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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
第4课时 圆周角定理(1)
基础提优题
1.如图,四边形ACBD中,A,B,C三点均在⊙O上，点D在⊙O外，则图中的圆周角有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,A,B,C是⊙O上的三个点,若∠ACB=25°,∠B=55°,则∠AOC的度数为 ( )
A.115° B.120° C.125° D.130°
3.如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB=25°,则∠OCD的度数是( )
A.45° B.60° C.65° D.70°
4.如图，A，B是⊙O上的点，且∠AOB=60°，在这个图中，仅用无刻度的直尺能画出的角的度数可以是_______________.(只要求写出四个)
5.如图,点A,B,C在半径为2的⊙O上,∠ACB=60°,OD⊥AB,垂足为E,OD交⊙O于点D,连接OA,则OE的长度为____________.
6.如图,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1,∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4=___________°.
7.如图,AB是⊙O的弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=56°,求∠DEB的度数;
(2)若DC=2,AB=16,求OA的长.
综合应用题
8.如图,AB,AC是⊙O的弦,OB,OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B，O重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是( )
A.70° B.105° C.125° D.155°
9.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器( )
A.2台 B.3台 C.4台 D.5台
10.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为__________.
11.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD的延长线与CB的延长线交于点E,连接OC,若∠BOC=47°,则∠E的度数是____________.
12.如图,⊙O的弦AB长为2,CD是⊙O的直径,∠ADB=30°,∠ADC=15°.
(1)求⊙O的半径长.
(2)若P是CD上的动点,求PA+PB的最小值.
创新拓展题
13.定义：我们把顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角(如图①)，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角(如图②).
(1)若∠AOC=m,∠BOD=n°,则圆外角∠P=_________,圆内角∠APC=_______°;(用含m，n的代数式表示)
(2)如图③,AB,CD是⊙O的两条互相垂直的直径,点P从点O出发,沿O→C→B→O的路线匀速运动，设,那么y与点P运动的时间xs的关系图是____________.(填序号)
14.已知A，B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角.
【知识回顾】
(1)如图①,在⊙O中,点B,C位于直线AO异侧,∠AOB+∠C=135°
①求∠C的度数;
②若⊙O的半径为5,AC=8,求BC的长.
【逆向思考】
(2)如图②,P为圆内一点,且∠APB<120°,PA=PB,∠APB=2∠C.求证:点P为该圆的圆心.
参考答案
1.A 2.B
3.D【点拨】连接OD,∵∠DAB=25°,
∴∠BOD=2∠DAB=50°,∴∠COD=90°-50°=40°.
又
4.30°,60°,90°,120°(答案不唯一)
5.1【点拨】连接OB.∵∠ACB=60°,∴∠AOB=2∠ACB=
∠BOD=∠AOB=60°.
∴∠OAE=90°-60°=30°.∴OE=
6.90
7.【解】(1)∵OD⊥AB,∴AD=BD.
又∵∠AOD=56°,
(2)∵OD⊥AB,AB=16,∴∠OCA=90°,AC=AB=8.
设OA=x,则OD=OA=x,
∵CD=2,∴OC=x-2.
在Rt△ACO中,,解得x=17.∴OA=17.
8.D【点拨】连接BC.∵∠BAC=70°,∴∠BOC=2∠BAC=140°.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=180°-140°=20°.
∵点P为OB上任意一点(点P不与点B,O重合),∴0°<∠OCP<20°.
∵∠BPC=∠BOC+∠OCP=140°+∠OCP,∴140°<∠BPC<160°.
9.C
10.52.5°【点拨】连接OB,OD.由题图得.105°，由圆周角定理得
11.43°【点拨】连接AC.∵∠BOC=47°,∴∠BAC=
23.5°.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=×(180°-47°)=66.5°.
又∵∠OBC=∠BAD+∠E,∴∠E=∠OBC-.
12.【解】(1)如图,连接OA,OB.
∵∠ADB=30°,∴∠AOB=2∠ADB=60°.
又∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形.∴OA=AB=2,即⊙O的半径长为2.
(2)∵∠ADC=15°,∴∠AOC=2∠ADC=30°.∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°.
如图,延长BO交⊙O于点E,连接AE交CD于点P,连接BP,则此时PA+PB=PA+PE=AE,即PA+PB的最小值是AE的长.
∵∠BOA=60°,OA=OE,∴∠OAE=∠AEB=30°.∴∠BAE=∠BAO+∠OAE=90°.
即PA+PB的最小值是2
【点拨】如图①,连接BC.
∵∠AOC=m°,∠BOD=n°,∴∠ABC=m°,∠BCD=
如图②，连接BC.∵∠AOC=m°,∠BOD=n°,∴∠ABC=m°,∠BCD=
(2)②【点拨】当点P沿O→C运动时,当点P在点O的位置时,y=90,当点P在点C的位置时,易知y=45,∴y由90逐渐减小到45；当点P沿C→B运动时，根据圆周角定理，可得y=45，不变；当点P沿B→O运动时，y由45逐渐增加到90.
14.(1)【解】①∵∠AOB+∠C=135°,∠AOB=2∠C,∴3∠C=135°.
∴∠C=45°.
②如图①,连接AB,过点A作AM⊥BC,垂足为M.∴∠AMC=∠AMB=90°.
∵∠C=45°,AC=8,∴△ACM是等腰直角三角形.∴AM=CM=4
∵∠AOB=2∠C=90°,OA=OB=5,∴AB=5
在Rt△ABM中,
(2)【证明】如图②,延长AP交圆于点N,连接BN,则∠C=∠N.
∵∠APB=2∠C,∴∠APB=2∠N.
又∵∠APB=∠N+∠PBN,∴∠N=∠PBN.∴PN=PB.
又∵PA=PB,∴PA=PB=PN.∴点P为该圆的圆心.
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