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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
第3课时 弧、弦、圆心角
基础提优题
1.如图,在⊙O中,则∠C的度数为( )
A.44° B.54° C.62° D.72°
2.下列说法正确的有( )
①圆心角相等，所对的弧也相等；
②圆心角相等，所对的弦也相等；
③长度相等的两条弦所对的弧是等弧；
④等弧所对的圆心角相等；
⑤顶点在圆心的角是圆心角.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,AB是⊙O的直径,BC,CD,DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于( )
A.100° B.110° C.120° D.135°
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,以点C为圆心,BC长为半径的圆分别交AB,AC于点D,E,则∠BCD的度数为_______________.
5.如图,点A,B,C都在⊙O上,B是的中点，∠OBC=50°,则∠AOB=_______°.
6.如图,在半径为5的⊙O中,∠AOB=∠AOC,OD⊥AC于点D,AB=8,则DO=________.
7.⊙O上顺次有A,B,C,D四点,所对的圆心角的度数之比为2：1：2：5.则有下列结论：①AC是⊙O的直径；②AD是⊙O的直径; ③BC∥AD; ④AB=CD.其中正确的个数是___________.
8.如图,分别过⊙O的直径AB上的点M,N作弦CD,EF,若CD∥EF,AC=BF.求证:
(2)AM=BN.
综合应用题
9.如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是( )
无法确定
10.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A,B,C三点,那么所对的圆心角的度数是( )
A.60° B.75° C.80° D.90°
11.如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的⊙O和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和CD,且它们关于圆心O中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可尧圆心O转动，且所成的夹角∠EOF=FOG=∠GOE=120°,3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温的作用.例如：当隔风玻璃转到如②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃OF，OG隔离.则通道所对圆心角的度数的最大值为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
12.如图,点P ～P 是⊙O的八等分点.若△P P P ,四边形P P P P 的周长分别为a，b，则下列说法正确的是( )
大小无法比较
13.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆O上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点.连接AB，若则△PAB的周长的最小值是( )
C.2
14.如图,以 ABCD的顶点A为圆心,AB长为半径作⊙A,分别交BC,AD于点E,F,交BA的延长线于点G.
(1)求证:
(2)若所对的圆心角为140°，求∠EGB的度数.
创新拓展题
15.如图①,PC是⊙O的直径,PA与PB是弦,且∠APC=∠BPC.
(1)求证:PA=PB.
(2)若点P由圆上运动到圆外，PC过圆心O，如图②,是否仍有PA=PB 为什么
(3)如图③，若点P由圆上运动到圆内，PC过圆心O，(1)中的结论是否仍然成立 请说明理由.
参考答案
1.D 2.A 3.C 4.40°5.80 6.3
7.3【点拨】∵AB,BC,CD,DA所对的圆心角的度数之比为2：1:2:5,∴四条弧所对的圆心角度数分别为72°,36°,72°,180°,如图.
∴AD是⊙O的直径,故①错误,②正确.
∵OB=OC,∠BOC=36°,∴∠OBC=72°=∠AOB.∴BC∥AD,故③正确.
∵∠AOB=∠COD=72°,∴AB=CD，故④正确.综上，结论正确的个数是3.
8.【证明】(1)如图,连接OC,OF.
∵AC=BF,∴∠COA=∠BOF.
(2)∵∠COA=∠BOF,OC=OF=OA=OB,
∴∠CAB=∠ABF.∵CD∥EF,∴∠AMC=∠ANE.
又∵∠BNF=∠ANE,∴∠AMC=∠BNF.
又∵AC=BF,∴△AMC≌△BNF.∴AM=BN.
9.B【点拨】如图,取的中点E,连接AE,BE,则
∴AE=EB=CD.
∵AE+EB>AB,∴2CD>AB.
10.D
11.B【点拨】连接OA,OB,OC,OD.∵∠EOF=∠FOG=∠GOE=120°,∴∠AOC与∠BOD的最小值为120°.∴∠AOB与∠COD的最大值的和为120°.∵AB和CD关于圆心O中心对称，∴AB=CD.∴∠AOB=∠COD.∴∠AOB和∠COD的最大值为
12.A【点拨】如图,连接P P ,P P .
∵点.P ～P 是⊙O的八等分点,
∴P P +P P >P P .∴b-a>0.∴a13.B
14.(1)【证明】连接AE.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠EAF=∠AEB,∠GAF=∠B.
∵AE=AB,∴∠B=∠AEB.∴∠EAF=∠GAF.
(2)【解】∵AE=AG,∴∠AEG=∠AGE.
所对的圆心角为140°,即∠EAG=140°.
15.(1)【证明】如图①,作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F,则
∵∠APC=∠BPC,∴OE=OF.
又∵OP=OP,∴△POE≌△POF.∴PE=PF.
(2)【解】仍有PA=PB.理由如下:如图②,作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F.
∵∠APC=∠BPC,∴OE=OF.∴易得AE=BF.
在Rt△OPE与Rt△OPF中,∴Rt△OPE≌Rt△OPF(HL).∴PE=PF.
∴PA=PB.
(3)【解】(1)中的结论仍然成立.理由如下：
如图③,作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F.
∵∠APC=∠BPC,∴OE=OF.∴易得AE=BF.
在Rt△POE和Rt△POF中,∴Rt△POE≌Rt△POF(HL),∴PE=PF.
∴PA=PB.
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