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2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，是偶函数的是( )
A. B. C. D.
3.“是有理数”是“是有理数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，是水平放置的的直观图，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，为的中点，是线段上的一点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数其中在区间上单调，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据从小到大排列如下：，，，，，且这组数据的中位数等于平均数，则( )
A.
B. 这组数据的分位数为
C. 这组数据的方差为
D. 如果在这组数据中加入这个数，得到的一组新数据的平均数不变
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，则( )
A. 若，则
B. 若为钝角，则
C. 当时，若：：：：，且是钝角三角形，则
D. 若，则满足条件的三角形有两个
11.如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点不包括端点，点是线段上的动点不包括端点，则( )
A. 正方体的内切球的半径为
B. 若点是的中点，点是的中点，则平面
C. 若过直线的平面平面，且平面与棱相交于点，则的面积的最大值为
D. 若，，则且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ______．
13.已知圆台的上底面和下底面的面积分别为，，体积为，则圆台的侧面积为______．
14.已知函数有个零点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数其中为实数为纯虚数．
求实数的值；
若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
运动员小王进行两次射击训练，每次中靶的概率均为，若两次射击都中靶的概率为．
求的值；
求恰有一次中靶的概率；
求至少有一次中靶的概率．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若为边的中点，的面积为，求．
18.本小题分
年江苏省城市足球联赛是由江苏省体育局和各设区市人民政府于年月月主办的赛事，赛事主题口号为“城市荣耀，绿茵争锋”苏州某高中为了通过比赛彰显地域特色与足球魅力，组织学生进行江苏城市特色和足球知识竞赛，根据参赛学生的成绩，将所得数据按照，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图，求学生参赛成绩的众数；同一组数据用该组区间的中点值作代表
根据频率分布直方图，求本次学生参赛成绩的平均数和分位数；同一组数据用该组区间的中点值作代表
在参赛成绩在和的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从抽取的这名学生中随机抽取名学生，求这名学生的参赛成绩都在内的概率．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，是棱上的一点，且满足，与相交于点．
证明：平面；
求二面角的余弦值；
求直线与平面所成的角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.复数为纯虚数，
则，即．
故实数的值为；
复数，在复平面内所对应的点为，
因为点位于第三象限，所以，所以，
则．
故实数的取值范围为．
16.由题知：两次射击都中靶的概率为，
则，又，解得．
恰有一次中靶分为两种情况：第一次不中靶但第二次中靶，第一次中靶但第二次不中靶；
则恰有一次中靶的概率为：．
至少有一次中靶的对立事件为两次都不中靶，
两次都不中靶的概率为：，
则至少有一次中靶的概率为：．
17.因为在中，内角，，所对的边分别为，，，且，
所以，
所以化简得，
所以，
所以；
作出示意图如下：
因为的面积为，所以，
又，
所以根据余弦定理可得，又，
所以，
因为为边的中点，所以，
所以，
所以．
18.由频率分布直方图可知，参赛学生的成绩位于中的人数最多，
因此学生参赛成绩的众数为；
；
设本次学生参赛成绩的分位数为，
因此由，
，
因此分位数位于之间，
因此有，解得；
容易知这名学生中参赛成绩在的有人，设这四人分别为、、、，
这名学生中参赛成绩在的有人，设这两人人分别为、，
因此从抽取的这名学生中随机抽取名学生的不同情况有：、、、、
、、、、、、、、、、，共种，
其中这名学生的参赛成绩都在内情况有：
、、、、、，共种；
因此这名学生的参赛成绩都在内的概率为．
19.证明：，
，则
，
则，所以，
由平面，，则平面，
又、平面，所以，，
又，则，所以四边形为正方形，则，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，
又，、平面，所以平面．
解：过点作于点，过点作，交于点，
则即为二面角的平面角，

由，则，
则，则有，
，则有，
，则有，
，则有，
，
则，
所以，
即二面角的余弦值为．
解：取线段上靠近点的三等分点，连接，连接，
由，则，由知平面，
所以直线与平面所成角即为，
由平面，则，
，
，
则，
则，
即直线与平面所成的角的正弦值为．
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