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2024-2025学年河北省廊坊市高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有幅不同的油画，幅不同的国画，幅不同的水彩画，从这些画中选幅布置房间，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
5.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与函数，的图象分别交于点，，当取得最小值时，( )
A. B. C.
7.一个盒子中有个白色乒乓球和个橘黄色乒乓球现从盒子中任取个乒乓球，记取出的个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则( )
A. B. C. D.
8.将一根长为的铁丝截成段，使其组成一个正三棱柱的框架铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和，则该正三棱柱的体积最大为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记为等差数列的前项和已知，，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 若为奇函数，则
B. 的图象关于直线对称
C. 若，则的单调递增区间为，
D. 当时，在，上单调递增
11.已知表示，，，中最小的数，表示，，，中最大的数若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的每个数字都出现，但不重复出现，记，，，，则( )
A. 的值可能为，，， B. 的值可能为，，，
C. 的概率为 D. 的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______．
13.将名志愿者安排到个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去个小区，每个小区至少安排名志愿者，则不同的安排方法共有______种
14.将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则 ______，的前项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若在上恰有个零点，求的取值范围．
16.本小题分
为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
服用情况 患病情况
患病 不患病
服用中药预防方
不服用中药预防方
从参与该实验的人中任选人，表示事件“选到的人服用中药预防方”，表示事件“选到的人不患病”利用该调查数据，求，的值．
以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取人，连续抽天，每天抽取的结果相互独立，记这天抽到的人中不患病的人数为，求的期望．
17.本小题分
设等比数列的公比为，前项和为令，数列的前项和为．
若，，，求的通项公式；
若为等比数列，且，求．
18.本小题分
已知函数．
求的极值；
求的单调区间；
若，，求的取值范围．
19.本小题分
某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动类终止抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球小球大小和质地相同，取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率；
求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率；
求由第名顾客终止抽奖活动的概率．
参考答案
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14.
15.已知函数，
当，
则，，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
又因为，
因此曲线在点处的切线方程为．
，，，
当时，，，，此时在上单调递增；
当时，，，，此时在上单调递减；
因此，
又在上恰有个零点，
则必须满足：，
即，
解得：，
所以实数的取值范围为．
求出时的导数，然后利用导数的几何意义求出切线方程；
求得，根据的符号讨论出函数的单调性，若在上恰有个零点，则必须满足，解不等式可得结果．
本题考查了导数的综合应用，属中档题．
16.由题意可得，，
，，
所以，；
从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取人，不患病的概率为，
由已知得，
则．
17.等比数列中，，，，
所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，又因为，
所以，解得：，．
所以；
因为为等比数列，，
所以，即，
所以，
所以，
可得：，，所以，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
由可得：，解得．
18.解：的定义域为，故，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为，无极大值；
，定义域为，
当时，，无单调区间，
当时，，
故的单调递减区间为，，无递增区间；
，，即，
所以，
其中，令，则，
，
若，则，其中在恒成立，
故在上单调递增，所以，即，
令，，则，
故在上单调递增，
故，即，所以，与取交集，故，
若，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
且时，恒成立，时，恒成立，
所以，满足要求，
综上，，即的取值范围是．
19.由题意可得第名和第名顾客各抽中一份奖品，即第名顾客抽取的是红球；
第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球，
故第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率为；
这两份奖品被第名顾客抽走的概率为，
被第名顾客抽走的概率为，
被第名顾客抽走的概率为，
，
被第名顾客抽走的概率为；
设由第名顾客终止抽奖的概率为，则，
以下讨论的情形：若第名顾客共抽取了两份奖品，
则前面名顾客都没有抽到奖品，其概率为，
若第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品，
则前面名顾客五人抽到奖品，其概率为，
第名顾客只获得一份奖品，其概率为，
第名顾客到第名顾客都没有抽到奖品，其概率为，
所以，第名顾客抽取了一份奖品的概率为：
，
所以，
当时，，不符合上式，
因此，由第名顾客终止抽奖活动的概率为．
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