沿西北方向航行．
【题型5 求河宽】
1.1000
【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C，
由题意可得：，
由图中数据可得：，
，
∴米，
故答案为：1000．
2.D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：根据题意，得，，，
在中，，
∴，
解得，
即河的宽度是15米，
故选：D．
3.解：如图，作于M，交于M，作于H，交半圆于F，交于点K，连接，则，米，
根据题意得：，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴这辆卡车能安全通过这个隧道．
4.（1）解：，
∴梯形的面积为或，
，
，
即，
（2）解：设千米，则千米，
在中，，
即，解得：，即，
（千米），
答：新路比原路少千米，
（3）解：由题得，，
在中，，
在中，，
，
即，解得：．
【题型6 求台阶上地毯长度】
1.B
【分析】将台阶展开，根据勾股定理即可求解．
【详解】将台阶展开，如下图，
因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，
所以 =169，
所以AB=13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
故选B．
2.B
【分析】本题主要考查勾股定理，由勾股定理及平移的思想可进行求解．
【详解】解：如图所示，
由题意得米，
∵米，
∴米，
∴则米，
故选：B．
3.156 m2.
【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜.
【详解】棚高h=5 m，棚宽a=12 m，设棚顶的宽为b，
则m
棚的长d为12m
4.130
【分析】只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】将台阶展开，如图：
因为BC=30×3+10×3=120，AC=50，
所以AB2=AC2+BC2=16900，
所以AB=130（cm），
所以壁虎爬行的最短线路为130cm．
故答案是：130．
【题型7 求旗杆高度】
1.（1）解∶如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得∶，
解得∶，
故旗杆的高度为米；
（2）解：由题可知，米，米．
在中，由勾股定理得∶，
解得∶，
∴ 米，
∴ 米．
故绳结离地面米高．
2.解：测量绳子垂到地面多出一段的长度，用字母表示，
用表示旗杆，将绳子拉直底端接触地面，构成如图所示的，测量，
在中，，，，
由勾股定理，得，即，
∴，
因此，旗杆的高度为．
3.（1）由题意可得，
米，米，，米，
∴（米），
∴（米），
即风筝的垂直高度的长为10.6米；
（2）由题意知，（米），米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该把线再放出5米，
故答案为：5．
4.解：若选方案一：
过D作于E，如图所示，
依题意：，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
若选方案二：
设，则，
在中，，
，
解得：，
【题型8 求小鸟飞行距离】
1.解：由题意可得：，，
则，
故，
解得：，
则（m），
答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和．
2.（1）解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：由题意知，则在中，
有，
∴，
解得：，
∴．
答：这棵树高有3.2米
3.（1）由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
4.A
【分析】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键．
过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．
【详解】解：过作于，如图所示：
由题意可知，，
，
根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，
∴它要飞回巢中所需的时间至少是，
故选：A．
【题型9 求大树折断前高度】
1.C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即折断处离地面的高度为4.2尺，
故选：C．
2.如下图所示，
，
为直角三角形，
在中，，，
，
，，
树枝砸不到小车．
3.解：由题意得，，，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
答：弯折点与地面的距离为0.9米．
4.（x+1﹣5）2+102＝x2．
【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：由题意知：
OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
（x+1﹣5）2+102＝x2．
故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2．
【题型10 求杯子中物体长度】
1.C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解．
【详解】解：设铅笔长度为，
，
解得，，
故铅笔的长为；
故选：C．
2.1A
【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，
在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，
解得x=1.5．
故选：A．
3.13
【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知B'C＝5尺，设水深AC＝x尺，则芦苇长（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，
在Rt△CAB′中，
AC2+B′C2＝AB′2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
∴x+1＝13，
故芦苇长13尺，
故答案为：13
4.45
【分析】设水深h厘米，则，，，利用勾股定理计算即可．
【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
设水深h厘米，由题意得：中，，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得．
故答案为：45．
．
【题型11 求梯子滑落高度】
1.此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，
由题意列方程为：，
解方程得，
答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米．
2.B
【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
【详解】解：∵在Rt△ACB中，，
∴AC＝2米，
∵BD＝0.9米，
∴CD＝BD+BC=0.9+1.5=2.4（米），
∵在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49，
∴EC＝0.7米，
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3（米），故B正确．
故选：B．
3.B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
过作于，根据平行线的性质得到米，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过作于，
由题意得，
米，
同理可得：，
在中，（米，
在中，（米，
（米，
答：梯子底端离地高度长为0.9米，
故选：B．
4.解：在中，，
，
在中，，
，
，
故选：A．
【题型12 求最短路径】
1.A
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于．
【详解】解：将半圆柱展开，如图：，，，
，
∴，
解得（负值舍去），即他滑行的最短距离约为．
故选：A．
2.B
【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理，关键是知道求那一条线段的长．
根据题意画出图形，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图展开，连接，则线段的长就是小虫爬的最短路线，
在中，，，
由勾股定理得：，
．
故选：B．
3.
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：长方体侧面展开图如图所示．
由题意，得，．
在中，，
∴；
故答案为：
4.解：如解图，圆柱体的展开图为长方形，
所以，
由题意可知，，
所以在 中，
由勾股定理得，，
所以 ，
则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是

展开更多......

收起↑