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-2026年湖南省邵阳市九年级数学人教版 上学期
第21章一元二次方程综合能力练习试卷
一、单选题
1．某超市1月份营业额为90万元.1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（　　）．
A． B．
C．且 D．且
3．已知的解是，，则方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
4．关于的一元二次方程有实数根，则可取的最小整数是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．
5．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（　　）
A． B．13 C．11或8 D．11和13
6．用配方法解一元二次方程式x2+4x-5=0，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=9 B．（x-2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x-2）2=1
7．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，那么称这样的方程为“2倍根方程”.下列说法中，错误的是（　　）
A．方程是“2倍根方程”
B．若关于x的方程(x-2)(mx+n)=0是“2倍根方程”，则m+n=0
C．若m+n=0且m≠0，则关于x的方程(x-2)(mx+n)=0是“2倍根方程”
D．若2m+n=0且m≠0，则关于x的方程是“2倍根方程”
8．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 （　　）
A．120（1－x）2=100　 B．100（1－x）2=120
C．100（1＋x）2=120　　 D．120（1＋x）2=100
9．如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（　　）．
A． B． C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（　　）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
二、填空题
11．已知是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
12．如图，在一块长，宽为的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为，则小路宽为　 　．
13．若方程是关于x的一元二次方程，则k的值为　 　．
14．某村年，年水稻的平均每公顷产量分别为，，设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为，则可列方程 　 　．
15．如图，双曲线上的一点，其中，过点M作轴于点N，连接．将绕点M逆时针旋转90°得到，且点O的对应点Q恰好落在该双曲线上，则的值为　 　．
16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　 　．
17．如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．
（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是　 　．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是　 　．
18．若关于x的方程无解，则m的取值范围是　 　．
三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以．
（1）求的值；
（2）若，是一元次方程的两个根，求的值．
21．已知关于的一元二次方程．
（1）当方程有两个实数根时，求的取值范围；
（2）如果方程的两实数根为，，且，求的值．
22．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
23．如图1，在平面直角坐标系中，矩形如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为，将此矩形绕O点逆时针旋转．得到矩形，抛物线经过A、、三点．
（1）求此抛物线的解析式（a、b、c用含n的式子表示）；
（2）若，直线与抛物线交于点、N，点Q是线段上方的抛物线上一动点，求面积最大值及此时点Q的坐标．
（3）若抛物线对称轴是的一条直线，直线与抛物线相交于两点、，当最小时，求抛物线与直线的交点D和E的坐标．
24．阅读理解并解答：
（1） 【方法呈现】
我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是　 　，这时相应的的值是　 　．
（2） 【尝试应用】
求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．
（3）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
25．已知关于的一元二次方程．请你为选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根．
26．已知抛物线，其中．
（1）求证：该抛物线与轴有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与轴的交点分别为，，且，求的值；
（3）试判断：无论取任何实数，该抛物线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
故答案为：C
【分析】根据二次方程有实数解，则判别式，解不等式即可求出答案.
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】A
【解析】【解答】解：x2+4x-5=0 ，
移项得x2+4x=5，
配方得x2+4x+22=5+22，
（x+2）2=9，
故答案为：A.
【分析】先移项，再配方，根据完全平方公式求解即可．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：A 解x2-3x+2=0得x1=1，x2=2，故A项正确，不符合题意；
B 解 (x-2)(mx+n)=0得x1=2，x2=，当=2×2，则4m+n=0；当×2=2，则m+n=0，故B项错误，符合题意；
C 解方程得 x1=2，x2=，而m+n=0，则x2=1，故C项正确，不符合题意；
D 解方程 得x1=n，x2=-m，而2m+n=0，∴ n=-2m，即x1=-2m=2x2，故D项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】通过解一元二次方程，即可判断A；通过解方程得x1=2，x2=，分情况讨论当当=2×2和当×2=2得4m+n=0或m+n=0，即可判断B；解方程得x1=2，x2=，再根据m+n=0，可得x2=1，即可判断C；解方程可得x1=n，x2=-m，再根据2m+n=0可得n=-2m，即可判断D.
8．【答案】A
【解析】【分析】等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=100．
【解答】第一次降价后的价格为120×（1-x)，那么第二次降价后的价格为120×（1-x)×（1-x)，∴可列方程为120（1-x)2=100．
故选：A
【点评】解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．
9．【答案】A
10．【答案】D
【解析】【解答】解：由，表明方程有实数根-1，表明一元二次方程有实数解，则，故①符合题意；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②符合题意；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③不符合题意；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
12．【答案】2
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【分析】本题考查根的判别式.根据方程有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
17．【答案】6；
18．【答案】
19．【答案】（1），
（2），
20．【答案】（1）
（2）或
21．【答案】（1）；
（2）．
22．【答案】（1）
（2）8元
23．【答案】（1）解：∵矩形中点B的坐标为，
∴点C的坐标为，点A的坐标为，
∵将此矩形绕O点逆时针旋转得到矩形，
∴点的坐标为，点的坐标为，
把，，代入得：
，
解得：，
∴此抛物线的解析式为：
（2）解：当时，抛物线的解析式为：，
令，
解得：，，
∴点N的坐标为，
过点Q作轴，交直线于点H，如图所示：
设点，则，
则，
∴
，
∵，
∴当时，最大，且最大值为，
此时点Q的坐标为
（3）解：由对称轴为，得，
解得：，
则抛物线的解析式为，
令，
整理可得，
∴，，
∴，
∴当时，的最小值为4，即的最小值为2，
∴，由可得，，
即，．
∴当最小时，抛物线与直线的交点为，
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得点C的坐标为，点A的坐标为，再根据旋转性质可得点的坐标为，点的坐标为，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）联立抛物线与直线解析式，解方程可得点N的坐标为，过点Q作轴，交直线于点H，设点，则，根据两点间距离可得QH，再根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据二次函数对称轴可得，则抛物线的解析式为，联立直线解析式可得，根二次方程根与系数的关系可得，，再根据完全平方公式可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵矩形中点B的坐标为，
∴点C的坐标为，点A的坐标为，
∵将此矩形绕O点逆时针旋转得到矩形，
∴点的坐标为，点的坐标为，
把，，代入得：
，
解得：，
∴此抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，抛物线的解析式为：，
令，
解得：，，
∴点N的坐标为，
过点Q作轴，交直线于点H，如图所示：
设点，则，
则，
∴
，
∵，
∴当时，最大，且最大值为，
此时点Q的坐标为．
（3）解：由对称轴为，得，
解得：，
则抛物线的解析式为，
令，
整理可得，
∴，，
∴，
∴当时，的最小值为4，即的最小值为2，
∴，由可得，，
即，．
∴当最小时，抛物线与直线的交点为，．
24．【答案】（1）；
（2）解：
，
∵
∴，
∴代数式有最大值，相应的的值为；
（3）解：∵a，，是的三边长，满足，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
是中最长的边，
∴．
答：的取值范围为．
【解析】【解答】解：(1)∵x2+2x+3=，
且，
∴x2+2x+3≥2，
∴其最小值为2，这时相应的x的值为-1.
故答案为：2，-1.
【分析】(1)把原式变形为，由此得出其最小值为2，相应的x的值为-1.
(2)根据(1)中的方法， 把变形为，即可求解.
(3)由变形为，根据非负数的性质得a，b的值，再根据三角形的三边关系即可求解.
25．【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
是小于的整数即可，即．（答案不唯一）

【解析】【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则对应判别式，解不等式即可求出答案.
26．【答案】（1）证明：令，则
，，
∴该抛物线与轴有两个不同的交点．
（2）解：∵该抛物线与轴的交点分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是分式方程的解．
（3）解：抛物线是过定点．理由：可化简成，
∴当或时，均为，此时，，
故抛物线过点和，
即无论取任何实数，该抛物线必经过定点和．
【解析】【分析】(1)根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程根的判别式即可求解；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而代入化简分式方程，从而即可求解；
(3) 将化简成，进而得到当或时，均为，此时，，从而即可求解。

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